1、考研数学一（高等数学）-试卷 22 及答案解析(总分：72.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)，g(x)(af(b)g(x)B.f(x)g(a)f(a)g(x)C.f(x)g(x)f(b)g(b)D.f(x)g(x)f(a)g(a)B3.若 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶连续可导，且 （分数：2.00）A.x=0 是 f(x)的零点B.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点C.x=0 是 f(x)的极大点D.x=0 是 f(x)的极小点4.设 f(x)在 x=
2、0 的邻域内有定义，且 f(0)=0，则 f(x)在 x=0 处可导的充分必要条件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 f(x)在(一，+)上有定义，x 0 0 为函数 f(x)的极大值点，则( )（分数：2.00）A.x 0 为 f(x)的驻点B.一 x 0 为一 f(一 x)的极小值点C.一 x 0 为一 f(x)的极小值点D.对一切的 x 有 f(x)f(x 0 )6.设 f“(x 0 )=f“(x 0 )=0，f“(x 0 )0，则下列正确的是( )（分数：2.00）A.f“(x 0 )是 f“(x)的极大值B.f(x 0 )是 f(x)的极大值C.f(x 0 )是 f(
3、x)的极小值D.(x 0 ，f(x 0 )是 y=f(x)的拐点7.设 f(x)=x 3 +x 2 +bx 在 x=1 处有极小值一 2，则( )（分数：2.00）A.a=1，b=2B.a=一 1，b=一 2C.a=0，b=一 3D.a=0，b=38.设曲线 y=x 2 +ax+b 与曲线 2y=xy 3 一 1 在点(1，一 1)处切线相同，则( )（分数：2.00）A.a=1，b=1B.a=一 1，b=一 1C.a=2，b=1D.a=一 2，b=一 1二、填空题(总题数：4，分数：8.00)9.设曲线 y=Inx 与 （分数：2.00）填空项 1:_10. （分数：2.00）填空项 1:_
4、11. （分数：2.00）填空项 1:_12.求曲线 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：24，分数：48.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_14.举例说明函数可导不一定连续可导（分数：2.00）_15.设 f(x)在a，b上有定义，M0 且对任意的 x，ya，b，有f(x)一 f(y)Mxy k (1)证明：当 k0 时，f(x)在a，b上连续； (2)证明：当 k1 时，f(x)常数（分数：2.00）_16. （分数：2.00）_17.设对一切的 x，有 f(x+1)=2f(x)，且当 x0，1时 f(x)=x(x 2 一 1)，
5、讨论函数 f(x)在 x=0 处的可导性（分数：2.00）_18.证明：当 x0 时，x 2 (1+x)In 2 (1+x)（分数：2.00）_19. （分数：2.00）_20. （分数：2.00）_21.设 PQ 为抛物线 （分数：2.00）_22.证明：当 0x1 时，(1+x)In 2 (1+x)x 2 （分数：2.00）_23. （分数：2.00）_24. （分数：2.00）_25. （分数：2.00）_26. （分数：2.00）_27. （分数：2.00）_28.设 k0，讨论常数 k 的取值，使 f(x)=xInx+k 在其定义域内没有零点、有一个零点及两个零点（分数：2.00）_
6、29.设 （分数：2.00）_30. （分数：2.00）_31.设 0a1，证明：方程 arctanx=ax 在(0，+)内有且仅有一个实根（分数：2.00）_32.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_33.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：存在 (a，b)，使得f“()+f()g“()=0（分数：2.00）_34.设 f(x)在0，3上连续，在(0，3)内二阶可导，且 （分数：2.00）_35. （分数：2.00）_36.设 f(x)在a，b上二阶可导且 f“(x)
7、0，证明：f(x)在(a，b)内为凹函数（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 22 答案解析(总分：72.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)，g(x)(af(b)g(x)B.f(x)g(a)f(a)g(x) C.f(x)g(x)f(b)g(b)D.f(x)g(x)f(a)g(a)B解析：解析：3.若 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶连续可导，且 （分数：2.00）A.x=0 是 f(x)的零点B.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点C.x=0
8、 是 f(x)的极大点D.x=0 是 f(x)的极小点 解析：解析：4.设 f(x)在 x=0 的邻域内有定义，且 f(0)=0，则 f(x)在 x=0 处可导的充分必要条件是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：5.设 f(x)在(一，+)上有定义，x 0 0 为函数 f(x)的极大值点，则( )（分数：2.00）A.x 0 为 f(x)的驻点B.一 x 0 为一 f(一 x)的极小值点 C.一 x 0 为一 f(x)的极小值点D.对一切的 x 有 f(x)f(x 0 )解析：解析：因为 y=f(一 x)的图像与 y=f(x)的图像关于 y 轴对称，所以一 x 0 为 f(
9、一 x)的极大值点，从而一 x 0 为一 f(一 x)的极小值点，选6.设 f“(x 0 )=f“(x 0 )=0，f“(x 0 )0，则下列正确的是( )（分数：2.00）A.f“(x 0 )是 f“(x)的极大值B.f(x 0 )是 f(x)的极大值C.f(x 0 )是 f(x)的极小值D.(x 0 ，f(x 0 )是 y=f(x)的拐点 解析：解析：7.设 f(x)=x 3 +x 2 +bx 在 x=1 处有极小值一 2，则( )（分数：2.00）A.a=1，b=2B.a=一 1，b=一 2C.a=0，b=一 3 D.a=0，b=3解析：解析：f“(x)=3x 3 +2ax+b，因为 f
10、(x)在 x=1 处有极小值一 2， 8.设曲线 y=x 2 +ax+b 与曲线 2y=xy 3 一 1 在点(1，一 1)处切线相同，则( )（分数：2.00）A.a=1，b=1B.a=一 1，b=一 1 C.a=2，b=1D.a=一 2，b=一 1解析：解析：二、填空题(总题数：4，分数：8.00)9.设曲线 y=Inx 与 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=-2x）解析：解析：11. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：12.求曲线 （分数：2.0
11、0）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=2x-11）解析：解析：三、解答题(总题数：24，分数：48.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：14.举例说明函数可导不一定连续可导（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.设 f(x)在a，b上有定义，M0 且对任意的 x，ya，b，有f(x)一 f(y)Mxy k (1)证明：当 k0 时，f(x)在a，b上连续； (2)证明：当 k1 时，f(x)常数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)对任意的 x 0 a，b，由已知条件得 )解析：16. （分数：2.00）_正确
12、答案：(正确答案： )解析：17.设对一切的 x，有 f(x+1)=2f(x)，且当 x0，1时 f(x)=x(x 2 一 1)，讨论函数 f(x)在 x=0 处的可导性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.证明：当 x0 时，x 2 (1+x)In 2 (1+x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=x 2 一(1+x)In 2 (1+x)，f(0)=0； f“(x)=2x 一 In 2 (1+x)一 2In(1+x)，f“(0)=0； )解析：19. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
13、 )解析：21.设 PQ 为抛物线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.证明：当 0x1 时，(1+x)In 2 (1+x)x 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=x 2 一(1+x)In 2 (1+x)，f(0)=0； f“(x)=2xIn 2 (1+x)一 2In(1+x)，f“(0)=0； )解析：23. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.
14、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.设 k0，讨论常数 k 的取值，使 f(x)=xInx+k 在其定义域内没有零点、有一个零点及两个零点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.设 0a1，证明：方程 arctanx=ax 在(0，+)内有且仅有一个实根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案
15、： )解析：33.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：存在 (a，b)，使得f“()+f()g“()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=f(x)e g(x) ， 由 f(a)=f(b)=0 得 (a)=(b)=0，则存在 (a，b)，使得 “()=0， 因为 “(x)=e g(x) f“(x)+f(x)g“(x)且 e g(x) 0，所以 f“()+f()g“()=0)解析：34.设 f(x)在0，3上连续，在(0，3)内二阶可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：35. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：36.设 f(x)在a，b上二阶可导且 f“(x)0，证明：f(x)在(a，b)内为凹函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
