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    【考研类试卷】考研数学一(高等数学)-试卷21及答案解析.doc

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    【考研类试卷】考研数学一(高等数学)-试卷21及答案解析.doc

    1、考研数学一(高等数学)-试卷 21 及答案解析(总分:54.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:10,分数:20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 x0 时 ax 2 +bx+c-cosx 是比 x 2 高阶的无穷小,其中 a,b,c 为常数,则( )(分数:2.00)A.a=B.a=C.a=D.a=3.设函数 f(x)在(-,+)上存在二阶导数,且 f(x)=f(-x),当 x0 时有 f“(x)0,f“(x)0,则当x0 时,有( )(分数:2.00)A.f“(x)0,f“(x)0。B.f“(x)0,f“(x)0。C

    2、.f“(x)0,f“(x)0。D.f“(x)0,f“(x)0。4.函数 y=f(x)在(-,+)上连续,其二阶导函数的图形如图 1-2-2 所示,则 y=f(x)的拐点个数是( )(分数:2.00)A.1。B.2。C.3。D.4。5.由曲线 y=1-(x-1) 2 与直线 y=0 围成的图形(如图 1-3-1 所示)绕 y 轴旋转一周而成的立体的体积 1V 是( ) (分数:2.00)A.B.C.D.6.设有直线 L: (分数:2.00)A.平行于。B.在上。C.垂直于。D.与刀斜交。7.设可微函数 f(x,y)在点(x 0 ,y 0 )处取得极小值,则下列结论正确的是( )(分数:2.00)

    3、A.f(x 0 ,y)在 y=y 0 处的导数大于零。B.f(x 0 ,y)在 y=y 0 处的导数等于零。C.f(x 0 ,y)在 y=y 0 处的导数小于零。D.f(x 0 ,y)在 y=y 0 处的导数不存在。8.设有曲线 从 x 轴正向看去为逆时针方向,则 ydx+zdy+xdz 等于( ) (分数:2.00)A.B.C.D.9.下列命题成立的是( ) (分数:2.00)A.B.C.D.10.设线性无关的函数 y 1 ,y 2 ,y 3 都是二阶非齐次线性方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x)的解,C 1 ,C 2 是任意常数,则该非齐次方程的通解是( )(分数:2.00)A.

    4、C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3 。B.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(C 1 +C 2 )y 3 。C.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(1-C 1 -C 2 )y 3 。D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1-C 1 -C 2 )y 3 。二、填空题(总题数:8,分数:16.00)11.= 1。 (分数:2.00)填空项 1:_12.已知 (分数:2.00)填空项 1:_13.曲线 xy=1 在点 D(1,1)处的曲率圆方程是 1。(分数:2.00)填空项 1:_14.= 1。 (分数:2.00)填空项 1:_15.经过平面 1 :x+y+1=0 与平面 2 :x

    5、+2y+2z=0 的交线,并且与平面 3 :2x-y-z=0 垂直的平面方程是 1。(分数:2.00)填空项 1:_16.已知曲线 L 的方程为 y:1-x,x-1,1,起点是(-1,0),终点是(1,0),则曲线积分 (分数:2.00)填空项 1:_17.无穷级数 (分数:2.00)填空项 1:_18.设 y=e x (asinx+bcosx)(a,b 为任意常数)为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解,则该方程为 1。(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:9,分数:18.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_20.设函数 f(x)在 x=

    6、1 的某邻域内连续,且有 (分数:2.00)_21.设奇函数 f(x)在-1,1上具有二阶导数,且 f(1)=1,证明:()存在 (0,1),使得 f“()=1;()存在 (-1,1),使得 f“()+f“()=1。(分数:2.00)_22.设函数 f(x)在0,上连续,且 (分数:2.00)_23.设 其中 f 和 g 具有一阶连续偏导数,且 g z (x,y,z)0,求 (分数:2.00)_24.设有一小山,取它的底面所在的平面为 xOy 坐标面,其底部所占的区域为 D=(x,y)x 2 +y 2 -xy75,小山的高度函数为 h(x,y)=75-x 2 -y 2 +xy。 ()设 M(x

    7、 0 ,y 0 )为区域 D 上的一点,问h(x,y)在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为 g(x 0 ,y 0 ),写出 g(x 0 ,y 0 )的表达式; ()现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一坡度最大的点作为攀登的起点。也就是说,要在 D 的边界线 x 2 +y 2 -xy=75 上找出使()中 g(x,y)达到最大值的点。试确定攀登起点的位置。(分数:2.00)_25.设 f(x)= (分数:2.00)_26.已知积分 与路径无关,f(x)可微,且 ()求 f(x);()对()中求得的 f(x),求函数u=u(x,y)使得 du=(x+xysinx)

    8、dx+ (分数:2.00)_27.求幂级数 (分数:2.00)_考研数学一(高等数学)-试卷 21 答案解析(总分:54.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:10,分数:20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 x0 时 ax 2 +bx+c-cosx 是比 x 2 高阶的无穷小,其中 a,b,c 为常数,则( )(分数:2.00)A.a=B.a=C.a= D.a=解析:解析:由题意得 (ax 2 +bx+c-cosx)=0,则 c=1。 又因为 所以 b=0,a= 3.设函数 f(x)在(-,+)上存在二阶导数,且

    9、 f(x)=f(-x),当 x0 时有 f“(x)0,f“(x)0,则当x0 时,有( )(分数:2.00)A.f“(x)0,f“(x)0。B.f“(x)0,f“(x)0。C.f“(x)0,f“(x)0。 D.f“(x)0,f“(x)0。解析:解析:由 f(x)=f(-x)可知,f(x)为偶函数,因偶函数的导数是奇函数,奇函数的导数是偶函数,即 f“(x)为奇函数,f“(x)为偶函数,因此当 x0 时,有 f“(x)0,f“(x)0,则当 x0 时,有 f“(x)0,f“(x)0。故选 C。4.函数 y=f(x)在(-,+)上连续,其二阶导函数的图形如图 1-2-2 所示,则 y=f(x)的拐

    10、点个数是( )(分数:2.00)A.1。B.2。C.3。 D.4。解析:解析:只需考查 f“(x)=0 的点与 f“(x)不存在的点。 f“(x 1 )=f“(x 4 )=0,且在 x=x 1 ,x 4 两侧 f“(x)变号,故凹凸性相反,则(x 1 ,f(x 1 ),(x 4 ,f(x 4 )是 y=f(x)的拐点。 x=9 处 f“(0)不存在,但 f(x)在 x=0 连续,且在 x=0 两侧 f“(x)变号,由此(0,f(0)也是 y=f(x)的拐点。 虽然 f“(x 3 )=0,但在 x=x 3 两侧 f“(x)0,y=f(x)是凹的。(x 3 ,f(x 3 )不是 y=f(x)的拐点

    11、。因此总共有三个拐点。故选 C。5.由曲线 y=1-(x-1) 2 与直线 y=0 围成的图形(如图 1-3-1 所示)绕 y 轴旋转一周而成的立体的体积 1V 是( ) (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析:根据选项需把曲线表成 x=x(y),于是要分成两部分 所求立体体积为两个旋转体的体积之差,其中6.设有直线 L: (分数:2.00)A.平行于。B.在上。C.垂直于。 D.与刀斜交。解析:解析:直线 L 的方向向量为7.设可微函数 f(x,y)在点(x 0 ,y 0 )处取得极小值,则下列结论正确的是( )(分数:2.00)A.f(x 0 ,y)在 y=y 0 处的导数大于零。

    12、B.f(x 0 ,y)在 y=y 0 处的导数等于零。 C.f(x 0 ,y)在 y=y 0 处的导数小于零。D.f(x 0 ,y)在 y=y 0 处的导数不存在。解析:解析:因可微函数 f(x,y)在点(x 0 ,y 0 )取得极小值,故有 f x (x 0 ,y 0 )=0,f(x 0 ,y 0 )=0。又由 f x (x 0 ,y 0 )= 8.设有曲线 从 x 轴正向看去为逆时针方向,则 ydx+zdy+xdz 等于( ) (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析:取为平面 x+y+z=0 包含球面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 内的部分,法线方向按右手法则,由斯托克斯公

    13、式得 其中 cos,cos,cos 为平面 x+y+z=0 法线向量的方向余弦,且cos=cos=cos= 则 9.下列命题成立的是( ) (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析:若 中至少有一个不成立,则级数10.设线性无关的函数 y 1 ,y 2 ,y 3 都是二阶非齐次线性方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x)的解,C 1 ,C 2 是任意常数,则该非齐次方程的通解是( )(分数:2.00)A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3 。B.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(C 1 +C 2 )y 3 。C.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(1-C 1 -C 2

    14、 )y 3 。D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1-C 1 -C 2 )y 3 。 解析:解析:因为 y 1 ,y 2 ,y 3 是二阶非齐次线性方程 y“+p(x)y“+g(x)y=f(x)线性无关的解,所以y 1 -y 3 ,y 2 -y 3 都是齐次线性方程 y“+p(x)y“+g(x)y=0 的解,且 y 1 -y 3 与 y 2 -y 3 线性无关,因此该齐次线性方程的通解为 y=C 1 (y 1 -y 3 )+C 2 (y 2 -y 3 )。比较四个备选项,且由线性微分方程解的结构性质可知,应选 D。二、填空题(总题数:8,分数:16.00)11.= 1。 (分数:2.00

    15、)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:12.已知 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:13.曲线 xy=1 在点 D(1,1)处的曲率圆方程是 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:(x-2) 2 +(y-2) 2 =2)解析:解析:由题干可知, 那么 D 点处的曲率 设 D 点曲率中心的坐标为(,),那么 14.= 1。 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:ln2)解析:解析:15.经过平面 1 :x+y+1=0 与平面 2 :x+2y+2z=0 的交线,并且与平面 3 :2x-y-z=0 垂直的

    16、平面方程是 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:3x+4y+2z+2=0)解析:解析:平面 1 与 2 的交线方程为 其方向向量 点 P 0 (0,-1,1)在交线 L 上。所求平面过点 P 0 ,交线 L 的方向向量 s 与平面 3 的法向量,n=(2,-1,-1)垂直,因此 16.已知曲线 L 的方程为 y:1-x,x-1,1,起点是(-1,0),终点是(1,0),则曲线积分 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0)解析:解析:令17.无穷级数 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:在原级数中令 =t,原级数可化

    17、为 的收敛半径和收敛区间即可。对于级数 ,由于 所以 的收敛半径为 1,收敛区间为(-1,1)。 由于 的收敛区间为18.设 y=e x (asinx+bcosx)(a,b 为任意常数)为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解,则该方程为 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:y“-2y“+2y=0)解析:解析:由通解的形式可知,特征方程的两个根是 r 1,2 =1i,特征方程为 (r-r 1 )(r-r 2 )=r 2 -(r 1 +r 2 )r+r 1 r 2 =r 2 -2r+2=0, 故所求微分方程为 y“-2y“+2y=0。三、解答题(总题数:9,分数:18.00)

    18、19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:20.设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内连续,且有 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由已知条件得 fx+1)+1+3sin 2 x=0, 因此有 f(x+1)+3sin 2 x=f(1)+0=0,故 f(1)=0。 又因为在 x=0 的某空心邻域内 f(x+1)+3sin 2 x0,现利用等价无穷小替换: 当 x0 时, ln1+f(x+1)+3sin 2 xf(x+1)+3sin 2 x, )解析:21.设奇函数 f(x)在-1,1上具有二阶导数,且 f(1)=1,证明:()存在 (0,1),使得 f

    19、“()=1;()存在 (-1,1),使得 f“()+f“()=1。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()令 F(x)=f(x)-x,则 F(0)=f(0)=0,F(1)=f(1)-1=0, 由罗尔定理知,存在(0,1)使得 F“()=0,即 f“()=1。 ()令 G(x)=e x f“(x)-1,由()知,存在 (0,1),使 C()=0,又因为 f(x)为奇函数,故 f“(x)为偶函数,知 G(-)=0,则存在 (-,) )解析:22.设函数 f(x)在0,上连续,且 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 F(x)= ,0x,则有 F(0)=0,F()=0。又因为 所以存在

    20、(0,),使 F()sin=0,不然,则在(0,)内 F(x)sinx 恒为正或恒为负,与 )解析:23.设 其中 f 和 g 具有一阶连续偏导数,且 g z (x,y,z)0,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:本题确定两个因变量,三个自变量。由第一个方程来看,u 是因变量,x,y,t 是自变量,由第二个方程来看,z 是因变量。因此确定 x,y,t 为自变量,u,z 为因变量。于是将方程组对x 求偏导数得 同理,将方程组对 y 求偏导数可得 )解析:24.设有一小山,取它的底面所在的平面为 xOy 坐标面,其底部所占的区域为 D=(x,y)x 2 +y 2 -xy75,小山的高度函

    21、数为 h(x,y)=75-x 2 -y 2 +xy。 ()设 M(x 0 ,y 0 )为区域 D 上的一点,问h(x,y)在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为 g(x 0 ,y 0 ),写出 g(x 0 ,y 0 )的表达式; ()现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一坡度最大的点作为攀登的起点。也就是说,要在 D 的边界线 x 2 +y 2 -xy=75 上找出使()中 g(x,y)达到最大值的点。试确定攀登起点的位置。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()函数 h(x,y)在点 M 处沿该点的梯度方向 ()求 g(x,y)在条件 x 2 +y 2 -

    22、xy-75=0 下的最大值点与求 g 2 (x,y)=(y-2x) 2 +(x-2y) 2 =5x 2 +5y 2 -8x),在条件 x 2 +y 2 -xy-75=0 下的最大值点等价。这是求解条件最值问题,用拉格朗日乘数法。构造拉格朗日函数 L(x,y,)=5x 2 +5y 2 -8xy+(x 2 +y 2 -xy-75), 则有 联立(1),(2)解得 y=-x,=-6 或y=x,=-2。 若 y=-x,则由(3)式得 3x 2 =75,即 x=5,y=5。 若 y=x,则由(3)式得 x 2 =75,即 。 于是得可能的条件极值点 M 1 (5,-5),M 2 (-5,5), )解析:

    23、25.设 f(x)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:26.已知积分 与路径无关,f(x)可微,且 ()求 f(x);()对()中求得的 f(x),求函数u=u(x,y)使得 du=(x+xysinx)dx+ (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()由题意可得 这是一阶线性微分方程,通解为 f(x)=x(sinx-xcosx+C)。由初始条件 ,得 C=-1,于是 f(x)=x(sinx-xcosx-1)。 ()由()中结论可得 du=(x+xysinx)dx+=(x+xysinx)dx+(sinx-xcosx-1)dy, 则 =x+xysinx,两边对 x 积分得 u= -xycosx+ysinx+(y), 于是 =-ccosx+sinx+“(y)=sinx-xcosx-1, 因此 “(y)=-1,两边对 y 积分得 (y)=-y+C, u= -xycosx+ysinx-y+C,其中 C 为任意常数。 ()由于积分与路径无关,所以)解析:27.求幂级数 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 a n = ,则 当 x 2 1 时,原级数绝对收敛,当 x 2 1 时,原级数发散,因此原级数的收敛半径为 1,收敛区间为(-1,1)。 )解析:


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