1、考研数学一（高等数学）-试卷 21 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 x0 时 ax 2 +bx+c-cosx 是比 x 2 高阶的无穷小，其中 a，b，c 为常数，则( )（分数：2.00）A.a=B.a=C.a=D.a=3.设函数 f(x)在(-，+)上存在二阶导数，且 f(x)=f(-x)，当 x0 时有 f“(x)0，f“(x)0，则当x0 时，有( )（分数：2.00）A.f“(x)0，f“(x)0。B.f“(x)0，f“(x)0。C
2、.f“(x)0，f“(x)0。D.f“(x)0，f“(x)0。4.函数 y=f(x)在(-，+)上连续，其二阶导函数的图形如图 1-2-2 所示，则 y=f(x)的拐点个数是( )（分数：2.00）A.1。B.2。C.3。D.4。5.由曲线 y=1-(x-1) 2 与直线 y=0 围成的图形(如图 1-3-1 所示)绕 y 轴旋转一周而成的立体的体积 1V 是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设有直线 L： （分数：2.00）A.平行于。B.在上。C.垂直于。D.与刀斜交。7.设可微函数 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处取得极小值，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）
3、A.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处的导数大于零。B.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处的导数等于零。C.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处的导数小于零。D.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处的导数不存在。8.设有曲线 从 x 轴正向看去为逆时针方向，则 ydx+zdy+xdz 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.下列命题成立的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.10.设线性无关的函数 y 1 ，y 2 ，y 3 都是二阶非齐次线性方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x)的解，C 1 ，C 2 是任意常数，则该非齐次方程的通解是( )（分数：2.00）A.
4、C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3 。B.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(C 1 +C 2 )y 3 。C.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(1-C 1 -C 2 )y 3 。D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1-C 1 -C 2 )y 3 。二、填空题(总题数：8，分数：16.00)11.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_12.已知 （分数：2.00）填空项 1:_13.曲线 xy=1 在点 D(1，1)处的曲率圆方程是 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_15.经过平面 1 ：x+y+1=0 与平面 2 ：x
5、+2y+2z=0 的交线，并且与平面 3 ：2x-y-z=0 垂直的平面方程是 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.已知曲线 L 的方程为 y：1-x，x-1，1，起点是(-1，0)，终点是(1，0)，则曲线积分 （分数：2.00）填空项 1:_17.无穷级数 （分数：2.00）填空项 1:_18.设 y=e x (asinx+bcosx)(a，b 为任意常数)为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该方程为 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_20.设函数 f(x)在 x=
6、1 的某邻域内连续，且有 （分数：2.00）_21.设奇函数 f(x)在-1，1上具有二阶导数，且 f(1)=1，证明：()存在 (0，1)，使得 f“()=1；()存在 (-1，1)，使得 f“()+f“()=1。（分数：2.00）_22.设函数 f(x)在0，上连续，且 （分数：2.00）_23.设 其中 f 和 g 具有一阶连续偏导数，且 g z (x，y，z)0，求 （分数：2.00）_24.设有一小山，取它的底面所在的平面为 xOy 坐标面，其底部所占的区域为 D=(x，y)x 2 +y 2 -xy75，小山的高度函数为 h(x，y)=75-x 2 -y 2 +xy。 ()设 M(x
7、 0 ，y 0 )为区域 D 上的一点，问h(x，y)在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为 g(x 0 ，y 0 )，写出 g(x 0 ，y 0 )的表达式； ()现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚下寻找一坡度最大的点作为攀登的起点。也就是说，要在 D 的边界线 x 2 +y 2 -xy=75 上找出使()中 g(x，y)达到最大值的点。试确定攀登起点的位置。（分数：2.00）_25.设 f(x)= （分数：2.00）_26.已知积分 与路径无关，f(x)可微，且 ()求 f(x)；()对()中求得的 f(x)，求函数u=u(x，y)使得 du=(x+xysinx)
8、dx+ （分数：2.00）_27.求幂级数 （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 21 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 x0 时 ax 2 +bx+c-cosx 是比 x 2 高阶的无穷小，其中 a，b，c 为常数，则( )（分数：2.00）A.a=B.a=C.a= D.a=解析：解析：由题意得 (ax 2 +bx+c-cosx)=0，则 c=1。 又因为 所以 b=0，a= 3.设函数 f(x)在(-，+)上存在二阶导数，且
9、 f(x)=f(-x)，当 x0 时有 f“(x)0，f“(x)0，则当x0 时，有( )（分数：2.00）A.f“(x)0，f“(x)0。B.f“(x)0，f“(x)0。C.f“(x)0，f“(x)0。 D.f“(x)0，f“(x)0。解析：解析：由 f(x)=f(-x)可知，f(x)为偶函数，因偶函数的导数是奇函数，奇函数的导数是偶函数，即 f“(x)为奇函数，f“(x)为偶函数，因此当 x0 时，有 f“(x)0，f“(x)0，则当 x0 时，有 f“(x)0，f“(x)0。故选 C。4.函数 y=f(x)在(-，+)上连续，其二阶导函数的图形如图 1-2-2 所示，则 y=f(x)的拐
10、点个数是( )（分数：2.00）A.1。B.2。C.3。 D.4。解析：解析：只需考查 f“(x)=0 的点与 f“(x)不存在的点。 f“(x 1 )=f“(x 4 )=0，且在 x=x 1 ，x 4 两侧 f“(x)变号，故凹凸性相反，则(x 1 ，f(x 1 )，(x 4 ，f(x 4 )是 y=f(x)的拐点。 x=9 处 f“(0)不存在，但 f(x)在 x=0 连续，且在 x=0 两侧 f“(x)变号，由此(0，f(0)也是 y=f(x)的拐点。 虽然 f“(x 3 )=0，但在 x=x 3 两侧 f“(x)0，y=f(x)是凹的。(x 3 ，f(x 3 )不是 y=f(x)的拐点
11、。因此总共有三个拐点。故选 C。5.由曲线 y=1-(x-1) 2 与直线 y=0 围成的图形(如图 1-3-1 所示)绕 y 轴旋转一周而成的立体的体积 1V 是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：根据选项需把曲线表成 x=x(y)，于是要分成两部分 所求立体体积为两个旋转体的体积之差，其中6.设有直线 L： （分数：2.00）A.平行于。B.在上。C.垂直于。 D.与刀斜交。解析：解析：直线 L 的方向向量为7.设可微函数 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处取得极小值，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处的导数大于零。
12、B.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处的导数等于零。 C.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处的导数小于零。D.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处的导数不存在。解析：解析：因可微函数 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )取得极小值，故有 f x (x 0 ，y 0 )=0，f(x 0 ，y 0 )=0。又由 f x (x 0 ，y 0 )= 8.设有曲线 从 x 轴正向看去为逆时针方向，则 ydx+zdy+xdz 等于( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：取为平面 x+y+z=0 包含球面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 内的部分，法线方向按右手法则，由斯托克斯公
13、式得 其中 cos，cos，cos 为平面 x+y+z=0 法线向量的方向余弦，且cos=cos=cos= 则 9.下列命题成立的是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：若 中至少有一个不成立，则级数10.设线性无关的函数 y 1 ，y 2 ，y 3 都是二阶非齐次线性方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x)的解，C 1 ，C 2 是任意常数，则该非齐次方程的通解是( )（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3 。B.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(C 1 +C 2 )y 3 。C.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(1-C 1 -C 2
14、 )y 3 。D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1-C 1 -C 2 )y 3 。 解析：解析：因为 y 1 ，y 2 ，y 3 是二阶非齐次线性方程 y“+p(x)y“+g(x)y=f(x)线性无关的解，所以y 1 -y 3 ，y 2 -y 3 都是齐次线性方程 y“+p(x)y“+g(x)y=0 的解，且 y 1 -y 3 与 y 2 -y 3 线性无关，因此该齐次线性方程的通解为 y=C 1 (y 1 -y 3 )+C 2 (y 2 -y 3 )。比较四个备选项，且由线性微分方程解的结构性质可知，应选 D。二、填空题(总题数：8，分数：16.00)11.= 1。 （分数：2.00
15、）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：12.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13.曲线 xy=1 在点 D(1，1)处的曲率圆方程是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(x-2) 2 +(y-2) 2 =2）解析：解析：由题干可知， 那么 D 点处的曲率 设 D 点曲率中心的坐标为(，)，那么 14.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln2）解析：解析：15.经过平面 1 ：x+y+1=0 与平面 2 ：x+2y+2z=0 的交线，并且与平面 3 ：2x-y-z=0 垂直的
16、平面方程是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3x+4y+2z+2=0）解析：解析：平面 1 与 2 的交线方程为 其方向向量 点 P 0 (0，-1，1)在交线 L 上。所求平面过点 P 0 ，交线 L 的方向向量 s 与平面 3 的法向量，n=(2，-1，-1)垂直，因此 16.已知曲线 L 的方程为 y：1-x，x-1，1，起点是(-1，0)，终点是(1，0)，则曲线积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：令17.无穷级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：在原级数中令 =t，原级数可化
17、为 的收敛半径和收敛区间即可。对于级数 ，由于 所以 的收敛半径为 1，收敛区间为(-1，1)。 由于 的收敛区间为18.设 y=e x (asinx+bcosx)(a，b 为任意常数)为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该方程为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y“-2y“+2y=0）解析：解析：由通解的形式可知，特征方程的两个根是 r 1,2 =1i，特征方程为 (r-r 1 )(r-r 2 )=r 2 -(r 1 +r 2 )r+r 1 r 2 =r 2 -2r+2=0， 故所求微分方程为 y“-2y“+2y=0。三、解答题(总题数：9，分数：18.00)
18、19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：20.设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内连续，且有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知条件得 fx+1)+1+3sin 2 x=0， 因此有 f(x+1)+3sin 2 x=f(1)+0=0，故 f(1)=0。 又因为在 x=0 的某空心邻域内 f(x+1)+3sin 2 x0，现利用等价无穷小替换： 当 x0 时， ln1+f(x+1)+3sin 2 xf(x+1)+3sin 2 x， )解析：21.设奇函数 f(x)在-1，1上具有二阶导数，且 f(1)=1，证明：()存在 (0，1)，使得 f
19、“()=1；()存在 (-1，1)，使得 f“()+f“()=1。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()令 F(x)=f(x)-x，则 F(0)=f(0)=0，F(1)=f(1)-1=0， 由罗尔定理知，存在(0，1)使得 F“()=0，即 f“()=1。 ()令 G(x)=e x f“(x)-1，由()知，存在 (0，1)，使 C()=0，又因为 f(x)为奇函数，故 f“(x)为偶函数，知 G(-)=0，则存在 (-，) )解析：22.设函数 f(x)在0，上连续，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= ，0x，则有 F(0)=0，F()=0。又因为 所以存在
20、(0，)，使 F()sin=0，不然，则在(0，)内 F(x)sinx 恒为正或恒为负，与 )解析：23.设 其中 f 和 g 具有一阶连续偏导数，且 g z (x，y，z)0，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题确定两个因变量，三个自变量。由第一个方程来看，u 是因变量，x，y，t 是自变量，由第二个方程来看，z 是因变量。因此确定 x，y，t 为自变量，u，z 为因变量。于是将方程组对x 求偏导数得 同理，将方程组对 y 求偏导数可得 )解析：24.设有一小山，取它的底面所在的平面为 xOy 坐标面，其底部所占的区域为 D=(x，y)x 2 +y 2 -xy75，小山的高度函
21、数为 h(x，y)=75-x 2 -y 2 +xy。 ()设 M(x 0 ，y 0 )为区域 D 上的一点，问h(x，y)在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为 g(x 0 ，y 0 )，写出 g(x 0 ，y 0 )的表达式； ()现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚下寻找一坡度最大的点作为攀登的起点。也就是说，要在 D 的边界线 x 2 +y 2 -xy=75 上找出使()中 g(x，y)达到最大值的点。试确定攀登起点的位置。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()函数 h(x，y)在点 M 处沿该点的梯度方向 ()求 g(x，y)在条件 x 2 +y 2 -
22、xy-75=0 下的最大值点与求 g 2 (x，y)=(y-2x) 2 +(x-2y) 2 =5x 2 +5y 2 -8x)，在条件 x 2 +y 2 -xy-75=0 下的最大值点等价。这是求解条件最值问题，用拉格朗日乘数法。构造拉格朗日函数 L(x，y，)=5x 2 +5y 2 -8xy+(x 2 +y 2 -xy-75)， 则有 联立(1)，(2)解得 y=-x，=-6 或y=x，=-2。 若 y=-x，则由(3)式得 3x 2 =75，即 x=5，y=5。 若 y=x，则由(3)式得 x 2 =75，即 。 于是得可能的条件极值点 M 1 (5，-5)，M 2 (-5，5)， )解析：
23、25.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.已知积分 与路径无关，f(x)可微，且 ()求 f(x)；()对()中求得的 f(x)，求函数u=u(x，y)使得 du=(x+xysinx)dx+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由题意可得 这是一阶线性微分方程，通解为 f(x)=x(sinx-xcosx+C)。由初始条件 ，得 C=-1，于是 f(x)=x(sinx-xcosx-1)。 ()由()中结论可得 du=(x+xysinx)dx+=(x+xysinx)dx+(sinx-xcosx-1)dy， 则 =x+xysinx，两边对 x 积分得 u= -xycosx+ysinx+(y)， 于是 =-ccosx+sinx+“(y)=sinx-xcosx-1， 因此 “(y)=-1，两边对 y 积分得 (y)=-y+C， u= -xycosx+ysinx-y+C，其中 C 为任意常数。 ()由于积分与路径无关，所以)解析：27.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 a n = ，则 当 x 2 1 时，原级数绝对收敛，当 x 2 1 时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为 1，收敛区间为(-1，1)。 )解析：
