1、考研数学一（高等数学）-试卷 146 及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：26，分数：52.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_2.设 zf(x，y)满足 2x，f(x1)0， （分数：2.00）_3.设 ，求 （分数：2.00）_4.设 uu(x，y)由方程 u(u) P(t)dt 确定，其中 可微，P 连续，且 (u)1，求（分数：2.00）_5.设函数 u(x，y)有连续二阶偏导数，满足 （分数：2.00）_6.设 z f(xy)y(xy)，且 f， 具有二阶连续偏导数，求 （分数：2.00）_7.设 ，求 du
2、 及 （分数：2.00）_8.已知函数 f(x，y，z)x 3 y 2 z 及方程 xyz3e 3 e (xyz) ， (*) (I)如果 xx(y，z)是由方程(*)确定的隐函数满足 x(1，1)1，又 ufx(y，z)，y，z)，求 ()如果 zz(x，y)是由方程(*)确定的隐函数满足 z(1，1)1，又 wf(x，y，z(x，y)，求 （分数：2.00）_9.设 zf(x，y，u)，其中 f 具有二阶连续偏导数，u(x，y)由方程 u 5 5xy5u1 确定求 （分数：2.00）_10.设 yf(x，t)，且方程 F(x，y，t)0 确定了函数 tt(x，y)，求 （分数：2.00）_
3、11.若可微函数 zf(x，y)在极坐标系下只是 的函数，求证 （分数：2.00）_12.作自变量与因变量变换：uxy，vxy，wxyz，变换方程 （分数：2.00）_13.设 uu(x，y)，vv(x，y)有连续的一阶偏导数且满足条件：F(u，v)0，其中 F 有连续的偏导数且（分数：2.00）_14.设 zf(x，y)，满足 ，又 ，由 zf(x，y)可解出 yy(z，x)求：(I) （分数：2.00）_15.设 f(x，y)2(y 一 x 2 ) 2 一 （分数：2.00）_16.求 z2xy 在区域 D： （分数：2.00）_17.设函数 z(1e y )cosx 一 ye y ，证明
4、：函数 z 有无穷多个极大值点，而无极小值点（分数：2.00）_18.设函数 f(u，v)具有二阶连续偏导数，函数 g(y)连续可导，且 g(y)在 y1 处取得极值 g(1)2求复合函数 zf(xg(y)，xy)的二阶混合偏导数 （分数：2.00）_19.设 f(x，y)在点(a，b)的某邻域具有二阶连续偏导数，且 f y (a，b)0，证明由方程 f(x，y)0 在xa 的某邻域所确定的隐函数 y(x)在 xa 处取得极值(a)的必要条件是：f(a，b)0， f x (a，b)0，且当 r(a，b)0 时，b(a)是极大值；当 r(a，b) （分数：2.00）_20.建一容积为 V 0 的
5、无盖长方体水池，问其长、宽、高为何值时有最小的表面积（分数：2.00）_21.已知三角形的周长为 2p，将它绕其一边旋转而构成一立体，求使立体体积最大的那个三角形（分数：2.00）_22.证明条件极值点的必要条件(89)式，并说明(89)式的几何意义（分数：2.00）_23.求函数 uxyyzzx 在 M 0 (2，l，3)处沿与各坐标轴成等角方向的方向导数（分数：2.00）_24.求椭球面 S：x 2 y 2 z 2 一 yz 一 10 上具有下列性质的点(x，y，z)的轨迹：过(x，y，z)的切平面与 Oxy 平面垂直（分数：2.00）_25.过球面 x 2 y 2 z 2 169 上点
6、M(3，4，12)分别作垂直于 x 轴与 y 轴的平面，求过这两平面与球面的截线的公共点的两截线的切线方程，并求通过这两条切线的平面方程（分数：2.00）_26.设 a，b，c0，在椭球面 （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 146 答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：26，分数：52.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：2.设 zf(x，y)满足 2x，f(x1)0， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 2xy(x)，(x)为 x 的任意函数 f(x，y)xy 2 (x)y (x)，(x)也
7、是 x 的任意函数 由 )解析：3.设 ，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：4.设 uu(x，y)由方程 u(u) P(t)dt 确定，其中 可微，P 连续，且 (u)1，求（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将原方程对 x 求导 将原方程对 y 求导考 由P(y)P(x)得由于 (u)1 )解析：5.设函数 u(x，y)有连续二阶偏导数，满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 u(x，2x)x 两边对 x 求导，由复合函数求导法及 u x (x，2x)x 2 得 u x (x，2x)2u y (x，2x)1，u y (x，2x) (1 一 x 2 )
8、现将 u x (x，2x)x 2 ，u y 2 1(1 一 x 2 )分别对 x 求导得 u xx (x，2x)2u xy (x，2x)2x， u yx (x，2x)2u yy (x，2x)一 x 式2 一式，利用条件 u xx (x，2x)一 u yy (x，2x)0 及 u xy (x，2x)u yx (x，2x)得 3u xy (x，2x)5x，u xy (x，2x) 代入式得 u xx (x，2x)u yy (x，2x) )解析：6.设 z f(xy)y(xy)，且 f， 具有二阶连续偏导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求 由于 f(xy)是一元函数 f(u)与二元
9、函数 uxy 的复合，u 是中间变量，(xy)是一元函数 (v)与二元函数 vxy 的复合，v 是中间变量由题设知 方便， 由复合函数求导法则得 )解析：7.设 ，求 du 及 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：u 是 uf(s，t)与 复合而成的 x，y，z 的三元函数 先求 du由一阶全微分形式不变性及全微分四则运算法则，得 进一步由 )解析：8.已知函数 f(x，y，z)x 3 y 2 z 及方程 xyz3e 3 e (xyz) ， (*) (I)如果 xx(y，z)是由方程(*)确定的隐函数满足 x(1，1)1，又 ufx(y，z)，y，z)，求 ()如果 zz(x，y)是由方
10、程(*)确定的隐函数满足 z(1，1)1，又 wf(x，y，z(x，y)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)依题意， 为 fx(y，z)，y，z对 y 的偏导数，故有 因为题设方程(*)确定 x 为 y，z 的隐函数，所以在(*)两边对 y 求导数时应将 z 看成常量，从而有 由此可得一 1代入式，得 ()同(I)一样，求得 在题设方程(*)中将 x 看成常量，对 y 求导，可得 一 1，故有 )解析：9.设 zf(x，y，u)，其中 f 具有二阶连续偏导数，u(x，y)由方程 u 5 5xy5u1 确定求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将方程 u 5 5xy5u
11、1 两端对 x 求导数，得 5u 4 u x 一 5y5u x 0，解得 ，故 在上式对 x 求导数时，应注意其中的 f 1 ，f 3 仍是 x，y，u 的函数，而 u 又是x，y 的函数，于是 )解析：10.设 yf(x，t)，且方程 F(x，y，t)0 确定了函数 tt(x，y)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 yf(x，t)知 由 F(x，y，t)0 知， 将 dt 的表达式代入式并整理可得 )解析：11.若可微函数 zf(x，y)在极坐标系下只是 的函数，求证 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 zf(rcos，rsin)与 r 无关 )解析：12.作自变量
12、与因变量变换：uxy，vxy，wxyz，变换方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 zxyw，则 )解析：13.设 uu(x，y)，vv(x，y)有连续的一阶偏导数且满足条件：F(u，v)0，其中 F 有连续的偏导数且（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将方程 F(u，v)0 分别对 x，y 求偏导数，由复合函数求导法得 按题设，这个齐次方程有非零解 ，其系数行列式必为零，即 )解析：14.设 zf(x，y)，满足 ，又 ，由 zf(x，y)可解出 yy(z，x)求：(I) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)以 z，x 为自变量，y 为因变量 yy(z，x)，
13、它满足 zf(x，y(z，x) 将zf(x，y)对 x 求偏导数，得 再对 x 求偏导数，得 将 代入上式，得 利用条件得 ()因 yy(z，x)， )解析：15.设 f(x，y)2(y 一 x 2 ) 2 一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)解 即驻点为(0，0)与(一 2，8) 在(一 2，8)处， ，AC一 B 2 0，A0 (2，8)为极小值点. 在(0，0)处， AC 一 B 2 0，该方法失效但令x0 f(0，y)y 2 这说明原点邻域中 y 轴上的函数值比原点函数值大，又令 yx 2 ，f(x，x 2 ) )解析：16.求 z2xy 在区域 D： （分数：2.00
14、）_正确答案：(正确答案：令 F(x，y，)2xy(x 2 一 1)，解方程组 由，得y2x，代入得 相应地 因为 z 在 D 存在最大、最小值 z 在 D 的最大值为 ，最小值为 )解析：17.设函数 z(1e y )cosx 一 ye y ，证明：函数 z 有无穷多个极大值点，而无极小值点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)先计算 (II)求出所有的驻点由 解得(x，y)(2n，0) 或 (x，y)(2n1)，一 2)， 其中 n0，1，2， ()判断所有驻点是否是极值点，是极大值点还是极小值点 在(2n，0)处，由于 (一 2)(一 1)一20， 一 20， 则(2n，0)是
15、极大值点 在(2n1)，2)处，由于 则(2n1)，一 2)不是极值点因此函数 z 有无穷多极大值点(2n，0)(n0，1，2，)，而无极小值点 )解析：18.设函数 f(u，v)具有二阶连续偏导数，函数 g(y)连续可导，且 g(y)在 y1 处取得极值 g(1)2求复合函数 zf(xg(y)，xy)的二阶混合偏导数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：计算可得 将 x1 与 y1 代入并利用 g(1)2，g(1)0 即得 )解析：19.设 f(x，y)在点(a，b)的某邻域具有二阶连续偏导数，且 f y (a，b)0，证明由方程 f(x，y)0 在xa 的某邻域所确定的隐函数 y(x
16、)在 xa 处取得极值(a)的必要条件是：f(a，b)0， f x (a，b)0，且当 r(a，b)0 时，b(a)是极大值；当 r(a，b) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y(x)在 xa 处取得极值的必要条件是 (a)0按隐函数求导法，(x)满足 f x (x，(x)f y (x，(x)(x)0 (*) 因 b(a)，则有 f(a，b)0，(a) 于是 f x (a，b)0 将(*)式两边对 x 求导得 f xx (x，(x)f xy (x，(x)(x) f y (x，(x)(x)f y (x，(x)(x)0， 上式中令 xa，(x)b，(a)0，得 因此当 时，(a)0，故
17、b(a)是极大值； 当 )解析：20.建一容积为 V 0 的无盖长方体水池，问其长、宽、高为何值时有最小的表面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：化为无条件最值问题由条件解出 ，代入 S 表达式得 Sxy xy2V 0 (x0，y0) 解 得 xy 因该实际问题存在最小值，所以当长、宽、高分别为 )解析：21.已知三角形的周长为 2p，将它绕其一边旋转而构成一立体，求使立体体积最大的那个三角形（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设旋转边上的高为 z，分该边长为 x 与 y，见图 8.2，于是该三角形的周长为lxy ，该旋转体的体积 V (xy)z 2 问题化成求 V 在条件 l
18、一 2p0 下的最大值点 求(xy)z 2 在条件 l 一 2p0 下的最大值点 求 ln(xy)2lnz 在条件 xy 2p0 下的最大值点用拉格朗日乘子法 令 F(x，y，z，)ln(xy)2lnz(xy )，解方程组 由， xy，再由 由实际问题知，最大体积一定存在，以上又是方程组的唯一解，因而三角形的三边长分别为 ，旋转边为 )解析：22.证明条件极值点的必要条件(89)式，并说明(89)式的几何意义（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由所设条件，(x，y)0 在 xx 0 的某邻域确定隐函数 yy(x)满足 y 0 y(x 0 )， 于是 P 0 (x 0 ，y 0 )是 zf
19、(x，y)在条件 (x，y)0 下的极值点 zf(x，y(x)在 xx 0 取极值 f x (x 0 ，y 0 )f y (x 0 ，y 0 )y(x 0 )0 又由 (x，y(x)0，两边求导得 x (x 0 ，y 0 ) y (x 0 ，y 0 )0， 解得 y(x 2 )一 x (x 0 ，y 0 ) y (x 0 ，y 0 ) 将式代入式得 f x (x 0 ，y 0 )f y (x 0 ，y 0 )(x 0 ，y 0 ) y (x 0 ，y n )0 因此 )解析：23.求函数 uxyyzzx 在 M 0 (2，l，3)处沿与各坐标轴成等角方向的方向导数（分数：2.00）_正确答案：
20、(正确答案：先求出所设方向的方向余弦设所求方向与各坐标轴的夹角为 ，由方向余弦的性质得 cos 2 cos 2 cos 2 1 cos 均与各坐标轴成等角 )解析：24.求椭球面 S：x 2 y 2 z 2 一 yz 一 10 上具有下列性质的点(x，y，z)的轨迹：过(x，y，z)的切平面与 Oxy 平面垂直（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：椭球面 S 上 点 x，y，z)处的法向量 n2x，2y 一 z，2zy 点(x，y，z)处切平面上 Oxy 平面，则 nk0，即 2zy0 又(x，y，z)在 S 上 x 2 y 2 z 2 一 yz 一 10 因此所求点的轨迹： 它是圆柱面
21、x 2 )解析：25.过球面 x 2 y 2 z 2 169 上点 M(3，4，12)分别作垂直于 x 轴与 y 轴的平面，求过这两平面与球面的截线的公共点的两截线的切线方程，并求通过这两条切线的平面方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：过 M 点分别与 x、y 轴垂直的平面是 z3 与 y4，与球面的截线 它们的交点是 M 1 (3，4，12)， M 2 (3，4，一 1 2) 1 在 M 1 的切向量 0，24，一 880，3，一 1， 2 在 M 1 的切向量 一 24，0，66一 4，0，1 1 ， 2 在 M 1 点的切线方程分别为 过这两条切线的平面方程是 ，即 3(x 一
22、 3)4(y 一 4)12(z12)0 又 2 在 M 2 的切向量 0，一 24，一 880，一 3，一 1， 2 在 M 2 的切向量 24，0，664，0，1， 1 ， 2 在 M 2 点的切线方程分别为 过两条切线的平面方程是 )解析：26.设 a，b，c0，在椭球面 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先写出椭球面上 点(x，y，z)处的切半面方程，然后求出它在三条坐标轴上的截距，由此可写出四面体的体积表达式 V(x，y，z)问题化为求 V(x，y，z)在条件 下的最小值点 将椭球面方程改写成 G(x，y，z) 椭球面第一卦限部分上 点(x，y，z)处的切平面方程是 其中（XYZ)为切平面上任意点的坐标 分别令 YZ0，ZX0，XY0，得该切平面与三条坐标轴的交点分别为 四面体的体积为 V(x，y，z) 为了简化计算，问题转化成求 V 0 xyz(x0，y0，z0)在条件 下的最大值点 令 F(x，y，z，)xyz ，求解方程组 因实际问题存在最小值，因此椭球面上点(x，y，z) )解析：
