1、考研数学一（高等数学）-试卷 142 及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：26，分数：52.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_2.设 P(x)在0，)连续且为负值，yy(x)在0，)连续，在(0，)满足 yP(x)y0 且 y(0)0，求证：y(x)在0，)单调增加（分数：2.00）_3.设 g(x)在a，b连续，f(x)在a，b二阶可导，f(a)f(b)0，且对 （分数：2.00）_4.设 f(x)在a，b连续，在(a，b)可导，f(a)f(b)，且 f(x)不恒为常数，求证：在(a，b)内存在一点，使得 f()0
2、（分数：2.00）_5.证明方程 xasinxb(00，b0 为常数)至少有一个正根不超过 ab（分数：2.00）_6.求证：e x e x 2cosx5 恰有两个根（分数：2.00）_7.设当 x0 时，方程 kx （分数：2.00）_8.讨论曲线 y2lnx 与 y2xln 2 k 在(0，)内的交点个数(其中 k 为常数)（分数：2.00）_9.证明： ln(1x)( （分数：2.00）_10.已知不等式：当 x0 时(1x)ln 2 (1x)x 2 (见例 423)，求证：x(0，1)时 （分数：2.00）_11.设 f(x)在1，)可导， xf(x)kf(x)(x1)，在(1，)的
3、子区间上不恒等，又f(1)M，其中 k，M 为常数，求证：f(x) （分数：2.00）_12.设 ae，0xy （分数：2.00）_13.设 0x 1 x 2 ，f(x)在x 1 ，x 2 可导，证明：在(x 1 ，x 2 )内至少 一个 c，使得 （分数：2.00）_14.设 f(x)在0，1可导且 f(1) f(x)dx，求证： （分数：2.00）_15.已知以 2 为周期的周期函数 f(x)在(一，)上有二阶导数，且 f(0)0设 F(x)(sinx1) 2 f(x)，证明： x 0 （分数：2.00）_16.设 ba0，f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，f(a)f(b)，求证
4、：存在 ，(a，b)使得（分数：2.00）_17.设 f(x)在 x0 的某邻域内有连续的一阶导数，且 f(0)0，f(0)存在，求证： （分数：2.00）_18.设有参数方程 （分数：2.00）_19.设 f(x)nx(1x) n (n 为自然数)，()求 f(x)；()求证： （分数：2.00）_20.(I)设 f(x)在x 0 ，x 0 )(x 0 ，x 0 )连续，在(x 0 ，x 0 )(x 0 ，x 0 )可导，又 ，求证：f (x 0 )A(ff (x 0 )A) ()设 f(x)在(x 0 ，x 0 )连续，在(x 0 ，x 0 )x 0 可导，又 （分数：2.00）_21.设
5、 f(x)在(a，)内可导，求证： (I)若 x 0 (a，)，f(x)0(xx 0 )，则 ； ()若 f(x)A0，则 （分数：2.00）_22.证明奇次方程 a 0 x 2n1 a 1 x 2n a 2n xa 2n1 0 一定有实根，其中常数 a 0 0（分数：2.00）_23.设 f(x)在(一，)可导，且 f(x) f(x)A，求证： （分数：2.00）_24.设 f(x) (I)求 f(x)； ()证明：x0 是 f(x)的极大值点； ()令 x n ，考察f(x n )是正的还是负的，n 为非零整数； ()证明：对 （分数：2.00）_25.求函数 f(x) （分数：2.00）
6、_26.将长为 a 的一段铁丝截成两段，用一段围成正方形，另一段围成圆，为使两段面积之和最小，问两段铁丝各长多少?（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 142 答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：26，分数：52.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：2.设 P(x)在0，)连续且为负值，yy(x)在0，)连续，在(0，)满足 yP(x)y0 且 y(0)0，求证：y(x)在0，)单调增加（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 yP(c)y0(x0) 0 (x0)，又 y(x)在0，)连续，y(x)
7、在0，)单调 y(x)0(x0) y(x)一 P(x)y(x)0 (X0) y(x)在O，)单调增加 )解析：3.设 g(x)在a，b连续，f(x)在a，b二阶可导，f(a)f(b)0，且对 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 f(x)在a，b上不恒为零，则 f(x)在a，b取正的最大值或负的最小值 不妨设 f(x 0 f(x)0，则 x 0 (a，b)且 f(x 0 )0，f(x 0 )0 f(x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )一 f(x 0 )O 与已知条件矛盾同理，若 f(x 1 ) f(x)0，同样得矛盾因此 f(x)0 ( )解析：4.设 f(x)在a，b连续，在(a
8、，b)可导，f(a)f(b)，且 f(x)不恒为常数，求证：在(a，b)内存在一点，使得 f()0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若不然 x(a，b)，f(x)0 f(x)在a，b单调不增 xa，b，f(a)f(x)f(b) )解析：5.证明方程 xasinxb(00，b0 为常数)至少有一个正根不超过 ab（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：考察 f(x)x 一 asinxb，即证它在(0，ab有零点显然，f(x)在0，ab连续，且 f(0)一 b0，f(ab)a1 一 sin(ab)0 若 f(ab)0，则该方程有正根xab若 f(ab)0，则由连续函数零点存在性定理 )解
9、析：6.求证：e x e x 2cosx5 恰有两个根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：即证 f(x)e x e x 2cosx 一 5 在(一，)恰有两个零点由于 f(x)e x 一 e x 一 2sinx， f(x)e x e x 一 2cosx22cosx0 (x0)， f(x)在(一，) 又因 f(0)0 f(x)在(一，0单调下降，在0，)单调上升 又 f(0)一 10， f(x)，因此 f(x)在(一，0)与(0，)各 )解析：7.设当 x0 时，方程 kx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x)kx 1(x0)，则 f(x)k 一 ，f(x) 0 (I)当
10、k0 时，f(x)0，f(x)单调减少，又 故 f(x)此时只有一个零点 ()当 k0 时，由 f(x)0得 x ，由于 f(x)O，x 是极小值点，且极小值为 当极小值为零时，即当 时，有 k ，此时方程有且仅有一个根；当 k 时，方程无根或有两个根 因此，k 的取值范围为k0 及 k )解析：8.讨论曲线 y2lnx 与 y2xln 2 k 在(0，)内的交点个数(其中 k 为常数)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)2xln 2 k 一 2lnx(x(0，)，于是本题两曲线交点个数即为函数 f(x)的零点个数由 令 g(x)xlnx 一 1 令 f(x)0 可解得唯一驻
11、点 x 0 1(0，) 当 0x1 时 f(x)0，f(x)在(0，1单调减少；而当 x1 时 f(x)0，f(x)在1，)单调增加于是 f(1)2k 为 f(x)在(0，)内唯一的极小值点，且为(0，)上的最小值点因此 f(x)的零点个数与最小值 f(1)2k 的符号有关 当 f(1)0 即 k一 2 时 f(x)在(0，)内恒为正值函数，无零点 当 f(1)0 即 k一 2 时 f(x)在(0，)内只有一个零点 x 0 1 当 f(1)0 即 k一 2 时需进一步考察 f(x)在 x0 与 x的极限： f(x) 2xklnx(lnx 一 2) ， f(x) (2xk)lnx(lnx 一 2
12、)， 由连续函数的零点定理可得， )解析：9.证明： ln(1x)( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)令 F(x)x 一 ln(1x) F(x)1 0(x0) 又 F(0)0，F(x)在0，)连续 F(x)在0，) F(x)F(0)0( xO) (II)令 G(x)ln(1x)一(x一 )ln(1x)一 x 则 故 G(x)在0，) )解析：10.已知不等式：当 x0 时(1x)ln 2 (1x)x 2 (见例 423)，求证：x(0，1)时 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 g(x) ，则由【例 423】知当 x0 时有 故 g(x)在(0，1)内单调下降又 g(
13、x)在(0，1连续，且 g(1) 1，g(x)在 x0 无定义，但 若补充定义 g(0)，则 g(x)在0，1上连续又 g(x)O，0x1，因此 g(x)在0，1单调下降所以，当0x1 时 g(1)g(x)g(0)，即 )解析：11.设 f(x)在1，)可导， xf(x)kf(x)(x1)，在(1，)的 子区间上不恒等，又f(1)M，其中 k，M 为常数，求证：f(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：已知 xf(x)(k1)f(x)0(x1)，在(1，) 子区间上不恒为零，要证 f(x)x k1 M(x1)令 F(x)f(x)x k1 F(x)x k1 f(x)(k1)x k f(
14、x)x k xf(x)(k1)f(x)0(x1)，在(1，) 子区间上不恒为零，又 F(x)在1，)连续 F(x)在1，)单调下降 )解析：12.设 ae，0xy （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把不等式改写成 注意到(a x )a x lna，(cosx)一 sinx，而sinx1对 f(t)a t ，g(t)cost，在区间x，y上应用 柯西中值定理，即知存在满足0xy ，使得 )解析：13.设 0x 1 x 2 ，f(x)在x 1 ，x 2 可导，证明：在(x 1 ，x 2 )内至少 一个 c，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 要证 f(x)一 f(x)k 在(
15、x 1 ，x 2 ) 零点 e x f(x)f(x)ke x (f(x)k)在(x 1 ，x 2 ) 零点 令 F(x)e x f(x)一 k，则 F(x)在x 1 ，x 2 可导考察 因此，由罗尔定理 )解析：14.设 f(x)在0，1可导且 f(1) f(x)dx，求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x) f(x)，则 F(x)在0，1可导，且 F(1)e 1 f(1)2e 1 f(x)dx f()F()，0， 因此，由罗尔定理， (0，) (0，1)，使得 F() f()一 2f() )解析：15.已知以 2 为周期的周期函数 f(x)在(一，)上有二阶导数，且 f
16、(0)0设 F(x)(sinx1) 2 f(x)，证明： x 0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 F(0)F 0，于是由罗尔定理知， x 1 (0， )，使得F(x 1 )0.又 F(x)2(sinx 一 1)f(x)(sinx 一 1) 2 f(x)， 对 F(x)应用罗尔定理，由于F(x)二阶可导，则存在 x 0 * ，使得 F(x 0 * )0. 注意到 F(x)以 2 为周期，F(x)与F(x)均为以 2 为周期的周期函数，于是 x 0 2x 0 * ，即 x 0 (2， )解析：16.设 ba0，f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，f(a)f(b)，求证：存在
17、 ，(a，b)使得（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在a，b上满足拉格朗日中值定理条件，故至少存在 (a，b)，使 令 g(x)x 2 ，由柯西中值定理知， (a，b)，使 将式代入式，即得 f()(ab) )解析：17.设 f(x)在 x0 的某邻域内有连续的一阶导数，且 f(0)0，f(0)存在，求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 ln(1x)x(x(一 1，)，故由拉格朗日中值定理可知，存在 (x)(ln(1x)，)，使得 由此可得 由于当 x0 时，有 ； 当一 1x0 时，有 故由夹逼定理知， 于是 )解析：18.设有参数方程 （分数：2.0
18、0）_正确答案：(正确答案：(I) 3cos 2 t(一 sint)0，(t0，)，仅当 t0， 是 t 的单调(减)函数， 反函数 tt(x) ysin 3 t(x)y(x)，x一 1，1 注意 yy(x)在1，1连续，t 与 x 的对应关系： 0x1 时 y(x)单调下降，一 1x0 时 y(x)单调上升 yy(x)在一 1，0，0，1均是凹的yy(x)的图形如图 42 )解析：19.设 f(x)nx(1x) n (n 为自然数)，()求 f(x)；()求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()先求 f(x)n(1x) n1 1(n1)x ，得唯一驻点 xx n 又 f(0)f
19、(1)0，f(x n ) 因此 f(x)f(x n ) ()注意 已知数列 单调下降极限为 e )解析：20.(I)设 f(x)在x 0 ，x 0 )(x 0 ，x 0 )连续，在(x 0 ，x 0 )(x 0 ，x 0 )可导，又 ，求证：f (x 0 )A(ff (x 0 )A) ()设 f(x)在(x 0 ，x 0 )连续，在(x 0 ，x 0 )x 0 可导，又 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I) 另一类似 ()由题(I) f (x 0 )f (x 0 )A f(x 0 )A或类似题(I)，直接证明 ()即证 f(x)中至少一个不 若它们均存在， f(x)A ，由题(I)
20、 f (x 0 ) A 因 f(x)在 x 0 可导 )解析：21.设 f(x)在(a，)内可导，求证： (I)若 x 0 (a，)，f(x)0(xx 0 )，则 ； ()若 f(x)A0，则 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I) xx 0 ，由拉格朗日中值定理， (x 0 ，x)， f(x)f(x 0 )f()(xx 0 )f(x 0 )(x 一 x 0 )， 又因 f(x 0 )(xx 0 ) f(x) ()因 f(x)A 0，由极限的不等式性质 x 0 (a，)，当 xx 0 时 f(x) 0，由题(I)得 )解析：22.证明奇次方程 a 0 x 2n1 a 1 x 2n a
21、 2n xa 2n1 0 一定有实根，其中常数 a 0 0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不妨设 a 0 0令 f(x)a 0 x 2n1 a 1 x 2n a 2n xa 2n1 ，则 )解析：23.设 f(x)在(一，)可导，且 f(x) f(x)A，求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由极限不等式性质转化为有限区间的情形(如图 43) 若 f(x)A，显然成立若 f(x)A，必存在 x 0 ，f(x 0 )A，不妨设 f(x 0 )A由极限不等式性质， bx 0 ，f(b)f(x 0 )； ax 0 ，f(a)f(x 0 )f(x)在a，b有最小值，它不能在 xa
22、 或 xb 处达到，必在(a，b)内某点 C 处达到，于是 f(c)0 )解析：24.设 f(x) (I)求 f(x)； ()证明：x0 是 f(x)的极大值点； ()令 x n ，考察f(x n )是正的还是负的，n 为非零整数； ()证明：对 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)当 x0 时按求导法则得 当 x0 时按导数定义得 (II)由于 f(x)一 f(0)一 x 2 (2sin )0(x0)，即 f(x)f(0)，于是由极值的定义可知 x0 是 f(x)的极大值点 (III)令 x N (N1，2，3，)，则 sin 0，cos (一 1) n ，于是 ()对 0，当
23、n 为 负奇数且n充分大时 x n (一 ，0)，f(x n )0 f(x)在(一 ，0)不单调上升；当 n 为正偶数且 n 充分大时 x n (0，)，f(x n )0 )解析：25.求函数 f(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求导数并得驻点 由 f(x)0 即 2x 0 得唯一驻点 x 再求 由于 f(x)在(一，)内可导，且有唯一的极小值点 x ，因而必是最小值点，f(x)的最小值 为 )解析：26.将长为 a 的一段铁丝截成两段，用一段围成正方形，另一段围成圆，为使两段面积之和最小，问两段铁丝各长多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设围成圆的铁丝长为 x，则围成正方形的铁丝长为 a 一 x，于是圆的半径 r，正方形边长 (a 一 x)，问题是求面积 S(x) ，x(0，a)的最小值点由 时面积和最小 )解析：
