1、考研数学一（高等数学）-试卷 140 及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：26，分数：52.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_2.求 （分数：2.00）_3.求定积分：(I)J min2，x 2 dx； (II)J （分数：2.00）_4.设 n 为正整数，利用已知公式 ，其中 ，求下列积分：(I)J n sinx n dx；(II)J n （分数：2.00）_5.设函数 f(x)在(一，)内满足 f(x)f(x 一 )sinx 且 f(x)x，x0，)，求 （分数：2.00）_6.求无穷积分 （分数：2.00）_7
2、.设 f(x)求 f(x)的不定积分 （分数：2.00）_8.设 f(x)arcsin(x 一 1) 2 ，f(0)0，求 （分数：2.00）_9.设 a0，f(x)在(，)上有连续导数，求极限 （分数：2.00）_10.求 （分数：2.00）_11.设 f(x)在(一，)连续，在点 x0 处可导，且 f(0)0，令 （分数：2.00）_12.设 x0，a时 f(x)连续且 f(x)0(x(0，a)，又满足 f(x) （分数：2.00）_13.求函数 f(x) （分数：2.00）_14.求星形线 （分数：2.00）_15.求下列旋转体的体积 V： (I)由曲线 yx 2 ，xy 2 所围图形绕
3、 x 轴旋转所成旋转体： (II)由曲线xa(tsint)，ya(1 一 cost)(Ot2)，y0 所围图形绕 y 轴旋转的旋转体（分数：2.00）_16.设两点 A(1，0，0)与 B(0，1，1)的连线 （分数：2.00）_17.求双纽线，r 2 a 2 cos2(a0)绕极轴旋转所成的旋转面的面积（分数：2.00）_18.求功：(I)设半径为 1 的球正好有一半沉入水中，球的比重为 1，现将球从水中取出，问要做多少功?(II)半径为 R 的半球形水池，其中充满了水，要把池内的水全部取尽需做多少功?（分数：2.00）_19.求引力：(I)在 x 轴上有一线密度为常数 ，长度为 l 的细杆
4、，在杆的延长线上离杆右端为口处有一质量为 m 的质点 P，求证：质点与杆间的引力为 F (M 为杆的质量)(II)设有以 O 为心，r 为半径，质量为 M 的均匀圆环， 垂直圆面， b，质点 P 的质量为 m，试导出圆环对 P 点的引力公式（分数：2.00）_20.过曲线 yx 2 (x0)上某点 A 作一切线，使之与曲线及 x 轴围成图形面积为 （分数：2.00）_21.设常数 ab，曲线 P：y (x，)的弧长为 1()求证： ；()求定积分 （分数：2.00）_22.设 f(x)为非负连续函数，且满足 f(x) f(xt)dtsin 4 x，求 f(x)在0， （分数：2.00）_23.
5、已知抛物线 yax 2 bxc 经过点 P(1，2)，且在该点与圆 （分数：2.00）_24.设 a0，f(x)在(0，) 连续，求证： （分数：2.00）_25.设 f(x)在a，b上连续，f(x)0 且 （分数：2.00）_26.证明 （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 140 答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：26，分数：52.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：2.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：3.求定积分：(I)J min2，x 2 dx； (II)J （分数：2
6、.00）_正确答案：(正确答案：()min2，x 2 于是 )解析：4.设 n 为正整数，利用已知公式 ，其中 ，求下列积分：(I)J n sinx n dx；(II)J n （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：5.设函数 f(x)在(一，)内满足 f(x)f(x 一 )sinx 且 f(x)x，x0，)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：由于题目只给出了 f(x)在区间0，)上的具体表达式，为计算在，3 一 上的积分值，就应该通过换元法使其积分区间落到0，)上另外，也可以通过 f(x)f(x)sinx 及 f(x)在0，)上的表达式，求出 f(x)
7、在，3)上的表达式，然后再求积分值这里所采用的是第一种方法，读者可采用第二种方法计算6.求无穷积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：J ln(1x)lnx dx，而 ln(1x)lnx dxln(1x)lnxdx xln(1x)lnx dx xln C， 因此 )解析：7.设 f(x)求 f(x)的不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，f(x)sin2xdx cos2xC 1 当 x0 时，f(x)ln(2x1)dxxln(2x1) xln(2x1)dx xln(2x1)x ln(2x1)C 2 ， 为了保证 F(x)在 x0 点连续，必须 C 2 C 1
8、 (*) 特别，若取 C 1 0，C 2 就是 f(x)的一个原函数 因此f(x)dxF(x)C )解析：解析：本题的被积函数是分段定义的连续函数，则 f(x)存在原函数，相应的原函数也应该分段定义然而按照原函数的定义，F(x)f(x)，即 F(x)必须是可导的，而且导数是 f(x)这样，F(x)首先就应该连续，下面就是按照这一要求，利用连续拼接法把分段定义的原函数黏合在一起，构成一个整体的原函数8.设 f(x)arcsin(x 一 1) 2 ，f(0)0，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 1 f(x)dx 0 1 f(x)d(x1)(x1)f(x) 0 1 - 0 1 (x
9、1)f(x)dx f(0) 0 1 (x1)f(x)dx- 0 1 (x1)arcsin(x1) 2 dx arcsin(x1) 2 d(x1 2 ) )解析：9.设 a0，f(x)在(，)上有连续导数，求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：【解法一】记 I(a) f(ta)f(ta)dt，由积分中值定理可得 I(a)f(a)f(a)2a f(a)f(a)，aa 因为 f(x)有连续导数，应用拉格朗日中值定理可得 I(a) f()2af()，aa 于是f(0) 【解法二】 )解析：10.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (x) f(t)dt(x)f(x)(x)(x)f
10、(x)(x) (x) )解析：11.设 f(x)在(一，)连续，在点 x0 处可导，且 f(0)0，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)由变上限积分性质知 F(x)在 x0 时连续为使其在 x0 处连续，只要F(x) A而 故令 A0 即可 ()当 x0 时 F(x) 在 x0 处，由导数定义和洛必达法则可得 )解析：12.设 x0，a时 f(x)连续且 f(x)0(x(0，a)，又满足 f(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 f(x) f 2 (x) dt， (*) 由 f(x)连续及 x 2 可导知 f 2 (x)可导，又 f(x)0，从而 f(x)可导，且
11、f 2 (x)2f(x)f(x)，故将上式两边对 x 求导，得 2f(x)f(x)f(x)2x f(x)x 在(*)式中令 x0 可得 f(0)0 于是(*)式 两边积分 得 )解析：13.求函数 f(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 f(x)在a，b上连续，其最大(小)值的求法是：求出 f(x)在(a，b)内的驻点及不可导点处的函数值，再求出 f(a)与 f(b)，上述各值中最大(小)者即最大(小)值；若 f(x)单调，则最大(小)值必在端点处取得由 可知 f(x)在e，e 2 上单调增加，故 )解析：14.求星形线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：图形关于 x，
12、y 轴均对称，第一象限部分：0xx，0y ， )解析：15.求下列旋转体的体积 V： (I)由曲线 yx 2 ，xy 2 所围图形绕 x 轴旋转所成旋转体： (II)由曲线xa(tsint)，ya(1 一 cost)(Ot2)，y0 所围图形绕 y 轴旋转的旋转体（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)如图 32，交点(0，0)，(1，1)，则所求体积为 ()如图33，所求体积为 V2 0 2a yxdx2 0 2a a(1cost)a(tsint)a(1cost)dt 2a 3 0 2 (1cost) 2 (tsint)dt 2a 3 0 2 (1cost) 2 tdt2a 3 -
13、(1cost) 2 sintdt 2a 3 0 2 (1cost) 2 tdt 1cos(u) 2 (u)du 2a 3 - (1cosu) 2 udu2 2 a 3 - (1cosu) 2 du 4 2 a 3 0 (1cosu) 2 du4 2 a 3 0 (12cosucos 2 u)du 4 2 a 3 ( )6 3 a 3 )解析：16.设两点 A(1，0，0)与 B(0，1，1)的连线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 直线方程： 上任意点(x，y，z)与 z 轴的距离的平方为：x 2 y 2 (1 一 t) 2 t 2 z 2 (1 一 z) 2 ，则 S(z)z 2
14、(1z) 2 ，从而 V S(z)dz z 2 (1z) 2 dz )解析：解析：这是截面积已知的立体与 z 轴垂直的平面截此旋转体所得截面即此平面与 的交点绕z 轴旋转所得的圆，其面积记为 S(x)，则 V S(z)dz关键求 方程，再求17.求双纽线，r 2 a 2 cos2(a0)绕极轴旋转所成的旋转面的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：双纽线如图 34 所示由对称性，只需考察 0， 面积 由 r 2 a 2 cos2 )解析：18.求功：(I)设半径为 1 的球正好有一半沉入水中，球的比重为 1，现将球从水中取出，问要做多少功?(II)半径为 R 的半球形水池，其中充满了水
15、，要把池内的水全部取尽需做多少功?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)方法 1 (微元法)以球心为原点，x 轴垂直向上，建立坐标系 取下半球中的微元薄片，即 取小区间x，xdx 一 1，0，相应的球体小薄片，其重量(即体积)为(1 一 x 2 )dx，在水中浮力与重力相符，当球从水中移出时，此薄片移动距离为(1x)，故需做功 dw 1 (1x)(1 一 x 2 )dx因此，对下半球做的功 w 1 -1 0 (1x)(1x 2 )dx 取上半球中的微元薄片，即 取小区间x，xdx 0，1，相应的小薄片，其重量为 (1 一 x 2 )dx，当球从水中移出时，此薄片移动距离为 1 所受力
16、为重力，故需做功 dw 2 (1 一 x 2 )dx因此，对上半球做的功 w 2 0 1 (1x 2 )dx 于是，对整个球做的功为 ww 1 w 2 -1 0 (1x)(1x 2 )dx 0 1 (1x 2 )dx -1 -1 (1x 2 )dx -1 0 x(1x 2 )dx 方法 2 把球的质量 集中于球心球从水中取出作的功可以看成质量为 的质点向上移动距离为 1 时变力的做功问题归结为求变力 F(重力与浮力的合力) 球受的重力球的体积， 球受的浮力沉在水中的球的体积， 它们的合力球露出水面部分的体积 当球心向上移距离 h(0h1)时，球露出水面部分的体积： 因此，取出球时需做功 ()建
17、立坐标系如图 36取 x 为积分变量，x0，R x，xdx相应的水薄层，看成圆柱体，其体积为 (R 2 x 2 )dx， 又比重1，于是把这层水抽出需做功 dwx(R 2 一 x 2 )dx因此，所求的功 )解析：19.求引力：(I)在 x 轴上有一线密度为常数 ，长度为 l 的细杆，在杆的延长线上离杆右端为口处有一质量为 m 的质点 P，求证：质点与杆间的引力为 F (M 为杆的质量)(II)设有以 O 为心，r 为半径，质量为 M 的均匀圆环， 垂直圆面， b，质点 P 的质量为 m，试导出圆环对 P 点的引力公式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)如图 37 建立坐标系，取杆
18、的右端为原点，x 轴正向指向质点 P 任取杆的一段x，xdx，它对质点 P 的引力为 因此，杆与质点 P 间的引力大小为 其中 M 是杆的质量 ()如图 38，由对称性，引力沿 方向取环上某点为计算弧长的起点，任取 弧长为 s到 sd5 的一段微元 ，它的质量为 ，到 P 点的距离为 与 的夹角为 ，cos，则微元 对 P 点的引力沿 方向的分力为 dFk ，于是整个圆环对 P 点的引力为)解析：20.过曲线 yx 2 (x0)上某点 A 作一切线，使之与曲线及 x 轴围成图形面积为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 39(I)设点 A(x 0 ，x 0 2 )，点 A 处的切线
19、方程 yx 0 2 2x 0 (xx 0 )，即 y2x 0 xx 0 2 令 y0 截距 x 按题意 解得 x 0 1 A(1，1) ()过 A 点的切线 y2x 一 1 ()旋转体体积 )解析：21.设常数 ab，曲线 P：y (x，)的弧长为 1()求证： ；()求定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()：y 2 (xa)(bx)x 2 (ab)xab，两边对 x 求导得 2yy2xab， y 2 (1y 2 ) y 2 x 2 y 2 (ab)x ()曲线 ： 是以 为圆心，半径为 的半圆周由题()：a， ，则对应的 长 )解析：22.设 f(x)为非负连续函数，且满足
20、f(x) f(xt)dtsin 4 x，求 f(x)在0， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 xtu，则 ，于是 两边积分 ， 故 f(x)在0， 上的平均值为 )解析：23.已知抛物线 yax 2 bxc 经过点 P(1，2)，且在该点与圆 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：圆 的半径为 ，所以在圆上任何一点的曲率为 由于点 P(1，2)是下半圆上的一点，可知曲线 在点 P(1，2)处为凹的，所以由 确定的连续函数 yy(x)在P(1，2)处的 y0又经过计算，可知在点 P(1，2)处的 y1 由题设条件知，抛物线经过点P(1，2)，于是有 abc2 抛物线与圆在点 P(
21、1，2)相切，所以在点 P(1，2)处 y1，即有2ab1又抛物线与圆在点 P(1，2) 有相同的曲率半径及凹凸性，因此有 )解析：24.设 a0，f(x)在(0，) 连续，求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)按要证的等式，将等式左端改写可得 (II)按题设，对左端作变换 )解析：25.设 f(x)在a，b上连续，f(x)0 且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由定积分的性质 )解析：26.证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 利用被积函数的结合性，原式改写成 I n cos n1 xcosxsinnxdx， 两式相加得 2I n cosn n1 (cosxsinnx 一 sinxcosnx)dx cosn n1 xsin(n1)xdx 现得递推公式 令 J n 2 n I n ，得 由此进一步得 )解析：
