1、考研数学一（高等数学）-试卷 13 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)和 (x)在(-，+)上有定义 f(x)为连续函数，且 f(x)0，(x)有间断点，则( )（分数：2.00）A.f(x)必有间断点。B.(x) 2 必有间断点。C.f(x)必有间断点。D.必有间断点。3.设 f(x)在闭区间a，b上可导 f(a)= （分数：2.00）A.f“ + (a)=0。B.f + (a)0。C.f“ + (a)0。D.f“ + (a)0。4.设
2、常数 k0，函数 f(x)=lnx- （分数：2.00）A.3。B.2。C.1。D.0。5.设 I 1 = ，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.累次积分 可以写成( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 a 是常数，则级数 （分数：2.00）A.绝对收敛。B.条件收敛。C.发散。D.敛散性与 a 有关。二、填空题(总题数：9，分数：18.00)8.设 f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n)，则 f“(0)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_9.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_10.曲线 y=f(x)过点 （分数：2.00）填空项 1:_11.设(ab).c=
3、2，则(a+b)(b+c).(c+a)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_12.设函数 F(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_13.设 由 ，0z1 所确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 是由锥面 z= 围成的空间区域，是 的整个边界的外侧，则 （分数：2.00）填空项 1:_15.f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_16.方程 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：24.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_18.求极限 （分数：2.00）_19.证明当 x(-1，1)时，arctanx=
4、 （分数：2.00）_20.()比较 的大小，说明理由；()记 （分数：2.00）_21.过坐标原点作曲线 y=lnx 的切线，该切线与曲线 y=lnx 及 x 轴围成平面图形 D。()求 D 的面积A；()求 D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积 V。（分数：2.00）_22.求直线 （分数：2.00）_23.设 （分数：2.00）_24.已知函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1，y)=f(x，1)=0， f(x，y)dxdy=a，其中D=(x，y)0x1，0y1，计算二重积分 I= （分数：2.00）_25.计算曲面积分 I= （分数：2.00）_26.将函数 f(x)
5、= 展开成 x 的幂级数，并求级数 （分数：2.00）_27.利用代换 u=ycosx 将微分方程 y“cosx-2y“sinx+3ycosx=e x 化简，并求出原方程的通解。（分数：2.00）_28.某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。 现有一质量为 9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为 700kmh，经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 k=6010 6 )，问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?(注：kg 表示千克，kmh 表示千米小时。)（分数：2.00）_考研数学一（高等
6、数学）-试卷 13 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)和 (x)在(-，+)上有定义 f(x)为连续函数，且 f(x)0，(x)有间断点，则( )（分数：2.00）A.f(x)必有间断点。B.(x) 2 必有间断点。C.f(x)必有间断点。D.必有间断点。 解析：解析：取 f(x)=1，x(-，+)，(x)= 3.设 f(x)在闭区间a，b上可导 f(a)= （分数：2.00）A.f“ + (a)=0。B.f + (a)0。C.f“
7、+ (a)0。D.f“ + (a)0。 解析：解析：f“ + (a)= 4.设常数 k0，函数 f(x)=lnx- （分数：2.00）A.3。B.2。 C.1。D.0。解析：解析：因 f“(x)= ，令 f“(x)=0 得唯一驻点 x=e，且在 f(x)的定义域内无 f“(x)不存在的点，故 f(x)在区间(0，e)与(e，+)内都具有单调性。又 f(e)=k0，而5.设 I 1 = ，则( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：当 x0 时，有 tanxx，于是有 。从而， 可见有 I 1 I 2 ，又由 I 2 6.累次积分 可以写成( ) （分数：2.00）A.B.C.D.
8、 解析：解析：由累次积分 可知，积分区域 D 为 D=(r，)0rcos,0 。 由r=cos 为圆心在 x 轴上，直径为 1 的圆，可作出 D 的图形如图 1-6-1 所示。该圆的直角坐标方程为。故用直角坐标表示区域 D 为7.设 a 是常数，则级数 （分数：2.00）A.绝对收敛。B.条件收敛。C.发散。 D.敛散性与 a 有关。解析：解析：由于 发散，则二、填空题(总题数：9，分数：18.00)8.设 f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n)，则 f“(0)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：n!）解析：解析：由于 f“(x)=(x+1)(x+n)+x(x+
9、2)(x+n)+(x+1)(x+n-1)， 所以 f“(0)=n!。9.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：在点 处的切线的斜率为 ，在曲线方程两端分别对 x 求导，得 所求的切线方程为10.曲线 y=f(x)过点 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由题设可知 =xln(1+x 2 )，且 y(0)= ，则 11.设(ab).c=2，则(a+b)(b+c).(c+a)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：(a+b)(b+c).(c+a) =(a+b)b.(c+a)+(a+b
10、)c.(c+a) =(ab).c+(bc).a =(ab).c+(ab).c=4。12.设函数 F(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：13.设 由 ，0z1 所确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：用平面 Z=z(0z1)去截积分区域，得椭圆： 它所围成的区域 D 的面积为14.设 是由锥面 z= 围成的空间区域，是 的整个边界的外侧，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：在 上利用高斯公式可得15.f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答
11、案：*）解析：解析：16.方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y= ）解析：解析：由题干方程可知 两边积分得 由 y(1)=0 得 C=1，则有三、解答题(总题数：12，分数：24.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.证明当 x(-1，1)时，arctanx= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=arctanx，g(x)= ，要证 f(x)=g(x)在 x(-1，1)时成立，只需证明： f(x)，g(x)在(-1，1)内可导，且当
12、 x(-1，1)时，f“(x)=g“(x)； 存在 x 0 (-1，1)，使得f(x 0 )=g(x 0 )。 由初等函数的性质知，f(x)与 g(x)都在(-1，1)内可导，且 )解析：20.()比较 的大小，说明理由；()记 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()令 f(t)=ln(1+t)-t。 当 0t1 时，f“(t)= 0，则 f(t)f(0)=0，即当 0t1 时，0ln(1+t)t1，从而ln(1+t) n t n (n=1，2，)。 又由lnt0 得 ()由()知，0u n = 因为 由夹逼准则得 )解析：21.过坐标原点作曲线 y=lnx 的切线，该切线与曲线 y=
13、lnx 及 x 轴围成平面图形 D。()求 D 的面积A；()求 D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积 V。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()设切点的横坐标为 x 0 ，则曲线 y=lnx 在点(x 0 ，lnx 0 )处的切线方程是 由该切线过原点知 lnx 0 -1=0，从而 x 0 =e，所以该切线的方程为 因此，平面图形 D 的面积 ()切线 与 x 轴及直线 x=e 所围成的三角形绕直线 x=e 旋转所得的圆锥体体积为 曲线y=lnx 与 x 轴及直线 x=e 所围成的图形绕直线 x=e 旋转所得的旋转体体积为 因此所求旋转体的体积为 )解析：22.求直线 （分数
14、：2.00）_正确答案：(正确答案：过直线 L 作一垂直于平面的平面 1 ，其法向量 n 1 既垂直于 L 的方向向量s=1，1，-1，又垂直于平面的法向量 n=1，-，2，由向量积求得 又因为(1，0，1)是直线 L上的点，所以这个点也在平面 1 上，根据点法式得到 1 的方程为 (x-1)-3y-2(z-1)=0，即 x-3y-2z+1=0。 因此 L 0 的方程为 将 L 0 写成参数 y 的方程为 因此直线绕 y 轴旋转所得的旋转曲面的方程为 )解析：23.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 r= ，则由 u=u(r)可得 同理， 。将其代入原方程，则得u“+u=r 2
15、，该方程的通解是 u(r)=C 1 cost+C 2 sinr+r 2 -2， 于是 )解析：24.已知函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1，y)=f(x，1)=0， f(x，y)dxdy=a，其中D=(x，y)0x1，0y1，计算二重积分 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将二重积分 xyf xy (x，y)dxdy 转化为累次积分可得 首先考虑 xyf xy (x，y)dx，注意这里是把变量 y 看作常数，故有 由 f(1，y)=f(x，1)=0 易知 f y (1，y)=f x (x，1)=0。故 对该积分交换积分次序可得 再考虑积分 yf y (x，y)dy，
16、注意这里是把变量 x 看作常数，故有 )解析：25.计算曲面积分 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 由于被积函数及其偏导数在点(0，0，0)处不连续，作封闭曲面(外侧) 1 ：x 2 +y 2 +z 2 =R 2 ，0R 有 )解析：26.将函数 f(x)= 展开成 x 的幂级数，并求级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 又 f(0)= ，所以 因为级数 收敛，函数 f(x)在 x=处连续，所以 )解析：27.利用代换 u=ycosx 将微分方程 y“cosx-2y“sinx+3ycosx=e x 化简，并求出原方程的通解。（分数：2.00）_正确答案：(正
17、确答案：令 ycosx=u，则 y=usecx，从而 y“=u“secx+usecxtanx y“=u“secx+2u“secxtanx+usecxtan 2 x+usec 3 x。 代入原方程，则 u“+4u=e x 。这是一个二阶常系数非齐次线性方程，其通解为 u= e x +C 1 cos2x+C 2 sin2x， 则 )解析：28.某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。 现有一质量为 9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为 700kmh，经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 k=6010 6 )，问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?(注：kg 表示千克，kmh 表示千米小时。)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设，飞机的质量 m=9000kg，着陆时的水平速度 v 0 =700 kmh。从飞机接触跑道开始记时，设 t 时刻飞机的滑行距离为 x(t)，速度为 v(t)=x“(t)。 根据牛顿第二定律，得 又因 由以上两式得 积分得 x(t)= 已知 v(0)=v 0 ，x(0)=0，故得 C= ，从而 当 v(t)0 时， )解析：
