1、考研数学一（高等数学）-试卷 139 及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：18，分数：36.00)1.设 f(x)连续，f(x)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_2. 1 （分数：2.00）填空项 1:_3. 1 （分数：2.00）填空项 1:_4. 1 （分数：2.00）填空项 1:_5.xarcsinxdx 1 （分数：2.00）填空项 1:_6.(n0) 1 （分数：2.00）填空项 1:_7.sinxcosxdx（自然数 n 或 m 为奇数） 1 （分数：2.00）填空项 1:_8.(a0) 1 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 yf(x
2、)满足y xo(x)，且 f(0)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x)在a，b上连续可导，f(a)f(b)0，且 f 2 (x)dxl，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(x)具有连续导数，且 F(x) （分数：2.00）填空项 1:_12.求 （分数：2.00）填空项 1:_13.已知 f(x) ，则 （分数：2.00）填空项 1:_14. 1 （分数：2.00）填空项 1:_15. 1 （分数：2.00）填空项 1:_16. 1 （分数：2.00）填空项 1:_17.曲线 xa(costtsint)，ya(sint 一 tcost)(0t2)的长度 L
3、1（分数：2.00）填空项 1:_18.曲线 y 2 2x 在任意点处的曲率为 1（分数：2.00）填空项 1:_二、解答题(总题数：8，分数：16.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_20.已知 是 f(x)的一个原函数，求 （分数：2.00）_21.求 （分数：2.00）_22.求 （分数：2.00）_23.求 （分数：2.00）_24.求 （分数：2.00）_25.求 （分数：2.00）_26.求 （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 139 答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：18，分数：36.00
4、)1.设 f(x)连续，f(x)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 于是 原式2. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：原式 x 2 2x (1x 2 )dx 2 (注意： 3. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2e 2 2）解析：解析：原式 4. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：原式5.xarcsinxdx 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：原式 其中 是 单位圆的面积即6.(n0) 1 （分数
5、：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：原式7.sinxcosxdx（自然数 n 或 m 为奇数） 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由周期函数的积分性质得 当 n 为奇数时，由于被积函数为奇函数，故 I n，m 0 当 m 为奇数(设 m2k1，k0，1，2，)时 8.(a0) 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：【分析一】利用分部积分法 【分析二】令 tarctan ，则cos2t ，xacos2t于是 原式 td(acos2t)atcos2t cos2tdta cos2tdt9.设
6、 yf(x)满足y xo(x)，且 f(0)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题设可知 ，从而 由 f(0)0 可得 C0于是 f(x) 由定积分几何意义得10.设 f(x)在a，b上连续可导，f(a)f(b)0，且 f 2 (x)dxl，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因 f(x)f(x)，所以11.设 f(x)具有连续导数，且 F(x) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 F(x) (x 2 t 2 )f(t)dtx 2 f(t)dt t 2 f(t)dt，
7、 所以F(x)2x f(t)dtx 2 f(x)x 2 f(x)2x f(t)dt 又依题设，当 x0 时 F(x)与 x 2 为等价无穷小，从而 2f(0)1，故 f(0) 12.求 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：这是求 型的极限用洛必达法则时就要求变限积分的导数这里被积函数 f(x)还是变限积分注意到这一点就容易求得13.已知 f(x) ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：用分部积分法由于 f(x) (x 2 )2x ，故 注*处由于 f(x) ，故 f(1)0，所以 14. 1 （分数：2.00）填空项
8、1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：【分析一】令 x 2 t，则 【分析二】令 x 2 t，则原式 ，令 t 3 e t dte t (at 3 bt 2 dte)C， 两边求导得 t 3 e t e t at 3 (3ab)t 2 (2ad)tde， 比较两边 t 的同次幂项的系数得 a一 1， b一 3，d一 6， e一 6 于是，原式 15. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：16. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因(xe x )e x (x1)，令 xe x t，则 dte x (x1)d
9、x，于是 17.曲线 xa(costtsint)，ya(sint 一 tcost)(0t2)的长度 L 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2 2 a）解析：解析：曲线由参数方程表示出，直接代入弧长公式得18.曲线 y 2 2x 在任意点处的曲率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：用曲率计算公式 K 由 y 2 2x 2yy2， 二、解答题(总题数：8，分数：16.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：20.已知 是 f(x)的一个原函数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
10、按题意：f(x) x 3 f(x)dx )解析：21.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：注意分解 1x 6 1(x 2 ) 3 (1x 2 )(1 一 x 2 x 4 ) 原式 arctanx arctanx )解析：22.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先作恒等变形，然后凑微分即得 )解析：23.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：【解法一】记 则 【解法二】作变量替换 xtant ，则 )解析：24.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 xasint(t )，则 )解析：25.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用定积分的分段积分法与推广的牛顿一莱布尼兹公式得 )解析：解析：先用凑微分法求 或用变量替换令 ttanx，则 xarctant，dx 于是现用牛顿莱布尼茨公式即得 注意所得的积分值为负，无疑是错误的，但错在哪里呢?这是因为由函数 在整个积分区间0， 上的原函数，它在积分区间0， 上也不连续，故不符合牛顿一莱布尼茨公式及其推广的条件 用换元法令 ttanx，则 tan00，tan 一1于是 这当然也是错的，错在哪里呢?因为当 t一 1，0时，xarctant 之值不落在原积分区间0， 上
