1、考研数学一（高等数学）-试卷 12 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)= （分数：2.00）A.f(x)在点 x=1 处连续，在点 x=-1 处间断。B.f(x)在点 x=1 处间断，在点 x=-1 处连续。C.f(x)在点 x=1，x=-1 处都连续。D.f(x)在点 x=1，x=-1 处都间断。3.设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，在 x=0 处可导，且 f(0)=0。 （分数：2.00）A.不连续。B.连续但不可导。C.可导但
2、 “(x)在 x=0 处不连续。D.可导且 “(x)在 x=0 处连续。4.设在闭区间0，4上 y=f(x)的导函数的图形如图 1-2-1 所示，则 f(x)( ) （分数：2.00）A.在0，2单调上升且为凸的，在2，4单调下降且为凹的。B.在0，1，3，4单调下降，在1，3单调上升，在0，2是凹的，2，4是凸的。C.在0，1，3，4单调下降，在1，3单调上升，在0，2是凸的，2，4是凹的。D.在0，2单调上升且为凹的，在2，4单调下降且为凸的。5.曲线 （分数：2.00）A.既有垂直又有水平与斜渐近线。B.仅有垂直渐近线。C.只有垂直与水平渐近线。D.只有垂直与斜渐近线。6.函数 f(x，
3、y，z)=x 2 y 3 +3y 2 z 3 在点(0，1，1)处方向导数的最大值为( )（分数：2.00）A.B.C.117。D.107。7.设 g(x)有连续的导数，g(0)=0，g“(0)=a0，f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，则 =( )（分数：2.00）A.B.C.D.8.设 p n = ，n=1，2，则下列命题正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.方程 y“-3y“+2y=e x +1+e x eos2x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.y=axe x +b+Ae x cos2x。B.y=ae x +b+e x (Acos2x+Bsin2x)。C.
4、y=axe x +b+xe x (Acos2x+Bsin2x)。D.y=axe x +b+e x (Aeos2x+Bsin2x)。二、填空题(总题数：10，分数：20.00)10.数列 （分数：2.00）填空项 1:_11.已知 y=x 2 sin2x，则 y (50) = 1。（分数：2.00）填空项 1:_12.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_13.抛物线 y 2 =2px，从原点到这条曲线上的一点 M(x，y)的弧长 s= 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.设函数 u(x，y，z)= （分数：2.00）填空项 1:_15.设函数 f(u)可微，且 f“(2)=2，则 z
5、=f(x 2 +y 2 )在点(1，1)处的全微分 dz (1,1) = 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.将 （分数：2.00）填空项 1:_17.设为锥面 z= 介于 z=0 和 z=1 之间的部分，则 （分数：2.00）填空项 1:_18.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_19.微分方程 yy“+y“ 2 =0 满足初始条件 y(0)=1，y“(0)= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_21.设 f(x)为-a，a上的连续偶函数，且 f(x)0，令 F(x)= （
6、分数：2.00）_22.设 f(x)在0，1上具有二阶导数，且满足条件f(x)a，f“(x)b，其中 a，b 都是非负常数，c 是(0，1)内任意一点。证明f“(c)2a+ （分数：2.00）_23.过坐标原点作曲线 y=e x 的切线，该切线与曲线 y=e x 以及 x 轴围成的向 x 轴负向无限伸展的平面图形，记为 D。 ()求 D 的面积 A； ()求 D 绕直线 x=1 旋转一周所成的旋转体的体积 V。（分数：2.00）_24.设 z=z(x，y)有二阶连续偏导数，且满足 （分数：2.00）_25.计算二重积分 （分数：2.00）_26.计算曲面积分 （分数：2.00）_27.设数列a
7、 n 满足条件：a 0 =3，a 1 =1，a n-2 -n(n-1)a n =0(n2)。S(x)是幂级数 （分数：2.00）_28.设 f(u，v)具有连续偏导数，且 f u (u，v)+f v (u，v)=sin(u+v)e u+v ，求 y(x)=e -2x f(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 12 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)= （分数：2.00）A.f(x)
8、在点 x=1 处连续，在点 x=-1 处间断。B.f(x)在点 x=1 处间断，在点 x=-1 处连续。 C.f(x)在点 x=1，x=-1 处都连续。D.f(x)在点 x=1，x=-1 处都间断。解析：解析：因为 所以 f(x)在 x=1 处间断。3.设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，在 x=0 处可导，且 f(0)=0。 （分数：2.00）A.不连续。B.连续但不可导。C.可导但 “(x)在 x=0 处不连续。D.可导且 “(x)在 x=0 处连续。 解析：解析：因为 所以 (x)在 x=0 处连续。4.设在闭区间0，4上 y=f(x)的导函数的图形如图 1-2-1 所示，则 f(x
9、)( ) （分数：2.00）A.在0，2单调上升且为凸的，在2，4单调下降且为凹的。B.在0，1，3，4单调下降，在1，3单调上升，在0，2是凹的，2，4是凸的。 C.在0，1，3，4单调下降，在1，3单调上升，在0，2是凸的，2，4是凹的。D.在0，2单调上升且为凹的，在2，4单调下降且为凸的。解析：解析：当 x(0，1)或(3，4)时，f“(x)0，那么 f(x)在0，1，3，4单调下降。 当 x(1，3)时f“(x)0，那么 f(x)在1，3单调上升。 又 f“(x)在0，2单调上升，那么 f(x)在0，2是凹的。f“(x)在2，4单调下降，那么 f(x)在2，4是凸的。故选 B。5.曲
10、线 （分数：2.00）A.既有垂直又有水平与斜渐近线。 B.仅有垂直渐近线。C.只有垂直与水平渐近线。D.只有垂直与斜渐近线。解析：解析：函数 y 的定义域为(-，-3)0，+)，且只有间断点 x=-3，又 =+，所以 x=-3 是曲线的垂直渐近线。 x0 时， 因此6.函数 f(x，y，z)=x 2 y 3 +3y 2 z 3 在点(0，1，1)处方向导数的最大值为( )（分数：2.00）A.B. C.117。D.107。解析：解析：函数 f(x，y，z)=x 2 y 3 +3y 2 z 3 在点(0，1，1)处方向导数的最大值等于 f(x，y，z)在点(0，1，1)处梯度向量的模。 7.设
11、 g(x)有连续的导数，g(0)=0，g“(0)=a0，f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，则 =( )（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由积分中值定理知 其中(，)为圆域 x 2 +y 2 r 2 上的一个点，则 =f(0，0)，而 8.设 p n = ，n=1，2，则下列命题正确的是( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：若 绝对收敛，即 收敛，则由级数绝对收敛的性质知 收敛。而 p n = ，再由收敛级数的运算性质知， 9.方程 y“-3y“+2y=e x +1+e x eos2x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.y=axe x +b+Ae x
12、 cos2x。B.y=ae x +b+e x (Acos2x+Bsin2x)。C.y=axe x +b+xe x (Acos2x+Bsin2x)。D.y=axe x +b+e x (Aeos2x+Bsin2x)。 解析：解析：齐次方程 y“-3y“+2y=0 的特征方程为 r 2 -3r+2=0， 特征根为 r 1 =1，r 2 =2，则方程y“-3y“+2y=e x +1+e x cos2x 的待定特解为 y=axe x +b+e x (Acos2x+Bsin2x)， 故选 D。二、填空题(总题数：10，分数：20.00)10.数列 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*
13、）解析：解析：当 n时，11.已知 y=x 2 sin2x，则 y (50) = 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2 50 (-x 2 sin2x+50xcos2x+ ）解析：解析：易知(sin2x) (n) =2 n sin(2x+ )成立，利用莱布尼茨公式： 12.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13.抛物线 y 2 =2px，从原点到这条曲线上的一点 M(x，y)的弧长 s= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：不妨设 p0，y0，则14.设函数 u(x，y，z)= （分
14、数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： ，于是所求方向导数为15.设函数 f(u)可微，且 f“(2)=2，则 z=f(x 2 +y 2 )在点(1，1)处的全微分 dz (1,1) = 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4(dx+dy)）解析：解析：dz=f“(x 2 +y 2 )(2xdx+2ydy)， 则 dz (1,1) =f“(2)(2dx+2dy)=4(dx+dy)。16.将 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：如图 1-6-5 所示，则有17.设为锥面 z= 介于 z=0 和 z=1 之间
15、的部分，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：易知，dS= 。区域 D 为 02，0p1，则有18.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令原级数中的 x-1=t，则 x=t+1，级数化为 ，因为 所以 的收敛半径为 1，收敛区间为(-1，1)，即级数 的收敛半径为 1，收敛区间为(0，2)。当 x=0 和 x=2 时，原级数均发散，故原级数收敛域为(0，2)。 设级数的和函数为 s(x)，即 对 从 1 到 x 逐项积分，可得 在上式两端对 x 求导，可得 故有19.微分方程 yy“+y“ 2 =0 满足初始条件
16、 y(0)=1，y“(0)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 yy“+(y“) 2 =0 得(yy“)“=0，即 yy“=C。 由 y(0)=1，y“(0)= ，故 再由 y(0)=1，得 C 1 = 三、解答题(总题数：9，分数：18.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：21.设 f(x)为-a，a上的连续偶函数，且 f(x)0，令 F(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() 所以 F“(x)=2f(x)0，因此 F“(x)单调增加。 ()因为 F“(0)= 且 f(x)为偶函数，所以
17、 F“(0)=0，又因为 F“(0)0， 所以 x=0 为 F(x)的唯一极小值点，也为最小值点。 ()由 =f(a)-a 2 -1，两边求导得 2af(a)=f“(a)-2a， 于是 f“(x)-2xf(x)=2x， 解得 f(x)=2xe -2xdx dx+Ce -2xdx = 在 =f(a)-a 2 -1 中令 a=0，得 f(0)=1，则 C=2，于是 )解析：22.设 f(x)在0，1上具有二阶导数，且满足条件f(x)a，f“(x)b，其中 a，b 都是非负常数，c 是(0，1)内任意一点。证明f“(c)2a+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对 f(x)在 x=c 处应用
18、泰勒公式，展开可得 f(x)=f(c)+f“(c)(x-c)+ (x-c) 2 ， (*) 其中 =c+(x-c)，01。 在(*)式中令 x=0，则有 f(0)=f(c)+f“(c)(0-c)+ (0-c) 2 ，0 1 c1， 在(*)式中令 x=1，则有 f(1)=f(c)+f“(c)(1-c)+ (1-c) 2 ，0 2 c1， 将上述的两个式子相减得到 f(1)-f(0)=f“(c)+ f“( 2 )(1-c) 2 -f“( 1 )c 2 ， 因此 f“(c)=f(1)-f(0)- f“( 2 )(1-c) 2 -f“( 1 )c 2 f(1)+f(0)+ f“( 2 )(1-c)
19、2 + f“( 1 )c 2 2a+ (1-c) 2 +c 2 。 又因当c(0，1)时，有(1-c) 2 +c 2 1，所以f“(c)2a+ )解析：23.过坐标原点作曲线 y=e x 的切线，该切线与曲线 y=e x 以及 x 轴围成的向 x 轴负向无限伸展的平面图形，记为 D。 ()求 D 的面积 A； ()求 D 绕直线 x=1 旋转一周所成的旋转体的体积 V。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设切点坐标为 P(x 0 ，y 0 )，于是曲线 y=e x 在点 P 的切线斜率为 ，则切线方程为 y-y 0 = (x-x 0 )。它经过点(0，0)，所以-y 0 = ，代入求得
20、x 0 =1，从而 y 0 = =e，即切线方程为 y=ex。 (I)取水平微元为 A 的面积元素(如图 1-3-8 所示)，则 ()D 绕直线 x=1 旋转一周所成的旋转体的体积微元为 )解析：24.设 z=z(x，y)有二阶连续偏导数，且满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x(x，2x)是 z(x，y)与 y=2x 的复合函数，先将 z(x，2x)=x 两边对 x 求导，由复合函数求导 法则可得 z“ 2 (x，2x)+2z“ 2 (x，2x)=1。已知 z“ 1 =(x，2x)=x 2 ，于是 x 2 +2z“ 2 (x，2x)=1，再将它对 x 求导并由复合函数求导法则可得
21、 2x+2z“ 21 (x，2x)+4z“ 22 (x，2x)=0。 由z“ 21 =z“ 12 以及 z“ 11 =z“ 22 ，可得 z“ 11 (x，2x)与 z“ 12 (x，2x)满足关系式 2z“ 11 (x，2x)+z“ 12 (x，2x)=-x。 将已知等式 z“ 1 (x，2x)=x 2 对 x 求导得 z“ 11 (x，2x)+2z“ 12 (x，2x)=2c。由上面两个关系式得 )解析：25.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D 是正方形区域，如图 1-6-11 所示。因在 D 上被积函数分块表示 于是要用分块积分法，用 y=x 将 D 分成两块：
22、D=D 1 D 2 ，D 1 =Dyx，D 2 =Dyx， 则 )解析：26.计算曲面积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用高斯公式，以 1 表示法向量指向 z 轴负向的有向平面 z=1(x 2 +y 2 1)，D为 1 在 xOy 平面上的投影区域，则 )解析：27.设数列a n 满足条件：a 0 =3，a 1 =1，a n-2 -n(n-1)a n =0(n2)。S(x)是幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()证明：由题意得 因为由已知条件得 a n =(n+1)(n+2)a n+2 (n=0，1，2，)，所以 S“(x)=S(x)，即 S“(x)-S(x)=0
23、。 ()S“(x)-S(x)=0 为二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为 2 -1=0，从而 =1，于是 S(x)=C 1 e -x +C 2 e x ， 由 S(0)=a 0 =3，S“(0)=a 1 =1，得 )解析：28.设 f(u，v)具有连续偏导数，且 f u (u，v)+f v (u，v)=sin(u+v)e u+v ，求 y(x)=e -2x f(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y(x)=e -2x xf(x，x)，有 y“(x)=-2e -2x f(x，x)+e -2x f“ 1 (x，x)+f“ 2 (x，x)， 由 f u (u，v)+f v (u，v)=sin(u+v)e u+v 可得 f“ 1 (x，x)+f“ 2 (x，x)=(sin2x)e 2x 。 于是 y(x)满足一阶线性微分方程 y“(x)+2y(x)=sin2x， 通解为 y(x)=e -2x sin2x.e 2x dx+C， 由分部积分公式，可得 sin2x.e 2x dx= (sin2x-cos2x)e 2x ， 所以 y(x)= )解析：
