1、考研数学一(高等数学)-试卷 10 及答案解析(总分:58.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 f(x)可导,且 F(x)=f(x)(1+sinx)在 x=0 处可导,则( )(分数:2.00)A.f(0)=0B.f“(0)=0C.f(0)=f“(0)D.f(0)=一 f“(0)3.设 f(x)连续,且 F(x)= f(t)dt,则 F“(x)=( ) (分数:2.00)A.B.C.D.4.设 f(x)=x 3 一 1g(x),其中 g(x)连续,则 g(1)=0 是 f
2、(x)在 x=1 处可导的( )(分数:2.00)A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件5.设 f(x)= (分数:2.00)A.极限不存在B.极限存在,但不连续C.连续,但不可导D.可导6.设 f(x)连续,且 (分数:2.00)A.f(x)在 x=0 处不可导B.f(x)在 x=0 处可导且 f“(0)0C.f(x)在 x=0 处取极小值D.f(x)在 x=0 处取极大值7.设 f(x)二阶连续可导,且 (分数:2.00)A.x=1 为 f(x)的极大点B.x=1 为 f(x)的极小点C.(1,f(1)为 y=f(x)的拐点D.x=1 不是 f(x)的极值点,(1,f
3、(1)也不是 y=f(x)的拐点8.设 f(x)二阶连续可导,f“(0)=0,且 (分数:2.00)A.x=0 为 f(x)的极大点B.x=0 为 f(x)的极小点C.(0,f(0)为 y=f(x)的拐点D.x=0 不是 f(x)的极值点,(0,f(0)也不是 y=f(x)的拐点二、填空题(总题数:3,分数:6.00)9.设 f(x)一阶可导,且 f(0)=f“(0)=1,则 (分数:2.00)填空项 1:_10.设 f(x)为偶函数,且 f“(1)=2,则 (分数:2.00)填空项 1:_11.设 f(x)在 x=a 处可导,则 (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:18,分数
4、:36.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_13.设 f(x)=g(a+bx)一 g(abx),其中 g“(a)存在,求 f“(0)。(分数:2.00)_14.设 f“(x)=x 一 ag(x),其中 g(x)连续,讨论 f“(a)的存在性(分数:2.00)_15.设 y= (分数:2.00)_16.求下列函数的导数: (1) (分数:2.00)_17.设 y= (分数:2.00)_18.设 y= (分数:2.00)_19.(1)由方程 sin(xy)+ln(yx)=x 确定函数 y=y(x),求 (2)设函数 y=y(x)由 2 xy =x+y,确定
5、,求 dy x=0 (3)设 y=y(x)由 In(x 2 +y)=x 3 y+sinx 确定,求 (4)设由 e y +x(yx)=1+x确定 y=y(x),求 y“(0) (5)设 y=y(x)由 (分数:2.00)_20.设 f(x)可导且 f“(0)0,且 (分数:2.00)_21.设 y=ln(2+3 x ),求 dy x=0 (分数:2.00)_22.设 y=y(x)由方程 e y +6xy+x 2 一 1=0 确定,求 y“(0)(分数:2.00)_23.设 f(x)= (分数:2.00)_24.设 y=x 2 lnx,求 y (n) (分数:2.00)_25.求 (分数:2.0
6、0)_26.设 f(x)=x(x 一 1)(x+2)(x 一 3)(x+100),求 f“(0)(分数:2.00)_27.求 y=f(x)= (分数:2.00)_28.设 f(x)连续,且对任意的 x,y(,+)有 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,f“(0)=1,求 f(x)(分数:2.00)_29.设 f(x)= (分数:2.00)_考研数学一(高等数学)-试卷 10 答案解析(总分:58.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 f(x)可导,且 F(x)=
7、f(x)(1+sinx)在 x=0 处可导,则( )(分数:2.00)A.f(0)=0 B.f“(0)=0C.f(0)=f“(0)D.f(0)=一 f“(0)解析:解析:F(0)=f(0), 3.设 f(x)连续,且 F(x)= f(t)dt,则 F“(x)=( ) (分数:2.00)A. B.C.D.解析:解析:F“(x)=f(lnx)(lnx)“一4.设 f(x)=x 3 一 1g(x),其中 g(x)连续,则 g(1)=0 是 f(x)在 x=1 处可导的( )(分数:2.00)A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件 D.非充分非必要条件解析:解析: 因为 f“ (1)=f“ + (1
8、)=0,所以 f(x)在 x=1 处可导 设 f(x)在 x=1 处可导, 5.设 f(x)= (分数:2.00)A.极限不存在B.极限存在,但不连续C.连续,但不可导D.可导 解析:解析: 6.设 f(x)连续,且 (分数:2.00)A.f(x)在 x=0 处不可导B.f(x)在 x=0 处可导且 f“(0)0C.f(x)在 x=0 处取极小值D.f(x)在 x=0 处取极大值 解析:解析:由= =一 2 得 f(0)=1, 由极限的保号性,存在 0,当 0|x| 时,7.设 f(x)二阶连续可导,且 (分数:2.00)A.x=1 为 f(x)的极大点B.x=1 为 f(x)的极小点C.(1
9、,f(1)为 y=f(x)的拐点 D.x=1 不是 f(x)的极值点,(1,f(1)也不是 y=f(x)的拐点解析:解析:8.设 f(x)二阶连续可导,f“(0)=0,且 (分数:2.00)A.x=0 为 f(x)的极大点 B.x=0 为 f(x)的极小点C.(0,f(0)为 y=f(x)的拐点D.x=0 不是 f(x)的极值点,(0,f(0)也不是 y=f(x)的拐点解析:解析:因为 注意到 x 3 =o(x),所以当 0|x| 时,f“(x)0, 从而 f“(x)在(一,)内单调递减, 再由 f“(0)=0 得 二、填空题(总题数:3,分数:6.00)9.设 f(x)一阶可导,且 f(0)
10、=f“(0)=1,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2)解析:解析:10.设 f(x)为偶函数,且 f“(1)=2,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:8)解析:解析:因为 f(x)为偶函数,所以 f“(x)为奇函数,于是 f“(1)=2,11.设 f(x)在 x=a 处可导,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:10f(a)f“(a))解析:解析:因为 f(x)在 x=a 处可导,所以 f(x)在 x=a 处连续,三、解答题(总题数:18,分数:36.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.
11、00)_解析:13.设 f(x)=g(a+bx)一 g(abx),其中 g“(a)存在,求 f“(0)。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:14.设 f“(x)=x 一 ag(x),其中 g(x)连续,讨论 f“(a)的存在性(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:15.设 y= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:16.求下列函数的导数: (1) (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:17.设 y= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:18.设 y= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:19.(1)由方
12、程 sin(xy)+ln(yx)=x 确定函数 y=y(x),求 (2)设函数 y=y(x)由 2 xy =x+y,确定,求 dy x=0 (3)设 y=y(x)由 In(x 2 +y)=x 3 y+sinx 确定,求 (4)设由 e y +x(yx)=1+x确定 y=y(x),求 y“(0) (5)设 y=y(x)由 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)x=0 代入 sin(xy)+ln(yx)=x 得 y=1, (4)x=0 时,y=0 e y +x(yx)=1+x 两边关于 x 求导得一 e y y“+yx+x(y“一 1)=1,则 y“(0)=一 1; 一 e y y“+y
13、x+x(y“一 1)=1两边关于 x 求导得 e y (y“) 2 一 e y y“+2(y“一 1)+xy“=0, 代入得 y“(0)=一 3 (5)x=0 时,y=1 )解析:20.设 f(x)可导且 f“(0)0,且 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:21.设 y=ln(2+3 x ),求 dy x=0 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:22.设 y=y(x)由方程 e y +6xy+x 2 一 1=0 确定,求 y“(0)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:将 x=0 代入得 y=0, )解析:23.设 f(x)= (分数:2.00)_正确答案
14、:(正确答案: )解析:24.设 y=x 2 lnx,求 y (n) (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:y (n) =C n 0 x(lnx) (n) +C n 1 2x(lnx) (n1) +C n 2 2(lnx) n2 )解析:25.求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:26.设 f(x)=x(x 一 1)(x+2)(x 一 3)(x+100),求 f“(0)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 f“(x)=(x 一 1)(x+2)(x+100)+x(x+2)(x+100)+x(x 一 1)(x 一 99) 得f“(0)=(一 1)2(一 3)100=100!)解析:27.求 y=f(x)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:28.设 f(x)连续,且对任意的 x,y(,+)有 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,f“(0)=1,求 f(x)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:当 x=y0 时,f(0)=2f(0),于是 f(0)=0 对任意的 x(一,+), )解析:29.设 f(x)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析: