1、考研数学一（随机变量的数字特征）-试卷 1及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设随机变量 XE(1)，记 Y=max(X，1)，则 E(Y)=（分数：2.00）A.1B.1+e 1 C.1一 e 1 D.e 1 3.已知随机变量 X与 Y均服从 0-1分布，且 EXY= ，则 PX+Y1= （分数：2.00）A.B.C.D.4.设随机变量 X与 Y独立同分布，记 U=XY，V=X+Y，则随机变量 U与 V（分数：2.00）A.不独立B.独立C.相关系数
2、不为零D.相关系数为零5.设随机变量 XN(0，1)，YN(1，4)，且相关系数 XY =1，则（分数：2.00）A.PY=2X1=1B.PY=2X1=1C.PY=2X+1=1D.PY=2X+1=16.已知随机变量 X与 Y有相同的不为零的方差，则 X与 Y相关系数 =1 的充要条件是（分数：2.00）A.Cov(X+Y，X)=0B.Cov(X+Y，Y)=0C.Cov(X+Y，XY)=0D.Cov(XY，X)=0二、填空题(总题数：8，分数：16.00)7.已知随机变量 X在(1，2)上服从均匀分布，在 X=x条件下 Y服从参数为 x的指数分布，则 E(XY)= 1（分数：2.00）填空项 1
3、:_8.已知某零件的横截面是一个圆，对横截面的直径进行测量，其值在区间(1，2)上服从均匀分布，则横截面面积的数学期望为 1，方差为 2（分数：2.00）填空项 1:_9.设随机变量 X和 Y相互独立，且 XN(1，2)，YN(3，4)，则随机变量 Z=2X+3Y+5 的概率密度为f(z)= 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_11.设试验成功的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_12.已知随机变量 X 1 与 X 2 相互独立且分别服从参数为 1 ， 2 的泊松分布，PX 1 +X 2 0=1一 e 1 ，则 E(X 1 +
4、X 2 ) 2 = 1（分数：2.00）填空项 1:_13.已知(X，Y)在以点(0，0)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，对(X，Y)作 4次独立重复观察，观察值 X+Y不超过 1出现的次数为 Z，则 EZ 2 = 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设盒子中装有 m个颜色各异的球，有放回地抽取 n次，每次 1个球设 X表示 n次中抽到的球的颜色种数，则 EX= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：26.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_16.假设有 10只同种电子元件，其中有 2只废品装配
5、仪器时，从这 10只元件中任取一只，如是废品，则扔掉后再重新任取一只；如仍是废品，则扔掉后再任取一只求在取到正品之前，已取出的废品只数的数学期望和方差（分数：2.00）_17.已知随机变量 X的概率密度为 f(x)=Ae x(Bx) (一x+)，且 E(X)=2D(X)试求： ()常数A，B 之值； ()E(X 2 +e X )； ()Y= （分数：2.00）_18.投篮测试规则为每人最多投三次，投中为止，且第 i次投中得分为(4 一 i)分 i=1，2，3若三次均未投中不得分，假设某人投篮测试中投篮的平均次数为 156 次（分数：2.00）_19.甲、乙两人相约于某地在 12：0013：00
6、 会面，设 X，Y 分别是甲、乙到达的时间，且假设 X和 y相互独立，已知 X，Y 的概率密度分别为 （分数：2.00）_20.设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为 （分数：2.00）_21.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，且都服从数学期望为 1的指数分布，求 Z=minX 1 ，X 2 ，X n 的数学期望和方差（分数：2.00）_22.设随机变量 X在区间一 1，1上服从均匀分布，随机变量()Y= （分数：2.00）_23.设随机变量 X的概率密度为 f(x)，已知 D(X)=1，而随机变量 Y的概率密度为 f(y)，且 XY = （分数：2.00）_24.设随机变量
7、 X与 Y相互独立同分布，且 X的概率分布为 （分数：2.00）_25.设 A，B 为相互独立的随机事件，0P(A)=P1，且 A发生 B不发生与 B发生 A不发生的概率相等记随机变量 （分数：2.00）_26.已知二维随机变量(X，Y)的概率分布为 （分数：2.00）_27.设甲、乙两人随机决定次序对同一目标进行独立地射击，并约定：若第一次命中，则停止射击，否则由另一人进行第二次射击，不论命中与否，停止射击设甲、乙两人每次射击命中目标的概率依次为06 和 05 ()计算目标第二次射击时被命中的概率； ()设 X，Y 分别表示甲、乙的射击次数，求X与 Y的相关系数 XY （分数：2.00）_考
8、研数学一（随机变量的数字特征）-试卷 1答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设随机变量 XE(1)，记 Y=max(X，1)，则 E(Y)=（分数：2.00）A.1B.1+e 1 C.1一 e 1 D.e 1 解析：解析：如果先去求 Y的密度 f Y (y)，则计算量很大直接用随机变量函数的数学期望的定义式(44)，有 E(Y)=Emax(X，1)= max(x，1)f(x)dx， 其中 f(x)为指数分布的 X的密度函数，且f(x)= 所以 3.
9、已知随机变量 X与 Y均服从 0-1分布，且 EXY= ，则 PX+Y1= （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由 X与 Y均服从 0-1分布，可以列出(X，Y)的联合分布如下： 由二维离散型随机变量(X，Y)的函数的数学期望的定义式(45)可知，随机变量 Z=g(X，Y)=XY 的数学期望为 E(XY)=0.0.PX=0，Y=0+0.1.PX=0，Y=1+1.0.PX=1，Y=0+1.1.PX=1，Y=1 =PX=1，Y=1 即 P 22 = ，从而 PX+Y1=PX=0，Y=0+PX=0，Y=1+PX=1，Y=0 =P 11 +P 12 +P 21 =1一 P 22 = 4.设
10、随机变量 X与 Y独立同分布，记 U=XY，V=X+Y，则随机变量 U与 V（分数：2.00）A.不独立B.独立 C.相关系数不为零D.相关系数为零解析：解析：由于 X与 Y独立同分布，因此 E(X)=E(Y)，E(X 2 )=E(Y 2 )又 E(U)=E(XY)=E(X)一 E(Y)=0， E(UV)=E(XY)(X+Y)=E(X 2 一 Y 2 )=E(X 2 )一 E(Y 2 )=0， Cov(U，V)=E(UV)一 E(U)E()=0， 从而可知 U与 V的相关系数为零，故选(D) 由 X与 Y独立可知 p XY =0如果 X与 Y都服从正态分布，则 U=XY和 V=X+Y也都服从正
11、态分布，从而 U与 V相互独立，(A)不正确如果 X与 Y服从同一 0-1分布：PX=0=PY=0= ，PX=1=PY=1= 则 PU=1=PX=0，Y=1=PX=0PY=1= PV=2=PX=1，Y=1=PX=1PY=1= PU=1，V=2=P 5.设随机变量 XN(0，1)，YN(1，4)，且相关系数 XY =1，则（分数：2.00）A.PY=2X1=1B.PY=2X1=1C.PY=2X+1=1D.PY=2X+1=1 解析：解析：由于 X与 Y的相关系数 XY =10，因此 PY=aX+b=1，且 a0又因为 YN(1，4)，XN(0，1)，所以 EX=0，EY=1而 EY=E(aX+b)
12、=b 6.已知随机变量 X与 Y有相同的不为零的方差，则 X与 Y相关系数 =1 的充要条件是（分数：2.00）A.Cov(X+Y，X)=0B.Cov(X+Y，Y)=0C.Cov(X+Y，XY)=0D.Cov(XY，X)=0 解析：解析：直接用定义通过计算确定正确选项已知 DX=DY= 2 0，则 故选(D)其余选项均不正确，这是因为当 DX=DY时， 二、填空题(总题数：8，分数：16.00)7.已知随机变量 X在(1，2)上服从均匀分布，在 X=x条件下 Y服从参数为 x的指数分布，则 E(XY)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由题设知 f Y
13、X (yx)= 所以(X，Y)的联合密度函数 由二维连续型随机变量(X，Y)的函数的数学期望的定义式(46)可知，随机变量 X=g(X，Y)=XY 的学数期望为 8.已知某零件的横截面是一个圆，对横截面的直径进行测量，其值在区间(1，2)上服从均匀分布，则横截面面积的数学期望为 1，方差为 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：设横截面的直径为 X，则 X在区间(1，2)上服从均匀分布，概率密度为 设横截面的面积为 S，则 S= 根据随机变量的数学期望的性质与方差的计算公式，可得 由于 D(S)=E(S 2 )一E(S) 2 ，而 E(S 2 )=E E(X
14、 4 )，由随机变量函数的数学期望的定义式(44)可知，随机变量z=g(X)=X 4 的数学期望为 于是 故 D(S 2 )=E(S 2 )一E(S) 2 = 9.设随机变量 X和 Y相互独立，且 XN(1，2)，YN(3，4)，则随机变量 Z=2X+3Y+5 的概率密度为f(z)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为两个相互独立的正态随机变量的线性函数仍然服从正态分布，所以 z=2X+3Y+5 服从正态分布要求 f(z)= ，则需确定参数 与 的值又 E(Z)=，D(Z)= 2 ，因此归结为求 E(Z)与 D(Z)根据数学期望和方差的性质及 E(X
15、)=1， D(X)=2， E(Y)=3， D(Y)=4， 可得 E(Z)=E(2X+3Y+5)=2E(X)+3E(Y)+5 =(2)1+3(3)+5=6， D(Z)=D(2X+3Y+5)=(2) 2 D(X)+3 2 D(Y)=42+94=44 因此 Z的概率密度为 10.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：依题设，即求 EX 2 首先对所给概率密度作变换：对于 x(一x+)，有 由此可知随机变量 X服从正态分布，从而 EX= 于是 EX 2 =DX+(EX) 2 = 11.设试验成功的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （
16、正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 X表示试验成功两次时所进行的试验次数，Y 表示第一次试验成功所进行的试验次数，Z表示从第一次成功之后到第二次成功所进行的试验次数，则 X=Y+Z，且 Y与 z都服从同一几何分布，其概率分布为 PY=k=PZ=k= (k=1，2，)， 从而有 E(Y)=E(Z)= ，于是 E(X)=E(Y+Z)=E(Y)+E(Z)=12.已知随机变量 X 1 与 X 2 相互独立且分别服从参数为 1 ， 2 的泊松分布，PX 1 +X 2 0=1一 e 1 ，则 E(X 1 +X 2 ) 2 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：已
17、知 X I P( i )且相互独立，所以 EX i =DX i = i ，i=1，2 E(X 1 +X 2 ) 2 =E( = 1 + = 1 + 2 +( 1 + 2 ) 2 为求得最终结果我们需要由已知条件求得 1 + 2 因为 PX 1 +X 2 0=1 一 PX 1 +X 2 0=1 一 PX 1 +X 2 =0 =1一 PX 1 =0，X 2 =0=1一PX 1 =0PX 2 =0 13.已知(X，Y)在以点(0，0)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，对(X，Y)作 4次独立重复观察，观察值 X+Y不超过 1出现的次数为 Z，则 EZ 2 = 1（分数：2.0
18、0）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：由题设知(X，Y)的联合概率密度为 若记 A=“X+Y1”，则 Z是 4次独立重复试验事件 A发生的次数，故 ZB(4，P)，其中 P=P(A)=PX+Y1= f(x，y)dxdy =2 所以 EZ 2 =DZ+(EZ) 2 =4 14.设盒子中装有 m个颜色各异的球，有放回地抽取 n次，每次 1个球设 X表示 n次中抽到的球的颜色种数，则 EX= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 X i = 则 X=X 1 +X 2 +X m 事件“X i =0”表示 n次中没有抽到第 i种颜色的球，由于是
19、有放回抽取，n 次中各次抽取结果互不影响，因此有 三、解答题(总题数：13，分数：26.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：16.假设有 10只同种电子元件，其中有 2只废品装配仪器时，从这 10只元件中任取一只，如是废品，则扔掉后再重新任取一只；如仍是废品，则扔掉后再任取一只求在取到正品之前，已取出的废品只数的数学期望和方差（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 X表示在取到正品之前已取出的废品只数，则 X的可能取值是 0，1，2，其概率分布为 即 于是由随机变量的数学期望的定义式(41)及随机变量的函数的数学期望的定义式(43)分别可得
20、 所以 X的方差为 D(X)=E(X 2 )一E(X) 2 = )解析：17.已知随机变量 X的概率密度为 f(x)=Ae x(Bx) (一x+)，且 E(X)=2D(X)试求： ()常数A，B 之值； ()E(X 2 +e X )； ()Y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由 XN 且 E(X)=2D(X)，得到 E(X)= =2D(X)=1，即 B=2 而 ()E(X 2 +e X )=E(X 2 )+E(e X )而 E(X 2 )=D(X)+E(X) 2 = 所以 E(X 2 +e X )= ()由于 XN(1， (X一 1)N(0，1) 显然，当 y0 时，F(y)=
21、0；当 y0 时， )解析：解析：f(x)=Ae x(Bx) =Ae x2+Bx) = ，可以将 f(x)看成正态分布 N 18.投篮测试规则为每人最多投三次，投中为止，且第 i次投中得分为(4 一 i)分 i=1，2，3若三次均未投中不得分，假设某人投篮测试中投篮的平均次数为 156 次（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()设该投篮人投篮次数为 X，投篮得分为 Y；每次投篮命中率为 P(0P1)，则 X的概率分布为 PX=1=P，Px=2=Pq，PX=3=q 2 ， EX=P+2pq+3q 2 =P+2p(1一 p)+3(1一 P) 2 =P 2 3p+3 依题意 p 2 3p+3=
22、156， 即 P 2 3p+144=0 解得 P=06(P=24 不合题意，舍去) ()Y 可以取 0，1，2，3 四个可能值且 PY=0=q 3 =04 3 =0064， PY=1=pq 2 =0604 2 =0096 PY=2=Pq=0604=024，PY=3=P=06， 于是 EY= )解析：19.甲、乙两人相约于某地在 12：0013：00 会面，设 X，Y 分别是甲、乙到达的时间，且假设 X和 y相互独立，已知 X，Y 的概率密度分别为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 和 Y的联合概率密度为 按题意需要求的是XY的数学期望，即有(D 1 ，D 2 如图 42) )解析：
23、20.设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()当 z0 时，F(z)=0；当 z0 时， F(z)=PZz=PX 2 +Y 2 z 于是 由此可以看出，Z 服从参数为 的指数分布 ()由()的结果(指数分布)可知，EZ=2 2 ，DZ=4 4 ()PZ1= 或 PZ1=F(1)=1 一 (z服从参数为 )解析：21.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，且都服从数学期望为 1的指数分布，求 Z=minX 1 ，X 2 ，X n 的数学期望和方差（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X i (i=1，2，n)的分布函数为 由于诸 X
24、 i (i=1，2，n)相互独立，则 Z=minX 1 ，X 2 ，X n 的分布函数与概率密度分别为 由于 于是 D(Z)=E(Z 2 )一E(Z) 2 = )解析：22.设随机变量 X在区间一 1，1上服从均匀分布，随机变量()Y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 Y是 X的函数：Y=g(X)，因此计算 DY可以直接应用公式 EY=Eg(X)，或用定义计算 ()已知 Xf(x)= 则 故 DY=EY 2 一(EY) 2 =10=1 或者 EY=1PY=1+0PY=0+(1)PY=1 =PX0一 PX0= dx=0， 又 Y 2 = 所以 DY=EY 2 一(EY) 2 =E
25、Y 2 =PX0=PX0+PX0=1， Cov(X，Y)=EXYEXEY=EXY= ()由于 Y= =g(X)，故 又 Cov(X，Y)=EXYEXEY，其中 EX=0， 所以 Cov(X，Y)=1 )解析：23.设随机变量 X的概率密度为 f(x)，已知 D(X)=1，而随机变量 Y的概率密度为 f(y)，且 XY = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E(Z)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)= yf(y)dy 令 y=x，则 xf(x)dx， 所以 E(Z)=0 又 D(Y)=E(Y 2 )一E(Y) 2 =E(Y 2 )一一 E(X) 2 ， 而 E(Y 2 )= x 2 f(
26、x)dx=E(X 2 )， 所以 D(Y)=E(Y 2 )一一 E(X) 2 =E(X 2 )一E(X) 2 =D(X)=1 于是 D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y) =D(X)+D(Y)+2 . XY =1+1+ )解析：24.设随机变量 X与 Y相互独立同分布，且 X的概率分布为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()设(U，V)的分布为 ，则有 P 11 =PU=1，V=1=Pmax(X，Y)=1，min(X，Y)=1 =PX=1，Y=1=PX=1PY=1= P 12 =PU=1，V=2=Pmax(X，Y)=1，min(X，Y)=2=P( )=0， P
27、 22 =PU=2，V=2=Pmax(X，Y)=2，min(X，Y)=2 =PX=2，Y=2=PX=2PY=2= P 21 =1一 P 11 P 12 一 P 22 = 所以(U，V)的分布为 ()UV 可能取值为 1，2，4，所以 ()由()可知 )解析：25.设 A，B 为相互独立的随机事件，0P(A)=P1，且 A发生 B不发生与 B发生 A不发生的概率相等记随机变量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先要求出 X，Y，XY 的分布，从而计算得 EX，DX；EY，DY；EXY，最后计算得 由题设知 ，即 P(A一 B)=P(BA)，P(A)一 P(AB)=P(B)一 P(BA)
28、，故 P(A)=P(B)=p又 A与 B独立，所以 P(AB)=P(A)P(B)=p 2 从而得 X，Y，XY 的分布为 (这是因为 PXY=1=PX=1，Y=1=P(AB)=P 2 ) 由 EX=P，DX=p(1 一 p)；EY=p 2 ，DY=p 2 (1一 p 2 )； EXY=p 2 ，Cov(X，Y)=EXYEX.EY=p 2 一 p 3 =p 2 (1一 p)， 得 )解析：26.已知二维随机变量(X，Y)的概率分布为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()应用联合分布、边缘分布关系及 x与 y不相关求参数 a、b、c 由于 PX=1=05，故 PX=1=05，a=0501
29、01=03 又 X与 Y不相关 E(XY)=EX.EY，其中EX=(一 1)05+105=0 XY 可能取值为一 1，0，1，且 PXY=1=PX=1，Y=1+PX=1，Y=1=01+b， PXY=1=Px=1，Y=1+PX=1，Y=1=01+c， PXY=0=PX=1，Y=0+PX=1，Y=0=a+01， 所以 E(XY)=01b+01+c=cb，由 E(XY)=EXEY=0 cb=0，b=c， 又b+01+c=05，所以 b=c=02 ()由于 A=X=1 B=max(X，Y)=1，P(AB)=P(A)=05，0P(B)1，又 P(A)P(B)=05P(B)05=P(AB)，即 P(AB)
30、P(A)P(B)，所以 A与 B不独立 ()因为 Cov(X+Y，XY)=Cov(X，X)一 Cov(X，Y)+Coy(Y，X)一 Cov(Y，Y)=DXDY， DX=EX 2 一(EX) 2 =1，EY=0，DY=EY 2 一(EY) 2 =06， 所以 Cov(X+Y，XY)=106=040，X+Y 与 X一 Y相关 )解析：27.设甲、乙两人随机决定次序对同一目标进行独立地射击，并约定：若第一次命中，则停止射击，否则由另一人进行第二次射击，不论命中与否，停止射击设甲、乙两人每次射击命中目标的概率依次为06 和 05 ()计算目标第二次射击时被命中的概率； ()设 X，Y 分别表示甲、乙的
31、射击次数，求X与 Y的相关系数 XY （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()设 A表示甲先射击，则 表示乙先射击，又设 B i 表示在第 i次射击时目标被命中(i=1，2)，则由题意，有 P(A)=P ，P(B 2 A)=0405=02，P(B 2 )=0506=03 由全概率公式即得 P(B 2 )=P(A)P(B 2 A)+P(A)P(B 2 A)= 03=025 ()由题意知 PX=0，Y=0=0，PX=1，Y=0=P(AB 1 )=03， PX=0，Y=1=P( B 1 )=025，PX=1，Y=1=045， 所以(X，Y)的分布律及边缘分布律为 计算得EX=075，EY=07，DX=025075，DY=0307，E(XY)=045，于是 )解析：
