1、考研数学一（重积分，曲线、曲面积分）历年真题试卷汇编 1及答案解析(总分：106.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.(2010年试题，4) （分数：2.00）A.B.C.D.3.(2004年试题，二)设 f(x)为连续函数， （分数：2.00）A.2f(2)B.f(2)C.一 f(2)D.04.(2009年试题，一)如图 1一 62，正方形(x，y)x1,y1被其对角线划分为四个区域 D k (k=1，2，3，4)， 则 ( ) （分数：2.00）A.I 1B.I 2C.I
2、 3D.I 45.(2006年试题，二)设 f(x，y为连续函数，则 （分数：2.00）A.B.C.D.6.(2007年试题，一)设曲线 L：f(x，y)=1(f(x，y)具有一阶连续偏导数)，过第象限内的点 M和第象限的点 N，T 为 L从点 M到点 N的一段弧，则下列积分小于零的是( )（分数：2.00）A.B.C.D.7.(2000年试题，二)设 S：x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (z0)，S 1 为 S在第一卦限中的部分，则有( )（分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：14，分数：28.00)8.(2012年试题，二)设=(x，y，z)x+y+z=1，x0，y0
3、，z0，则 （分数：2.00）填空项 1:_9.(2001年试题，一)交换二次积分的积分次序： （分数：2.00）填空项 1:_10.(2009年试题，二)设 =(x，y，z)x 2 +y 2 +z 2 1，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.(2010年试题，二)设 =(x，y，z)x 2 +y 2 z1)，则 的形心坐标 （分数：2.00）填空项 1:_12.(2009年试题，二)已知曲线 L：y=x 2 (0x )，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.(1998年试题，一)设 L为椭圆 其周长记为 a，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.(2010年试题，11)已知曲线
4、 L的方程为 y=1一x(一 1x1)，起点为(一 1，0)，终点(1，0),（分数：2.00）填空项 1:_15.(2004年试题，一)设 L为正向圆周 x 2 +y 2 =2在第一象限中的部分，则曲线积分 （分数：2.00）填空项 1:_16.(2011年试题，二)设 L是柱面方程 x 2 +y 2 =1与平面 z=x+y的交线，从 z轴正向往 z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 （分数：2.00）填空项 1:_17.(2007年试题，二)设曲面：x+y+z=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_18.(2008年试题，二)设曲面是上半球面 的上侧，则 （分数：2.00）填空项 1:_
5、19.(2006年试题，一)设是锥面 (0x1)的下侧，则 （分数：2.00）填空项 1:_20.(2012年试题，二) （分数：2.00）填空项 1:_21.(2001年试题，一)设 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：29，分数：64.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_23.(2011年试题，19)已知函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1，y)=0，f(x，1)=0， ，其中D=(x，y)10x1，0y1，计算二重积分 （分数：2.00）_24.(21006年试题，15)设区域 D=(x，y)x 2 +y 2 1，x0，计算二重积分 （
6、分数：2.00）_25.(2005年试题，15)设 D=(x，y)x 2 +y 2 ，x0，y01+x 2 +y 2 表示不超过 1+x 2 +y 2 的最大整数计算二重积分 （分数：2.00）_26.(2002年试题，五)计算二重积分 （分数：2.00）_(2003年试题，八)设函数 f(x)连续且恒大于零， （分数：4.00）(1).讨论 F(t)在区间(0，+)内的单调性；（分数：2.00）_(2).证明当 t0时， （分数：2.00）_27.(1997年试题，三)计算 其中 为平面曲线 （分数：2.00）_28.(2001年试题，八)设有一高度为 h(t)(t为时间)的雪堆，在融化过程
7、中其侧面满足方程 （分数：2.00）_29.(2000年试题，八)设有一半径为 R的球体，P 0 是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到 P 0 距离的平方成正比(比例常数 k0)，求球体的重心位置（分数：2.00）_30.(2012年试题，三)已知 L是第一象限中从点(0，0)沿圆周 x 2 +y 2 =2x到点(2，0)，再沿圆周 x 2 +y 2 =4到点(0，2)的曲线段，计算曲线积分 （分数：2.00）_31.(2008年试题，16)计算曲线积分 （分数：2.00）_32.(2003年试题，五)已知平面区域 D=(x，y)10x，0)，L 为 D的正向边界，试证：(2)
8、 （分数：2.00）_33.(2000年试题，五)计算曲线积分 （分数：2.00）_34.(1999年试题，四)求 其中 a，b 为正的常数，L 为从点 A(2a，0)沿曲线 （分数：2.00）_35.(2006年试题，19)设在上半平面 D=(x，y)y0内，函数，(x，y)具有连续偏导数，且对任意的t0都有 f(tx，ty)=t -2 f(x,y)证明：对 D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 L，都有 （分数：2.00）_(2005年试题，19)设函数 (y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 L上，曲线积分（分数：4.00）(1).证明：对右半平面 x0内的任意分段光滑简单
9、闭曲线 C上，有 （分数：2.00）_(2).求函数 (y)的表达式（分数：2.00）_(2002年试题，六)设函数 f(x)在(一，+)内具有一阶连续导数，L 是上半平面(y0)内的有向分段光滑曲线，其起点为(a，b)，终点为(c，d)记 （分数：4.00）(1).证明曲线积分，与路径 L无关；（分数：2.00）_(2).当 ab=cd时，求 I的值（分数：2.00）_36.(1998年试题，四)确定常数 ，使在右半平面 x0上的向量 （分数：2.00）_(2009年试题，17)椭球面 S 1 是椭圆 绕 x轴旋转而成，圆锥面 S 2 是过点(4，0)且与椭圆 （分数：4.00）(1).求
10、S 1 及 S 2 的方程；（分数：2.00）_(2).求 S 1 与 S 2 之间的立体体积（分数：2.00）_37.(2001年试题，六)计算 I= （分数：2.00）_38.(1997年试题，三)计算曲线积分 其中 C是曲线 （分数：2.00）_39.(2010年试题，19)设 P为椭圆面 S：x 2 +y 2 +z 2 一 yz=1上的动点，若 S在点 P处的切平面与 xOy平面垂直，求点 P的轨迹 C，并计算曲线积分 （分数：2.00）_40.(1999年试题，八)设 S为椭球面 的上半部分，点 P(x，y，z)S， 为 S在点 P处的切平面，p(x，y，z)为点 0(0，0，0)到
11、平面 的距离，求 （分数：2.00）_41.(2009年试题，19)计算曲面积分 （分数：2.00）_42.(2007年试题，18)计算曲面积分 其中为曲面 z=1x 2 一 （分数：2.00）_43.(2005年试题，一)设 是由锥面 与半球面 围成的空间区域，是 的整个边界的外侧，则 （分数：2.00）_44.(2004年试题，三)计算曲面积分 （分数：2.00）_45.(2000年试题，六)设对于半空间 x0内任意的光滑有向封闭曲面 S都有 其中函数 f(x)在(0，+)内具有连续的一阶导数，且 （分数：2.00）_46.(1998年试题，六)计算 其中为下半球面 z=一 （分数：2.0
12、0）_考研数学一（重积分，曲线、曲面积分）历年真题试卷汇编 1答案解析(总分：106.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.(2010年试题，4) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：因 ，故根据积分的几何定义可知3.(2004年试题，二)设 f(x)为连续函数， （分数：2.00）A.2f(2)B.f(2) C.一 f(2)D.0解析：解析：由题设，二重积分 F(t)的被积函数为 f(x)，则应通过交换积分次序化为变上限定积分，即 4.(2009年试题，一)
13、如图 1一 62，正方形(x，y)x1,y1被其对角线划分为四个区域 D k (k=1，2，3，4)， 则 ( ) （分数：2.00）A.I 1 B.I 2C.I 3D.I 4解析：解析：利用二重积分区域的对称性以及被积函数的奇偶性可以方便求解，令 f(x，y)=ycosxD 1 ，D 3 两个区域关于 y轴对称，且 f(一 x，y)=ycos(一 x)=ycosx=f(x，y)，即被积函数是关于 x的偶函数，则 5.(2006年试题，二)设 f(x，y为连续函数，则 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：先用排除法若选择先 y后 x的积分顺序，则要分块积分，选项并未分块积分，所以可
14、排除A，B 选项又设 其中 D的极坐标表示为： (图 1一 65)考虑转换为先 x后 y的积分顺序因为 y=x与 x 2 +y 2 =1在第一象限的交点是 A ，所以 故选 C 6.(2007年试题，一)设曲线 L：f(x，y)=1(f(x，y)具有一阶连续偏导数)，过第象限内的点 M和第象限的点 N，T 为 L从点 M到点 N的一段弧，则下列积分小于零的是( )（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由 df(x，y)=f x “ dx+f y “ dy，又在弧 F上有 f(x，y)=1，则 A选项： C选项： D选项： B选项： 故 B选项正确解析二设 M，N 点的坐标分别为 M(
15、x 1 ，y 1 )，N(x 1 ，y 2 )，x 1 x 2 ，y 1 y 2 先将曲线方程代入积分表达式，再计算有： 7.(2000年试题，二)设 S：x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (z0)，S 1 为 S在第一卦限中的部分，则有( )（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：本题考查积分曲面和被积函数在具有对称性和奇偶性时第一型曲面积分的特殊性质，由题设所给 S及 S 1 。有 因此显然有 A,B,D不成立；关于 C，积分 的被积函数 z关于 x和 y都是偶函数，因而 同时积分曲面 S 1 关于 x，y，z 三轴对称，则由轮换对称性知， 所以 二、填空题(总题数：14，分数
16、：28.00)8.(2012年试题，二)设=(x，y，z)x+y+z=1，x0，y0，z0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：9.(2001年试题，一)交换二次积分的积分次序： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：首先明确题设，所给的二重积分的积分区域 D如图 16一 1所示因此原积分 ）解析：10.(2009年试题，二)设 =(x，y，z)x 2 +y 2 +z 2 1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 解析二根据变量轮换对称性知， 解析三因被积函数只与 z有关，与 xOy平面平行的平面与 的截面区域为 D：
17、x 2 +y 2 1 一 z 2 ，其面积为 (1 一 z 2 )，故而有： ）解析：11.(2010年试题，二)设 =(x，y，z)x 2 +y 2 z1)，则 的形心坐标 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 所表示区域的体积为*则 n的形心的竖坐标为*）解析：12.(2009年试题，二)已知曲线 L：y=x 2 (0x )，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由题意可知，y “ =2x，则 则 ）解析：13.(1998年试题，一)设 L为椭圆 其周长记为 a，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：本题考查对曲线积分性质的理
18、解，因为积分是沿着曲线 L进行的积分，因此曲线 L的方程可以直接代入被积表达式由题设 即为 3x 2 +4y 2 =12，因此 同时注意到被积表达式中的 2xy关于 x为奇函数，且曲线 L关于 x=0对称，则 从而原式= ）解析：解析：求曲线积分，应将曲线的方程代人被积函数，有时以直角坐标式代入，有时以参数式代入，有时曲线分段后才能代入，代入变形后化成定积分或重积分计算14.(2010年试题，11)已知曲线 L的方程为 y=1一x(一 1x1)，起点为(一 1，0)，终点(1，0),（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：根据 L 1 ：y=1+x，x一 1，0；L 2 ：y=
19、1 一x，x0，1及 L的方程可知，L=L 1 +L 2 ，故 解析二被积表达式可分成 2xy+x 2 和一 xy两部分，前者可求原函数，后者可转代定积分求解 ）解析：15.(2004年试题，一)设 L为正向圆周 x 2 +y 2 =2在第一象限中的部分，则曲线积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：如图 1一 71所示，设 L与 x，y 轴的交点分别为 P 1 ，P 2 所围区域为 D则由 构成封闭曲线正向，应用格林公式，有 所以 解析二由题设知，L 为 x 2 +y 2 =2在第一象限，则可写出其参数方程如下， 从而 ）解析：16.(2011年试题，二)设 L是柱面方
20、程 x 2 +y 2 =1与平面 z=x+y的交线，从 z轴正向往 z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由圆柱 x 2 +y 2 =1与 z=x+y围成的平面块的上侧位 s(按右手准则)，其法向量为 =一 1，一 1，1，方向余弦为 由斯托克斯公式得 因为 所以 ）解析：17.(2007年试题，二)设曲面：x+y+z=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：根据曲面的对称性， ）解析：18.(2008年试题，二)设曲面是上半球面 的上侧，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：记 D 1 为曲
21、面在 xOy平面中投影面的下侧，即x 2 +y 2 4(z=0)的下侧，记 D 2 为它的上侧， 为 D 1 和所围成的体积，则有 解析二采用投影法直接代入公式求解根据曲面的方程 其在 xOy面上的投影为 D xy ：x 2 +y 2 4，且有 则可得 ）解析：19.(2006年试题，一)设是锥面 (0x1)的下侧，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：如图 1一 74所示，添加辅助面 1 ：z=1(x 2 +y 2 1)，取法向量朝上，则有 对与 1 所围成的区域 ，用高斯公式得 所以 解析二采用投影法直接计算由 记 D xy ：x 2 +y 2 1 为在 xOy面上的
22、投影，代入公式化为二重积分得：原式= 其中利用了对称性 ）解析：解析：采用投影法和加、减曲面后利用高斯公式是求非封闭曲面上第二类曲面积分的常用方法20.(2012年试题，二) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 则由梯度定义, ）解析：21.(2001年试题，一)设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由梯度和散度的定义，有 由题设 则从而 由对称性易得到 因此 因而 ）解析：三、解答题(总题数：29，分数：64.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：23.(2011年试题，19)已知函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且
23、 f(1，y)=0，f(x，1)=0， ，其中D=(x，y)10x1，0y1，计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 又 于是 )解析：24.(21006年试题，15)设区域 D=(x，y)x 2 +y 2 1，x0，计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 163所示，D 为右半单位圆，它关于 x轴对称，可知 由此知 又因为 D 1 =(x，y)x 2 +y 2 1，y0，y0，作极坐标变换：x=rcos，y=rsin，则 所以 )解析：25.(2005年试题，15)设 D=(x，y)x 2 +y 2 ，x0，y01+x 2 +y 2 表示不超过 1+x
24、 2 +y 2 的最大整数计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意可知，在 D上： 将 D分成两块，其中 D 1 ：x 2 +y 2 2 ：1x 2 +y 2 于是 作极坐标变换有 有 解析二直接利用极坐标求解，即 )解析：26.(2002年试题，五)计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于题设所给被积函数为 e max(x1,y1) ，因此应将积分区域 D分块，分别求相应部分的积分值再累加，由已知 D=(x，y)0x1，0y1，则如图 1一 64所示显然应将 D划分为D 1 与 D 2 两部分，在 D 1 上 maxx 2 ，y 2 =x 2 ，在
25、D 2 上 maxx 2 ，y 2 =y 2 ，由此 解析二由于被积函数中的 x，y 具有可交换性，即 f(x，y)=e max(x2,y2) =f(y，x)，f(x，y)关于直线y=x对称，故而 )解析：(2003年试题，八)设函数 f(x)连续且恒大于零， （分数：4.00）(1).讨论 F(t)在区间(0，+)内的单调性；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设，结合积分区域的几何特点，可将原二、三重积分用极坐标、球坐标表示，可化为变上限定积分，即 674则 )解析：(2).证明当 t0时， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：同理可得 欲证明当 t0时, 即 等价于证明
26、引入辅助函数g(t)，令 由于 因此 g(t)在(0，+)内单调递增，且 g(t)在 x=0处连续及 g(0)=0，因而 t0时，g(t)g(0)=0，综上可知 )解析：解析：当积分区域的边界函数和被积函数中含有因子 x 2 +y 2 +z 2 时，常采用球坐标计算三重积分，它与直角坐标的关系为： 27.(1997年试题，三)计算 其中 为平面曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先明确积分区域 的几何特征，为此需求出旋转曲面的方程为 x 2 +y 2 =2z，该区域在 xOy平面上投影为 D xy (x，y)x 2 +y 2 16易看出选取柱坐标计算较为方便，则 解析二与可最后再对
27、 z积分，此时需用平行于 xDy平面的平面截积分域 ，截面为 D x =(x，y)x 2 +y 2 2x，0x8)，同样采用柱坐标计算，有 )解析：解析：选定坐标系后，适当调换积分顺序，往往使问题会进一步得到简化28.(2001年试题，八)设有一高度为 h(t)(t为时间)的雪堆，在融化过程中其侧面满足方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题关键是要导出 h(t)所满足的方程，根据题意，设 V为雪堆的体积，S 为雪堆的侧面积，则雪堆的侧面在 xOy平面上的投影为 则 又由题设知 因此 从而 结合初始条件 h(0)=130，得 C=130，于是 )解析：解析：本题综合考查了曲面面积和
28、立体体积的计算本题求解时可能出现的错误有：(1)审题错误，误认为侧面面积满足方程 (2)想从比例关系29.(2000年试题，八)设有一半径为 R的球体，P 0 是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到 P 0 距离的平方成正比(比例常数 k0)，求球体的重心位置（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设，首先建立直角坐标系如图 1一 66所示，则 P 0 为(R，0，0)，且球面方程为 x 0 +y 0 +z 0 =R 0 根据已知对称性，可知球体 的重心必在 x轴上。因此设重心坐标为(x 0 ，0，0)，由重心的物理意义知， 显然采用球坐标计算较为方便，则 702因此 从而
29、球体 的重心为 解析二设所考虑的球体为 ，球心为 0 “ ，以定点 P为原点，射线 P 0 O “ 为正 z轴，建立直角坐标系，则球面的方程为 x 2 +y 2 +z 2 =2Rz设力的重心为( )，则由对称性得， 故 球体 的重心位置为 )解析：解析：本题建立坐标系还可采取其他方式，所导致的不同只是在于球面方程和 P 0 点坐标的不同，而求解思路和步骤大同小异30.(2012年试题，三)已知 L是第一象限中从点(0，0)沿圆周 x 2 +y 2 =2x到点(2，0)，再沿圆周 x 2 +y 2 =4到点(0，2)的曲线段，计算曲线积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：补充线段 L
30、1 为，L 1 ：x=0，0y2，则由题意，L+L 1 所包围区域为平面上的有界闭区域，记为 D。则可利用格林公式计算 )解析：31.(2008年试题，16)计算曲线积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：L 是曲线 Y=sinx上从点(0，0)到点(，0)的一段，则 dy=cosdx。因此， 解析二采用格林公式添加 x轴上从点(，0)到点(0，0)的直线段 L 1 ，设 D为 L与 L 1 围成的封闭曲域，则 解析三将原积分拆成两部分分别积分： 因 ，故 I 1 与积分路径无关，I 1 = ，又 I 2 ，故 I=I 1 +I 2 = )解析：32.(2003年试题，五)已知平面区域
31、 D=(x，y)10x，0)，L 为 D的正向边界，试证：(2) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设，积分曲线如图 172所示(1)原式左边 原式右边 因此左边=右边，原式成立 (2)由 e -sinx +e sinx 2，由(1)已知得 解析二(1)由格林公式得， 因区域 D具有转换对称性，即关于直线 y=x具有对称性，则 (2)由(1)知 )解析：33.(2000年试题，五)计算曲线积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设，积分曲线是圆，原点(0，0)包含于内，因此不满足直接应用格林公式的条件，作一足够小的椭圆 使椭圆 C包含于 L内，记 不难验证 (x，y)(
32、0，0)，取 C为逆时针方向，由格林公式，有 将参数方程代入上式化为对参数的定积分，有原积分 )解析：解析：本题的关键是构造挖去奇点的闭曲线，若取其为圆，计算相当复杂，本题是选用的是椭圆此外，若 R0内，函数，(x，y)具有连续偏导数，且对任意的t0都有 f(tx，ty)=t -2 f(x,y)证明：对 D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 L，都有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意，不妨设 L取正向，D 内任意分段光滑有向简单闭曲线 L所围区域记为 D 0 ，D 0 cD，由格林公式有 将方程 f(tx，ty)=t 2 一 f(x，y)两边对 t求导，由复合函数求导法得xf 1 “ (tx，ty)+yf 2 “ (tx，ty)=一 2t -3 f(x，y)xf x “ (x，y)+f y “ (x，y)+2 厂(x，y)=0(x，y)D)代入(1)式即得 )解析：解析：本题的求证关键在于如何由已知条件 f(tx，ty)=t -2 (x，y)，得到一 f(x
