1、考研数学一(线性代数)模拟试卷 123及答案解析(总分:56.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:7,分数:14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.x=2 是 (分数:2.00)A.充分必要条件B.充分而非必要条件C.必要而非充分条件D.既不充分也非必要条件3.设 A是任一 n阶矩阵,下列交换错误的是(分数:2.00)A.A * A=AA * B.A m A p =A p A m C.A T A=AA T D.(A+E)(AE)=(AE)(A+E)4.若 1 , 2 , 3 线性无关,那么下列线性相关的向量组是(分数:2.0
2、0)A. 1 , 1 + 2 , 1 + 2 + 3 B. 1 + 2 , 1 2 , 3 C. 1 + 2 , 2 + 3 , 3 1 D. 1 2 , 2 3 , 3 1 5.已知 1 , 2 , 3 , 4 是齐次方程组 Ax=0的基础解系,则此方程组的基础解系还可以是(分数:2.00)A. 1 + 2 , 2 + 3 , 3 + 4 , 4 + 1 B. 1 , 2 , 3 + 4 , 3 4 C. 1 , 2 , 3 , 4 的一个等价向量组D. 1 , 2 , 3 , 4 的一个等秩的向量组6.设 0 是 A的特征向量,则 0 不一定是其特征向量的矩阵是(分数:2.00)A.(A+
3、E) 2 B.2AC.A T D.A * 7.矩阵 A= 舍同于 (分数:2.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:12,分数:24.00)8.已知 D n = (分数:2.00)填空项 1:_9.若 A= (分数:2.00)填空项 1:_填空项 1:_10.若 A 1 = (分数:2.00)填空项 1:_11.已知 A= (分数:2.00)填空项 1:_12.向量组 1 =(1,0,1,2) T , 2 =(1,1,3,1) T , 3 =(2,1,a+1,5) T 线性相关,则a= 1(分数:2.00)填空项 1:_13.向量组 1 =(1,1,3,0) T , 2 =(2,1,a,1
4、) T , 3 =(1,1,5,2) T 的秩为 2,则 a= 1(分数:2.00)填空项 1:_14.与 1 =(1,1,0,2) T , 2 =(2,3,1,1) T , 3 =(0,0,1,2) T 都正交的单位向量是 1(分数:2.00)填空项 1:_15.四元方程组 Ax=b的三个解是 1 , 2 , 3 ,其中 1 =(1,1,1,1) T , 2 + 3 =(2,3,4,5) T ,如 r(A)=3,则方程组 Ax=b的通解是 1(分数:2.00)填空项 1:_16.已知 1 =(3,2,0) T , 2 =(1,0,2) T 是方程组 (分数:2.00)填空项 1:_17.已知
5、2 是 A= (分数:2.00)填空项 1:_18.已知 A= (分数:2.00)填空项 1:_19.二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=x 2 2 +2x 1 x 3 的负惯性指数 q= 1(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:9,分数:18.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_21.若 A是对称矩阵,B 是反对称矩阵,则 AB是反对称矩阵的充要条件是 AB=BA(分数:2.00)_22.设 A是 n阶矩阵,A m =0,证明 EA 可逆(分数:2.00)_23.已知向量组 (分数:2.00)_24.设 A是 mn矩阵,B 是
6、ns矩阵,C 是 ms矩阵,满足 AB=C,如果秩 r(A)=n,证明秩 r(B)=r(C)(分数:2.00)_25.设 A是 n阶矩阵,证明方程组 Ax=b对任何 b都有解的充分必要条件是|A|0(分数:2.00)_26.已知 A是 3阶不可逆矩阵,1 和 2是 A的特征值,B=A 2 A2E,求 B的特征值,并问 B能否相似对角化,并说明理由(分数:2.00)_27.求正交变换化二次型 x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 4x 1 x 2 4x 2 x 3 4x 1 x 3 为标准形(分数:2.00)_28.设 A是 n阶正定矩阵,证明|A+2E|2 n (分数:2.00)_考研数学一
7、(线性代数)模拟试卷 123答案解析(总分:56.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:7,分数:14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.x=2 是 (分数:2.00)A.充分必要条件B.充分而非必要条件 C.必要而非充分条件D.既不充分也非必要条件解析:解析:对于范德蒙行列式3.设 A是任一 n阶矩阵,下列交换错误的是(分数:2.00)A.A * A=AA * B.A m A p =A p A m C.A T A=AA T D.(A+E)(AE)=(AE)(A+E)解析:解析:因为 AA * =A * A=|A|E,A
8、 m A p =A p A m =A m+p , (A+E)(AE)=(AE)(A+E)=A 2 E, 所以(A)、(B)、(D)均正确 而 AA T 4.若 1 , 2 , 3 线性无关,那么下列线性相关的向量组是(分数:2.00)A. 1 , 1 + 2 , 1 + 2 + 3 B. 1 + 2 , 1 2 , 3 C. 1 + 2 , 2 + 3 , 3 1 D. 1 2 , 2 3 , 3 1 解析:解析:用观察法由 ( 1 2 )+( 2 3 )+( 3 1 )=0, 可知 1 2 , 2 3 , 3 1 线性相关故应选(D) 至于(A),(B),(C)线性无关的判断可以用秩也可以用
9、行列式不为 0来判断 例如,(A)中 r( 1 , 1 + 2 , 1 + 2 + 3 )=r( 1 , 1 + 2 , 3 )=r( 1 , 2 , 3 )=3 或( 1 , 1 + 2 , 1 + 2 + 3 ) 5.已知 1 , 2 , 3 , 4 是齐次方程组 Ax=0的基础解系,则此方程组的基础解系还可以是(分数:2.00)A. 1 + 2 , 2 + 3 , 3 + 4 , 4 + 1 B. 1 , 2 , 3 + 4 , 3 4 C. 1 , 2 , 3 , 4 的一个等价向量组D. 1 , 2 , 3 , 4 的一个等秩的向量组解析:解析:向量组(A)线性相关,(A)不正确 1
10、 , 2 , 3 , 4 , 1 + 2 与 1 , 2 , 3 , 4 等价但前者线性相关,故(C)不正确 等秩的向量组不一定能互相线性表出,因而可能不是方程组的解,故(D)不正确选(B)6.设 0 是 A的特征向量,则 0 不一定是其特征向量的矩阵是(分数:2.00)A.(A+E) 2 B.2AC.A T D.A * 解析:解析:由|EA T |=|(EA) T |=|EA|,知 A与 A T 有相同的特征值,但方程组(EA)x=0与(EA T )x=0不一定同解,故 A与 A T 特征向量不一定相同故应选(C)7.矩阵 A= 舍同于 (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析:由矩阵
11、 A的特征多项式 |EA|二、填空题(总题数:12,分数:24.00)8.已知 D n = (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1)解析:解析: 9.若 A= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)填空项 1:_ (正确答案:0)解析:解析:用定义A 11 =3,A 12 =6,A 13 =3,A 21 =6,A 22 =12,A 23 =6,A 31 =3,A 32 =6,A 33 =3,故 10.若 A 1 = (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:因为(kA) * =k n1 A * ,故(3A) * =32A
12、* ,又 A * =|A|A 1 , 而|A 1 | =27,所以|A|=127 从而(3A) * =9A * 11.已知 A= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:左乘 A并把 AA * =|A|E代入得 |A|X=E+2AX, 移项得(|A|E2A)X=E故 X=(|A|E2A) 1 由|A|=4 知 X=(4E2A) 1 =12(2EA) 1 12.向量组 1 =(1,0,1,2) T , 2 =(1,1,3,1) T , 3 =(2,1,a+1,5) T 线性相关,则a= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1)解析:解析: 1
13、 , 2 , 3 线性相关 r( 1 , 2 , 3 )3 13.向量组 1 =(1,1,3,0) T , 2 =(2,1,a,1) T , 3 =(1,1,5,2) T 的秩为 2,则 a= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2)解析:解析:r( 1 , 2 , 3 )=2,计算秩 14.与 1 =(1,1,0,2) T , 2 =(2,3,1,1) T , 3 =(0,0,1,2) T 都正交的单位向量是 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:设 =(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ) T 与 1 , 2 , 3 均正交,则
14、 T i =0(i=1,2,3),即 求出基础解系:(1,1,2,1) T ,单位化得 15.四元方程组 Ax=b的三个解是 1 , 2 , 3 ,其中 1 =(1,1,1,1) T , 2 + 3 =(2,3,4,5) T ,如 r(A)=3,则方程组 Ax=b的通解是 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:(1,1,1,1) T +k(0,1,2,3) T)解析:解析:由( 2 + 3 )2 1 =( 2 1 )+( 3 1 )=(2,3,4,5) T 2(1,1,1,1) T =(0,1,2,3) T ,知(0,1,2,3) T 是 AX=0的解 又秩 r(A)=3,
15、nr(A)=1,所以 Ax=b的通解是(1,1,1,1) T +k(0,1,2,3) T 16.已知 1 =(3,2,0) T , 2 =(1,0,2) T 是方程组 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:(3,2,0) T +k(1,1,1) T)解析:解析:由于矩阵 A中有 2阶子式不为 0,故秩 r(A)2 又 1 2 是 Ax=0的非零解,知r(A)3 故必有 r(A)=2于是 nr(a)=1 所以方程组通解是:(3,2,0) T +k(1,1,1) T 17.已知2 是 A= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:4)解析:解析:因为2 是矩阵 A
16、的特征值,所以由 |2EA|18.已知 A= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0;1)解析:解析:由 AB,知a ii =b ii ,且1 是 A的特征值,即 19.二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=x 2 2 +2x 1 x 3 的负惯性指数 q= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1)解析:解析: 三、解答题(总题数:9,分数:18.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:21.若 A是对称矩阵,B 是反对称矩阵,则 AB是反对称矩阵的充要条件是 AB=BA(分数:2.00)_正确答案:(
17、正确答案:因为 A T =A,B T =B,那么(AB) T =B T A T =BA 若 AB是反对称矩阵,则(AB) T =AB,从而 AB=BA反之,若 AB=BA,则(AB) T =BA=AB,即 AB是反对称矩阵)解析:22.设 A是 n阶矩阵,A m =0,证明 EA 可逆(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 A m =0,有 EA m =E于是 (EA)(E+A+A 2 +A m1 )=EA m =E 所以EA 可逆,且(EA) 1 =E+A+A 2 +A m1 )解析:23.已知向量组 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 3 可由 1 , 2 , 3 线性表
18、示,故方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 3 有解由 并且秩 r( 1 , 2 , 3 )=2 于是 r( 1 , 2 , 3 )=2 从而| 1 , 2 , 3 | )解析:24.设 A是 mn矩阵,B 是 ns矩阵,C 是 ms矩阵,满足 AB=C,如果秩 r(A)=n,证明秩 r(B)=r(C)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:对齐次方程组()ABx=0,()Bx=0, 如 是()的解,有 B=0,那么AB=0,于是 是()的解 如 是()的解,有 AB=0,因为 A是 mn矩阵,秩 r(A)=n,所以Ax=0只有零解,从而 B=0于是 是()的解 因此方程组()
19、与()同解那么 sr(AB)=sr(B),即 r(AB)=r(B) 所以 r(B)=r(C)解析:25.设 A是 n阶矩阵,证明方程组 Ax=b对任何 b都有解的充分必要条件是|A|0(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:必要性对矩阵 A按列分块 A=( 1 , 2 , n ),则 b,Ax=b 有解 1 , 2 , n 可表示任何 n维向量 b 1 , 2 , n 可表示 e 1 =(1,0,0,0) T ,e 2 =(0,1,0,0) T ,e n =(0,0,0,1) T r( 1 , 2 , n )r(e 1 ,e 2 ,e n )=n r(A)=n 所以|A|0 充分性由克莱姆法
20、则,行列式|A|0 时方程组必有唯一解,故 )解析:26.已知 A是 3阶不可逆矩阵,1 和 2是 A的特征值,B=A 2 A2E,求 B的特征值,并问 B能否相似对角化,并说明理由(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为矩阵 A不可逆,有|A|=0,从而 =0 是 A的特征值 由于矩阵 A有 3个不同的特征值,则 于是 P 1 AP= 那么 P 1 A 2 P= 因此 P 1 BP=P 1 A 2 PP 1 AP2E )解析:27.求正交变换化二次型 x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 4x 1 x 2 4x 2 x 3 4x 1 x 3 为标准形(分数:2.00)_正确答案:(正
21、确答案:二次型矩阵 由特征多项式 |EA| =(+3)(3) 2 , 得特征值为 1 = 2 =3, 3 =3 由(3EA)x=0 得基础解系 1 =(1,1,0) T , 2 =(1,0,1) T ,即 =3 的特征向量是 1 , 2 由(3EA)x=0 得基础解系 3 =(1,1,1) T 对 1 , 2 经 Scemidt正交化,有 1 = 1 , 2 单位化,得 那么,令 x=Qy,其中 Q=( 1 , 2 , 3 ),则有 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=x T Ax=y T )解析:28.设 A是 n阶正定矩阵,证明|A+2E|2 n (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设矩阵 A的特征值是 1 , 2 , n 因为 A正定,故特征值 i 0(i=1,2,n)又 A+2E的特征值是 1 +2, 2 +2, n +2,所以 |A+2E|=( 1 +2)( 2 +2)( n +2)2 n )解析: