1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 123及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.x=2 是 （分数：2.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件C.必要而非充分条件D.既不充分也非必要条件3.设 A是任一 n阶矩阵，下列交换错误的是（分数：2.00）A.A * A=AA * B.A m A p =A p A m C.A T A=AA T D.(A+E)(AE)=(AE)(A+E)4.若 1 ， 2 ， 3 线性无关，那么下列线性相关的向量组是（分数：2.0
2、0）A. 1 ， 1 + 2 ， 1 + 2 + 3 B. 1 + 2 ， 1 2 ， 3 C. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 1 D. 1 2 ， 2 3 ， 3 1 5.已知 1 ， 2 ， 3 ， 4 是齐次方程组 Ax=0的基础解系，则此方程组的基础解系还可以是（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 B. 1 ， 2 ， 3 + 4 ， 3 4 C. 1 ， 2 ， 3 ， 4 的一个等价向量组D. 1 ， 2 ， 3 ， 4 的一个等秩的向量组6.设 0 是 A的特征向量，则 0 不一定是其特征向量的矩阵是（分数：2.00）A.(A+
3、E) 2 B.2AC.A T D.A * 7.矩阵 A= 舍同于 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：12，分数：24.00)8.已知 D n = （分数：2.00）填空项 1:_9.若 A= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_10.若 A 1 = （分数：2.00）填空项 1:_11.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_12.向量组 1 =(1，0，1，2) T ， 2 =(1，1，3，1) T ， 3 =(2，1，a+1，5) T 线性相关，则a= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.向量组 1 =(1，1，3，0) T ， 2 =(2，1，a，1
4、) T ， 3 =(1，1，5，2) T 的秩为 2，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.与 1 =(1，1，0，2) T ， 2 =(2，3，1，1) T ， 3 =(0，0，1，2) T 都正交的单位向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_15.四元方程组 Ax=b的三个解是 1 ， 2 ， 3 ，其中 1 =(1，1，1，1) T ， 2 + 3 =(2，3，4，5) T ，如 r(A)=3，则方程组 Ax=b的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_16.已知 1 =(3，2，0) T ， 2 =(1，0，2) T 是方程组 （分数：2.00）填空项 1:_17.已知
5、2 是 A= （分数：2.00）填空项 1:_18.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_19.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 2 2 +2x 1 x 3 的负惯性指数 q= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_21.若 A是对称矩阵，B 是反对称矩阵，则 AB是反对称矩阵的充要条件是 AB=BA（分数：2.00）_22.设 A是 n阶矩阵，A m =0，证明 EA 可逆（分数：2.00）_23.已知向量组 （分数：2.00）_24.设 A是 mn矩阵，B 是
6、ns矩阵，C 是 ms矩阵，满足 AB=C，如果秩 r(A)=n，证明秩 r(B)=r(C)（分数：2.00）_25.设 A是 n阶矩阵，证明方程组 Ax=b对任何 b都有解的充分必要条件是|A|0（分数：2.00）_26.已知 A是 3阶不可逆矩阵，1 和 2是 A的特征值，B=A 2 A2E，求 B的特征值，并问 B能否相似对角化，并说明理由（分数：2.00）_27.求正交变换化二次型 x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 4x 1 x 2 4x 2 x 3 4x 1 x 3 为标准形（分数：2.00）_28.设 A是 n阶正定矩阵，证明|A+2E|2 n （分数：2.00）_考研数学一
7、（线性代数）模拟试卷 123答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.x=2 是 （分数：2.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件 C.必要而非充分条件D.既不充分也非必要条件解析：解析：对于范德蒙行列式3.设 A是任一 n阶矩阵，下列交换错误的是（分数：2.00）A.A * A=AA * B.A m A p =A p A m C.A T A=AA T D.(A+E)(AE)=(AE)(A+E)解析：解析：因为 AA * =A * A=|A|E，A
8、 m A p =A p A m =A m+p ， (A+E)(AE)=(AE)(A+E)=A 2 E， 所以(A)、(B)、(D)均正确 而 AA T 4.若 1 ， 2 ， 3 线性无关，那么下列线性相关的向量组是（分数：2.00）A. 1 ， 1 + 2 ， 1 + 2 + 3 B. 1 + 2 ， 1 2 ， 3 C. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 1 D. 1 2 ， 2 3 ， 3 1 解析：解析：用观察法由 ( 1 2 )+( 2 3 )+( 3 1 )=0， 可知 1 2 ， 2 3 ， 3 1 线性相关故应选(D) 至于(A)，(B)，(C)线性无关的判断可以用秩也可以用
9、行列式不为 0来判断 例如，(A)中 r( 1 ， 1 + 2 ， 1 + 2 + 3 )=r( 1 ， 1 + 2 ， 3 )=r( 1 ， 2 ， 3 )=3 或( 1 ， 1 + 2 ， 1 + 2 + 3 ) 5.已知 1 ， 2 ， 3 ， 4 是齐次方程组 Ax=0的基础解系，则此方程组的基础解系还可以是（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 B. 1 ， 2 ， 3 + 4 ， 3 4 C. 1 ， 2 ， 3 ， 4 的一个等价向量组D. 1 ， 2 ， 3 ， 4 的一个等秩的向量组解析：解析：向量组(A)线性相关，(A)不正确 1
10、 ， 2 ， 3 ， 4 ， 1 + 2 与 1 ， 2 ， 3 ， 4 等价但前者线性相关，故(C)不正确 等秩的向量组不一定能互相线性表出，因而可能不是方程组的解，故(D)不正确选(B)6.设 0 是 A的特征向量，则 0 不一定是其特征向量的矩阵是（分数：2.00）A.(A+E) 2 B.2AC.A T D.A * 解析：解析：由|EA T |=|(EA) T |=|EA|，知 A与 A T 有相同的特征值，但方程组(EA)x=0与(EA T )x=0不一定同解，故 A与 A T 特征向量不一定相同故应选(C)7.矩阵 A= 舍同于 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由矩阵
11、 A的特征多项式 |EA|二、填空题(总题数：12，分数：24.00)8.已知 D n = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： 9.若 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析：用定义A 11 =3，A 12 =6，A 13 =3，A 21 =6，A 22 =12，A 23 =6，A 31 =3，A 32 =6，A 33 =3，故 10.若 A 1 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为(kA) * =k n1 A * ，故(3A) * =32A
12、* ，又 A * =|A|A 1 ， 而|A 1 | =27，所以|A|=127 从而(3A) * =9A * 11.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：左乘 A并把 AA * =|A|E代入得 |A|X=E+2AX， 移项得(|A|E2A)X=E故 X=(|A|E2A) 1 由|A|=4 知 X=(4E2A) 1 =12(2EA) 1 12.向量组 1 =(1，0，1，2) T ， 2 =(1，1，3，1) T ， 3 =(2，1，a+1，5) T 线性相关，则a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： 1
13、 ， 2 ， 3 线性相关 r( 1 ， 2 ， 3 )3 13.向量组 1 =(1，1，3，0) T ， 2 =(2，1，a，1) T ， 3 =(1，1，5，2) T 的秩为 2，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：r( 1 ， 2 ， 3 )=2，计算秩 14.与 1 =(1，1，0，2) T ， 2 =(2，3，1，1) T ， 3 =(0，0，1，2) T 都正交的单位向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：设 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 ) T 与 1 ， 2 ， 3 均正交，则
14、 T i =0(i=1，2，3)，即 求出基础解系：(1，1，2，1) T ，单位化得 15.四元方程组 Ax=b的三个解是 1 ， 2 ， 3 ，其中 1 =(1，1，1，1) T ， 2 + 3 =(2，3，4，5) T ，如 r(A)=3，则方程组 Ax=b的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1，1，1，1) T +k(0，1，2，3) T）解析：解析：由( 2 + 3 )2 1 =( 2 1 )+( 3 1 )=(2，3，4，5) T 2(1，1，1，1) T =(0，1，2，3) T ，知(0，1，2，3) T 是 AX=0的解 又秩 r(A)=3，
15、nr(A)=1，所以 Ax=b的通解是(1，1，1，1) T +k(0，1，2，3) T 16.已知 1 =(3，2，0) T ， 2 =(1，0，2) T 是方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(3，2，0) T +k(1，1，1) T）解析：解析：由于矩阵 A中有 2阶子式不为 0，故秩 r(A)2 又 1 2 是 Ax=0的非零解，知r(A)3 故必有 r(A)=2于是 nr(a)=1 所以方程组通解是：(3，2，0) T +k(1，1，1) T 17.已知2 是 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：因为2 是矩阵 A
16、的特征值，所以由 |2EA|18.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0；1）解析：解析：由 AB，知a ii =b ii ，且1 是 A的特征值，即 19.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 2 2 +2x 1 x 3 的负惯性指数 q= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： 三、解答题(总题数：9，分数：18.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：21.若 A是对称矩阵，B 是反对称矩阵，则 AB是反对称矩阵的充要条件是 AB=BA（分数：2.00）_正确答案：(
17、正确答案：因为 A T =A，B T =B，那么(AB) T =B T A T =BA 若 AB是反对称矩阵，则(AB) T =AB，从而 AB=BA反之，若 AB=BA，则(AB) T =BA=AB，即 AB是反对称矩阵)解析：22.设 A是 n阶矩阵，A m =0，证明 EA 可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A m =0，有 EA m =E于是 (EA)(E+A+A 2 +A m1 )=EA m =E 所以EA 可逆，且(EA) 1 =E+A+A 2 +A m1 )解析：23.已知向量组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 3 可由 1 ， 2 ， 3 线性表
18、示，故方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 3 有解由 并且秩 r( 1 ， 2 ， 3 )=2 于是 r( 1 ， 2 ， 3 )=2 从而| 1 ， 2 ， 3 | )解析：24.设 A是 mn矩阵，B 是 ns矩阵，C 是 ms矩阵，满足 AB=C，如果秩 r(A)=n，证明秩 r(B)=r(C)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对齐次方程组()ABx=0，()Bx=0， 如 是()的解，有 B=0，那么AB=0，于是 是()的解 如 是()的解，有 AB=0，因为 A是 mn矩阵，秩 r(A)=n，所以Ax=0只有零解，从而 B=0于是 是()的解 因此方程组()
19、与()同解那么 sr(AB)=sr(B)，即 r(AB)=r(B) 所以 r(B)=r(C)解析：25.设 A是 n阶矩阵，证明方程组 Ax=b对任何 b都有解的充分必要条件是|A|0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性对矩阵 A按列分块 A=( 1 ， 2 ， n )，则 b，Ax=b 有解 1 ， 2 ， n 可表示任何 n维向量 b 1 ， 2 ， n 可表示 e 1 =(1，0，0，0) T ，e 2 =(0，1，0，0) T ，e n =(0，0，0，1) T r( 1 ， 2 ， n )r(e 1 ，e 2 ，e n )=n r(A)=n 所以|A|0 充分性由克莱姆法
20、则，行列式|A|0 时方程组必有唯一解，故 )解析：26.已知 A是 3阶不可逆矩阵，1 和 2是 A的特征值，B=A 2 A2E，求 B的特征值，并问 B能否相似对角化，并说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为矩阵 A不可逆，有|A|=0，从而 =0 是 A的特征值 由于矩阵 A有 3个不同的特征值，则 于是 P 1 AP= 那么 P 1 A 2 P= 因此 P 1 BP=P 1 A 2 PP 1 AP2E )解析：27.求正交变换化二次型 x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 4x 1 x 2 4x 2 x 3 4x 1 x 3 为标准形（分数：2.00）_正确答案：(正
21、确答案：二次型矩阵 由特征多项式 |EA| =(+3)(3) 2 ， 得特征值为 1 = 2 =3， 3 =3 由(3EA)x=0 得基础解系 1 =(1，1，0) T ， 2 =(1，0，1) T ，即 =3 的特征向量是 1 ， 2 由(3EA)x=0 得基础解系 3 =(1，1，1) T 对 1 ， 2 经 Scemidt正交化，有 1 = 1 ， 2 单位化，得 那么，令 x=Qy，其中 Q=( 1 ， 2 ， 3 )，则有 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax=y T )解析：28.设 A是 n阶正定矩阵，证明|A+2E|2 n （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设矩阵 A的特征值是 1 ， 2 ， n 因为 A正定，故特征值 i 0(i=1，2，n)又 A+2E的特征值是 1 +2， 2 +2， n +2，所以 |A+2E|=( 1 +2)( 2 +2)( n +2)2 n )解析：
