1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学文 一 .选择题 : 每小题 5 分,共 50 分 1.已知 a, b R, i 是虚数单位,若 a+i=2-bi,则 (a+bi)2=( ) A. 3-4i B. 3+4i C. 4-3i D. 4+3i 解析: a+i=2 -bi, a=2 、 b=-1,则 (a+bi)2=(2-i)2=3-4i, 答案: A. 2.设集合 A=x|x2-2x 0, B=x|1x4 ,则 AB= ( ) A. (0, 2 B. (1, 2) C. 1, 2) D. (1, 4) 解析: A=x|0 x 2, B=x|1x4 , AB=x|1x 2. 答
2、案: C. 3.函数 f(x)= 的定义域为 ( ) A. (0, 2) B. (0, 2 C. (2, +) D. 2, +) 解析: 由题意可得, ,解得 ,即 x 2. 所求定义域为 (2, +). 答案: C. 4.用反证法证明命题 “ 设 a, b 为实数,则方程 x3+ax+b=0 至少有一个实根 ” 时,要做的假设是 ( ) A. 方程 x3+ax+b=0 没有实根 B. 方程 x3+ax+b=0 至多有一个实根 C. 方程 x3+ax+b=0 至多有两个实根 D. 方程 x3+ax+b=0 恰好有两个实根 解析: 反证法证明问题时,反设实际是命题的否定, 用反证法证明命题 “
3、设 a, b 为实数,则方程 x3+ax+b=0 至少有一个实根 ” 时,要做的假设是:方程 x3+ax+b=0 没有实根 . 答案: A. 5.已知实数 x, y 满足 ax ay(0 a 1),则下列关系式恒成立的是 ( ) A. x3 y3 B. sinx siny C. ln(x2+1) ln(y2+1) D. 解析: 实数 x, y 满足 ax ay(0 a 1), x y, A.当 x y 时, x3 y3,恒成立, B.当 x= , y= 时,满足 x y,但 sinx siny 不成立 . C.若 ln(x2+1) ln(y2+1),则等价为 x2 y2成立,当 x=1, y=
4、-1 时,满足 x y,但 x2 y2不成立 . D.若 ,则等价为 x2+1 y2+1,即 x2 y2,当 x=1, y=-1 时,满足 x y,但 x2 y2不成立 . 答案: A. 6.已知函数 y=loga(x+c)(a, c 为常数,其中 a 0, a1 )的图象如图所示,则下列结论成立的是 ( ) A. a 1, c 1 B. a 1, 0 c 1 C. 0 a 1, c 1 D. 0 a 1, 0 c 1 解析: 函数单调递减, 0 a 1, 当 x=1 时 loga(x+c)=loga(1+c) 0,即 1+c 1,即 c 0, 当 x=0 时 loga(x+c)=logac
5、0,即 c 1,即 0 c 1, 答案: D. 7.已知向量 =(1, ), =(3, m),若向量 , 的夹角为 ,则实数 m=( ) A. 2 B. C. 0 D. - 解析: 由题意可得 cos = = = ,解得 m= , 答案: B. 8.为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验 .所有志愿者的舒张压数据 (单位:kPa)的分组区间为 12, 13), 13, 14), 14, 15), 15, 16), 16, 17,将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组, ,第五组 .如图是根据试验数据制成的频率分布直方图 .已知第一组与第二组共有 20 人,第三组中没有疗效的有
6、 6 人,则第三组中有疗效的人数为 ( ) A. 6 B. 8 C. 12 D. 18 解析: 由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有 20 人,分布在区间第一组与第二组的频率分别为 0.24, 0.16,所以第一组有 12 人,第二组 8 人,第三组的频率为 0.36,所以第三组的人数: 18 人, 第三组中没有疗效的有 6 人, 第三组中有疗效的有 12 人 . 答案: C. 9.对于函数 f(x),若存在常数 a0 ,使得 x 取定义域内的每一个值,都有 f(x)=f(2a-x),则称 f(x)为准偶函数,下列函数中是准偶函数的是 ( ) A. f(x)= B. f(x)=x2 C.
7、f(x)=tanx D. f(x)=cos(x+1) 解析: 对于函数 f(x),若存在常数 a0 ,使得 x取定义域内的每一个值,都有 f(x)=f(2a-x),则称 f(x)为准偶函数, 函数的对称轴是 x=a, a0 , 选项 A 函数没有对称轴;选项 B、函数的对称轴是 x=0,选项 C,函数没有对称轴 . 函数 f(x)=cos(x+1),有对称轴,且 x=0 不是对称轴,选项 D 正确 . 答案: D. 10.已知 x, y 满足约束条件 ,当目标函数 z=ax+by(a 0, b 0)在该约束条件下取到最小值 2 时, a2+b2的最小值为 ( ) A. 5 B. 4 C. D.
8、 2 解析: 由约束条件 作可行域如图, 联立 ,解得: A(2, 1). 化目标函数为直线方程得: (b 0). 由图可知,当直线 过 A 点时,直线在 y 轴上的截距最小, z 最小 . 2a+b=2 .即 2a+b-2 =0.则 a2+b2的最小值为 . 答案: B. 二 .填空题每小题 5 分,共 25 分 11.执行如图所示的程序框图,若输入的 x 的值为 1,则输出的 n 的值为 . 解析: 循环前输入的 x 的值为 1, 第 1 次循环, x2-4x+3=00 , 满足判断框条件, x=2, n=1, x2-4x+3=-10 , 满足判断框条件, x=3, n=2, x2-4x+
9、3=00 满足判断框条件, x=4, n=3, x2-4x+3=3 0,不满足判断框条件, 输出 n: 3. 答案: 3. 12.函数 y= sin2x+cos2x 的最小正周期为 . 解析: 函数 y= sin2x+cos2x= sin2x+ =sin(2x+ )+ , 故函数的最小正周期的最小正周期为 = , 故答案为: . 13.一个六棱锥的体积为 2 ,其底面是边长为 2 的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为 . 解析: 一个六棱锥的体积为 2 ,其底面是边长为 2 的正六边形,侧棱长都相等, 棱锥是正六棱锥,设棱锥的高为 h,则 , h=1 , 棱锥的斜高为: = =2,
10、该六棱锥的侧面积为: =12. 答案: 12. 14.圆心在直线 x-2y=0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切,圆 C截 x轴所得弦的长为 2 ,则圆 C 的标准方程为 . 解析: 设圆心为 (2t, t),半径为 r=|2t|, 圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2 , t 2+3=4t2, t=1 ,其中 t=-1 不符合题意,舍去, 故 t=1, 2t=2, (x -2)2+(y-1)2=4. 答案: (x-2)2+(y-1)2=4. 15.已知双曲线 - =1(a 0, b 0)的焦距为 2c,右顶点为 A,抛物线 x2=2py(p 0)的焦点为 F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长
11、为 2c,且 |FA|=c,则双曲线的渐近线方程为 . 解析: 右顶点为 A, A(a , 0), F 为抛物线 x2=2py(p 0)的焦点, F , |FA|=c , 抛物线的准线方程为 由 得 , , c2=2a2, c 2=a2+b2, a=b , 双曲线的渐近线方程为: y=x , 答案 : y=x. 三 .解答题共 6小题,共 75 分 16.(12 分 )海关对同时从 A, B, C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此商品的数量 (单位:件 )如表所示 .工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测 . ( )求这 6 件样品来自 A, B,
12、 C 各地区商品的数量; ( )若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测,求这 2 件商品来自相同地区的概率 . 解析: () 先计算出抽样比,进而可求出这 6 件样品来自 A, B, C 各地区商品的数量; () 先计算在这 6 件样品中随机抽取 2 件的基本事件总数,及这 2 件商品来自相同地区的事件个数,代入古典概型概率计算公式,可得答案 . 答案 : ()A , B, C 三个地区商品的总数量为 50+150+100=300,故抽样比 k= = , 故 A 地区抽取的商品的数量为: 50=1 ; B 地区抽取的商品的数量为: 150=3 ; C 地区抽取的商品的数量
13、为: 100=2; () 在这 6 件样品中随机抽取 2 件共有: =15 个不同的基本事件; 且这些事件是等可能发生的, 记 “ 这 2 件商品来自相同地区 ” 为事件 A, 则 A 中包含 =4 种不同的基本事件,故 P(A)= , 即这 2 件商品来自相同地区的概率为 . 17.(12 分 )ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c.已知 a=3, cosA= , B=A+ . ( )求 b 的值; ( )求 ABC 的面积 . 解析: () 利用 cosA 求得 sinA,进而利用 A 和 B 的关系求得 sinB,最后利用正弦定理求得b 的值 . () 利用 s
14、inB,求得 cosB 的值,进而根两角和公式求得 sinC 的值,最后利用三角形面积公式求得答案 . 答案 : ()cosA= , sinA= = , B=A+ .sinB=sin(A+ )=cosA= , 由正弦定理知 = , b= sinB= =3 . ()sinB= , B=A+ , cosB= - =- , sinC=sin( -A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= ( - )+ = , S= a b sinC= 33 = . 18.(12 分 )如图,四棱锥 P-ABCD 中, AP 平面 PCD, ADBC , AB=BC= AD, E, F 分别为线
15、段 AD, PC 的中点 . ( )求证: AP 平面 BEF; ( )求证: BE 平面 PAC. 解析: () 证明四边形 ABCE 是平行四边形,可得 O 是 AC 的中点,利用 F 为线段 PC 的中点,可得 PAOF ,从而可证 AP 平面 BEF; () 证明 BEAP 、 BEAC ,即可证明 BE 平面 PAC. 答案 : () 连接 CE,则 ADBC , BC= AD, E 为线段 AD 的中点, 四边形 ABCE 是平行四边形, BCDE 是平行四边形, 设 ACBE=O ,连接 OF,则 O 是 AC 的中点, F 为线段 PC 的中点, PAOF , PA 平面 BE
16、F, OF平面 BEF, AP 平面 BEF; ()BCDE 是平行四边形, BECD , AP 平面 PCD, CD平面 PCD, APCD , BEAP , AB=BC ,四边形 ABCE 是平行四边形, 四边形 ABCE 是菱形, BEAC , APAC=A , BE 平面 PAC. 19.(12 分 )在等差数列 an中,已知公差 d=2, a2是 a1与 a4的等比中项 . ( )求数列 an的通项公式; ( )设 bn=a ,记 Tn=-b1+b2-b3+b4-+ (-1)nbn,求 Tn. 解析: () 由于 a2是 a1与 a4的等比中项,可得 ,再利用等差数列的通项公式即可得
17、出 . () 利用 () 可得 bn=a =n(n+1),因此Tn=-b1+b2-b3+b4-+( -1)nbn=-1(1+1)+2(2+1) -+( -1)nn(n+1).对 n 分奇偶讨论即可得出 . 答案 : ()a 2是 a1与 a4的等比中项, , 在等差数列 an中,公差 d=2, ,即 , 化为 ,解得 a1=2. a n=a1+(n-1)d=2+(n-1)2=2n. ()b n=a =n(n+1), T n=-b1+b2-b3+b4-+( -1)nbn=-1(1+1)+2(2+1) -+( -1)nn(n+1). 当 n=2k(k N*)时, b2k-b2k-1=2k(2k+1
18、)-(2k-1)(2k-1+1)=4k Tn=(b2-b1)+(b4-b3)+(b 2k-b2k-1) =4(1+2+k)=4 =2k(k+1)= . 当 n=2k-1(k N*)时, Tn=(b2-b1)+(b4-b3)+(b 2k-2-b2k-3)-b2k-1= n(n+1)=- . 故 Tn= . 20.(13 分 )设函数 f(x)=alnx+ ,其中 a 为常数 . ( )若 a=0,求曲线 y=f(x)在点 (1, f(1)处的切线方程; ( )讨论函数 f(x)的单调性 . 解析: () 根据导数的几何意义,曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 y-f(1)=f(1)(x
19、 -1),代入计算即可 . () 先对其进行求导,即 ,考虑函数 g(x)=ax2+(2a+2)x+a,分成a0 , - a 0, a - 三种情况分别讨论即可 . 答案 : , () 当 a=0 时, , f(1)= , f(1)=0 曲线 y=f(x)在点 (1, f(1)处的切线方程为 y= (x-1). ()(1) 当 a0 时,由 x 0 知 f(x) 0,即 f(x)在 (0, +) 上单调递增; (2)当 a 0 时,令 f(x) 0,则 0,整理得, ax2+(2a+2)x+a 0, 令 f(x) 0,则 0,整理得, ax2+(2a+2)x+a 0. 以下考虑函数 g(x)=
20、ax2+(2a+2)x+a, g(0)=a 0. ,对称轴方程. 当 a - 时, 0 , g(x) 0 恒成立 .(x 0) 当 - a 0 时,此时,对称轴方程 0, g(x)=0 的两根均大于零,计算得 当 x 时, g(x) 0; 当 0 x 或 x 时, g(x) 0. 综合 (1)(2)可知, 当 a - 时, f(x)在 (0, +) 上单调递减; 当 - a 0 时, f(x)在 ( , )上单调递增,在 (0,), ( , +) 上单调递减; 当 a0 时, f(x)在 (0, +) 上单调递增 . 21.(14 分 )在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: + =1(a
21、b 0)的离心率为 ,直线y=x 被椭圆 C 截得的线段长为 . ( )求椭圆 C 的方程; ( )过原点的直线与椭圆 C 交于 A, B 两点 (A, B 不是椭圆 C 的顶点 ).点 D 在椭圆 C 上,且ADAB ,直线 BD 与 x 轴、 y 轴分别交于 M, N 两点 . (i)设直线 BD, AM 的斜率分别为 k1, k2,证明存在常数 使得 k1=k 2,并求出 的值; (ii)求 OMN 面积的最大值 . 解析: () 由椭圆离心率得到 a, b 的关系,化简椭圆方程,和直线方程联立后求出交点的横坐标,把弦长用交点横坐标表示,则 a 的值可求,进一步得到 b 的值,则椭圆方程
22、可求; ()(i) 设出 A, D 的坐标分别为 (x1, y1)(x1y10) , (x2, y2),用 A的坐标表示 B的坐标,把 AB 和 AD 的斜率都用 a 的坐标表示,写出直线 AD的方程,和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到 AD 横纵坐标的和,求出 AD 中点坐标,则 BD 斜率可求,再写出 BD 所在直线方程,取 y=0 得到 M 点坐标,由两点求斜率得到 AM 的斜率,由两直线斜率的关系得到 的值; (ii)由 BD 方程求出 N 点坐标,结合 (i)中求得的 M 的坐标得到 OMN 的面积,然后结合椭圆方程利用基本不等式求最值 . 答案 : () 由题意知, ,则 a2=
23、4b2. 椭圆 C 的方程可化为 x2+4y2=a2. 将 y=x 代入可得 , 因此 ,解得 a=2.则 b=1. 椭圆 C 的方程为 ; ()(i) 设 A(x1, y1)(x1y10) , D(x2, y2),则 B(-x1, -y1). 直线 AB 的斜率 , 又 ABAD , 直线 AD 的斜率 . 设 AD 方程为 y=kx+m,由题意知 k0 , m0. 联立 ,得 (1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0. . 因此 . 由题意可得 . 直线 BD 的方程为 . 令 y=0,得 x=3x1,即 M(3x1, 0).可得 . ,即 .因此存在常数 使得结论成立 . (ii)直线 BD 方程为 , 令 x=0,得 ,即 N( ). 由 (i)知 M(3x1, 0), 可得 OMN 的面积为 S= . 当且仅当 时等号成立 .OMN 面积的最大值为 .