1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学文 一 .选择题 ： 每小题 5 分，共 50 分 1.已知 a， b R， i 是虚数单位，若 a+i=2-bi，则 (a+bi)2=( ) A. 3-4i B. 3+4i C. 4-3i D. 4+3i 解析： a+i=2 -bi， a=2 、 b=-1，则 (a+bi)2=(2-i)2=3-4i， 答案： A. 2.设集合 A=x|x2-2x 0， B=x|1x4 ，则 AB= ( ) A. (0， 2 B. (1， 2) C. 1， 2) D. (1， 4) 解析： A=x|0 x 2， B=x|1x4 ， AB=x|1x 2. 答
2、案： C. 3.函数 f(x)= 的定义域为 ( ) A. (0， 2) B. (0， 2 C. (2， +) D. 2， +) 解析： 由题意可得， ，解得 ，即 x 2. 所求定义域为 (2， +). 答案： C. 4.用反证法证明命题 “ 设 a， b 为实数，则方程 x3+ax+b=0 至少有一个实根 ” 时，要做的假设是 ( ) A. 方程 x3+ax+b=0 没有实根 B. 方程 x3+ax+b=0 至多有一个实根 C. 方程 x3+ax+b=0 至多有两个实根 D. 方程 x3+ax+b=0 恰好有两个实根 解析： 反证法证明问题时，反设实际是命题的否定， 用反证法证明命题 “
3、设 a， b 为实数，则方程 x3+ax+b=0 至少有一个实根 ” 时，要做的假设是：方程 x3+ax+b=0 没有实根 . 答案： A. 5.已知实数 x， y 满足 ax ay(0 a 1)，则下列关系式恒成立的是 ( ) A. x3 y3 B. sinx siny C. ln(x2+1) ln(y2+1) D. 解析： 实数 x， y 满足 ax ay(0 a 1)， x y， A.当 x y 时， x3 y3，恒成立， B.当 x= ， y= 时，满足 x y，但 sinx siny 不成立 . C.若 ln(x2+1) ln(y2+1)，则等价为 x2 y2成立，当 x=1， y=
4、-1 时，满足 x y，但 x2 y2不成立 . D.若 ，则等价为 x2+1 y2+1，即 x2 y2，当 x=1， y=-1 时，满足 x y，但 x2 y2不成立 . 答案： A. 6.已知函数 y=loga(x+c)(a， c 为常数，其中 a 0， a1 )的图象如图所示，则下列结论成立的是 ( ) A. a 1， c 1 B. a 1， 0 c 1 C. 0 a 1， c 1 D. 0 a 1， 0 c 1 解析： 函数单调递减， 0 a 1， 当 x=1 时 loga(x+c)=loga(1+c) 0，即 1+c 1，即 c 0， 当 x=0 时 loga(x+c)=logac
5、0，即 c 1，即 0 c 1， 答案： D. 7.已知向量 =(1， )， =(3， m)，若向量 ， 的夹角为 ，则实数 m=( ) A. 2 B. C. 0 D. - 解析： 由题意可得 cos = = = ，解得 m= ， 答案： B. 8.为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验 .所有志愿者的舒张压数据 (单位：kPa)的分组区间为 12， 13)， 13， 14)， 14， 15)， 15， 16)， 16， 17，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组， ，第五组 .如图是根据试验数据制成的频率分布直方图 .已知第一组与第二组共有 20 人，第三组中没有疗效的有
6、 6 人，则第三组中有疗效的人数为 ( ) A. 6 B. 8 C. 12 D. 18 解析： 由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有 20 人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为 0.24， 0.16，所以第一组有 12 人，第二组 8 人，第三组的频率为 0.36，所以第三组的人数： 18 人， 第三组中没有疗效的有 6 人， 第三组中有疗效的有 12 人 . 答案： C. 9.对于函数 f(x)，若存在常数 a0 ，使得 x 取定义域内的每一个值，都有 f(x)=f(2a-x)，则称 f(x)为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是 ( ) A. f(x)= B. f(x)=x2 C.
7、f(x)=tanx D. f(x)=cos(x+1) 解析： 对于函数 f(x)，若存在常数 a0 ，使得 x取定义域内的每一个值，都有 f(x)=f(2a-x)，则称 f(x)为准偶函数， 函数的对称轴是 x=a， a0 ， 选项 A 函数没有对称轴；选项 B、函数的对称轴是 x=0，选项 C，函数没有对称轴 . 函数 f(x)=cos(x+1)，有对称轴，且 x=0 不是对称轴，选项 D 正确 . 答案： D. 10.已知 x， y 满足约束条件 ，当目标函数 z=ax+by(a 0， b 0)在该约束条件下取到最小值 2 时， a2+b2的最小值为 ( ) A. 5 B. 4 C. D.
8、 2 解析： 由约束条件 作可行域如图， 联立 ，解得： A(2， 1). 化目标函数为直线方程得： (b 0). 由图可知，当直线 过 A 点时，直线在 y 轴上的截距最小， z 最小 . 2a+b=2 .即 2a+b-2 =0.则 a2+b2的最小值为 . 答案： B. 二 .填空题每小题 5 分，共 25 分 11.执行如图所示的程序框图，若输入的 x 的值为 1，则输出的 n 的值为 . 解析： 循环前输入的 x 的值为 1， 第 1 次循环， x2-4x+3=00 ， 满足判断框条件， x=2， n=1， x2-4x+3=-10 ， 满足判断框条件， x=3， n=2， x2-4x+
9、3=00 满足判断框条件， x=4， n=3， x2-4x+3=3 0，不满足判断框条件， 输出 n： 3. 答案： 3. 12.函数 y= sin2x+cos2x 的最小正周期为 . 解析： 函数 y= sin2x+cos2x= sin2x+ =sin(2x+ )+ ， 故函数的最小正周期的最小正周期为 = ， 故答案为： . 13.一个六棱锥的体积为 2 ，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 . 解析： 一个六棱锥的体积为 2 ，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等， 棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为 h，则 ， h=1 ， 棱锥的斜高为： = =2，
10、该六棱锥的侧面积为： =12. 答案： 12. 14.圆心在直线 x-2y=0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切，圆 C截 x轴所得弦的长为 2 ，则圆 C 的标准方程为 . 解析： 设圆心为 (2t， t)，半径为 r=|2t|， 圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2 ， t 2+3=4t2， t=1 ，其中 t=-1 不符合题意，舍去， 故 t=1， 2t=2， (x -2)2+(y-1)2=4. 答案： (x-2)2+(y-1)2=4. 15.已知双曲线 - =1(a 0， b 0)的焦距为 2c，右顶点为 A，抛物线 x2=2py(p 0)的焦点为 F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长
11、为 2c，且 |FA|=c，则双曲线的渐近线方程为 . 解析： 右顶点为 A， A(a ， 0)， F 为抛物线 x2=2py(p 0)的焦点， F ， |FA|=c ， 抛物线的准线方程为 由 得 ， ， c2=2a2， c 2=a2+b2， a=b ， 双曲线的渐近线方程为： y=x ， 答案 ： y=x. 三 .解答题共 6小题，共 75 分 16.(12 分 )海关对同时从 A， B， C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此商品的数量 (单位：件 )如表所示 .工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测 . ( )求这 6 件样品来自 A， B，
12、 C 各地区商品的数量； ( )若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测，求这 2 件商品来自相同地区的概率 . 解析： () 先计算出抽样比，进而可求出这 6 件样品来自 A， B， C 各地区商品的数量； () 先计算在这 6 件样品中随机抽取 2 件的基本事件总数，及这 2 件商品来自相同地区的事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案 . 答案 ： ()A ， B， C 三个地区商品的总数量为 50+150+100=300，故抽样比 k= = ， 故 A 地区抽取的商品的数量为： 50=1 ； B 地区抽取的商品的数量为： 150=3 ； C 地区抽取的商品的数量
13、为： 100=2； () 在这 6 件样品中随机抽取 2 件共有： =15 个不同的基本事件； 且这些事件是等可能发生的， 记 “ 这 2 件商品来自相同地区 ” 为事件 A， 则 A 中包含 =4 种不同的基本事件，故 P(A)= ， 即这 2 件商品来自相同地区的概率为 . 17.(12 分 )ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.已知 a=3， cosA= ， B=A+ . ( )求 b 的值； ( )求 ABC 的面积 . 解析： () 利用 cosA 求得 sinA，进而利用 A 和 B 的关系求得 sinB，最后利用正弦定理求得b 的值 . () 利用 s
14、inB，求得 cosB 的值，进而根两角和公式求得 sinC 的值，最后利用三角形面积公式求得答案 . 答案 ： ()cosA= ， sinA= = ， B=A+ .sinB=sin(A+ )=cosA= ， 由正弦定理知 = ， b= sinB= =3 . ()sinB= ， B=A+ ， cosB= - =- ， sinC=sin( -A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= ( - )+ = ， S= a b sinC= 33 = . 18.(12 分 )如图，四棱锥 P-ABCD 中， AP 平面 PCD， ADBC ， AB=BC= AD， E， F 分别为线
15、段 AD， PC 的中点 . ( )求证： AP 平面 BEF； ( )求证： BE 平面 PAC. 解析： () 证明四边形 ABCE 是平行四边形，可得 O 是 AC 的中点，利用 F 为线段 PC 的中点，可得 PAOF ，从而可证 AP 平面 BEF； () 证明 BEAP 、 BEAC ，即可证明 BE 平面 PAC. 答案 ： () 连接 CE，则 ADBC ， BC= AD， E 为线段 AD 的中点， 四边形 ABCE 是平行四边形， BCDE 是平行四边形， 设 ACBE=O ，连接 OF，则 O 是 AC 的中点， F 为线段 PC 的中点， PAOF ， PA 平面 BE
16、F， OF平面 BEF， AP 平面 BEF； ()BCDE 是平行四边形， BECD ， AP 平面 PCD， CD平面 PCD， APCD ， BEAP ， AB=BC ，四边形 ABCE 是平行四边形， 四边形 ABCE 是菱形， BEAC ， APAC=A ， BE 平面 PAC. 19.(12 分 )在等差数列 an中，已知公差 d=2， a2是 a1与 a4的等比中项 . ( )求数列 an的通项公式； ( )设 bn=a ，记 Tn=-b1+b2-b3+b4-+ (-1)nbn，求 Tn. 解析： () 由于 a2是 a1与 a4的等比中项，可得 ，再利用等差数列的通项公式即可得
17、出 . () 利用 () 可得 bn=a =n(n+1)，因此Tn=-b1+b2-b3+b4-+( -1)nbn=-1(1+1)+2(2+1) -+( -1)nn(n+1).对 n 分奇偶讨论即可得出 . 答案 ： ()a 2是 a1与 a4的等比中项， ， 在等差数列 an中，公差 d=2， ，即 ， 化为 ，解得 a1=2. a n=a1+(n-1)d=2+(n-1)2=2n. ()b n=a =n(n+1)， T n=-b1+b2-b3+b4-+( -1)nbn=-1(1+1)+2(2+1) -+( -1)nn(n+1). 当 n=2k(k N*)时， b2k-b2k-1=2k(2k+1
18、)-(2k-1)(2k-1+1)=4k Tn=(b2-b1)+(b4-b3)+(b 2k-b2k-1) =4(1+2+k)=4 =2k(k+1)= . 当 n=2k-1(k N*)时， Tn=(b2-b1)+(b4-b3)+(b 2k-2-b2k-3)-b2k-1= n(n+1)=- . 故 Tn= . 20.(13 分 )设函数 f(x)=alnx+ ，其中 a 为常数 . ( )若 a=0，求曲线 y=f(x)在点 (1， f(1)处的切线方程； ( )讨论函数 f(x)的单调性 . 解析： () 根据导数的几何意义，曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 y-f(1)=f(1)(x
19、 -1)，代入计算即可 . () 先对其进行求导，即 ，考虑函数 g(x)=ax2+(2a+2)x+a，分成a0 ， - a 0， a - 三种情况分别讨论即可 . 答案 ： ， () 当 a=0 时， ， f(1)= ， f(1)=0 曲线 y=f(x)在点 (1， f(1)处的切线方程为 y= (x-1). ()(1) 当 a0 时，由 x 0 知 f(x) 0，即 f(x)在 (0， +) 上单调递增； (2)当 a 0 时，令 f(x) 0，则 0，整理得， ax2+(2a+2)x+a 0， 令 f(x) 0，则 0，整理得， ax2+(2a+2)x+a 0. 以下考虑函数 g(x)=
20、ax2+(2a+2)x+a， g(0)=a 0. ，对称轴方程. 当 a - 时， 0 ， g(x) 0 恒成立 .(x 0) 当 - a 0 时，此时，对称轴方程 0， g(x)=0 的两根均大于零，计算得 当 x 时， g(x) 0； 当 0 x 或 x 时， g(x) 0. 综合 (1)(2)可知， 当 a - 时， f(x)在 (0， +) 上单调递减； 当 - a 0 时， f(x)在 ( ， )上单调递增，在 (0，)， ( ， +) 上单调递减； 当 a0 时， f(x)在 (0， +) 上单调递增 . 21.(14 分 )在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： + =1(a
21、b 0)的离心率为 ，直线y=x 被椭圆 C 截得的线段长为 . ( )求椭圆 C 的方程； ( )过原点的直线与椭圆 C 交于 A， B 两点 (A， B 不是椭圆 C 的顶点 ).点 D 在椭圆 C 上，且ADAB ，直线 BD 与 x 轴、 y 轴分别交于 M， N 两点 . (i)设直线 BD， AM 的斜率分别为 k1， k2，证明存在常数 使得 k1=k 2，并求出 的值； (ii)求 OMN 面积的最大值 . 解析： () 由椭圆离心率得到 a， b 的关系，化简椭圆方程，和直线方程联立后求出交点的横坐标，把弦长用交点横坐标表示，则 a 的值可求，进一步得到 b 的值，则椭圆方程
22、可求； ()(i) 设出 A， D 的坐标分别为 (x1， y1)(x1y10) ， (x2， y2)，用 A的坐标表示 B的坐标，把 AB 和 AD 的斜率都用 a 的坐标表示，写出直线 AD的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到 AD 横纵坐标的和，求出 AD 中点坐标，则 BD 斜率可求，再写出 BD 所在直线方程，取 y=0 得到 M 点坐标，由两点求斜率得到 AM 的斜率，由两直线斜率的关系得到 的值； (ii)由 BD 方程求出 N 点坐标，结合 (i)中求得的 M 的坐标得到 OMN 的面积，然后结合椭圆方程利用基本不等式求最值 . 答案 ： () 由题意知， ，则 a2=
23、4b2. 椭圆 C 的方程可化为 x2+4y2=a2. 将 y=x 代入可得 ， 因此 ，解得 a=2.则 b=1. 椭圆 C 的方程为 ； ()(i) 设 A(x1， y1)(x1y10) ， D(x2， y2)，则 B(-x1， -y1). 直线 AB 的斜率 ， 又 ABAD ， 直线 AD 的斜率 . 设 AD 方程为 y=kx+m，由题意知 k0 ， m0. 联立 ，得 (1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0. . 因此 . 由题意可得 . 直线 BD 的方程为 . 令 y=0，得 x=3x1，即 M(3x1， 0).可得 . ，即 .因此存在常数 使得结论成立 . (ii)直线 BD 方程为 ， 令 x=0，得 ，即 N( ). 由 (i)知 M(3x1， 0)， 可得 OMN 的面积为 S= . 当且仅当 时等号成立 .OMN 面积的最大值为 .
