1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 111 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B 为 n 阶对称矩阵，下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.AB 为对称矩阵B.设 A，B 可逆，则 A 1 +B 1 为对称矩阵C.A+B 为对称矩阵D.kA 为对称矩阵3.设 A，B 分别为 m 阶和 n 阶可逆矩阵，则 的逆矩阵为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设向量组 1 ， 2 ， m 线性无关， 1 可由 1 ， 2 ， m 线性表示
2、，但 2 不可由 1 ， 2 ， m 线性表示，则( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， m1 ， 1 线性相关B. 1 ， 2 ， m1 ， 1 ， 2 线性相关C. 1 ， 2 ， m ， 1 + 2 线性相关D. 1 ， 2 ， m ， 1 + 2 线性无关5.设 A 是 mn 阶矩阵，下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若方程组 AX=0 只有零解，则方程组 AX=b 有唯一解B.若方程组 AX=0 有非零解，则方程组 AX=b 有无穷多个解C.若方程组 AX=b 无解，则方程组 AX=0 一定有非零解D.若方程组 AX=b 有无穷多个解，则方程组 AX=0 一定有非零解
3、6.设 A 为 n 阶实对称矩阵，下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A 与单位矩阵 E 合同B.矩阵 A 的特征值都是实数C.存在可逆矩阵 P，使 PAP 1 为对角阵D.存在正交阵 Q，使 Q T AQ 为对角阵7.设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵合同，则 A 是( )（分数：2.00）A.可逆矩阵B.实对称矩阵C.正定矩阵D.正交矩阵二、填空题(总题数：8，分数：16.00)8.设三阶方阵 A=A 1 ，A 2 ，A 3 ，其中 A i (i=1，2，3)为三维列向量，且 A 的行列式A=一 2，则行列式一 A 1 一 2A 2 ，2A 2 +3A 3 ，一 3A 3 +2
4、A 1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设 =(1，一 1，2) T ，=(2，1，1) T ，A= T ，则 A n = 1（分数：2.00）填空项 1:_10.若矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_11.设 n 维列向量 =(a，0，0，a) T ，其中 a0，又 A=E 一 T ，B=E+ （分数：2.00）填空项 1:_12.设 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )为 4 阶方阵，且 AX=0 的通解为 X=k(1，1，2，3) T ，则 2 由 1 ， 3 ， 4 表示的表达式为 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 A 为 n 阶矩阵，A 的各行元素之和为
5、 0 且 r(A)=n1，则方程组 AX=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 AB，其中 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：30.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_17.设 AX=A+2X，其中 A= （分数：2.00）_18.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，证明： 1 + 2 + 3 ， 1 +2 2 +3 3 ， 1 +4 2 +9 3 线性无关（分数：2.00）_19.设 A 为 nm 矩阵，B 为 mn 矩阵(mn)，且 AB=E证明：B 的列向量组线性无关（
6、分数：2.00）_20.设 （分数：2.00）_21.设 A= （分数：2.00）_设 A= （分数：6.00）(1).求 a；（分数：2.00）_(2).求 A 的特征向量；（分数：2.00）_(3).求可逆矩阵 P，使得 P 1 AP 为对角阵（分数：2.00）_22.设 X 1 ，X 2 分别为 A 的属于不同特征值 1 ， 2 的特征向量证明：X 1 +X 2 不是 A 的特征向量（分数：2.00）_设 A 是三阶实对称矩阵，r(A)=1，A 2 3A=O，设(1，1，一 1) T 为 A 的非零特征值对应的特征向量（分数：4.00）(1).求 A 的特征值；（分数：2.00）_(2)
7、.求矩阵 A（分数：2.00）_23.设非零 n 维列向量 ， 正交且 A= T 证明：A 不可以相似对角化（分数：2.00）_设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(a1)x 1 2 (a1)x 2 2 2x 3 2 2x 1 x 2 (a0)的秩为 2（分数：4.00）(1).求 a；（分数：2.00）_(2).用正交变换法化二次型为标准形（分数：2.00）_24.设 A 是 n 阶正定矩阵，证明：E+A1（分数：2.00）_考研数学一（线性代数）模拟试卷 111 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四
8、个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B 为 n 阶对称矩阵，下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.AB 为对称矩阵 B.设 A，B 可逆，则 A 1 +B 1 为对称矩阵C.A+B 为对称矩阵D.kA 为对称矩阵解析：解析：由(A+B) T =A T +B T =A+B，得 A+B 为对称矩阵；由(A 1 +B 1 ) T =(A 1 ) T +B 1 ) T =A 1 +B 1 ，得 A 1 +B 1 为对称矩阵；由(kA) T =kA T =kA，得 kA 为对称矩阵，选(A)3.设 A，B 分别为 m 阶和 n 阶可逆矩阵，则 的逆矩阵为(
9、) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：A，B 都是可逆矩阵，因为 ，所以4.设向量组 1 ， 2 ， m 线性无关， 1 可由 1 ， 2 ， m 线性表示，但 2 不可由 1 ， 2 ， m 线性表示，则( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， m1 ， 1 线性相关B. 1 ， 2 ， m1 ， 1 ， 2 线性相关C. 1 ， 2 ， m ， 1 + 2 线性相关D. 1 ， 2 ， m ， 1 + 2 线性无关 解析：解析：(A)不对，因为 1 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表示，但不一定能被 1 ， 2 ， m1 线性表示，所以 1 ， 2 ， m1 ， 1
10、不一定线性相关； (B)不对，因为 1 ， 2 ， m1 ， 1 不一定线性相关， 2 不一定可由 1 ， 2 ， m1 ， 1 线性表示，所以 1 ， 2 ， m1 ， 1 ， 2 不一定线性相关； (C)不对，因为 2 不可由 1 ， 2 ， m 线性表示，而 1 可由 1 ， 2 ， m 线性表示，所以 1 + 2 不可由 1 ， 2 ， m 线性表示，于是 1 ， 2 ， m ， 1 + 2 线性无关，选(D)5.设 A 是 mn 阶矩阵，下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若方程组 AX=0 只有零解，则方程组 AX=b 有唯一解B.若方程组 AX=0 有非零解，则方程组 A
11、X=b 有无穷多个解C.若方程组 AX=b 无解，则方程组 AX=0 一定有非零解D.若方程组 AX=b 有无穷多个解，则方程组 AX=0 一定有非零解 解析：解析：方程组 只有零解，而 无解，故(A)不对； 方程组 有非零解，而 无解，故(B)不对； 方程组 无解，但 只有零解，故(C)不对； 若 AX=b 有无穷多个解，则 r(A)=6.设 A 为 n 阶实对称矩阵，下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A 与单位矩阵 E 合同 B.矩阵 A 的特征值都是实数C.存在可逆矩阵 P，使 PAP 1 为对角阵D.存在正交阵 Q，使 Q T AQ 为对角阵解析：解析：根据实对称矩阵
12、的性质，显然(B)、(C)、(D)都是正确的，但实对称矩阵不一定是正定矩阵，所以 A 不一定与单位矩阵合同，选(A)7.设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵合同，则 A 是( )（分数：2.00）A.可逆矩阵B.实对称矩阵 C.正定矩阵D.正交矩阵解析：解析：因为 A 与对角阵 合同，所以存在可逆矩阵 P，使得 P T AP= ， 从而 A=(P T ) 1 P 1 =(P 1 ) T P 1 ，A T =(P 1 ) T P 1 T =(P 1 ) T 二、填空题(总题数：8，分数：16.00)8.设三阶方阵 A=A 1 ，A 2 ，A 3 ，其中 A i (i=1，2，3)为三维列向量，且 A
13、的行列式A=一 2，则行列式一 A 1 一 2A 2 ，2A 2 +3A 3 ，一 3A 3 +2A 1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：12）解析：解析：由(一 A 1 2A 2 ，2A 2 +3A 3 ，一 3A 3 +2A 1 )=(A 1 ，A 2 ，A 3 ) 得 A 1 一 2A 2 ，2A 2 +3A 3 ，一 3A 3 +2A 1 =A 1 ，A 2 ，A 3 = 9.设 =(1，一 1，2) T ，=(2，1，1) T ，A= T ，则 A n = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： T =3，A 2 =
14、T T =3 T =3A，则 A n =3 n1 A= 10.若矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由 AB=O 得 r(A)+r(B)3，因为 r(B)1，所以 r(A)2，又因为矩阵 A 有两行不成比例，所以 r(A)2，于是 r(A)=2，由 A=11.设 n 维列向量 =(a，0，0，a) T ，其中 a0，又 A=E 一 T ，B=E+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析：由 AB=(E 一 T )(E+ T )=E+ T 一 T 2a T =E 且 T O，得 12.设 A=( 1 ， 2 ，
15、3 ， 4 )为 4 阶方阵，且 AX=0 的通解为 X=k(1，1，2，3) T ，则 2 由 1 ， 3 ， 4 表示的表达式为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 2 =一 1 2 3 +3 4）解析：解析：因为(1，1，2，一 3) T 为 AX=0 的解，所以 1 + 2 2 3 3 4 =0，故 2 =一 1 2 3 +3 4 13.设 A 为 n 阶矩阵，A 的各行元素之和为 0 且 r(A)=n1，则方程组 AX=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*(其中 k 为任意常数)）解析：解析：k(1，1，1) T ，其中
16、k 为任意常数，因为 A 的各行元素之和为零，所以 =0，又因为 r(A)=n 一 1，所以 为方程组 AX=0 的基础解系，从而通解为 14.设 AB，其中 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x=3，y=1；）解析：解析：因为 AB，所以15.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 ， 3 = 3 ，正交规范化的向量组为 三、解答题(总题数：12，分数：30.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：17.设 AX=A+2X，其中 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AX=A+2X 得(A
17、一 2E)X=A，其中 A 一 2E= ，因为A 一 2E=一 10，所以 X=(A 一 2E) 1 A )解析：18.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，证明： 1 + 2 + 3 ， 1 +2 2 +3 3 ， 1 +4 2 +9 3 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一 令 k 1 ( 1 + 2 + 3 )+k 2 ( 1 +2 2 3 3 )+k 3 ( 1 +4 2 +9 3 )=0，即 (k 1 +k 2 +k 3 ) 1 +(k 1 +2k 2 +4k 3 ) 2 +(k 1 +3k 2 9k 3 ) 3 =0， 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以
18、有 而 D= =20，由克拉默法则得 k 1 =k 2 =k 3 =0， 所以 1 + 2 + 3 ， 1 +2 2 +3 3 ， 1 +4 2 9 3 线性无关 方法二 令 A=( 1 ， 2 ， 3 )，B=( 1 + 2 + 3 ， 1 +2 2 +3 3 ， 1 +4 2 9 3 )， 则 B= )解析：19.设 A 为 nm 矩阵，B 为 mn 矩阵(mn)，且 AB=E证明：B 的列向量组线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先 r(B)minm，n=n，由 AB=E 得 r(AB)=n，而 r(AB)r(B)，所以 r(B)n，从而 r(B)=n，于是 B 的列向量
19、组线性无关)解析：20.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A= ，因为 A 有两行不成比例，所以 r(A)2，又原方程组至少有三个线性无关解，所以 4 一 r(A)+13，即 r(A)2，则 r(A)=2，于是原方程组的通解为 k 1 ( 2 一 1 )+k 2 ( 3 一 1 )+ 1 =k 1 )解析：21.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A ， 因为 r(A)=2，所以 t=1，方程组的通解为 X= )解析：设 A= （分数：6.00）(1).求 a；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由EA= =(+2)( 一 1) 2 =0 得矩阵 A 的特征值
20、为 1 =一 2， 2 = 3 =1，因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以相似对角化，从而 r(EA)=1，由 EA= )解析：(2).求 A 的特征向量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 =一 2 代入(EA)X=0，即(2E+A)X=0 由 2E+A= 得 =一 2 对应的线性无关的特征向量为 1 = ； 将 =1 代入(E 一 A)X=0，即(EA)X=0 由 E 一 A= 得=1 对应的线性无关的特征向量为 )解析：(3).求可逆矩阵 P，使得 P 1 AP 为对角阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 P= ，则 P 1 AP= )解析：22.设 X
21、 1 ，X 2 分别为 A 的属于不同特征值 1 ， 2 的特征向量证明：X 1 +X 2 不是 A 的特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：反证法 不妨设 X 1 +X 2 是 A 的属于特征值 的特征向量，则有 A(X 1 +X 2 )=(X 1 +X 2 )， 因为 AX 1 = 1 X 1 ，AX 2 = 2 X 2 ，所以( 1 一 )X 1 +( 2 一 )X 2 =0， 而 X 1 ，X 2 线性无关，于是 1 = 2 =，矛盾，故 X 1 +X 2 不是 A 的特征向量)解析：设 A 是三阶实对称矩阵，r(A)=1，A 2 3A=O，设(1，1，一 1) T 为 A
22、 的非零特征值对应的特征向量（分数：4.00）(1).求 A 的特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 2 一 3A=O )解析：(2).求矩阵 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设特征值 0 对应的特征向量为(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则 x 1 +x 2 一 x 3 =0，则0 对应的特征向量为 2 =(一 1，1，0) T ， 3 =(1，0，1) T ，令 )解析：23.设非零 n 维列向量 ， 正交且 A= T 证明：A 不可以相似对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 为矩阵 A 的特征值，X 为 所对应的特征向量，则 AX=X，显然
23、 A 2 X= 2 X，因为 ， 正交，所以 A 2 = T T =O，于是 2 X=0，而 X0，故矩阵 A 的特征值为 1 = 2 = N =0 又由 ， 都是非零向量得 AO， 因为 r(0EA)=r(A)=1，所以 n 一r(0EA)=n 一 1n，所以 A 不可相似对角化)解析：设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(a1)x 1 2 (a1)x 2 2 2x 3 2 2x 1 x 2 (a0)的秩为 2（分数：4.00）(1).求 a；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A= )解析：(2).用正交变换法化二次型为标准形（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A= ，由EA=0 得 1 = 2 =2， 3 =0 当 =2 时，由(2EA)X=0 得 =2 对应的线性无关的特征向量为 ； 当 =0 时，由(0EA)X=0 得 =0 对应的线性无关的特征向量为 3 = 因为 1 ， 2 两两正交，单位化得 ， 令 Q= ，则 f=X T AX )解析：24.设 A 是 n 阶正定矩阵，证明：E+A1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 是正定矩阵，所以 A 的特征值 1 0， 2 0， n 0，因此A+E 的特征值为 1 +11， 2 +11， n +11，故A+E=( 1 +1)( 2 +1)( n +1)1)解析：
