1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 106 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.(A+B) * =A * +B *B.(AB) * =B * A *C.(AB) * =A * B *D.(A+B) * 一定可逆3. （分数：2.00）A.A 1 P 1 P 2B.P 1 A 1 P 2C.P 1 P 2 A 1D.P 2 A 1 P 14.向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是(
2、 )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， m 中任意两个向量不成比例B. 1 ， 2 ， m 是两两正交的非零向量组C.设 A=( 1 ， 2 ， m )，方程组 AX=0 只有零解D. 1 ， 2 ， m 中向量的个数小于向量的维数5.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A * O，且非齐次线性方程组 AX=b 有两个不同解 1 ， 2 则下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.AX=b 的通解为 k 1 1 +k 2 2B. 1 + 2 为 AX=b 的解C.方程组 AX=0 的通解为 k( 1 2 )D.AX=b 的通解为 k 1 1 +k 2 2 + 6.设 A 为 n 阶矩阵，下列
3、结论正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A 的秩与矩阵 A 的非零特征值的个数相等B.若 AB，则矩阵 A 与矩阵 B 相似于同一对角阵C.若 r(A)=rn，则 A 经过有限次初等行变换可化为D.若矩阵 A 可对角化，则 A 的秩与其非零特征值的个数相等二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.设 A 为 n 阶矩阵，且|A|=a0，则|(kA) * |= 1（分数：2.00）填空项 1:_8. （分数：2.00）填空项 1:_9.设 1 = （分数：2.00）填空项 1:_10.设三阶矩阵 A 的特征值为 1 =1， 2 =12， 3 =12，其对应的特征向量为 1 ， 2 ，
4、3 ，令 P=(2 3 ，3 1 ， 2 )，则 P 1 (A 1 +2E)P= 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：36.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_13. （分数：2.00）_14.设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A * )= （分数：2.00）_15.设 1 ， 2 ， n 为 n 个 n 维线性无关的向量，A 是 n 阶矩阵证明：A 1 ，A 2 ，A n 线性无关的充分必要条件是 A 可逆（分数：2.00）_16.设 A 为 n 阶矩阵，若 A k1 0，而 A k =0证
5、明：向量组 ，A，A k1 线性无关（分数：2.00）_17.设齐次线性方程组 （分数：2.00）_18.(1)求()，()的基础解系；(2)求()，()的公共解 （分数：2.00）_设 A，B，C，D 都是 n 阶矩阵，r(CA+DB)=n（分数：4.00）(1).证明 r （分数：2.00）_(2).设 1 ， 2 ， r ，与 1 ， 2 ， s 分别为方程组 AX=0 与 BX=0 的基础解系，证明： 1 ， 2 ， r ， 1 ， 2 ， s 线性无关（分数：2.00）_19.设 A 是 mn 阶矩阵，且非齐次线性方程组 AX=b 满足 r(A)=r( （分数：2.00）_20.设
6、A= （分数：2.00）_设 A 为三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是三维线性无关的列向量，且 A 1 = 1 +2 2 +2 3 ，A 2 =2 1 2 2 3 ，A 3 =2 1 2 2 3 （分数：4.00）(1).求矩阵 A 的全部特征值；（分数：2.00）_(2).求|A * +2E|（分数：2.00）_设方程组 （分数：4.00）(1).求 A；（分数：2.00）_(2).求|A * +3E|（分数：2.00）_21. （分数：2.00）_22.(1)设 A，B 为 n 阶矩阵，|EA|=|EB|，且 A，B 都可相似对角化，证明：AB (2)设 A= （分数：2.00）_23.设
7、 A 为 n 阶正定矩阵证明：对任意的可逆矩阵 P，P T AP 为正定矩阵（分数：2.00）_24.设齐次线性方程组 为正定矩阵，求 a，并求当|X|= （分数：2.00）_考研数学一（线性代数）模拟试卷 106 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.(A+B) * =A * +B *B.(AB) * =B * A * C.(AB) * =A * B *D.(A+B) * 一定可逆解析
8、：解析：因为(AB) * =|AB|(AB) 1 =|A|B|B 1 A 1 =|B|B 1 |A|A 1 =B * A * ，所以选(B)3. （分数：2.00）A.A 1 P 1 P 2B.P 1 A 1 P 2C.P 1 P 2 A 1 D.P 2 A 1 P 1解析：解析：B=AE 14 E 23 或 B=AE 23 E 14 即 B=AP 1 P 2 或 B=AP 2 P 1 ，所以 B 1 =P 2 1 P 1 1 A 1 或 B 1 =P 1 1 P 2 1 A 1 ，注意到 E ij 1 =E ij ，于是 B 1 =P 2 P 1 A 1 或 B 1 =P 1 P 2 A 1
9、 ，选(C)4.向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， m 中任意两个向量不成比例B. 1 ， 2 ， m 是两两正交的非零向量组C.设 A=( 1 ， 2 ， m )，方程组 AX=0 只有零解 D. 1 ， 2 ， m 中向量的个数小于向量的维数解析：解析：向量组 1 ， 2 ， m 线性无关，则 1 ， 2 ， m 中任意两个向量不成比例，反之不对，故(A)不对；若 1 ， 2 ， m 是两两正交的非零向量组，则 1 ， 2 ， m 一定线性无关，但 1 ， 2 ， m 线性无关不一定两两正交，(B)不对； 1 ， 2 ， m 中
10、向量个数小于向量的维数不一定线性无关，(D)不对，选(C)5.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A * O，且非齐次线性方程组 AX=b 有两个不同解 1 ， 2 则下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.AX=b 的通解为 k 1 1 +k 2 2B. 1 + 2 为 AX=b 的解C.方程组 AX=0 的通解为 k( 1 2 ) D.AX=b 的通解为 k 1 1 +k 2 2 + 解析：解析：因为非齐次线性方程组 AX=b 的解不唯一，所以 r(A)n，又因为 A * O，所以 r(A)=n1， 2 1 ，为齐次线性方程组 AX=0 的基础解系，选(C)6.设 A 为 n 阶矩阵，下列
11、结论正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A 的秩与矩阵 A 的非零特征值的个数相等B.若 AB，则矩阵 A 与矩阵 B 相似于同一对角阵C.若 r(A)=rn，则 A 经过有限次初等行变换可化为D.若矩阵 A 可对角化，则 A 的秩与其非零特征值的个数相等 解析：解析：(A)不对，如 ，A 的两个特征值都是 0，但，r(A)=1； (B)不对，因为 AB 不一定保证 A，B 可以对角化； (C)不对，如 因为 A 可以对角化，所以存在可逆矩阵 P，使得 P 1 AP 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.设 A 为 n 阶矩阵，且|A|=a0，则|(kA) * |= 1（分数：2
12、.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k n(n1) a n1 ）解析：解析：因为(kA) * =k n1 A * ，且|A * |=|A| n1 ，所以 |(kA) * |=|k n1 A * |=k n(n1) |A| n1 =k n(n1) a n18. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析： =E 12 ，因为 E ij 1 =E ij ，所以 E ij 2 =E， 9.设 1 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 1 ， 2 ，且 ）解析：解析： 1 ， 2 ( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) 则向量组 1 ， 2 ，
13、 3 ， 4 的一个极大线性无关组为 1 ， 2 ，且 10.设三阶矩阵 A 的特征值为 1 =1， 2 =12， 3 =12，其对应的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 P=(2 3 ，3 1 ， 2 )，则 P 1 (A 1 +2E)P= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：P 1 (A 1 +2E)P=P 1 A 1 P+2E， 而 P 1 A 1 P 所以 P 1 (A 1 +2E)P 11.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由|EA|=0 得 A 的特征值为 1 =2， 2 = 3 =6因为 A
14、有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化，从而 r(6EA)=1，解得 a=0三、解答题(总题数：16，分数：36.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：13. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一 )解析：14.设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A * )= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AA * =A * A=|A|E 当 r(A)=n 时，|A|0，因为|A * |=|A| n1 ，所以|A * |0，从而 r(A * )=n； 当 r(A)=n1 时，由于 A 至少有一个 n1 阶子式不为零，所以存在一个 M ij 0，进而 A
15、 ij 0，于是 A * O，故 r(A * )1，又因为|A|=0，所以 AA * |A|E=O，根据矩阵秩的性质有 r(A)+r(A * )n，而 r(A)=n1，于是得 r(A * )1，故 r(A * )=1； 当 r(A)n1 时，由于 A 的所有 n1 阶子式都为零，所以 A * =O，故 r(A * )=0)解析：15.设 1 ， 2 ， n 为 n 个 n 维线性无关的向量，A 是 n 阶矩阵证明：A 1 ，A 2 ，A n 线性无关的充分必要条件是 A 可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 B=( 1 ， 2 ， n )，因为 1 ， 2 ， n 为 n 个 n
16、维线性无关的向量，所以 r(B)=n(A 1 ，A 2 ，A n )=AB，因为 r(AB)=r(A)，所以 A 1 ，A 2 ，A n 线性无关的充分必要条件是 r(A)=n，即 A 可逆)解析：16.设 A 为 n 阶矩阵，若 A k1 0，而 A k =0证明：向量组 ，A，A k1 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 l 0 +l 1 A+l k1 A k1 =0(*)(*)两边同时左乘 A k1 得 l 0 A k1 =0，因为 A k1 0，所以 l 0 =0；(*)两边同时左乘 A k2 得 l 1 A k1 =0，因为 A k1 0，所以 l 1 =0，依次类
17、推可得 l 2 =l k1 =0，所以 ，A，A k1 线性无关)解析：17.设齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =a+(n1)b(ab) n1 (1)当 ab，a(1n)b 时，方程组只有零解； (2)当 a=b 时，方程组的同解方程组为 x 1 +x 2 +x n =0，其通解为 X=k 1 (1，1，0，0) T +k 2 (1，0，1，0) T +k n1 (1，0，0，1) T (k 1 ，k 2 ，k n1 为任意常数)；)解析：18.(1)求()，()的基础解系；(2)求()，()的公共解 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (2)方法一 ()，
18、()公共解即为 X=0 的解， ()，()的公共解为 k (k 为任意常数) 方法二 ()的通解 故()，()的公共解为(k，k，2k，k) T =k(1，1，2，1) T (k 为任意常数) 方法三 ()的通解为 k 1 1 +k 2 2 令 k 1 1 +k 2 2 =l 1 1 +l 2 2 ()，()的公共解为 )解析：设 A，B，C，D 都是 n 阶矩阵，r(CA+DB)=n（分数：4.00）(1).证明 r （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 n=r(CA+DB)=r(C D )解析：(2).设 1 ， 2 ， r ，与 1 ， 2 ， s 分别为方程组 AX=0 与
19、BX=0 的基础解系，证明： 1 ， 2 ， r ， 1 ， 2 ， s 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r =n，所以方程组 )解析：19.设 A 是 mn 阶矩阵，且非齐次线性方程组 AX=b 满足 r(A)=r( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)=rn，所以齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含有 nr 个线性无关的解向量，设为 1 ， 2 ， nr 设 0 为方程组 AX=b 的一个特解， 令 0 = 0 ， 1 = 1 + 0 ， 2 = 2 + 0 ， nr = nr + 0 ，显然 0 ， 1 ， 2 ， nr ，为方程组 AX=b
20、 的一组解 令 k 0 0 +k 1 1 +k nr nr =0，即 (k 0 +k 1 +k nr ) 0 +k 1 1 +k 2 2 +k nr nr =0， 上式两边左乘 A 得(k 0 +k 1 +k nr )b=0， 因为 b 为非零列向量，所以 k 0 +k 1 +k nr =0，于是 k 1 1 +k 2 2 +k nr nr =0， 注意到 1 ， 2 ， nr ，线性无关，所以 k 1 =k 2 =k nr 0， 故 0 ， 1 ， 2 ， nr 性无关，即方程组 AX=b 存在由 n=r+1 个线性无关的解向量构成的向量组设 1 ， 2 ， nr+2 为方程组 AX=b 的
21、一组线性无关解， 令 1 = 2 1 ， 2 = 3 1 ， nr+1 = nr+2 1 ，根据定义，易证 1 ， 2 ， nr+1 线性无关，又 1 ， 2 ， nr+1 为齐次线性方程组 AX=0 的一组解，即方程组 AX=0 含有 nr+1 个线性无关的解，矛盾，所以 AX=b 的任意nr+2 个解向量都是线性相关的，所以 AX=b 的线性无关的解向量的个数最多为 nr+1 个)解析：20.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 =2 的线性无关的特征向量有两个，故r(2EA)=1， 所以 x=2，y=2 由|EA| =(2) 2 (
22、6)=0 得 1 = 2 =2， 3 =6 由(2EA)X=0 得 =2 对应的线性无关的特征向量为 1 由(6EA)X=0 得 =6 对应的线性无关的特征向量为 3 )解析：设 A 为三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是三维线性无关的列向量，且 A 1 = 1 +2 2 +2 3 ，A 2 =2 1 2 2 3 ，A 3 =2 1 2 2 3 （分数：4.00）(1).求矩阵 A 的全部特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A( 1 ， 2 ， 3 ) 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以( 1 ， 2 ， 3 )可逆，故 )解析：(2).求|A * +2E|（分数：2.00）
23、_正确答案：(正确答案：因为|A|=5，所以 A * 的特征值为 1，5，5，故 A 2 +2E 的特征值为3，3，3 从而|A * +2E|=27)解析：设方程组 （分数：4.00）(1).求 A；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为方程组有无穷多个解，所以 =a 2 2a+1=0，解得 a=1 令 P=( 1 ， 2 ， 3 ) )解析：(2).求|A * +3E|（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：|A|=2，A * 对应的特征值为|A| 1 ，|A| 2 ，|A| 3 ，即2，1，2，A * +3E 对应的特征值为 5，2，1，所以|A * +3E|=10)解析：21.
24、 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 AB，所以 tr(A)=tr(B)，|A|=|B|，即 解得 a=1，b=0，则 因为 AB，所以矩阵 A，B 的特征值都为 1 =1， 2 =0， 3 =6 当 =1 时，由(EA)X=0，得 1 = 当 =0 时，由(0EA)X=0，得 2 = 当 =6 时，由(6EA)X=0，得 3 再令P=( 1 ， 2 ， 3 ) )解析：22.(1)设 A，B 为 n 阶矩阵，|EA|=|EB|，且 A，B 都可相似对角化，证明：AB (2)设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为|EA|=|EB|，所以 A，B 有相同的特征
25、值，设为 1 ， 2 ， n ， 因为 A，B 都可相似对角化，所以存在可逆矩阵 P 1 ，P 2 ，使得 由 P 1 1 AP 1 =P 2 1 BP 2 得(P 1 P 2 1 ) 1 A(P 1 P 2 1 )=B， 取 P 1 P 2 1 =P，则 P 1 AP=B，即 AB (2)由|EA| =(1) 2 (2)=0 得 A 的特征值为 1 =2， 2 = 3 =1； 由|EB| =(1) 2 (2)=0 得 B 的特征值为 1 =2， 2 = 3 =1 A 的属于 2 = 3 =1 的线性无关的特征向量为 2 B 的属于 2 = 3 =1 的线性无关的特征向量为 2 )解析：23.
26、设 A 为 n 阶正定矩阵证明：对任意的可逆矩阵 P，P T AP 为正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先 A T =A，因为(P T AP) T =P T A T (P T ) T =pP T AP所以 P T AP 为对称矩阵对任意的 X0，X T (P T AP)X=(PX) T A(PX)，令 PX=，因为 P 可逆且 X0，所以 0，又因为 A 为正定矩阵，所以 T A0，即 X T (P T AP)X0，故 X T (P T AP)X 为正定二次型，于是 P T AP 为正定矩阵)解析：24.设齐次线性方程组 为正定矩阵，求 a，并求当|X|= （分数：2.00）
27、_正确答案：(正确答案：因为方程组有非零解，所以 =a(a+1)(a3)=0，即 a=1 或 a=0 或 a=3因为 A 是正定矩阵，所以 a ij 0(i=1，2，3)，所以 a=3当 a=3 时，由 |EA| =(1)(4)(10)=0 得 A 的特征值为 1，4，10因为 A 为实对称矩阵，所以存在正交矩阵 Q，使得 f=X T AX y 1 2 +4y 2 2 +10y 3 2 10(y 1 2 +y 2 2 +y 3 2 ) 而当X= 时， y 1 2 +y 2 2 +y 3 2 =Y T Y=Y T Q T QY=(QY) T (QY)=X T X=X 2 =2 所以当X= 时，X T AX 的最大值为 20(最大值 20 可以取到，如 y 1 =y 2 =0，y 3 = )解析：
