1、考研数学一（线性代数）-试卷 9 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 n 维列向量组 1 , 2 m (mn)线性无关，则 n 维列向量组 1 2 m 线性无关的充分必要条件为 ( )（分数：2.00）A.向量组 1 , 2 m 可由向量组 1 2 m 线性表出B.向量组 1 2 m 可由向量组 1 , 2 m 线性表出C.向量组 1 , 2 m 与向量组 1 2 m 等价D.矩阵 A= 1 , 2 m 与矩阵 B= 1 2 m 等价3.要使 （
2、分数：2.00）A.一 2，1，1B.C.D.4.齐次线性方程组 （分数：2.00）A.=一 2 且B=0B.=一 2 且B0C.=1 且B=0D.=1 且B05.齐次线性方程组的系数矩阵 A 45 = 1 ， 2 ， 3 ， 4 5 经过初等行变换化成阶梯形矩阵为 （分数：2.00）A. 1 不能由 3 ， 4 ， 5 线性表出B. 2 不能由 1 ， 3 ， 5 线性表出C. 3 不能由 1 ， 2 ， 5 线性表出D. 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出6.设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 AX=0 仅有零解的充分条件是 ( )（分数：2.00）A.A 的列向量线性无关B.A
3、 的列向量线性相关C.A 的行向量线性无关D.A 的行向量线性相关7.设 A 为 n 阶实矩阵，则对线性方程组(I)AX=0 和()A T AX=0，必有 ( )（分数：2.00）A.()的解是(I)的解，(I)的解也是()的解B.()的解是(I)的解，但(I)的解不是()的解C.(I)的解不是()的解，()的解也不是(I)的解D.(I)的解是()的解，但()的解不是(I)的解8.已知 1 ， 2 是 AX=b 的两个不同的解， 1 ， 2 是相应的齐次方程组 AX=0 的基础解系，k 1 ，k 2 是任意常数，则 AX=b 的通解是 ( )（分数：2.00）A.B.C.D.9.设 A 是 m
4、n 矩阵，则方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是 ( )（分数：2.00）A.m=n 且A0B.AX=0 有唯一零解C.A 的列向量组 1 , 2 n 和 1 , 2 n ，b 是等价向量组D.r(A)=n，b 可由 A 的列向量线性表出10.设 A 是 45 矩阵，且 A 的行向量组线性无关，则下列说法错误的是 ( )（分数：2.00）A.A T X=0 只有零解B.A T AX=0 必有无穷多解C.对任意的 b，A T X=b 有唯一解D.对任意的 b，AX=b 有无穷多解11.设 A 是 ms 矩阵，B 是 sn 矩阵，则齐次线性方程组 BX=0 和 ABX=0 是同解方程组的一个
5、充分条件是 ( )（分数：2.00）A.r(A)=mB.r(A)=sC.r(B)=sD.r(B)=n二、填空题(总题数：5，分数：10.00)12.设 A 是 n 阶实对称阵， 是 A 的 n 个互不相同的特征值， 1 是 A 的对应于 1 的一个单位特征向量，则矩阵 B=A 1 1 1 T 的特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_13.矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 A 是 n 阶矩阵， 是 A 的 r 重特征根，A 的对应于 的线性无关的特征向量是 k 个，则 k 满足 1（分数：2.00）填空项 1:_15.与 1 =1，2，3，一 1 T ， 2 =0，1，1，2
6、 T ， 3 =2，1，3，0 T 都正交的单位向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_16.已知 =a，1，1 T 是矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_18.设 （分数：2.00）_19.A，B 均是 n 阶矩阵，且 AB=A+B证明：AE 可逆，并求(AE) -1 （分数：2.00）_20.设 B 是可逆阵，A 和 B 同阶，且满足 A 2 +AB+B 2 =0，证明：A 和 A+B 都是可逆阵，并求 A -1 和(A+B) -1 （分数：2.00）_21.已知 A，B
7、 是三阶方阵，A0，AB=0，证明：B 不可逆（分数：2.00）_22.设 （分数：2.00）_23.已知 n 阶矩阵 求A中元素的代数余子式之和 第 i 行元素的代数余子式之和 及主对角元的代数余子式之和 （分数：2.00）_24.设矩阵 A 的伴随矩阵 （分数：2.00）_25.设 A 是 n 阶可逆阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换得到的矩阵记为 B证明：B 可逆，并推导 A -1 和 B -1 的关系（分数：2.00）_26.设 A 是 n 阶可逆阵，其每行元素之和都等于常数 a证明：(1)a0；(2)A -1 的每行元素之和均为 （分数：2.00）_27.(1)A，B 为 n
8、阶方阵，证明： (2)计算 （分数：2.00）_28.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，E m +AB 可逆(1)验证：E n +BA 也可逆，且(E n +BA) -1 =E n B(E m +AB) -1 A；(2)设 其中 （分数：2.00）_29.已知 1 =1，一，1T， 2 =1，t，一 1 T ， 3 =t，1，2 T ，=4，t，一 4 T ，若 可由 1 , 2 , 3 线性表示，且表示法不唯一，求 t 及 的表达式（分数：2.00）_30.设向量组 1 , 2 n (s2)线性无关，且 1 = 1 + 2 ， 2 = 2 + 3 ， s-1 = s-1 + s ，
9、 s = s + 1 讨论向量组 1 2（分数：2.00）_31.设向量组 1 , 2 L 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，向量 不是方程组 Ax=0 的解，即 A0证明：向量组 ，+ 1 ，+ 2 ，+ t 线性无关（分数：2.00）_32.设向量组(I)与向量组()，若(I)可由()线性表示，且 r(I)=，r()=r证明：(I)与()等价（分数：2.00）_考研数学一（线性代数）-试卷 9 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设
10、 n 维列向量组 1 , 2 m (mn)线性无关，则 n 维列向量组 1 2 m 线性无关的充分必要条件为 ( )（分数：2.00）A.向量组 1 , 2 m 可由向量组 1 2 m 线性表出B.向量组 1 2 m 可由向量组 1 , 2 m 线性表出C.向量组 1 , 2 m 与向量组 1 2 m 等价D.矩阵 A= 1 , 2 m 与矩阵 B= 1 2 m 等价 解析：解析：A= 1 , 2 m ，B= 1 2 m 等价 r( 1 ，, m )=r( 1 ， m ) 3.要使 （分数：2.00）A.一 2，1，1 B.C.D.解析：解析：因一 2，1，1 1 =0，一 2，1，1 2 =
11、04.齐次线性方程组 （分数：2.00）A.=一 2 且B=0B.=一 2 且B0C.=1 且B=0 D.=1 且B0解析：解析：B0，AB=0，故 AX=0 有非零解，A=0，5.齐次线性方程组的系数矩阵 A 45 = 1 ， 2 ， 3 ， 4 5 经过初等行变换化成阶梯形矩阵为 （分数：2.00）A. 1 不能由 3 ， 4 ， 5 线性表出B. 2 不能由 1 ， 3 ， 5 线性表出C. 3 不能由 1 ， 2 ， 5 线性表出D. 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出 解析：解析： i 能否由其他向量线性表出，只须将 i 视为是非齐次方程的右端自由项(无论它原在什么位置)有关向
12、量留在左端，去除无关向量，看该非齐次方程是否有解即可由阶梯形矩阵知， 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出6.设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 AX=0 仅有零解的充分条件是 ( )（分数：2.00）A.A 的列向量线性无关 B.A 的列向量线性相关C.A 的行向量线性无关D.A 的行向量线性相关解析：解析：A 的列向量线性无关7.设 A 为 n 阶实矩阵，则对线性方程组(I)AX=0 和()A T AX=0，必有 ( )（分数：2.00）A.()的解是(I)的解，(I)的解也是()的解 B.()的解是(I)的解，但(I)的解不是()的解C.(I)的解不是()的解，()的解也不是(I
13、)的解D.(I)的解是()的解，但()的解不是(I)的解解析：解析：方程 AX=0 和 A T AX=0 是同解方程组8.已知 1 ， 2 是 AX=b 的两个不同的解， 1 ， 2 是相应的齐次方程组 AX=0 的基础解系，k 1 ，k 2 是任意常数，则 AX=b 的通解是 ( )（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：A，C 中没有非齐次特解，D 中两个齐次解 1 与 1 一 2 是否线性无关未知，而 B 中因 1 ， 2 是基础解系，故 1 ， 1 一 2 仍是基础解系， 9.设 A 是 mn 矩阵，则方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是 ( )（分数：2.00）A.m=
14、n 且A0B.AX=0 有唯一零解C.A 的列向量组 1 , 2 n 和 1 , 2 n ，b 是等价向量组D.r(A)=n，b 可由 A 的列向量线性表出 解析：解析：r(A)=n，b 可由 A 的列向量线性表出，即为 r(A)=r(Ab)=n，AX=b 有唯一解A 是充分条件，但非必要条件，B 是必要条件，但非充分条件(可能无解)，C 是必要条件，但非充分条件(b 由 1 , 2 n 表出，可能不唯一)10.设 A 是 45 矩阵，且 A 的行向量组线性无关，则下列说法错误的是 ( )（分数：2.00）A.A T X=0 只有零解B.A T AX=0 必有无穷多解C.对任意的 b，A T
15、X=b 有唯一解 D.对任意的 b，AX=b 有无穷多解解析：解析：r(A)=4，A T 是 54 矩阵，方程组 A T X=b，对任意的 b若有解，则必有唯一解，但可能无解，即可能 r(A T )=r(A)=4r(A T b)=5，而使方程组无解其余 A，B，D 正确，自证11.设 A 是 ms 矩阵，B 是 sn 矩阵，则齐次线性方程组 BX=0 和 ABX=0 是同解方程组的一个充分条件是 ( )（分数：2.00）A.r(A)=mB.r(A)=s C.r(B)=sD.r(B)=n解析：解析：显然 BX=0 的解，必是 ABX=0 的解，又因 r(A)=s，即 A 的列向量组线性无关，从而
16、若 AY=0，则必 Y=0(即 AY=0 有唯一零解)，故 ABX=0 必有 BX=0，即 ABX=0 的解也是 BX=0 的解，故选 B，其余的均可举例说明二、填空题(总题数：5，分数：10.00)12.设 A 是 n 阶实对称阵， 是 A 的 n 个互不相同的特征值， 1 是 A 的对应于 1 的一个单位特征向量，则矩阵 B=A 1 1 1 T 的特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0， 2 ， 3 ， n）解析：解析：因 A 是实对称阵， 1 ， 2 ， n 互不相同，对应的特征向量 1 ， 2 ， n 相互正交，故 13.矩阵 （分数：2.00）填空项
17、1:_ （正确答案：正确答案：=4）解析：解析：因 或有 AX=4X，即14.设 A 是 n 阶矩阵， 是 A 的 r 重特征根，A 的对应于 的线性无关的特征向量是 k 个，则 k 满足 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1kr）解析：15.与 1 =1，2，3，一 1 T ， 2 =0，1，1，2 T ， 3 =2，1，3，0 T 都正交的单位向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 =x 1 ，x 2 ，x 3 ,x 4 T ，那么 对齐次方程组 Ax=0 的系数矩阵进行初等行变换，有 故 n 一 r(A)=4-3=1，
18、则 Ax=0 有一个基础解向量则 Ax=0 的基础解系为一 1，一1，1，0 T ，将其单位化，得 16.已知 =a，1，1 T 是矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析： 是矩阵 A 一 1 属于特征值 0 的特征向量，由定义 A 一 1 = 0 ，于是 = 0 A，即 三、解答题(总题数：16，分数：32.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 E 和任何矩阵可交换(和 B 可交换)且 B 4 =0，故(E+B)(EE+B 2 一 B 3 )=E 一
19、B 4 =E故 A=E+B 可逆，且 A -1 =(E+B) -1 =EB+B 2 B 3 又 即得 )解析：19.A，B 均是 n 阶矩阵，且 AB=A+B证明：AE 可逆，并求(AE) -1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 AB=A+B，即 ABAB=0，ABAB+E=E，A(BE)一(BE)=E，即(AE)(BE)=E，故 AE 可逆，且(AE) 一 1 =BE)解析：20.设 B 是可逆阵，A 和 B 同阶，且满足 A 2 +AB+B 2 =0，证明：A 和 A+B 都是可逆阵，并求 A -1 和(A+B) -1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设：A 2
20、+AB+B 2 =O，得 A(A+B)=一 B 2 式右乘(一 B 2 ) 一 1 ，得A(A+B)(一 B 2 ) 一 1 =E，得 A 可逆，且 A 一 1 =(A+B)(一 B 2 ) 一 1 式左乘(一 B 2 ) 一 1 ，得(一 B 2 ) 一 1)解析：21.已知 A，B 是三阶方阵，A0，AB=0，证明：B 不可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AB=O，(AB) T =B T A T =O，A T O，B T X=0 有非零解，故B T =0，即B=0，从而有 B 不可逆)解析：22.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.已知 n 阶矩阵 求
21、A中元素的代数余子式之和 第 i 行元素的代数余子式之和 及主对角元的代数余子式之和 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AA * =A E=E， 由 A * 可知： )解析：24.设矩阵 A 的伴随矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设 (AE)BA 一 1 =3E，(AE)B=3A，A 一 1 (AE)B=3E，(EA 一 1 )B=3E， 其中A * =8=A 3 ，A=2，从而得(2EA * )B=6E，B=6(2EA 一 1 ) 一 1 ， )解析：25.设 A 是 n 阶可逆阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换得到的矩阵记为 B证明：B 可逆，并推导 A
22、-1 和 B -1 的关系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 E ij 为初等阵 )解析：26.设 A 是 n 阶可逆阵，其每行元素之和都等于常数 a证明：(1)a0；(2)A -1 的每行元素之和均为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)将 A 中各列加到第一列，得 若 a=0，则A=0，这与 A 是可逆阵矛盾，故 a0(2)令 A= 1 , 2 n ，A 一 1 = 1 2 n ，E=e 1 ,e 2 e n ，由A 一 1 A=E，得 A 一 1 1 , 2 n =e 1 ,e 2 e n ，A 一 1 a i =e i ，j=1，n，A 一 1 1 +A 一 1
23、2 +A 一 1 n =e 1 +e 2 +e n ， 得证 A 一 1 的每行元素之和为 )解析：27.(1)A，B 为 n 阶方阵，证明： (2)计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)证 (2)解 )解析：28.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，E m +AB 可逆(1)验证：E n +BA 也可逆，且(E n +BA) -1 =E n B(E m +AB) -1 A；(2)设 其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)(E n +BA)(E m B(E+AB) 一 1 A)=E n +BA 一 B(E m +AB) 一 1 ABAB(E m +AB)
24、 一 1 A=E n +BA 一 B(E m +AB)(E m +AB) 一 1 A=E，故 (E n +ba) 一 1 =E n B(E m +AB) 一 1 A(2) )解析：29.已知 1 =1，一，1T， 2 =1，t，一 1 T ， 3 =t，1，2 T ，=4，t，一 4 T ，若 可由 1 , 2 , 3 线性表示，且表示法不唯一，求 t 及 的表达式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =，按分量写出为 其通解为 )解析：30.设向量组 1 , 2 n (s2)线性无关，且 1 = 1 + 2 ， 2 = 2 + 3 ， s-1
25、= s-1 + s ， s = s + 1 讨论向量组 1 2（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x 1 1 +x 2 2 +x s s =0，即(x 1 +x s ) 1 +(x 1 +x 2 ) 2 +(x s-1 +x s ) s =0因为 1 , 2 s 线性无关，则 其系数行列式 )解析：31.设向量组 1 , 2 L 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，向量 不是方程组 Ax=0 的解，即 A0证明：向量组 ，+ 1 ，+ 2 ，+ t 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 k+k 1 (+ 1 )+k t (+ t )=0，即 (k+k 1 +k
26、 t )+k 1 1 +k t t =0，等式两边左乘 A，得 )解析：32.设向量组(I)与向量组()，若(I)可由()线性表示，且 r(I)=，r()=r证明：(I)与()等价（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设(I)的一个极大无关组为 1 ， 2 ， r ，()的一个极大无关组为 1 ， 2 ， r 因为(I)可由()表示，即 1 ， 2 ， r ，可由 1 ， 2 ， r 线性表示，于是 r( 1 ， 2 ， r ， 1 ， 2 ， r )=r( 1 ， 2 ， r )=r又 1 ， 2 ， r ，线性无关，则 1 ， 2 ， r ，也可作为 1 ， 2 ， r ， 1 ， 2 ， r 的一个极大无关组，于是 1 ， 2 ， r 也可由 1 ， 2 ， r ，表示，即()也可由(I)表示，得证)解析：
