1、考研数学一（线性代数）-试卷 6 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则若 A 可逆，则 B 可逆； 若 B 可逆，则 A+B 可逆；若 A+B可逆，则 AB 可逆；A-E 恒可逆。上述命题中，正确的个数为( )（分数：2.00）A.1。B.2。C.3。D.4。3.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则( )（分数：2.00）A.当 mn，必有行列式AB0。B.当 mn，必有行列式AB=0。C.
2、当 nm，必有行列式AB0。D.当 nm，必有行列式AB=0。4.设 1 ， 2 ， s 均为 n 维向量，下列结论中不正确的是( )（分数：2.00）A.若对于任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，都有 k 1 1 +k 2 2 +k s s 0，则 1 ， 2 ， s 线性无关。B.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，都有 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0。C. 1 ， 2 ， s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s。D. 1 ， 2 ， s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关。5.已知四维
3、向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，且向量 1 = 1 + 3 + 4 ， 2 = 2 - 4 ， 3 = 3 + 4 ， 4 = 2 + 3 ， 5 =2 1 + 2 + 3 。则 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )=( )（分数：2.00）A.1。B.2。C.3。D.4。6.某五元齐次线性方程组的系数矩阵经初等变换化为 （分数：2.00）A.1 个。B.2 个。C.3 个。D.4 个。7.设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组(1)A n x=0 和(2)A n+1 x=0，现有四个命题： (1)的解必是(2)的解； (2)的解必是(1)的解； (1)的解不是(2)
4、的解； (2)的解不是(1)的解。 以上命题中正确的是( )（分数：2.00）A.。B.。C.。D.。8.设三阶矩阵 A 的特征值是 0，1，-1，则下列选项中不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A-E 是不可逆矩阵。B.矩阵 A+E 和对角矩阵相似。C.矩阵 A 属于 1 与-1 的特征向量相互正交。D.方程组 Ax=0 的基础解系由一个向量构成。9.下列选项中矩阵 A 和 B 相似的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.10.n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.二次型 x T Ax 的负惯性指数为零。B.存在可逆矩阵 P 使 P -1 AP=
5、E。C.存在 n 阶矩阵 C 使 A=C -1 C。D.A 的伴随矩阵 A * 与 E 合同。二、填空题(总题数：9，分数：18.00)11.设三阶行列式 D 3 的第二行元素分别为 1、-2、3，对应的代数余子式分别为-3、2、1，则 D 3 = 1。（分数：2.00）填空项 1:_12.设三阶方阵 A 与 B 相似，且2E+A=0。已知 1 =1， 2 =-1 是方阵 B 的两个特征值，则A+2AB= 1。（分数：2.00）填空项 1:_13.设 A、B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵，已知 AB=2A+3B，A= （分数：2.00）填空项 1:_14.已知 A= （分数：2.00）填空
6、项 1:_15.从 R 2 的基 1 = （分数：2.00）填空项 1:_16.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_17.已知矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_18.设 x 为三维单位列向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵 E-xx T 的秩为 1。（分数：2.00）填空项 1:_19.设 A 是三阶实对称矩阵，满足 A 3 =2A 2 +5A-6E，且 kE+A 是正定阵，则 k 的取值范围是 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：16.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_21.设矩阵 A 的伴随矩阵 A *
7、= （分数：2.00）_22.已知 r(a 1 ，a 2 ，a 3 )=2，r(a 2 ，a 3 ，a 4 )=3，证明： ()a 1 能由 a 2 ，a 3 线性表示； ()a 4 不能由 a 1 ，a 2 ，a 3 线性表示。（分数：2.00）_23.设 A= （分数：2.00）_24.设方程组 （分数：2.00）_25.设 A 为三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的三维列向量，且满足 A 1 = 1 + 2 + 3 ，A 2 =2 2 + 3 ，A 3 =2 2 +3 3 。 ()求矩阵 A 的特征值； ()求可逆矩阵 P 使得 P -1 AP=A。（分数：2.00）_26.设
8、A，B 为同阶方阵。()若 A，B 相似，证明 A，B 的特征多项式相等；()举一个二阶方阵的例子说明()的逆命题不成立；()当 A，B 均为实对称矩阵时，证明()的逆命题成立。（分数：2.00）_27.证明：二次型 f(x)=x T Ax 在x=1 时的最大值为矩阵 A 的最大特征值。（分数：2.00）_考研数学一（线性代数）-试卷 6 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则若 A 可逆，则 B
9、可逆； 若 B 可逆，则 A+B 可逆；若 A+B可逆，则 AB 可逆；A-E 恒可逆。上述命题中，正确的个数为( )（分数：2.00）A.1。B.2。C.3。D.4。 解析：解析：由 AB=A+B，有(A-E)B=A。若 A 可逆，则 (A-E)B=A-EB=A0， 所以B0，即矩阵 B 可逆，从而命题正确。 同命题类似，由 B 可逆可得出 A 可逆，从而 AB 可逆，那么 A+B=AB 也可逆，故命题 正确。 因为 AB=A+B，若 A+B 可逆，则有 AB 可逆，即命题正确。 对于命题，用分组因式分解，即 AB-A-B+E=E，则有(A-E)(B-E)=E， 所以得 A-E 恒可逆，命题
10、正确。 所以应选 D。3.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则( )（分数：2.00）A.当 mn，必有行列式AB0。B.当 mn，必有行列式AB=0。 C.当 nm，必有行列式AB0。D.当 nm，必有行列式AB=0。解析：解析：因为 AB 是 m 阶方阵，且 r(AB)minr(A)，r(B)minm，n， 所以当 mn 时，必有r(AB)m，从而AB=0，所以应选 B。4.设 1 ， 2 ， s 均为 n 维向量，下列结论中不正确的是( )（分数：2.00）A.若对于任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，都有 k 1 1 +k 2 2 +k s s 0，则 1 ，
11、 2 ， s 线性无关。B.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，都有 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0。 C. 1 ， 2 ， s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s。D. 1 ， 2 ， s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关。解析：解析：对于选项 A，因为齐次线性方程组 x 1 1 +x 2 2 +x s s =0 只有零解，故 1 ， 2 ， s 线性无关，选项 A 正确。 对于选项 B，由 1 ， 2 ， s 线性相关知，齐次线性方程组 x 1 1 +x 2 2 +x s s =0 存在非零解，但该方
12、程组存在非零解，并不意味着任意一组不全为零的数均是它的解，因此选项 B 是错误的。 选项 C 是教材中的定理。 由“无关组减向量仍无关”(线性无关的向量组其任意部分组均线性无关)可知选项 D 也是正确的。 综上可知，应选 B。5.已知四维向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，且向量 1 = 1 + 3 + 4 ， 2 = 2 - 4 ， 3 = 3 + 4 ， 4 = 2 + 3 ， 5 =2 1 + 2 + 3 。则 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )=( )（分数：2.00）A.1。B.2。C.3。 D.4。解析：解析：将表示关系合并成矩阵形式有 ( 1 ， 2 ， 3
13、， 4 )=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) ( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )C。 因四个四维向量 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，故 1 ， 2 ， 3 ， 4 0，即 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )是可逆矩阵。A 左乘 C，即对 C 作若干次初等行变换，故有 r(C)=r(AC)=r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )，而 6.某五元齐次线性方程组的系数矩阵经初等变换化为 （分数：2.00）A.1 个。B.2 个。 C.3 个。D.4 个。解析：解析：因为系数矩阵的秩 r(A)=3，则 n-r(A)=5-3=2，故应当有两个自由变量。 由于去掉 x 4 ，x 5 两
14、列之后，所剩三阶矩阵为 ，因为其秩与 r(A)不相等，故 x 4 ，x 5 不是自由变量。同理，x 3 ，x 5 不能是自由变量。 而 x 1 ，x 5 与 x 2 ，x 3 均可以是自由变量，因为行列式 7.设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组(1)A n x=0 和(2)A n+1 x=0，现有四个命题： (1)的解必是(2)的解； (2)的解必是(1)的解； (1)的解不是(2)的解； (2)的解不是(1)的解。 以上命题中正确的是( )（分数：2.00）A.。 B.。C.。D.。解析：解析：若 A n =0，则 A n+1 =A(A n )=A0=0，即若 是(1)的解，则 必是
15、(2)的解，可见命题正确。 如果 A n+1 =0，而 A n 0，那么对于向量组 ，A，A 2 ，A n ，一方面有： 若 k+k 1 A+k 2 A 2 +k n A n =0，用 A n 左乘上式的两边得 kA n =0。由 A n 0可知必有 k=0。类似地可得 k 1 =k 2 =k n =0。因此，A，A 2 ，A n 线性无关。 但另一方面，这是 n+1 个 n 维向量，它们必然线性相关，两者矛盾。故 A n+1 =0 时，必有 A n =0，即(2)的解必是(1)的解。因此命题正确。 所以应选 A。8.设三阶矩阵 A 的特征值是 0，1，-1，则下列选项中不正确的是( )（分数
16、：2.00）A.矩阵 A-E 是不可逆矩阵。B.矩阵 A+E 和对角矩阵相似。C.矩阵 A 属于 1 与-1 的特征向量相互正交。 D.方程组 Ax=0 的基础解系由一个向量构成。解析：解析：因为矩阵 A 的特征值是 0，1，-1，所以矩阵 A-E 的特征值是-1，0，-2。由于 =0 是矩阵A-E 的特征值，所以 A-E 不可逆。 因为矩阵 A+E 的特征值是 1，2，0，矩阵 A+E 有三个不同的特征值，所以 A+E 可以相似对角化。(或由 A9.下列选项中矩阵 A 和 B 相似的是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：选项 A 中，r(A)=1，r(B)=2，故 A 和
17、 B 不相似。选项 B 中，tr(A)=9，tr(B)=6，故 A 和 B 不相似。选项 D 中，矩阵 A 的特征值为 2，2，-3，而矩阵 B 的特征值为 1，3，-3，故 A 和 B 不相似。由排除法可知应选 C。 事实上，在选项 C 中，矩阵 A 和 B 的特征值均为 2，0，0。由于 A 和 B 均可相似对角化，也即 A 和 B 均相似于对角矩阵10.n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.二次型 x T Ax 的负惯性指数为零。B.存在可逆矩阵 P 使 P -1 AP=E。C.存在 n 阶矩阵 C 使 A=C -1 C。D.A 的伴随矩阵 A * 与 E
18、 合同。 解析：解析：选项 A 是必要不充分条件。这是因为 r(A)=p+qn，当 q=0 时，有 r(A)=pn。此时有可能pn，故二次型 x T Ax 不一定是正定二次型。因此矩阵 A 不一定是正定矩阵。例如 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= 。 选项 B 是充分不必要条件。这是因为 P -1 AP=E 表示 A 与 E 相似，即 A 的特征值全是 1，此时 A是正定的。但只要 A 的特征值全大于零就可保证 A 正定，因此特征值全是 1 是不必要的。 选项 C 中的矩阵 C 没有可逆的条件，因此对于 A=C T C 不能说 A 与层合同，也就没有 A 是正定矩阵的结论。例如 显然矩阵不
19、正定。 关于选项 D，由于 A 正定 A -1 正定 A * 正定 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)11.设三阶行列式 D 3 的第二行元素分别为 1、-2、3，对应的代数余子式分别为-3、2、1，则 D 3 = 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-4）解析：解析：根据行列式的求解方法：行列式的值等于它的任一行元素与其相应的代数余子式乘积之和，故 D 3 =a 21 A 21 +a 22 A 22 +a 23 A 23 =1(-3)+(-2)2+31=-4。12.设三阶方阵 A 与 B 相似，且2E+A=0。已知 1 =1， 2 =-1 是方阵 B 的两个特
20、征值，则A+2AB= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：18）解析：解析：由2E+A=0，可得-2EA=0，即 =-2 是 A 的一个特征值。 因 A 与 B 相似，且由相似矩阵具有相同的特征值可知， 1 =1， 2 =-1 也是 A 的特征值，所以 A、B 的特征值均为 1 =1， 2 =-1， 3 =-2，则 E+2B 的三个特征值分别为 3，-1，-3。从而可得A= 1 2 3 =2，E+2B=3(-1)(-3)=9，故 A+2AB=A(E+2B)=A.E+2B=18。13.设 A、B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵，已知 AB=2A+3B，A= （分数：2.
21、00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：利用已知条件 AB=2A+3B，通过移、添加项构造出 B-2E，于是有 AB-2A-3B+6E=6E，则有(A-3E)(B-2E)=6E。从而14.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为 AB+2A=A(B+2E)，且 是可逆矩阵，所以 r(AB+2A)=r(A)。 对 A 作初等行变换，则15.从 R 2 的基 1 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据定义，从 R 2 的基 1 = 的过渡矩阵为 P=( 1 ， 2 ) -1 ( 1 ， 2
22、 ) 16.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k 1 (1，2，-1) T +k 2 (1，0，1) T ，k 1 ，k 2 是任意常数）解析：解析：A=0，且 r(A)=2，所以 r(A * )=1，则由 n-r(A * )=2 可知，A * x=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量，其通解形式为 k 1 1 +k 2 2 。又因为 A * A=AE=O，所以矩阵 A 的列向量是 A * x=0 的解，故通解是 k 1 (1，2，-1) T +k 2 (1，0，1) T 。17.已知矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-2）解
23、析：解析：因为 所以矩阵 A 的特征值分别为 2，3，3。因为矩阵 A 和对角矩阵相似，所以对应于特征值 3 有两个线性无关的特征向量，即(3E-A)x=0 有两个线性无关的解，因此矩阵 3E-A 的秩为 1。18.设 x 为三维单位列向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵 E-xx T 的秩为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由题设知，矩阵 xx T 的特征值为 0，0，1，故 E-xx T 的特征值为 1，1，0。又由于实对称矩阵是可相似对角化的，故它的秩等于它非零特征值的个数，即 r(E-xx T )=2。19.设 A 是三阶实对称矩阵，满足 A 3
24、 =2A 2 +5A-6E，且 kE+A 是正定阵，则 k 的取值范围是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k2）解析：解析：根据题设条件，则有 A 3 -2A 2 -5A+6E=O。设 A 有特征值 ，则 A 满足条件 3 -2 2 -5+6=0，将其因式分解可得 3 -2 2 -5+6=(-1)(+2)(-3)=0， 因此可知矩阵 A 的特征值分别为 1，-2，3，故 kE+A 的特征值分别为 k+1，k-2，k+3，且当 k2 时，kE+A 的特征值均为正数。故k2。三、解答题(总题数：8，分数：16.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（
25、分数：2.00）_解析：21.设矩阵 A 的伴随矩阵 A * = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AA * =A * A=AE，知A * =A n-1 ，因此有 8=A=A 3 ，于是A=2。 在等式 ABA -1 =BA -1 +3E 两边先右乘 A，再左乘 A * ，得 2B=A * B+3A * A，即 (2E-A * )B=6E。 于是 B=6(2E-A * ) -1 = )解析：22.已知 r(a 1 ，a 2 ，a 3 )=2，r(a 2 ，a 3 ，a 4 )=3，证明： ()a 1 能由 a 2 ，a 3 线性表示； ()a 4 不能由 a 1 ，a 2 ，a 3
26、 线性表示。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()r(a 1 ，a 2 ，a 3 )=23 a 1 ，a 2 ，a 3 线性相关； 假设 a 1 不能由 a 2 ，a 3 线性表示，则 a 2 ，a 3 线性相关。 而由 r(a 2 ，a 3 ，a 4 )=3 a 2 ，a 3 ，a 4 线性无关 a 2 ，a 3 线性无关，与假设矛盾。 综上所述，a 1 必能由 a 2 ，a 3 线性表示。 ()由()的结论，a 1 可由 a 2 ，a 3 线性表示，则若 a 1 能由 a 1 ，a 2 ，a 3 线性表示 )解析：23.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 C=
27、，则 由 AC-CA=B 得 该方程组是四元非齐次线性方程组，如果 C 存在，此线性方程组必须有解。对系数矩阵的增广矩阵作初等行变换，得 当 a=-1，b=0 时，线性方程组有解，即存在 C，使 AC-CA=B。此时增广矩阵变换为 所以通解为 即 C= )解析：24.设方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把方程组(1)与(2)联立，得方程组 则方程组(3)的解就是方程组(1)与(2)的公共解。 对方程组(3)的增广矩阵作初等行变换，有 因方程组(3)有解，所以(n-1)(a-2)=0。 当 a=1 时， ，此时方程组(3)的通解为 k(-1，0，1) T (k 为任意常数)，此即
28、 为方程组(1)与(2)的公共解。 当 a=2 时，A )解析：25.设 A 为三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的三维列向量，且满足 A 1 = 1 + 2 + 3 ，A 2 =2 2 + 3 ，A 3 =2 2 +3 3 。 ()求矩阵 A 的特征值； ()求可逆矩阵 P 使得 P -1 AP=A。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由已知可得 A( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 + 2 + 3 ，2 2 + 3 ，2 2 + 3 )=( 1 ， 2 ， 3 ) 记 P 1 =( 1 ， 2 ， 3 )，B= ，则有 AP 1 =P 1 B。 由于 1 ， 2 ， 3
29、线性无关，即矩阵 P 1 可逆，所以 P 1 -1 AP 1 =B，因此矩阵 A 与 B相似，则 E-B= =(-1) 2 (-4)， 矩阵 B 的特征值是 1，1，4，故矩阵 A 的特征值为1，1，4。 ()由(E-B)x=0，得矩阵 B 对应于特征值 =1 的特征向量 1 =(-1，1，0) T ， 2 =(-2，0，1) T ；由(4E-B)x=0，得对应于特征值 =4 的特征向量 3 =(0，1，1) T 。 令 P 2 =( 1 ， 2 ， 3 )= 即当 P=P 1 P 2 =( 1 ， 2 ， 3 ) =(- 1 + 2 ，-2 1 + 3 ， 2 + 3 )时，有 P -1 A
30、P= )解析：26.设 A，B 为同阶方阵。()若 A，B 相似，证明 A，B 的特征多项式相等；()举一个二阶方阵的例子说明()的逆命题不成立；()当 A，B 均为实对称矩阵时，证明()的逆命题成立。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()若 A，B 相似，那么存在可逆矩阵 P，使 P -1 AP=B，则 E-B=E-P -1 AP=P -1 EP-P -1 AP =P -1 (E-A)P=P -1 E-AP=E-A。 所以 A、B 的特征多项式相等。 ()令 A= ，那么E-A= 2 =E-B。但是 A，B 不相似。否则，存在可逆矩阵 P，使 P -1 AP=B=O，从而 A=POP
31、 -1 =O 与已知矛盾。也可从 r(A)=1，r(B)=0，知 A 与 B 不相似。 ()由 A，B 均为实对称矩阵知，A，B 均相似于对角阵，若 A，B 的特征多项式相等，记特征多项式的根为 1 ， n ，则有 所以存在可逆矩阵 P，Q，使 P -1 AP= )解析：27.证明：二次型 f(x)=x T Ax 在x=1 时的最大值为矩阵 A 的最大特征值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 为实对称矩阵，则存在正交矩阵 Q，使得 QAQ -1 =diag( 1 ， 2 ， n )=A， 其中 1 ， 2 ， n 为 A 的特征值，不妨设 1 最大。 作正交变换 y=Qx，即 X=Q -1 y=Q T y，则 f=x T Ax=y T QAQ T y=y T y= ， 因为 y=Qx，所以当x=1 时，有 x 2 =x T x=y T QQ T y=y 2 =1， )解析：
