1、考研数学一（线性代数）-试卷 51 及答案解析(总分：44.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 2 +x 2 2 4x 3 2 一 4 1 x 2 2 2 x 3 的标准形为( )（分数：2.00）A.2y 1 2 一 y 2 2 一 3y 3 2B.一 2y 1 2 一 y 2 2 一 3y 3 2C.一 2y 1 2 +y 2 2D.2y 1 2 +y 2 2 +3y 3 23.设 A= ，则在实数域上与 A 合同的矩阵
2、为 （分数：2.00）A.B.C.D.二、解答题(总题数：19，分数：38.00)4.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_5.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +4x 1 x 2 +4x 1 x 3 +4x 2 x 3 ，写出 f 的矩阵A，求出 A 的特征值，并指出曲面 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=1 的名称（分数：2.00）_6.设矩阵 A= （分数：2.00）_7.设 A、B 分别为 m、n 阶正定矩阵，试判定分块矩阵 C= （分数：2.00）_8.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x
3、 1 2 +2x 2 2 +bx 3 2 一 4x 1 x 2 +4x 1 x 3 +2ax 2 x 3 (a0)经正交变换 (x 1 ，x 2 ，x 3 ) T =P(y 1 ，y 2 ，y 3 ) T 化成了标准形 f=2y 1 2 +2y 2 2 7y 3 2 ，求a、b 的值和正交矩阵 P（分数：2.00）_9.设 A 为 mn 实矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，矩阵 B=E+A T A，试证：当 0 时，矩阵 B 为正定矩阵（分数：2.00）_10.设有 n 元实二次型 f(x 1 ，x 2 ，x m )=(x 1 +a 1 x 2 ) 2 +(x 2 +a 2 x 3 ) 2 +(x
4、 n1 +a n1 x n ) 2 +(x n +a n x 1 ) 2 ，其中 a i (i=1，2，咒)为实数试问：当 a 1 ，a 2 ，a n 满足何种条件时，二次型 f 为正定二次型（分数：2.00）_11.设 c 1 ，c 2 ，c n 均为非零实常数，A=(a ij ) nm 为正定矩阵，令 b ij =a ij c i c j (i，j=1，2，n)，矩阵 B=(b ij ) nn ，证明矩阵 B 为正定矩阵（分数：2.00）_12.设矩阵 A nn 正定，证明：存在正定阵 B，使 A=B 2 （分数：2.00）_13.设 1 、 2 分别为 n 阶实对称矩阵 A 的最小和最大
5、特征值，X 1 、X 2 分别为对应于 1 和 n 的特征向量，记 f(X)= （分数：2.00）_14.设 n 阶矩阵 A 正定，X=(x 1 ，x 2 ，x n ) T ，证明：二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )= （分数：2.00）_15.设实对称矩阵 A 满足 A 2 一 3A+2E=O，证明：A 为正定矩阵（分数：2.00）_16.设 A 是 n 阶实对称矩阵证明： (1)存在实数 c，使对一切 xR n ，有x T Axcx T x (2)若A 正定，则对任意正整数 k，A n 也是对称正定矩阵 (3)必可找到一个数 a，使 A+aE 为对称正定矩阵（分数：2.00）_17
6、.设 A 为 n 阶实对称矩阵，秩(A)=n，A ij 是 A=(a ij ) nn 中元素 a ij 的代数余子式(i，j=1，2，n)，二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )= （分数：2.00）_18.设 A、B 为同阶正定矩阵，且 AB=BA，证明：AB 为正定矩阵（分数：2.00）_19.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX=ax 1 2 +2x 2 2 一 2x 3 2 +2bx 1 x 3 (b0)，其中二次型 f 的矩阵 A 的特征值之和为 1，特征值之积为一 12 (1)求 a、b 的值； (2)利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交
7、变换和对应的正交矩阵（分数：2.00）_20.已知矩阵 B= （分数：2.00）_21.已知齐次线性方程组= 有非零解，且矩阵 A= （分数：2.00）_22.设 D= 为正定矩阵，其中 A，B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵C 为 mn 矩阵 (1)计算 P T DP，其中 P= （分数：2.00）_考研数学一（线性代数）-试卷 51 答案解析(总分：44.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 2 +x 2 2 4x
8、3 2 一 4 1 x 2 2 2 x 3 的标准形为( )（分数：2.00）A.2y 1 2 一 y 2 2 一 3y 3 2 B.一 2y 1 2 一 y 2 2 一 3y 3 2C.一 2y 1 2 +y 2 2D.2y 1 2 +y 2 2 +3y 3 2解析：解析：f 既不正定(因 f(0，0，1)=一 40)，也不负定(因 f(1，0，0)=20)，故(D)、(B)都不对，又 f 的秩为 3，故(C)不对，只有(A)正确或用配方法3.设 A= ，则在实数域上与 A 合同的矩阵为 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：记(D)中的矩阵为 D，则由 知 A 与 D 有相同的特
9、征值 3 与一 1，它们又都是实对称矩阵，因此存在正交矩阵 P 与 Q，使 P T AP= 二、解答题(总题数：19，分数：38.00)4.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：5.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +4x 1 x 2 +4x 1 x 3 +4x 2 x 3 ，写出 f 的矩阵A，求出 A 的特征值，并指出曲面 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=1 的名称（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A= )解析：6.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)A 的特征值为
10、6，6，一 2，故由 A 可相似对角化知矩阵 6EA= 的秩为1，a=0 (2)f=x T Ax=(x T Ax) T =x T A T x= =B，计算可得 B 的特征值为 1 =6， 2 =一3， 3 =7，对应的特征向量分别可取为 1 =(0，0，1) T ， 2 =(1，一 1，0) T ， 3 =(1，1，0) T ，故有正交矩阵 )解析：7.设 A、B 分别为 m、n 阶正定矩阵，试判定分块矩阵 C= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取 m+n 维非零列向量 Z= ，其中 X、Y 分别为 m、n 维向量，故 X、Y 不全为零，不妨假定 X0，由条件有 X T AX0，Y
11、T BY0，故对 Z0，有 Z T CZ 一=X T Y T )解析：8.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +2x 2 2 +bx 3 2 一 4x 1 x 2 +4x 1 x 3 +2ax 2 x 3 (a0)经正交变换 (x 1 ，x 2 ，x 3 ) T =P(y 1 ，y 2 ，y 3 ) T 化成了标准形 f=2y 1 2 +2y 2 2 7y 3 2 ，求a、b 的值和正交矩阵 P（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：a=4，b=一 2；P= )解析：9.设 A 为 mn 实矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，矩阵 B=E+A T A，试证：当 0 时，矩阵
12、 B 为正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：B T =B，对任意 n 维非零列向量 X，有 T X0，(AX) T (AX)0，故对 X0有 X T BX=X T (E+A T A)X=X T X+(AX) T (AX)0，因此，对称阵 B 正定)解析：10.设有 n 元实二次型 f(x 1 ，x 2 ，x m )=(x 1 +a 1 x 2 ) 2 +(x 2 +a 2 x 3 ) 2 +(x n1 +a n1 x n ) 2 +(x n +a n x 1 ) 2 ，其中 a i (i=1，2，咒)为实数试问：当 a 1 ，a 2 ，a n 满足何种条件时，二次型 f 为正定二
13、次型（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1+(一 1) n-1 a 1 a 2 a n 0)解析：11.设 c 1 ，c 2 ，c n 均为非零实常数，A=(a ij ) nm 为正定矩阵，令 b ij =a ij c i c j (i，j=1，2，n)，矩阵 B=(b ij ) nn ，证明矩阵 B 为正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 b ji =b ij ，知 B 对称 证 若 x 1 ，x 2 ，x n 不全为 0，则 c 1 x 1 ，c 2 x 2 ，c n x n 不全为零，此时，(x 1 ，x 2 ，x n )B(x 1 ，x 2 ，x n ) T =
14、)解析：12.设矩阵 A nn 正定，证明：存在正定阵 B，使 A=B 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 正定，故存在正交阵 P，使 P -1 AP=P T AP=diag( 1 ， 2 ， n )且 i 0(i=1，2，n)，故 A=Pdiag( 1 =6， 2 ， n )P T = Pdiag =B 2 其中B=Pdiag( )解析：13.设 1 、 2 分别为 n 阶实对称矩阵 A 的最小和最大特征值，X 1 、X 2 分别为对应于 1 和 n 的特征向量，记 f(X)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：只证最大值的情形(最小值情形的证明类似)：必存在正交
15、变换 X=PY(P 为正交矩阵，Y=(y 1 ，y n ) T )，使得 X T AX 1 y 1 2 + n y n T n (y 1 T +y n T )= n y 2 ，由于正交变换不改变向量长度，故有Y=X=X T X，上式即 X T AX n X T X，当X0 时，X T X0，即得 f(X)= )解析：14.设 n 阶矩阵 A 正定，X=(x 1 ，x 2 ，x n ) T ，证明：二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由于 A 正定，故A0，且 A -1 正定，故对于任意 X0，XR n ，有X T A -1 X0故 f(x
16、1 ，x 2 ，x n )= )解析：15.设实对称矩阵 A 满足 A 2 一 3A+2E=O，证明：A 为正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 为 A 的任一特征值，则存在 X0，使 Ax=K，于是(A 2 一 3A+2E)X=( 2 一 3+2)X=0， 2 一 3+2=0=1 或 =2，因此 A 的特征值均大于 0，故 A 正定)解析：16.设 A 是 n 阶实对称矩阵证明： (1)存在实数 c，使对一切 xR n ，有x T Axcx T x (2)若A 正定，则对任意正整数 k，A n 也是对称正定矩阵 (3)必可找到一个数 a，使 A+aE 为对称正定矩阵（分数：2
17、.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 A 的特征值为 1 ， 2 ， n 令 c=max 1 ， 2 ， n ，则存在正交变换 x=Py，使 x T Ax= )解析：17.设 A 为 n 阶实对称矩阵，秩(A)=n，A ij 是 A=(a ij ) nn 中元素 a ij 的代数余子式(i，j=1，2，n)，二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) f(X)=(x 1 ，x 2 ，x n ) 因秩(A)=n，故 A 可逆，且 A -1 = A * ，从而(A -1 ) T =(A T ) -1 =A -1 ，故 A -1 也是实对称矩阵
18、，因此二次型 f(X)的矩阵为 )解析：18.设 A、B 为同阶正定矩阵，且 AB=BA，证明：AB 为正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 A、B 正定，有 A T =A，B T =B，故(AB) T =B T A T =BA=AB，即 AB 也是对称矩阵因 A 正定，存在正定阵 S，使 A=S 2 ，于是 S -1 (AB)S=S -1 SSBS=SBS=S T BS，由于 B 正定，故与B 合同的矩阵 S T BS 正定，故 S T BS 的特征值全都大于零，而 S -1 (AB)S=S T BS，说明 AB 与 S T BS 相似，由于相似矩阵有相同的特征值，故 AB
19、的特征值(即 S T BS 的特征值)全都大于零，因而对称阵 AB 正定)解析：19.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX=ax 1 2 +2x 2 2 一 2x 3 2 +2bx 1 x 3 (b0)，其中二次型 f 的矩阵 A 的特征值之和为 1，特征值之积为一 12 (1)求 a、b 的值； (2)利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)f 的矩阵为 A= ，由 1 + 2 + 3 =a+2+(一 2)=1，及 1 2 3 =A=2(一 2a 一 b)=一 12，解得 a=1，b=2
20、(2)正交矩阵 P= )解析：20.已知矩阵 B= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 B 相似于对角阵，知对应于 B 的二重特征值 6 的线性无关特征向量有 2 个，r(6EB)=1，a=0。 (2)二次型 f=X T BX 的矩阵为 A= )解析：21.已知齐次线性方程组= 有非零解，且矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由方程组的系数行列式=a(a+1)(a 一 3)=0，a 的取值范围为：0，一1，3，再由矩阵 A 正定，得 a=3；(2)可求得 A 的最大特征值为 10，设对应的单位特征向量为 (即A=10，且 T =1)对二次型 X T AX
21、，存在正交变换 X=PY，使 X T AX 1 y 1 2 + 2 y 2 2 + 3 3y 3 2 10(y 1 2 +y 2 2 +y 3 2 )，当 X T X=Y T Y=y 1 2 +y 2 2 +y 3 2 =2 时，有 X T AX102=20，又 X T = =2 T (A)=2 T (10)=20( T )=20，综上可知 )解析：22.设 D= 为正定矩阵，其中 A，B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵C 为 mn 矩阵 (1)计算 P T DP，其中 P= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)P T DP= 。(2)矩阵 B-C T A -1 C 是正定矩阵。证明：由(1)的结果知 D合同于矩阵 M= ，又 D 为正定矩阵，所以 M 为正定矩阵.因 M 为对称矩阵，故 BC T A -1 C 为对称矩阵由 M 正定，知对 m 维零向量 x=(0，0，0) T 及任意的 n 维非零向量 y=(y 1 ，y 2 ，y n ) T ，有 )解析：
