1、考研数学一（线性代数）-试卷 4 及答案解析(总分：40.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2. （分数：2.00）A.合同且相似B.相似但不合同C.合同但不相似D.既不相似又不合同3.设 A 是三阶实对称矩阵，若对任意的三维列向量 X，有 X T AX0，则( )（分数：2.00）A.A0B.A0C.A0D.以上都不对二、填空题(总题数：1，分数：2.00)4.f(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 )X T AX 的正惯性指数是 2，且 A 2 一 2A0，该二次型的规范形
2、为 1.（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_6. （分数：2.00）_7.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 r(A)r(B)n证明：A，B 有公共的特征向量（分数：2.00）_设 A 是 n 阶矩阵， 1 ， 2 ， n 是 n 维列向量，且 a n 0，若 A 1 2 ，A 2 3 ，A n1 n ，A n 0（分数：4.00）(1).证明： 1 ， 2 ， n 线性无关；（分数：2.00）_(2).求 A 的特征值与特征向量（分数：2.00）_8.设 A 为三阶方阵，A 的每行元素之和为 5，AX0
3、的通解为 ，设 （分数：2.00）_9. （分数：2.00）_10.设 （分数：2.00）_11.设 A 为 mn 阶实矩阵，且 r(A)n证明：A T A 的特征值全大于零（分数：2.00）_12.设 A 为 n 阶正定矩阵证明：对任意的可逆矩阵 P，P T AP 为正定矩阵（分数：2.00）_13.设 P 为可逆矩阵，AP T P证明：A 是正定矩阵（分数：2.00）_14.设 A，B 为 n 阶正定矩阵证明：AB 为正定矩阵（分数：2.00）_15.三元二次型 fX T AX 经过正交变换化为标准形 fy 1 2 y 2 2 一 2y 3 2 ，且 A * 2E 的非零特征值对应的特征向
4、量为 （分数：2.00）_16.设二次型 f2x 1 2 2x 2 2 ax 3 2 2x 1 x 2 2bx 1 x 3 2x 2 x 3 经过正交变换 XQY 化为标准形 fy 1 2 y 2 2 4y 3 2 ，求参数 a，b 及正交矩阵 Q（分数：2.00）_17. （分数：2.00）_18.设 A 为实对称矩阵，且 A 的特征值都大于零证明：A 为正定矩阵（分数：2.00）_19.设 A 为 m 阶正定矩阵，B 为 mn 阶实矩阵证明：B T AB 正定的充分必要条件是 r(B)n（分数：2.00）_考研数学一（线性代数）-试卷 4 答案解析(总分：40.00，做题时间：90 分钟)
5、一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2. （分数：2.00）A.合同且相似B.相似但不合同C.合同但不相似 D.既不相似又不合同解析：解析：显然 A，B 都是实对称矩阵，由EA0，得 A 的特征值为 1 1， 2 2， 3 9，由EB0，得 B 的特征值为 1 1， 2 3 3，因为 A，B 惯性指数相等，但特征值不相同，所以 A，B 合同但不相似，选(C)3.设 A 是三阶实对称矩阵，若对任意的三维列向量 X，有 X T AX0，则( )（分数：2.00）A.A0 B.A0C.A0D.以上都不对解析：
6、解析：设二次型 ，其中 Q 为正交矩阵取 二、填空题(总题数：1，分数：2.00)4.f(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 )X T AX 的正惯性指数是 2，且 A 2 一 2A0，该二次型的规范形为 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y 1 2 y 2 2）解析：解析：A 2 一 2A0r(A)r(2EA)4A 可以对角化， 1 2， 2 0，又二次型的正惯性指数为 2，所以 1 2， 2 0 分别都是二重，所以该二次型的规范形为 y 1 2 y 2 2 三、解答题(总题数：16，分数：32.00)5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：6.
7、 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 AB，所以 tr(A)tr(B)，AB，即 )解析：7.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 r(A)r(B)n证明：A，B 有公共的特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)r(B)n，所以 r(A)n，r(B)n，于是 0 为 A，B 公共的特征值，A 的属于特征值 0 的特征向量即为方程组 AX0 的非零解； B 的属于特征值 0 的特征向量即为方程组 BX0 的非零解， 因为 r(A)r(B)n，所以方程组 )解析：设 A 是 n 阶矩阵， 1 ， 2 ， n 是 n 维列向量，且 a n 0，若 A 1 2 ，A 2
8、3 ，A n1 n ，A n 0（分数：4.00）(1).证明： 1 ， 2 ， n 线性无关；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x 1 1 x 2 2 x n n 0，则 x 1 A 1 x 2 A 2 x n A n 0x 1 2 x 2 3 x n1 n 0 x 1 A 2 x 2 A 3 x n1 A n 0x 1 3 x 2 4 x n2 n2 0 x 1 n 0 因为 n 0，所以 x 1 0，反推可得 x 2 x n 0，所以 1 ， 2 ， n 线性无关)解析：(2).求 A 的特征值与特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：8.设 A 为三阶方
9、阵，A 的每行元素之和为 5，AX0 的通解为 ，设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：9. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：10.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (2)当 a0 时， 1 3 1， 因为 r(EA)2，所以方程组(E 一 A)X0 的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故矩阵 A 不可以对角化 (3) 因为 ，所以方程组 )解析：11.设 A 为 mn 阶实矩阵，且 r(A)n证明：A T A 的特征值全大于零（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先 A T A 为实对称矩阵，r(A T A)n，对任意的 X0， X
10、 T (A T A)X(AX) T (AX)，令 AX，因为 r(A)n，所以 0，所以 (AX) T (AX) T 2 0，即二次型 X T (A T A)X 是正定二次型，A T A 为正定矩阵，所以 A T A 的特征值全大于零)解析：12.设 A 为 n 阶正定矩阵证明：对任意的可逆矩阵 P，P T AP 为正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先 A T A，因为(P T AP) T P T A T (P T ) T P T AP，所以 P T AP 为对称矩阵，对任意的 X0，X T (P T AP)X(PX) T A(PX)，令 PX，因为 P 可逆且 X0，所以
11、0，又因为 A 为正定矩阵，所以 T A0，即 X T (P T AP)X0，故 X T (P T AP)X 为正定二次型，于是 P T AP 为正定矩阵)解析：13.设 P 为可逆矩阵，AP T P证明：A 是正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 A T A，对任意的 X0，X T AX(PX) T (PX)，因为 X0 且 P 可逆，所以PX0，于是 X T AX(PX) T (PX)PX0，即 X T AX 为正定二次型，故 A 为正定矩阵)解析：14.设 A，B 为 n 阶正定矩阵证明：AB 为正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A，B 正定，所以
12、 A T A，B T B，从而(AB) T AB，即 AB 为对称矩阵对任意的 X0，X T (AB)XX T AXX T BX，因为 A，B 为正定矩阵，所以 X T AX0，X T BX0，因此 X T (AB)X0，于是 AB 为正定矩阵)解析：15.三元二次型 fX T AX 经过正交变换化为标准形 fy 1 2 y 2 2 一 2y 3 2 ，且 A * 2E 的非零特征值对应的特征向量为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 fX T AX 经过正交变换后的标准形为 fy 1 2 y 2 2 一 2y 3 2 ，所以矩阵 A 的特征值为 1 2 1， 3 一 2由A 1
13、2 3 一 2 得 A * 的特征值为 1 2 一 2， 3 1，从而 A * 2E 的特征值为 0，0，3，即 1 为 A * 2E 的属于特征值 3 的特征向量，故也为 A 的属于特征值 3 一 2 的特征向量 令 A 的属于特征值 1 2 1 的特征向量为 ，因为 A 为实对称矩阵，所以有 1 T 0，即 x 1 x 3 0 故矩阵 A 的属于 1 2 1 的特征向量为 )解析：16.设二次型 f2x 1 2 2x 2 2 ax 3 2 2x 1 x 2 2bx 1 x 3 2x 2 x 3 经过正交变换 XQY 化为标准形 fy 1 2 y 2 2 4y 3 2 ，求参数 a，b 及正
14、交矩阵 Q（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型 f2x 1 2 2x 2 2 ax 3 2 2x 1 x 2 2bx 1 x 3 2x 2 x 3 的矩阵形式为 fX T AX )解析：17. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设 A 为实对称矩阵，且 A 的特征值都大于零证明：A 为正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 所对应的二次型为 fX T AX，因为 A 是实对称矩阵，所以存在正交变换XQY，使得 )解析：19.设 A 为 m 阶正定矩阵，B 为 mn 阶实矩阵证明：B T AB 正定的充分必要条件是 r(B)n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为(B T AB) T B T A T (B T )TB T AB，所以 B T AB 为对称矩阵， 设 B T AB 是正定矩阵，则对任意的 X0， X T B T ABX(BX) T A(BX)0，所以 BX0，即对任意的 X0 有BX0，或方程组 BX0 只有零解，所以 r(B)n 反之，设 r(B)n，则对任意的 X0，有 BX0， 因为 A 为正定矩阵，所以 X T (B T AB)X(BX) T A(BX)0， 所以 B T AB 为正定矩阵)解析：
