1、考研数学一（线性代数）-试卷 49 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.A 是 n 阶方阵，A=3则(A * ) * = ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 A 是 n 阶可逆方阵(n2)，A * 是 A 的伴随阵，则(A * ) * = ( )（分数：2.00）A.A n-1 AB.A n+1 AC.A n-2 AD.A n+2 A4.设 A nn 是正交矩阵，则 ( )（分数：2.00）A.A * (A * ) T =AEB.(A *
2、 ) T A * =A * EC.A * (A * ) T =ED.(A * ) T A * =-E5.设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下列等式中，不一定成立的是 ( )（分数：2.00）A.(A+A -1 ) * =A * +2AA -1 +(A -1 ) *B.(A+A t ) * =A * +2AA T +(A T ) *C.(A+A * ) 2 =A 2 +2AA * +(A * ) 2D.(A+E) 2 =A 2 +2AE+E 26.设 A 为 3 阶非零矩阵，且满足 a ij =A ij (i，j=1，2，3)，其中 A ij 为 a ij 的代数余子式，则下列结论： A 是可逆矩阵
3、；A 是对称矩阵；A 是不可逆矩阵；A 是正交矩阵其中正确的个数为 ( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.47.设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则下列命题中： 若 A 可逆，则 B 可逆； 若 A+B 可逆，则 B 可逆； 若 B 可逆，则 A+B 可逆； A-E 恒可逆正确的个数为（分数：2.00）A.1B.2C.3D.48.已知 （分数：2.00）A.t=6 时 P 的秩必为 1B.t=6 时 P 的秩必为 2C.t6 时 P 的秩必为 1D.t6 时 P 的秩必为 2二、填空题(总题数：5，分数：10.00)9.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_10.设
4、A= （分数：2.00）填空项 1:_11.已知 A 2 -2A+E=O，则(A+E) -1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 A 是 n 阶矩阵，A=5，则(2A) * = 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设有两个非零矩阵 A=a 1 ，a 2 ，a n T ，B=b 1 ，b 2 ，b n T （分数：6.00）(1).计算 AB T 与 A T B；（分数：2.00）_(2).求矩阵 AB T 的秩 r(AB T )；（分数：2.00
5、）_(3).设 C=E-AB T ，其中 E 为 n 阶单位阵证明：C T C=E-BA T -AB T +BB T 的充要条件是 A T A=1（分数：2.00）_15.证明：若 A 为 mn 矩阵，B 为 nP 矩阵，则有 r(AB)r(A)+r(B)-n特别地，当 AB=O 时，有 r(A)+r(B)n（分数：2.00）_16.证明：r(A+B)r(A)+r(B)（分数：2.00）_17.设 A 是 n 阶实矩阵，证明：tr(AA T )=0 的充分必要条件是 A=O（分数：2.00）_18.证明：方阵 A 是正交矩阵，即 AA T =E 的充分必要条件是：(1)A 的列向量组组成标准正
6、交向量组，即 (2)A 的行向量组组成标准正交向量组，即 （分数：2.00）_19.证明：n3 的非零实方阵 A，若它的每个元素等于自己的代数余子式，则 A 是正交矩阵（分数：2.00）_20.证明：方阵 A 是正交矩阵的充分必要条件是A=1，且若A=1，则它的每一个元素等于自己的代数余子式，若A=-1，则它的每个元素等于自己的代数余子式乘-1（分数：2.00）_设 =a 1 ，a 2 ，a n T 0，=b 1 ，b 2 ，b n T 0， 且 T =0，A=E+ T ，试计算：（分数：6.00）(1).A；（分数：2.00）_(2).A n ；（分数：2.00）_(3).A -1（分数：2
7、.00）_21.设 A 是主对角元为 0 的四阶实对称阵，E 是四阶单位阵，B= （分数：2.00）_22.设 （分数：2.00）_23.A，B 均是 n 阶矩阵，且 AB=A+B证明：A-E 可逆，并求(A-E) -1 （分数：2.00）_24.设 B 是可逆阵，A 和 B 同阶，且满足 A 2 +AB+B 2 =O，证明：A 和 A+B 都是可逆阵，并求 A -1 和(A+B) -1 （分数：2.00）_25.已知 A，B 是三阶方阵，AO，AB=O，证明：B 不可逆（分数：2.00）_考研数学一（线性代数）-试卷 49 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数
8、：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.A 是 n 阶方阵，A=3则(A * ) * = ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：A=3，A 可逆 (A * )(A * )=A * E，(A * )=A * (A * ) -1 =A * =A n-2 A，(A * ) * =A n-2 A=A (n-2)n A= 3.设 A 是 n 阶可逆方阵(n2)，A * 是 A 的伴随阵，则(A * ) * = ( )（分数：2.00）A.A n-1 AB.A n+1 AC.A n-2 A D.A n+2 A解析
9、：解析：AA * =AE，得 A * (A * ) * =A * E，(A * ) * =A * (A * ) -1 ， 其中 A * =A n-1 ，(A * ) -1 = 故 (A * ) * = 4.设 A nn 是正交矩阵，则 ( )（分数：2.00）A.A * (A * ) T =AEB.(A * ) T A * =A * EC.A * (A * ) T =E D.(A * ) T A * =-E解析：解析：因为 A 是正交阵，所以有 A -1 =A T = 5.设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下列等式中，不一定成立的是 ( )（分数：2.00）A.(A+A -1 ) * =A * +
10、2AA -1 +(A -1 ) *B.(A+A t ) * =A * +2AA T +(A T ) * C.(A+A * ) 2 =A 2 +2AA * +(A * ) 2D.(A+E) 2 =A 2 +2AE+E 2解析：解析：由矩阵乘法的分配律可知： (A+B) 2 =(A+B)A+(A+B)B=A 2 +BA+AB+B 2 ，因此，(A+B) 2 =A 2 +2AB+B 2 的充要条件是 BA=AB，也即 A，B 的乘积可交换 由于 A 与 A -1 ，A 与 A * 以及 A 与 E 都是可交换的，故(A)，(C)，(D)中的等式都是成立的故选(B)6.设 A 为 3 阶非零矩阵，且满
11、足 a ij =A ij (i，j=1，2，3)，其中 A ij 为 a ij 的代数余子式，则下列结论： A 是可逆矩阵；A 是对称矩阵；A 是不可逆矩阵；A 是正交矩阵其中正确的个数为 ( )（分数：2.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析：由 a ij =A ij (i，j=1，2，3)及伴随矩阵的定义可知：A * =A T ，那么A * =A T ，也即A 2 =A，即A(A-1)=0 又由于 A 为非零矩阵，不妨设 a 11 0，则 A=a 11 A 11 +a 12 A 12 +a 13 A 13 = 7.设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则下列命题中： 若 A
12、 可逆，则 B 可逆； 若 A+B 可逆，则 B 可逆； 若 B 可逆，则 A+B 可逆； A-E 恒可逆正确的个数为（分数：2.00）A.1B.2C.3D.4 解析：解析：由于(A-E)B=A，可知当 A 可逆时，A-EB0，故B0，因此 B 可逆，可知是正确的 当 A+B 可逆时，AB=AB0，故B0，因此 B 可逆，可知是正确的 类似地，当 B 可逆时，A 可逆，故AB=AB0，因此 AB 可逆，故 A+B 也可逆，可知是正确的 最后，由 AB=A+B 可知(A-E)B-A=O，也即(A-E)B-(A-E)=E，进一步有(A-E)(B-E)=E，故 A-E 恒可逆可知也是正确的 综上，4
13、 个命题都是正确的，故选(D)8.已知 （分数：2.00）A.t=6 时 P 的秩必为 1B.t=6 时 P 的秩必为 2C.t6 时 P 的秩必为 1 D.t6 时 P 的秩必为 2解析：解析：“AB=O”是考研出题频率极高的考点，其基本结论为： A ms B sn =O r(A)+r(B)s； A ms B sn =O 组成 B 的每一列都是 A ms X=0 的解向量 对于本题， 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)9.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：A 2 = 10.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案
14、：*）解析：解析：方法一用初等变换求 方法二11.已知 A 2 -2A+E=O，则(A+E) -1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：A 2 -2A+E=O，(A+E)(A-3E)=-4E， 12.设 A 是 n 阶矩阵，A=5，则(2A) * = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：(2A)(2A) * =2AE，(2A) * =2A(2A) -1 ， (2A) * =2A(2A) -1 = =2 n-1 .5A -1 =(2 n-1 .5) n A -1 = 13.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确
15、答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：14，分数：34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设有两个非零矩阵 A=a 1 ，a 2 ，a n T ，B=b 1 ，b 2 ，b n T （分数：6.00）(1).计算 AB T 与 A T B；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AB T = )解析：(2).求矩阵 AB T 的秩 r(AB T )；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 AB T 各行(或列)是第 1 行(列)的倍数，又 A，B 皆为非零矩阵，故 r(AB T )=1)解析：(3).设 C=E-AB T ，其中 E 为 n
16、 阶单位阵证明：C T C=E-BA T -AB T +BB T 的充要条件是 A T A=1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 C T C=(E-AB T ) T (E-AB T )=(E-BA T )(E-AB T )=E-BA T -AB T +BA T AB T ，故若要求 C T C=E-BA T -AB T +BB T ，则 BA T AB T -BB T =O，B(A T A-1)B T =O，即 (A T A-1)BB T =O 因为 BO，所以 BB T O故 C T C=E-BA T -AB T +BB T 的充要条件是 A T A=1)解析：15.证明：若 A
17、 为 mn 矩阵，B 为 nP 矩阵，则有 r(AB)r(A)+r(B)-n特别地，当 AB=O 时，有 r(A)+r(B)n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：注意到 当 B 有一个 t 1 阶子式不为 0，A 有一个 t 2 阶子式不为 0 时， 一定有一个 t 1 +t 2 阶子式不为 O，因此 )解析：16.证明：r(A+B)r(A)+r(B)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A= 1 ， 2 ， n ，B= 1 ， 2 ， n ，则 A+B= 1 + 1 ， 2 + 2 ， n + n 由于 A+B 的列向量组 1 + 1 ， 2 + 2 ， n + n 向量组 1
18、 ， 2 ， n ， 1 ， 2 ， n 线性表出 的，故 r( 1 + 1 ， 2 + 2 ， n + n )r( 1 ， 2 ， n ， 1 ， 2 ， n ) 又由于 r( 1 ， 2 ， n ， 1 ， 2 ， n )r( 1 ， 2 ， n )+r( 1 ， 2 ， n )， 故 r(A+B)=r( 1 + 1 ， 2 + 2 ， n + n )r( 1 ， 2 ， n ， 1 ， 2 ， n )r( 1 ， 2 ， n )+r( 1 ， 2 ， n )=r(A)+r(B)解析：17.设 A 是 n 阶实矩阵，证明：tr(AA T )=0 的充分必要条件是 A=O（分数：2.00）_
19、正确答案：(正确答案：充分性 A=O，显然 tr(AA T )=0 必要性 tr(AA T )=0，设 记 B=AA T ，则 )解析：18.证明：方阵 A 是正交矩阵，即 AA T =E 的充分必要条件是：(1)A 的列向量组组成标准正交向量组，即 (2)A 的行向量组组成标准正交向量组，即 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A= ，且 A 是正交矩阵 (1)AA T =E，A，A T 互为逆矩阵，有 A T A=E，故 (2)AA T =E，即 )解析：19.证明：n3 的非零实方阵 A，若它的每个元素等于自己的代数余子式，则 A 是正交矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确
20、答案：由题设，a ij =A ij ，则 A * =A T ， AA * =AA T =AE 两边取行列式，得A 2 =A n ，得A 2 (A n-2 -1)=0 因 A 是非零阵，设 a ij 0，则A按第 i 行展开有 )解析：20.证明：方阵 A 是正交矩阵的充分必要条件是A=1，且若A=1，则它的每一个元素等于自己的代数余子式，若A=-1，则它的每个元素等于自己的代数余子式乘-1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性 A 是正交矩阵 )解析：设 =a 1 ，a 2 ，a n T 0，=b 1 ，b 2 ，b n T 0， 且 T =0，A=E+ T ，试计算：（分数：6.0
21、0）(1).A；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A=E T = )解析：(2).A n ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A n =(E+ T )=E n +nE n-1 T + )解析：(3).A -1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 2 =(E+ T )(E+ T )=E+2 T + T T =E+2 T =2E+2 T -E=2A-E 2A-A 2 =E，A(2E-A)=E，A -1 =2E-A=E- T )解析：21.设 A 是主对角元为 0 的四阶实对称阵，E 是四阶单位阵，B= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A= ，因(E+AB) T
22、 =(E+AB)故有 b=c=d=e=0 又 E+AB 不可逆，有E+AB= ，从而得 )解析：22.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 E 和任何矩阵可交换(和 B 可交换)且 B 4 =O，故 (E+B)(E-B+B 2 -B 3 )=E-B 4 =E， 故 A=E+B 可逆，且 A -1 =(E+B) -1 =E-B+B 2 -B 3 又 )解析：23.A，B 均是 n 阶矩阵，且 AB=A+B证明：A-E 可逆，并求(A-E) -1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 AB=A+B，即 AB-A-B=0，AB-A-B+E=E，A(B-E)-(B-E)=E， 即
23、(A-E)(B-E)=E， 故 A-E 可逆，且(A-E) -1 =B-E)解析：24.设 B 是可逆阵，A 和 B 同阶，且满足 A 2 +AB+B 2 =O，证明：A 和 A+B 都是可逆阵，并求 A -1 和(A+B) -1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设：A 2 +AB+B 2 =O，得 A(A+B)=-B 2 式右乘(-B 2 ) -1 ，得A(A+B)(-B 2 ) -1 =E，得 A 可逆，且 A -1 =(A+B)(-B 2 ) -1 式左乘(-B 2 ) -1 ，得(-B 2 ) -1 A(A+B)=E，得 A+B 可逆，且 (A+B) -1 =(-B 2 ) -1 A)解析：25.已知 A，B 是三阶方阵，AO，AB=O，证明：B 不可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AB=O，(AB) T =B T A T =O，AO，B T X=0 有非零解，故B T =0，即B=0，从而有 B 不可逆)解析：
