1、考研数学一（线性代数）-试卷 47 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 Ax=0 仅有零解的充分条件是 A 的( )（分数：2.00）A.列向量组线性无关B.列向量组线性相关C.行向量组线性无关D.行向量组线性相关3.设齐次线性方程组 （分数：2.00）A.=一 2 且B=0B.=一 2 且B0C.=1 且B=0D.=1 且B04.设 1 ， 2 ， 3 是 4 元非齐次线性方程组 aX=B 的 3 个解向量，且
2、秩(A)=3， 1 =(1，2，3，4) T ， 2 + 3 =(0，1，2，3) T ，c 表示任意常数，则线性方程组 Ax=b 的通解 x= ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 A 为 n 阶实矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，则对于线性方程组(I)：Ax=0 和()：A T Ax=0，必有( )（分数：2.00）A.()的解是(I)的解，(I)的解也是()的解B.(II)的解是(I)的解，但(I)的解不是()的解C.(I)的解不是()的解，()的解也不是(I)的解D.(I)的解是()的解，但()的解不是(I)的解6.4 个平面 a i x+b i y+c i z=d i (
3、i=1，2，3，4)交于一条直线的充要条件是对应的联立线性方程组的系数矩阵 A 与增广矩阵 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.47.设 A 是 n 阶矩阵， 是 n 维列向量，且 （分数：2.00）A.Ax= 必有无穷多解B.Ax= 必有唯一解C.=0 仅有零解D.=0 必有非零解8.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A * 0，若 1 ， 2 ， 3 ， 4 是非齐次线性方程组 Ax=b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系( )（分数：2.00）A.不存在B.仅含一个非零解向量C.含有两个线性无关的解向量D.含有 3 个线性无关的解向量9.设 A 为 43 矩阵
4、， 1 ， 2 ， 3 是非齐次线性方程组 Ax= 的 3 个线性无关的解，k 1 ，k 2 为任意常数，则 Ax= 的通解为 （分数：2.00）A.B.C.D.二、解答题(总题数：24，分数：48.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_11.对于方程组 （分数：2.00）_12.设方程组 （分数：2.00）_13.设向量 1 =(1，一 1，1) T ， 2 =(1，k，一 1) T ， 3 =(k，1，2) T ，=(4，k 2 ，一 4) T 问 k 取何值时， 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示?并求出此线性表示式（分数：2.00）_14.设有线
5、性方程组 （分数：2.00）_15.设 A、B 的行数都是 m，证明：矩阵方程 Ax=B 有解的充要条件是 r(A)=r(A | B)（分数：2.00）_16.设 （分数：2.00）_17.设 （分数：2.00）_18.求解线性方程组 （分数：2.00）_19.设向量组 1 ， 2 ， t 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，向量 不是方程组 Ax=0的解，即 A0，求证：，+ 1 ，+ t 线性无关（分数：2.00）_20.设，l 元非齐次线性方程组 Ax=b 有解 * ，r(A)=rn，证明：方程组 Ax=b 有 n 一 r+1 个线性无关的解，而且这 nr+1 个解可以线性表示方
6、程组 Ax=b 的任一解（分数：2.00）_21.设 A 为 mn 矩阵证明：对任意 m 维列向量 b，非齐次线性方程组 Ax=b 恒有解的充分必要条件是 r(A)=m（分数：2.00）_22.设齐次线性方程组 A mn x=0 的解全是方程 b 1 x 1 +b 2 x 2 +b n x n =0 的解，其中 x=(x 1 ，x 2 ，x n ) T 证明：向量 b=(b 1 ，b 2 ，b n )可由 A 的行向量组线性表出（分数：2.00）_23.设 1 ， 2 ， k (kn)是 R n 中七个线性无关的列向量，证明：存在 n 阶满秩方阵 P，使得 P 以 1 ， 2 ， k 为其前五
7、列（分数：2.00）_24.设矩阵 A=(a ij ) nm 的秩为 n，记 A 的元素 a ij 的代数余子式为 A ij ，并记 A 的前 r 行组成的 rn矩阵为 B，证明：向量组 1 =(A r+1,1 ，A r+1,n ) T 2 =(A r+2,1 ，A r+2,n ) T nr =(A n1 ，A nn ) T 是齐次线性方程组 Bx=0 的基础解系（分数：2.00）_25.设 A 为 n 阶方阵(n2)，A * 为 A 的伴随矩阵，证明： （分数：2.00）_26.设有两个线性方程组： （分数：2.00）_27.已知齐次线性方程组 其中 （分数：2.00）_28.设有向量组(I
8、)： 1 =(1，0，2) T ， 2 =(1，1，3) T ， 3 =(1，一 1，a+2) T 和向量组()： 1 =(1，2，a+3) T ， 2 =(2，1，a+6) T ， 3 =(2，1，a+4) T 试问：当 a 为何值时，向量组(I)与()等价?当 a 为何值时，向量组(I)与()不等价?（分数：2.00）_29.讨论三个平面：x+2y+z=1，2x+3y+(a+2)+z=3，x+ay 一 2z=0 的相互位置关系（分数：2.00）_30.设有向量 1 =(1，2，0) T ， 2 =(1，a+2，一 3a) T ， 3 =(一 1，一 62，n+26) T ，=(1，3，一
9、3) T 试讨论当 a、b 为何值时， (1) 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示； (2)可由 1 ， 2 ， 3 惟一地线性表示，并求出表示式； (3) 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式（分数：2.00）_31.已知(1，一 1，1，一 1) T 是线性方程组 （分数：2.00）_32.确定常数 a 的值，使向量组 1 =(1，1，a) T ， 2 =(1，a，1) T ， 3 =(a，1，1) T 可由向量组 1 =(1，1，a) T ， 2 =(一 2，a，4) T ， 3 =(一 2，a，a) T 线性表示，但向量组 1 ， 2 ， 3 不能由向量组
10、 1 ， 2 ， 3 线性表示（分数：2.00）_33.已知齐次线性方程组 （分数：2.00）_考研数学一（线性代数）-试卷 47 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 Ax=0 仅有零解的充分条件是 A 的( )（分数：2.00）A.列向量组线性无关 B.列向量组线性相关C.行向量组线性无关D.行向量组线性相关解析：3.设齐次线性方程组 （分数：2.00）A.=一 2 且B=0B.=一 2 且B0C.=1 且
11、B=0 D.=1 且B0解析：4.设 1 ， 2 ， 3 是 4 元非齐次线性方程组 aX=B 的 3 个解向量，且秩(A)=3， 1 =(1，2，3，4) T ， 2 + 3 =(0，1，2，3) T ，c 表示任意常数，则线性方程组 Ax=b 的通解 x= ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由 Ax=b 的解的结构知关键在于求出 Ax=0 的基础解系，由于 Ax=0 的基础解系所含解向量个数为 4 一秩(A)=43=1，因此 Ax=0 的任意一个非零解都可作为 Ax=0 的基础解系易知 =2 1 一( 2 + 3 )=(2，3，4，5) T 是 Ax=0 的一个非零解
12、，故 可作为 Ax=0 的基础解系，所以，Ax=b 的通解为x= 1 +c只有选项(C)正确5.设 A 为 n 阶实矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，则对于线性方程组(I)：Ax=0 和()：A T Ax=0，必有( )（分数：2.00）A.()的解是(I)的解，(I)的解也是()的解 B.(II)的解是(I)的解，但(I)的解不是()的解C.(I)的解不是()的解，()的解也不是(I)的解D.(I)的解是()的解，但()的解不是(I)的解解析：解析：若 x 满足 Ax=0，两端左乘 A T ，得 A T Ax=0，故 Ax=0 的解都是 A T Ax=0 的解；若 X 满足 A T Ax=0
13、，两端左乘 x T ，得(x T A T )(Ax)=0，即(Ax) T (Ax)=0，或Ax 2 =0，得 Ax=0，所以 A T Ax=0 的解也都是 Ax=0 的解因此(I)与()同解，只有选项(A)正确6.4 个平面 a i x+b i y+c i z=d i (i=1，2，3，4)交于一条直线的充要条件是对应的联立线性方程组的系数矩阵 A 与增广矩阵 （分数：2.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析：记 4 个平面方程联立所得方程组为 Ax=b，则 4 个平面交于一条直线铮 Ax=b 的通解为 x=(x 0 ，y 0 ，z 0 ) T +c(l，m，n) T r(A)=r(A|
14、b)且 Ax=0 的基础解系所含解向量个数为 3 一 r(A)=1 7.设 A 是 n 阶矩阵， 是 n 维列向量，且 （分数：2.00）A.Ax= 必有无穷多解B.Ax= 必有唯一解C.=0 仅有零解D.=0 必有非零解 解析：解析：因为方程组 =0 是 n+1 元齐次线性方程组，而它的系数矩阵的秩为：秩8.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A * 0，若 1 ， 2 ， 3 ， 4 是非齐次线性方程组 Ax=b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系( )（分数：2.00）A.不存在B.仅含一个非零解向量 C.含有两个线性无关的解向量D.含有 3 个线性无关的解向量解析
15、：解析：由 A * O 知 A * 至少有一个元素 A ij =(一 1) i+j M ij 0，故 A 的余子式 M ij 0，而 M ij 为 A 的 n 一 1 阶子式，故 r(A)n 一 1，又由 Ax=b 有解且不唯一知 r(A)n，故 r(A)=n 一 1因此Ax=0 的基础解系所含向量个数为 n 一 r(A)=n 一(n 一 1)=1，只有(B)正确9.设 A 为 43 矩阵， 1 ， 2 ， 3 是非齐次线性方程组 Ax= 的 3 个线性无关的解，k 1 ，k 2 为任意常数，则 Ax= 的通解为 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：首先，由 ( 2 + 3 )是
16、Ax= 的一个特解；其次，由解的性质或直接验证，知 2 一 1 及 3 一 1 均为方程组 Ax=0 的解；再次，由 1 ， 2 ， 3 ，线性无关，利用线性无关的定义，或由 2 一 1 ， 3 一 1 = 1 ， 2 ， 3 及矩阵 二、解答题(总题数：24，分数：48.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：11.对于方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对方程组的增广矩阵施行初等行变换： 由阶梯形矩阵可见： (1)当 k 1 2 时，r(A)= =4，故此时方程组有唯一解 (2)当 k 1 =2 时，对 B 作初等行变换： 可见当k
17、 1 =2 且 k 2 1 时，r(A)=3，而 =4，方程组无解 (3)当 k 1 =2 且 k 2 =1 时，对矩阵 C 作初等行变换： )解析：12.设方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对方程组的增广矩阵施行初等行变换： 由此可见，方程组有解 b3a=0，22a=0，即 a=1，b=3 当 a=1，b=3 时，对矩阵 B 作初等行变换： 由此得方程组的用自由未知量表示的通解为 (x 3 ，x 4 ，x 5 为自由未知量)， 对应齐次方程组 Ax=0 的通解为 )解析：13.设向量 1 =(1，一 1，1) T ， 2 =(1，k，一 1) T ， 3 =(k，1，2) T
18、 ，=(4，k 2 ，一 4) T 问 k 取何值时， 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示?并求出此线性表示式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设有数 x 1 ，x 2 ，x 3 ，使 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =对此方程组的增广矩阵施行初等行变换： 由阶梯形矩阵可见 (1)当(4 一 k)(k+1)0，即 k4 且 k=1 时，r(A)= =3，方程组有唯一解此时，对矩阵 B 作初等行变换，可得方程组的唯一解为： 。 (2)当 k=一 1 时，r(A)=2，而 =3，方程组无解，故此时 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示 (3)当 k=4 时，对矩阵 B 作初等行变换
19、： )解析：14.设有线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)当 1 1 ，1 2 ，1 3 ，1 4 两两不等时，增广矩阵的行列式(为一范德蒙行列式) =4，但系数矩阵的秩不大于 3，故方程组无解 (2)此时有 r(A)= )解析：15.设 A、B 的行数都是 m，证明：矩阵方程 Ax=B 有解的充要条件是 r(A)=r(A | B)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设矩阵 A、X、B 按列分块分别为：A= 1 n ，X=x 1 x n ，B=b 1 b n ，则 Ax=B Ax 1 Ax p =b 1 b p 向量 b j 可由 A 的列向量组线性表示 矩阵 A
20、= 1 n 与矩阵A | B= 1 n b 1 b n 的列向量组等价 )解析：16.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由下列矩阵的初等行变换： 可见，r(A)=rA | B a=1，b=2，c=1，于是由上题知 Ax=B 有解 a=1，b=2，c=1此时，对矩 阵 D 作初等行变换： 于是若将矩阵 B按列分块为 B=b 1 b 2 b 3 ，则得方程组 Ax=b 1 的通解为：x 1 =(1 一 l，一 l，l) T ；方程组 Ax=b 2 的通解为：x 1 =(2 一 m，2 一 m，m) T ；方程组 Ax=b 3 的通解为：x 3 =(1 一 n，一 1 一，n，n) T
21、，所以，矩阵方程 Ax=B 的通解为 x= x 1 x 2 x 3 = )解析：17.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由条件有 4 一 r(A)=2，r(A)=2，于是由 知 c=1当 c=1 时，对矩阵 B 作初等行变换： 由此得方程组的用自由未知量表示的通解为 )解析：18.求解线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对增广矩阵作初等行变换： 可见方程组恒有解 (1)当 a1 时，对矩阵B 作初等行变换： 得通解为：x 1 =一 x 4 ，x 2 =b+3x 4 ，x 3 =一 3x 4 (x 4 任意)，或x=(0，6，0，0) T +c(一 1，3，一 3，
22、1) T ，其中 c 为任意常数 (2)当 a=1 时，由 )解析：19.设向量组 1 ， 2 ， t 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，向量 不是方程组 Ax=0的解，即 A0，求证：，+ 1 ，+ t 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设有一组数 k 0 ，k 1 ，k t ，使得 k 0 +k 1 (+ 1 )+k t (+ t )=0， 即 (k 0 +k 1 +k t )+k 1 1 +k t t =0， (*) 用矩阵 A 左乘上式两端，得 (k 0 +k 1 +k t )A=0， 因 A0，得 k 0 +k 1 +k t =0，代入(*)式，得 k 1
23、1 +k t t =0，因基础解系 1 )+k t 线性无关，得 k 1 =k t =0，代入 k 0 +k 1 +k t =0，得 k 0 =0，所以，向量组 ，+ 1 ，+ t 线性无关)解析：20.设，l 元非齐次线性方程组 Ax=b 有解 * ，r(A)=rn，证明：方程组 Ax=b 有 n 一 r+1 个线性无关的解，而且这 nr+1 个解可以线性表示方程组 Ax=b 的任一解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由条件知齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系含 n 一 r 个向量，设这个基础解系为 1 ， 2 ， nr 则向量组 * ， * + 1 ， * + nr (*) 满足
24、题意首先，由解的性质易知(*)式中的 n 一 r+1 个向量均为方程组 Ax=b 的解；其次，由上题知(*)式 中的向量组线性无关；再次，设 x 为方程组 Ax=b 的任一解，则 x * 为方程组 Ax=0 的解，因此 x 一 * 可由 1 ， nr ，线性表示，即存在一组常数 k 1 ，k nr ，使得 x 一 * =k 1 1 +k nr nr ，得 x= * +k 1 1 +k nr nr ， =(1 一 k 1 一一 k nr ) * +k 1 ( * + 1 )+k nr ( * + nr ) 即 x 可由向量组(*)线性表示综上可知向量组(*)满足要求)解析：21.设 A 为 mn
25、 矩阵证明：对任意 m 维列向量 b，非齐次线性方程组 Ax=b 恒有解的充分必要条件是 r(A)=m（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性：设 j 为 E m 的第 j 个列向量，由必要性假定，方程组 Ax= j 有解 c j ，即 Ac j = j ，(j=1，2，m)，Ac 1 c 2 c m = 1 2 m =E m ，记 C=c 1 c 2 c m ，则有 AC=E m ，故 m=r(E m )=r(AC)r(A)m，r(A)=m；充分性：设 r(A)=m，即 A 的行向量组线性无关，故 的行向量组线性无关，从而有 =m，由有解判定定理，知方程组 Ax=b 有解(其中 )解
26、析：22.设齐次线性方程组 A mn x=0 的解全是方程 b 1 x 1 +b 2 x 2 +b n x n =0 的解，其中 x=(x 1 ，x 2 ，x n ) T 证明：向量 b=(b 1 ，b 2 ，b n )可由 A 的行向量组线性表出（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由条件知方程组 Ax=0 与方程组 有相同的秩，因此 A 的极大无关行向量组也是 )解析：23.设 1 ， 2 ， k (kn)是 R n 中七个线性无关的列向量，证明：存在 n 阶满秩方阵 P，使得 P 以 1 ， 2 ， k 为其前五列（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取齐次线性方程组 )解析：2
27、4.设矩阵 A=(a ij ) nm 的秩为 n，记 A 的元素 a ij 的代数余子式为 A ij ，并记 A 的前 r 行组成的 rn矩阵为 B，证明：向量组 1 =(A r+1,1 ，A r+1,n ) T 2 =(A r+2,1 ，A r+2,n ) T nr =(A n1 ，A nn ) T 是齐次线性方程组 Bx=0 的基础解系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 A 的行向量组线性无关，故 B 的行向量组线性无关，r(B)=r，方程组Bx=0 的基础解系含 n 一 r 个向量，所以，要证明 1 ， 2 ， nr 是方程组 Bx=0 的基础解系，只要证明 1 ， 2 ，
28、nr 是 Bx=0 的线性无关解向量即可首先，由于 )解析：25.设 A 为 n 阶方阵(n2)，A * 为 A 的伴随矩阵，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 r(A)=n 时，A0，A * =A n1 0，即知 r(A * )=n；当 r(A)=n一 1 时，A 中非零子式的最高阶数为 n 一 1，一方面有 A * 0r(A * )1，另一方面有A=0，A * A=AE=0故 A 的每一列都是方程组 A * x=0 的解向量，r(A)=n 一 1 说明 A * x=0 至少有 n 一 1 个线性无关解向量，故 n 一 r(A * )n 一 1，r(A * )1，以上两方面
29、说明 r(A * )=1；当 r(A)n1 时，A中每个 n1 阶子式即 A 的每个元素的余子式都为零，A * =O，从而有 r(A * )=0)解析：26.设有两个线性方程组： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 A=(a ij ) mn ，x=(x 1 ，x 2 ，x n ) T ，y=(y 1 ，y 2 ，y m ) T ，则方程组(I)的矩阵形式为 Ax=b，方程组()的矩阵形式为 A T y=0，方程 b i y i =0 的矩阵形式为 b T y=0必要性：设方程组(I)有解 x，y 为(II)的任一解，则 b T y=(Ax) T y=x T (A T y)=x T 0
30、=0，故(II)的任一解 y 都满足方程 b T y=0充分性：在充分性条件下，两个齐次线性方程组 )解析：27.已知齐次线性方程组 其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程组的系数行列式A=b n1 (b+ )故当A0，即 b0 且 b+ 0 时，方程组仅有零解而当 b=0 或 b+ =0 时，方程组有非零解当 b=0 时，设 a 1 0，则由 )解析：28.设有向量组(I)： 1 =(1，0，2) T ， 2 =(1，1，3) T ， 3 =(1，一 1，a+2) T 和向量组()： 1 =(1，2，a+3) T ， 2 =(2，1，a+6) T ， 3 =(2，1，a+4)
31、T 试问：当 a 为何值时，向量组(I)与()等价?当 a 为何值时，向量组(I)与()不等价?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因行列式 1 2 3 =a+10，故当 a一 1 时方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = i (i=1，2，3)均有解(且有惟一解)，所以向量组(II)可由(I)线性表示又由行列式 1 2 3 =60，同理可知向量组(I)可由(1I)线性表示故当 a一 1 时，(I)与(II)等价当 a=一 1 时，由于秩 1 2 3 秩 1 2 3 1 ，故方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 1 无解，即 1 不能由(I)线性表示，因此(I)
32、与(II)不等价)解析：29.讨论三个平面：x+2y+z=1，2x+3y+(a+2)+z=3，x+ay 一 2z=0 的相互位置关系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先由三个平面的法向量互不平行，知三个平面互不平行(更不会重合)考虑由三个平面方程联立所得线性方程组当 a3 且 a一 1 时，方程组有唯一解，故此时三个平面交于一点；当 a=3 时，方程组有无穷多解，通解为(x，y，z) T =(3，一 1，0) T +c(一 7，3，1) T ，此通解在几何上代表一条空间直线 L，所以此时三个平面相交于直线 L；当 a=一 1 时，方程组无解，即三个平面无公共交点，故此时三个平面两两相
33、交于一条直线)解析：30.设有向量 1 =(1，2，0) T ， 2 =(1，a+2，一 3a) T ， 3 =(一 1，一 62，n+26) T ，=(1，3，一 3) T 试讨论当 a、b 为何值时， (1) 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示； (2)可由 1 ， 2 ， 3 惟一地线性表示，并求出表示式； (3) 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设有一组数 x 1 ，x 2 ，x 3 ，使得 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = (*) 对方程组(*)的增广矩阵施行初等行变换： 可知 r(A) ，故方程组(*)无解， 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示 (2)当 a0，且 ab 时，r(A)= =3，方程组(*)有唯一解：x 1 =1 一 ，x 3 =0故此时 可由 1 ， 2 ， 3 唯一地线性表示为：
