1、考研数学一（线性代数）-试卷 45 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A= （分数：2.00）A.m。B.-8m。C.2m。D.-2m。3.设 A=E-2 T ，其中 =(x 1 ，x 2 ，x n ) T ，且有 T =1。则 A 是对称矩阵； A 2 是单位矩阵； A 是正交矩阵； A 是可逆矩阵。 上述结论中，正确的个数是( )（分数：2.00）A.1。B.2。C.3。D.4。4.设 A= ，那么(P -1 ) 2010 A(Q 2011
2、 ) -1 =( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，向量 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，向量 2 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则必有( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 1 线性无关。B. 1 ， 2 ， 2 线性无关。C. 2 ， 3 ， 1 ， 2 线性相关。D. 1 ， 2 ， 3 ， 1 + 2 线性相关。6.非齐次线性方程组 Ax=b 中未知量的个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵的秩为 r，则( )（分数：2.00）A.r=m 时，方程组 Ax=b 有解。B.r=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解。C.m=
3、n 时，方程组 Ax=b 有唯一解。D.rn 时，方程组 Ax=b 有无穷多个解。7.已知 1 ， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1 ， 2 是对应的齐次线性方程组Ax=0 的基础解系，k 1 ，k 2 为任意常数，则方程组 Ax=b 的通解是( )（分数：2.00）A.k 1 1 +k 2 ( 1 + 2 )+ B.k 1 1 +k 2 ( 1 - 2 )+ C.k 1 1 +k 2 ( 1 + 2 )+ D.k 1 1 +k 2 ( 1 - 2 )+ 8.已知三阶矩阵 A 与三维非零列向量 ，若向量组 ，A，A 2 线性无关，而 A 3 =3A-2A 2 ，那么矩阵
4、A 属于特征值 =-3 的特征向量是( )（分数：2.00）A.。B.A+2。C.A 2 -A。D.A 2 +2A-3。9.设 n 阶矩阵 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则( )（分数：2.00）A.E-A=E-B。B.A 与 B 有相同的特征值和特征向量。C.A 和 B 都相似于一个对角矩阵。D.对任意常数 t，tE-A 与 tE-B 相似。10.设 A 是 n 阶实对称矩阵，将 A 的第 i 列和第 j 列对换得到 B，再将 B 的第 i 行和第 j 行对换得到 C，则A 与 C( )（分数：2.00）A.等价但不相似。B.合同但不相似。C.相似但不合同。D.等价，合同且相似。
5、二、填空题(总题数：8，分数：16.00)11.设 A 为奇数阶矩阵，且 AA T =A T A=E。若A0，则A-E= 1。（分数：2.00）填空项 1:_12.与矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_13.设矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_14.设 1 =(1，2，1) T ， 2 =(2，3，a) T ， 3 =(1，a+2，-2) T ，若 1 =(1，3，4) T 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表示，但是 2 =(0，1，2) T 不可以由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则a= 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.设 A 是一个五阶矩阵，A * 是 A 的伴
6、随矩阵，若 1 ， 2 是齐次线性方程组 Ax=0 的两个线性无关的解，则 r(A * )= 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.设 A 是三阶矩阵，且各行元素的和都是 5，则矩阵 A 一定有特征值 1。（分数：2.00）填空项 1:_17.设矩阵 A 与 B= （分数：2.00）填空项 1:_18.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +2x 2 +a 3 x 3 )(x 1 +5x 2 +b 3 x 3 )的合同规范形为 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）
7、_20.已知 A= （分数：2.00）_21.设 ， 为三维列向量，矩阵 A= T + T ，其中 T ， T 分别为 ， 的转置。证明：r(A)2。（分数：2.00）_22.设 1 ， 2 ， n 是一组 n 维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是任一 n 维向量都可由它们线性表示。（分数：2.00）_23.设 A= （分数：2.00）_24.设 1 ， 2 ， s 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系， 1 =t 1 1 +t 2 2 ， 2 =t 1 2 +t 2 3 ， s =t s s +t 2 1 ， 其中 t 1 ，t 2 为实常数。试问 t 1 ，t 2 满足什么条件时，
8、1 ， 2 ， s 也为 Ax=0 的一个基础解系。（分数：2.00）_25.设矩阵 A= （分数：2.00）_26.设三阶实对称矩阵 A 的特征值 1 =1， 2 =2， 3 =-2， 1 =(1，-1，1) T 是 A 的属于特征值 1 的一个特征向量，记 B=A 5 -4A 3 +E，其中 E 为三阶单位矩阵。 ()验证 1 是矩阵 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量； ()求矩阵 B。（分数：2.00）_27.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 ，且 Q 的第三列为 （分数：2.00）_考研数学一（线性代数）-试卷
9、45 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A= （分数：2.00）A.m。B.-8m。C.2m。D.-2m。 解析：解析：将行列式A的第一列加到第二列上，再将第二、三列互换，之后第一列乘以 2 就可以得到行列式B。由行列式的性质知B=-2A=-2m。3.设 A=E-2 T ，其中 =(x 1 ，x 2 ，x n ) T ，且有 T =1。则 A 是对称矩阵； A 2 是单位矩阵； A 是正交矩阵； A 是可逆矩阵。 上述结论中，正确的个数是(
10、 )（分数：2.00）A.1。B.2。C.3。D.4。 解析：解析：A T =(E-2 T ) T =E T -(2 T ) T =E-2 T =A，成立。 A 2 =(E-2 T )(E-2 T )=E-4 T +4 T T =E-4 T +4( T ) T =E，成立。 由、，得 A 2 =AA T =E，故 A 是正交矩阵，成立。 由知正交矩阵是可逆矩阵，且 A -1 =A T ，成立。 故应选D。4.设 A= ，那么(P -1 ) 2010 A(Q 2011 ) -1 =( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：P、Q 均为初等矩阵，因为 P -1 =P，且 P 左乘 A
11、 相当于互换矩阵 A 的第一、三两行，所以 P 2010 A 表示把 A 的第一、三行互换 2010 次，从而(P -1 ) 2010 A=P 2010 A=A。 又(Q 2011 ) -1 =(Q -1 ) 2011 ，且 Q -1 = 5.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，向量 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，向量 2 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则必有( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 1 线性无关。B. 1 ， 2 ， 2 线性无关。 C. 2 ， 3 ， 1 ， 2 线性相关。D. 1 ， 2 ， 3 ， 1 + 2 线性相关。解析：解析：由 1 ，
12、 2 ， 3 线性无关，且 2 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示知， 1 ， 2 ， 3 ， 2 线性无关，从而部分组 1 ， 2 ， 2 线性无关，故 B 为正确答案。下面证明其他选项的不正确性。 取 1 =(1，0，0，0) T ， 2 =(0，1，0，0) T ， 3 =(0，0，1，0) T ， 2 =(0，0，0，1) T ， 1 = 1 ，知选项 A 与 C 错误。 对于选项 D，由于 1 ， 2 ， 3 线性无关，若 1 ， 2 ， 3 ， 1 + 2 线性相关，则 1 + 2 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，而 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，从而 2 可由 1
13、 ， 2 ， 3 线性表示，与假设矛盾，从而 D 错误。6.非齐次线性方程组 Ax=b 中未知量的个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵的秩为 r，则( )（分数：2.00）A.r=m 时，方程组 Ax=b 有解。 B.r=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解。C.m=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解。D.rn 时，方程组 Ax=b 有无穷多个解。解析：解析：对于选项 A，r(A)=r=m。由于 r(A：b)m=r， 且 r(a：b)minm，n+1=minr，n+1=r， 因此必有 r(A：b)=r，从而 r(A)=r(A：b)，此时方程组有解，所以应选 A。 由 B、C、D 选项的条件均不能
14、推得“两秩”相等。7.已知 1 ， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1 ， 2 是对应的齐次线性方程组Ax=0 的基础解系，k 1 ，k 2 为任意常数，则方程组 Ax=b 的通解是( )（分数：2.00）A.k 1 1 +k 2 ( 1 + 2 )+ B.k 1 1 +k 2 ( 1 - 2 )+ C.k 1 1 +k 2 ( 1 + 2 )+ D.k 1 1 +k 2 ( 1 - 2 )+ 解析：解析：对于 A、C 选项，因为 所以选项 A、C 中不含有非齐次线性方程组 Ax=b 的特解，故均不正确。 对于选项 D，虽然 1 - 2 是齐次线性方程组 Ax=0 的解，但
15、它与 1 不一定线性无关，故D 也不正确，所以应选 B。 事实上，对于选项 B，由于 1 ， 1 - 2 与 1 ， 2 等价(显然它们能够互相线性表示)，故 1 ， 1 - 2 也是齐次线性方程组的一组基础解系，而由 可知 8.已知三阶矩阵 A 与三维非零列向量 ，若向量组 ，A，A 2 线性无关，而 A 3 =3A-2A 2 ，那么矩阵 A 属于特征值 =-3 的特征向量是( )（分数：2.00）A.。B.A+2。C.A 2 -A。 D.A 2 +2A-3。解析：解析：因为 A 3 +2A 2 -3A=0。故 (A+3E)(A 2 -A)=0=0(A 2 -A)。 因为，A，A 2 线性无
16、关，必有 A 2 -A0，所以 A 2 -A 是矩阵 A+3 层属于特征值 =0 的特征向量，即矩阵 A 属于特征值 =-3 的特征向量。所以应选 C。9.设 n 阶矩阵 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则( )（分数：2.00）A.E-A=E-B。B.A 与 B 有相同的特征值和特征向量。C.A 和 B 都相似于一个对角矩阵。D.对任意常数 t，tE-A 与 tE-B 相似。 解析：解析：因为由 A 与 B 相似不能推得 A=B，所以选项 A 不正确。 相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量，故选项 B 也不正确。 对于选项 C，因为根据题设不
17、能推知 A，B 是否相似于对角阵，故选项 C 也不正确。 综上可知选项 D 正确。事实上，因 A 与 B 相似，故存在可逆矩阵 P，使 P -1 AP=B， 于是 P -1 (tE-A)P=tE-P -1 AP=tE-B， 可见对任意常数 t，矩阵 tE-A 与 tE-B 相似。所以应选 D。10.设 A 是 n 阶实对称矩阵，将 A 的第 i 列和第 j 列对换得到 B，再将 B 的第 i 行和第 j 行对换得到 C，则A 与 C( )（分数：2.00）A.等价但不相似。B.合同但不相似。C.相似但不合同。D.等价，合同且相似。 解析：解析：对矩阵作初等行、列变换，用左、右乘初等矩阵表示，由
18、题设 AE ij =B，E ij B=C， 故 C=E ij B=E ij AE ij 。 因 E ij =E ij T =E ij -1 ，故 C=E ij AE ij =E ij -1 AE ij =E ij T AE ij ，故 A与 C 等价，合同且相似，故应选 D。二、填空题(总题数：8，分数：16.00)11.设 A 为奇数阶矩阵，且 AA T =A T A=E。若A0，则A-E= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：A-E=A-AA T =A(E-A T )=A.E-A T =A.E-A。 由 AA T =A T A=E，可知A 2 =1，
19、因为A0，所以A=1，即A-E=E-A。 又 A 为奇数阶矩阵，所以E-A=-(A-E)=-A-E=-E-A，故A-E=0。12.与矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：设矩阵 B= 与 A 可交换，则由 AB=BA 可得 即 x 3 =-2x 2 ，x 1 =4x 2 +x 4 ，所以 B= 13.设矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：依矩阵乘法直接计算得 14.设 1 =(1，2，1) T ， 2 =(2，3，a) T ， 3 =(1，a+2，-2) T ，若 1 =(1，3，4) T 可以由 1
20、 ， 2 ， 3 线性表示，但是 2 =(0，1，2) T 不可以由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则a= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-1）解析：解析：根据题意， 1 =(1，3，4) T 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 1 有解， 2 =(0，1，2) T 不可以由 ， 线性表示，则方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 2 无解，由于两个方程组的系数矩阵相同，因此可以合并一起作矩阵的初等变换，即 15.设 A 是一个五阶矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，若 1 ， 2 是齐次线性方程组
21、 Ax=0 的两个线性无关的解，则 r(A * )= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析： 1 ， 2 是齐次线性方程组 Ax=0 的两个线性无关的解。由方程组的基础解系所含解向量的个数与系数矩阵秩的关系，可得 n-r(A)2，即 r(A)3。又因为 A 是五阶矩阵，所以A的四阶子式一定全部为零，则代数余子式 A ij 恒为零，即 A * =O，所以 r(A * )=0。16.设 A 是三阶矩阵，且各行元素的和都是 5，则矩阵 A 一定有特征值 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：已知各行元素的和都是 5，即 化为
22、矩阵形式，可得 满足17.设矩阵 A 与 B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：矩阵 A 与 B 相似，则 A-2E 与 B-2E 相似，而相似矩阵具有相同的秩，所以 r(A)+r(A-2E)=r(B)+r(B-2E)=2+1=3。18.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +2x 2 +a 3 x 3 )(x 1 +5x 2 +b 3 x 3 )的合同规范形为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 ，所以该线性变换是非退化的，则原二次型与变换之后的二次型 f=y 1 y 2 是合同的，故有相同的
23、合同规范形。 二次型 f=y 1 y 2 的矩阵为 ，所以原二次型的正、负惯性指数均为1，故原二次型的合同标准形为 三、解答题(总题数：9，分数：18.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：20.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AX+X+B+BA=O 可得(A+E)X=-B(E+A)，而 A+E 可逆的，所以 X=-(A+E) -1 B(E+A)，故 X 2006 =(A+E) -1 B 2006 (E+A)=(A+E) -1 (E+A)=E。)解析：21.设 ， 为三维列向量，矩阵 A= T + T ，其中 T ， T
24、分别为 ， 的转置。证明：r(A)2。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A= T + T ，A 为 33 矩阵，所以 r(A)3。 因为 ， 为三维列向量，所以存在三维列向量 0，使得 T =0， T =0， 于是 A= T + T =0， 所以 Ax=0 有非零解，从而 r(A)2。)解析：22.设 1 ， 2 ， n 是一组 n 维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是任一 n 维向量都可由它们线性表示。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性：a 1 ，a 2 ，a n 是线性无关的一组 n 维向量，因此 r(a 1 ，a 2 ，a n )=n。对任一 n 维向量
25、b，因为 a 1 ，a 2 ，a n ，b 的维数 n 小于向量的个数 n+1，故 a 1 ，a 2 ，a n ，b 线性相关。 综上所述 r(a 1 ，a 2 ，a n ，b)=n。 又因为 a 1 ，a 2 ，a n 线性无关，所以 n 维向量 b 可由 a 1 ，a 2 ，a n 线性表示。 充分性：已知任一 n 维向量 b 都可由a 1 ，a 2 ，a n 线性表示，则单位向量组： 1 ， 2 ， n 可由 a 1 ，a 2 ，a n 线性表示，即 r( 1 ， 2 ， n )=nr(a 1 ，a 2 ，a n )， 又 a 1 ，a 2 ，a n 是一组 n 维向量，有 r(a 1
26、，a 2 ，a n )n。 综上，r(a 1 ，a 2 ，a n )=n。所以 a 1 ，a 2 ，a n 线性无关。)解析：23.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()对增广矩阵(A： 1 )作初等行变换，则 得 Ax=0 的基础解系(1，-1，2) T 和 Ax= 1 的特解(0，0，1) T 。故 2 =(0，0，1) T +k(1，-1，2) T ，其中 k 为任意常数。A 2 = ，对增广矩阵(A 2 ： 1 )作初等行变换，有 得 A 2 x=0 的基础解系(-1，1，0) T ，(0，0，1) T 和 A 2 x= 1 的特解 。故 3 = +t 1 (-1，1
27、，0) T +t 2 (0，0，1) T ，其中 t 1 ，t 2 为任意常数。 ()因为 )解析：24.设 1 ， 2 ， s 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系， 1 =t 1 1 +t 2 2 ， 2 =t 1 2 +t 2 3 ， s =t s s +t 2 1 ， 其中 t 1 ，t 2 为实常数。试问 t 1 ，t 2 满足什么条件时， 1 ， 2 ， s 也为 Ax=0 的一个基础解系。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 i (i=1，2，s)是 1 ， 2 ， s 的线性组合，且 1 ， 2 ， s 是 Ax=0 的解，所以根据齐次线性方程组解的性质知 i (i
28、=1，2，s)均为 Ax=0的解。 从 1 ， 2 ， s 是 Ax=0 的基础解系知 s=n-r(A)。 以下分析 1 ， 2 ， s 线性无关的条件： 设 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0，即 (t 1 k 1 +t 2 k s ) 1 +(t 2 k 1 +t 1 k 2 ) 2 +(t 2 k 2 +t 1 k 3 ) 3 +(t 2 k s-1 +t 1 k s ) s =0， 由于 1 ， 2 ， s 线性无关，所以 又因系数矩阵的行列式 当 )解析：25.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：矩阵 A 的特征多项式为 E-A= =(-2)( 2 -8
29、+18+3a)。 如果=2 是单根，则 2 -8+18+3a 是完全平方，必有 18+3a=16，即 a= )解析：26.设三阶实对称矩阵 A 的特征值 1 =1， 2 =2， 3 =-2， 1 =(1，-1，1) T 是 A 的属于特征值 1 的一个特征向量，记 B=A 5 -4A 3 +E，其中 E 为三阶单位矩阵。 ()验证 1 是矩阵 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量； ()求矩阵 B。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由 A 1 = 1 得 A 2 1 =A 1 = 1 ，依次递推，则有 A 3 1 = 1 ，A 5 1 = 1 ，故 B 1 =(A 5 -4
30、A 3 +E) 1 =A 5 1 -4A 3 1 + 1 =-2 1 ， 即 1 是矩阵 的属于特征值-2 的特征向量。 由关系式 B=A 5 -4A 3 +E 及 A 的三个特征值 1 =1， 2 =2， 3 =-2 得 B 的三个特征值为 1 =-2， 2 =1， 3 =1。 设 1 ， 2 为 B 的属于 2 = 3 =1 的两个线性无关的特征向量，又由 A 为对称矩阵，则 B 也是对称矩阵，因此 1 与 2 、 3 正交，即 。 因此 2 ， 3 可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解，即 得其基础解系为 B 的全部特征向量为 k 1 ，其中 k 1 0，k 2 ，k 3 不同时为零。 ()令 P=( 1 ， 2 ， 3 )= ，于是 )解析：27.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 ，且 Q 的第三列为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由题意知 Q T AQ=，其中 = ，则 A=QQ T ,设 Q 的其他任一列向量为(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T 。因为 Q 为正交矩阵，所以 即 x 1 +x 3 =0，其基础解系含两个线性无关的解向量，即为 1 =(=1，0，1) T ， 2 =(0，1，0) T 。把 1 单位化得 1 = (-1，0，1) T ，所以 )解析：
