1、考研数学一（线性代数）-试卷 35 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 为 n 阶方阵，且 A 的行列式A=a0，而 A * 是 A 的伴随矩阵，则A * 等于( )（分数：2.00）A.nB.C.a n1D.a n3.设 n 阶方程 A、B、C 满足关系式 ABC=E，其中 E 是 n 阶单位阵，则必有( )（分数：2.00）A.ACB=EB.CBA=EC.R4C=ED.BCA=E4.设 （分数：2.00）A.AP 1 P 2 =BB.AP
2、 2 P 1 J5lC.P 1 P 2 A=BD.P 2 P 1 A=B5.设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C，则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为 （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 A 为 n(n2)阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B，A * ，B * 分别为 A，B 的伴随矩阵，则( )（分数：2.00）A.交换 A * 的第 1 列与第 2 列得 B * B.交换 A * 的第 1 行与第 2 行得 B * C.交换 A * 的第 1 列与第 2 列得一 B * D.交换 A * 的
3、第 1 行与第 2 行得一 B * 7.设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B，再将 B 的第 1 列的一 1 倍加到第 2 列得 C，记 P=（分数：2.00）A.C=P 1 APB.C=PAP 1C.C=P T APD.C=PAP T 8.设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，若 A 3 =O，则( )（分数：2.00）A.EA 不可逆，E+A 不可逆B.EA 不可逆，E+A 可逆C.EA 可逆，E+A 可逆D.EA 可逆，E+A 不可逆9.设 A，B 均为 2 阶矩阵，A * ，B * 分别为 A，B * 的伴随矩阵若A=2，B=3，则分块矩阵 的
4、伴随矩阵为 （分数：2.00）A.B.C.D.10.设 A 为 mn 咒矩阵，B 为 nm 矩阵，E 为 m 阶单位矩阵若 AB=E，则( )（分数：2.00）A.秩 r(A)=m，秩 r(B)=mB.秩 r(A)=m，秩 r(B)=nC.秩 r(A)=n，秩 r(B)=mD.秩 r(A)=n，秩 r(B)=n11.设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B，再交换 B 的第 2 行与第 3 行得单位矩阵记 P 1 = （分数：2.00）A.P 1 P 2 B.P 1 1 P 2 C.P 2 P 1 D.P 2 P 1 112.设 A 为 3 阶矩阵，P 为 3 阶可
5、逆矩阵，且 P 1 AP= 若 P=( 1 ， 2 ， 3 )，Q=( 1 + 2 ， 2 ， 3 )，则 Q 1 AQ= ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：11，分数：22.00)13.设 44 矩阵 A=( 2 3 4 )，B=( 2 3 4 )，其中 ， 2 3 4 均为4 维列向量，且已知行列式A=4，B=1，则行列式A+B= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 4 阶方阵 （分数：2.00）填空项 1:_16.已知 =1，2，3，=1， （分数：2.00）填空项 1:_17.设 3 阶方阵 A、B 满足
6、关系式 A 1 BA=6A+BA，其中 （分数：2.00）填空项 1:_18.设 （分数：2.00）填空项 1:_19.设矩阵 A 满足 A 2 +A 一 4E=O，其中 E 为单位矩阵，则(AE) 1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_20.设矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_21.设 1 ， 2 ， 3 均为 3 维列向量，记矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 )，B=( 1 + 2 + 3 ， 1 +2 2 +4 3 ， 1 +3 2 +9 3 )如果A=1，那么B= 1（分数：2.00）填空项 1:_22.设矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_23.设矩阵 A= （
7、分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_25.设矩阵 A 和 B 满足关系式 AB=A+2B，其中 A= （分数：2.00）_26.已知 AP=PB，其中 （分数：2.00）_27.设 4 阶矩阵 （分数：2.00）_28.设 A 为 n 阶非零实方阵，A * 是 A 的伴随矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，当 A * =A T 时，证明A0（分数：2.00）_29.设 A 是 n 阶矩阵，满足 AAT=I(I 是 n 阶单位阵，A T 是 A 的转置矩阵)，A0，求A+I（分数：2.00）
8、_30.设 A=I 一 T ，其中 I 是 n 阶单位矩阵， 是 n 维非零列向量， T 是 的转置证明： (1)A 2 =A 的充要条件是 T =1； (2)当 T =1 时，A 是不可逆矩阵（分数：2.00）_31.设 A 是 n 阶可逆方阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得到的矩阵记为 B (1)证明 B 可逆； (2)求 AB 1 （分数：2.00）_32.设矩阵 A 的伴随矩阵 （分数：2.00）_考研数学一（线性代数）-试卷 35 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符
9、合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 为 n 阶方阵，且 A 的行列式A=a0，而 A * 是 A 的伴随矩阵，则A * 等于( )（分数：2.00）A.nB.C.a n1 D.a n解析：解析：由 AA * =AE 两端取行列式，得AA * =A * ，因A=a0，得A * =A n1 =A N1 3.设 n 阶方程 A、B、C 满足关系式 ABC=E，其中 E 是 n 阶单位阵，则必有( )（分数：2.00）A.ACB=EB.CBA=EC.R4C=ED.BCA=E 解析：解析：因为 ABC=E，即 A(BC)=E，故方阵 A 与 BC 互为逆矩阵，从而有(BC)A=E，即 BC
10、A=E4.设 （分数：2.00）A.AP 1 P 2 =BB.AP 2 P 1 J5lC.P 1 P 2 A=B D.P 2 P 1 A=B解析：解析：矩阵 B 可以看作由矩阵 A 依次进行下列两次初等行变换得到的：把 A 的第 1 行加到第 3 行上去，再把所得矩阵的 1、2 两行互换这两次初等变换对应的初等方阵分别为题中给的矩阵 P 2 和 P 1 ，于是由“对矩阵 A 施行初等行变换相当于给 A 左乘相应的初等方阵”，即知(C)正确5.设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C，则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为 （分
11、数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：记交换单位矩阵的第 1 列与第 2 列所得初等矩阵为 E(1，2)，记将单位矩阵第 2 列的 k 倍加到第 3 列所得初等矩阵为 E(3，2(k)，则由题设条件，有 AE(1，2)=B，BE(3，2(1)=C， 故有 AE(1，2)E(3，2(1)=C， 于是得所求逆矩阵为 Q=E(1，2)E(3，2(1)=6.设 A 为 n(n2)阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B，A * ，B * 分别为 A，B 的伴随矩阵，则( )（分数：2.00）A.交换 A * 的第 1 列与第 2 列得 B * B.交换 A * 的第 1 行与第
12、2 行得 B * C.交换 A * 的第 1 列与第 2 列得一 B * D.交换 A * 的第 1 行与第 2 行得一 B * 解析：解析：用排除法以 2 阶方阵为例，设 7.设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B，再将 B 的第 1 列的一 1 倍加到第 2 列得 C，记 P=（分数：2.00）A.C=P 1 APB.C=PAP 1 C.C=P T APD.C=PAP T 解析：解析：将单位矩阵 E 的第 2 行加到第 1 行即得初等矩阵 P，由初等变换与初等矩阵的关系，有B=PA令矩阵 则将 E 的第 1 列的一 1 倍加到第 2 列即得矩阵 Q，于是有 C=B
13、Q，从而有 C=PAQ由于 8.设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，若 A 3 =O，则( )（分数：2.00）A.EA 不可逆，E+A 不可逆B.EA 不可逆，E+A 可逆C.EA 可逆，E+A 可逆 D.EA 可逆，E+A 不可逆解析：解析：由于(EA)(E+A+A 2 )=E 一 A 3 =e，(e+A)(e 一 A+A 2 )=E+A 3 =E，故由可逆矩阵的定义知：EA 和 E+A 均是可逆的9.设 A，B 均为 2 阶矩阵，A * ，B * 分别为 A，B * 的伴随矩阵若A=2，B=3，则分块矩阵 的伴随矩阵为 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：记矩
14、阵 C= =AB一 60，因此 C 为可逆矩阵，由公式 CC * =CE，得 10.设 A 为 mn 咒矩阵，B 为 nm 矩阵，E 为 m 阶单位矩阵若 AB=E，则( )（分数：2.00）A.秩 r(A)=m，秩 r(B)=m B.秩 r(A)=m，秩 r(B)=nC.秩 r(A)=n，秩 r(B)=mD.秩 r(A)=n，秩 r(B)=n解析：解析：由于 m=r(E)=r(AB)r(A)m，所以有 r(A)=m，同理有 r(B)=m11.设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B，再交换 B 的第 2 行与第 3 行得单位矩阵记 P 1 = （分数：2.00）A
15、.P 1 P 2 B.P 1 1 P 2 C.P 2 P 1 D.P 2 P 1 1 解析：解析：由题设条件有 P 2 AP 1 =I，两端左乘 P 2 1 ，两端右乘 P 1 1 ，得 A=P 2 1 P 1 1 ，因 P 2 1 =P 2 ，而 P 1 1 P 1 ，故只有(D)正确12.设 A 为 3 阶矩阵，P 为 3 阶可逆矩阵，且 P 1 AP= 若 P=( 1 ， 2 ， 3 )，Q=( 1 + 2 ， 2 ， 3 )，则 Q 1 AQ= ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由已知 A 相似于对角矩阵 diag(1，1，2)，知 1 ， 2 ， 3 是 A 的
16、 3 个线性无关特征向量，且依次属于特征值 1，1，2 1 + 2 O(否则 1 ， 2 线性相关，与 1 ， 2 ， 3 线性无关矛盾)，且 A( 1 + 2 )=A 1 +A 2 = 1 + 2 ，因此 1 + 2 是 A 的属于特征值 1的一个特征向量 从而知 1 + 1 ， 2 ， 3 是 A 的 3 个线性无关特征向量，且依次属于特征值1，1，2，因此利用矩阵相似对角化可写出 ( 1 + 1 ， 2 ， 3 ) 1 A( 1 + 1 ， 2 ， 3 )=diag(1，1，2)，即 Q 1 AQ=diag(1，1，2)因此选(B)二、填空题(总题数：11，分数：22.00)13.设 4
17、4 矩阵 A=( 2 3 4 )，B=( 2 3 4 )，其中 ， 2 3 4 均为4 维列向量，且已知行列式A=4，B=1，则行列式A+B= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：40）解析：解析：因为 A+B=(+ 2 2 2 3 2 4 )，由行列式的性质即得A+B=+ 2 2 2 3 2 4 =8+ 2 3 4 =8( 2 3 4 + 2 3 4 )=8(4+1)=4014.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：15.设 4 阶方阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：记矩阵 为一分块对角
18、矩阵，由分块对角矩阵求逆矩阵的方法，得16.已知 =1，2，3，=1， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3 n1 ）解析：解析：17.设 3 阶方阵 A、B 满足关系式 A 1 BA=6A+BA，其中 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由已知关系式推出(A 1 一 E)BA=6A，因为上式右端的方阵 6A 可逆，所以左端的方阵 A 1 一 E 也可逆，给上式两端左乘(A 1 一 E) 1 ，右乘 A 1 ，即得 B=(A 1 一 E) 1 6AA 1 =6(A 1 一 E) 1 = 18.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确
19、答案：正确答案：一 3）解析：解析：A 为方阵，若A0，则 A 可逆，于是有 A 1 AB=A 1 O，得 B=0，这与 B0 矛盾，故必有A=0，由此解得 t=一 319.设矩阵 A 满足 A 2 +A 一 4E=O，其中 E 为单位矩阵，则(AE) 1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*(A+2E)）解析：解析：由(A+2E)(AE)=A 2 +A 一 2E=4E 一 2E 一 2E，得 (A+2E)(AE)=E 由逆矩阵的定义，即知(AE) 1 = 20.设矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 A * A=
20、AE，而A=3，所以 A * A=3E用矩阵 A 右乘题设方程两端，可得 3AB=6B+A 或 3(A 一 2E)B=A 两端取行列式，得 3 3 A 一 2EB=A 由于 21.设 1 ， 2 ， 3 均为 3 维列向量，记矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 )，B=( 1 + 2 + 3 ， 1 +2 2 +4 3 ， 1 +3 2 +9 3 )如果A=1，那么B= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：利用矩阵乘法，可将 B 表示为22.设矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由给定矩阵方程得 BAB=2EB
21、(AE)=2E 两端取行列式，得 BAE=2E 因 AE= 23.设矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：利用矩阵乘法，容易计算得 三、解答题(总题数：9，分数：18.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：25.设矩阵 A 和 B 满足关系式 AB=A+2B，其中 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AB=A+2B 推出(A 一 2E)B=A，其中 E 为 3 阶单位矩阵，因为 )解析：解析：本题综合考查矩阵的线性运算，求逆矩阵及矩阵乘法等运算求解矩阵方程可类比求解一元一次代数方程，通常
22、是先通过移项将含有未知矩阵的项移到等号一端去，再通过提取公因子等步骤将方程化简整理成 AX=C(或 XA=C，或 AXB=C 等)形式。进而给两端左乘(或右乘，或给左右两端都乘)相应的逆矩阵解出未知矩阵 X(如果 X 的系数矩阵不可逆，则需要用元素法)应特别注意矩阵乘法不满足交换律，相乘矩阵的次序不可随意颠倒，即左乘和右乘一般是不同的因此，在本例中，从 AB 一 2B 中提出右边的公因子 B 时要将 B 写在乘积的右边，而由(A 一 2E)B=A 要解出 B 就需要给该式两端同时左乘(A 一 2E) 1 26.已知 AP=PB，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求出 )解析：解
23、析：本题综合考查求逆矩阵、矩阵乘法及方阵的幂等运算注意在求 A 5 时利用了矩阵乘法的结合律，在求 B 5 时利用了对角阵的方幂归结为它的主对角线上各元素的方幂27.设 4 阶矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A(EC 1 B) T Cr=AC(EC 1 B) T =A(CB) T ，故所给关系式化简成 A(CB) T =E 所以 A=E(CB) T 1 =(CB) 1 T )解析：解析：本题考查矩阵运算的运算规律及逆矩阵的计算注意在矩阵运算中，一般先要作“字母”运算，把所给关系式(或方程)尽可能化简后再作具体的数值运算28.设 A 为 n 阶非零实方阵，A * 是 A 的
24、伴随矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，当 A * =A T 时，证明A0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由公式 AA T =AE，得 AA T =AE，若A=0，则有 AA T =O，设 A 的第 i个行向量为 i (i=1，2，z)，则由 AA T 的第 i 行第 i 列处的元素为零，有 i T i = i =0，(i=1，2，n)，即 i =0，i=1，2，n，于是 A=0，这与已知 A 为非零阵矛盾，故A0)解析：解析：本题主要考查伴随矩阵的概念和性质注意 A * 的第 i 行第 j 列处元素为 A ij ，伴随矩阵的定义及公式 AA * =A * A=AE 是处理逆矩阵及伴随
25、矩阵有关问题的基本出发点，必须深刻理解、熟练掌握例如，当A0 时，由上述公式可得几个常用的结果：A 1 = ；A * =A N1 (当A=0 时可证明A * =0，故此公式对任何 n(n2)阶方阵 A 恒成立)；(A * ) * =A n2 A(由(A * ) 1 = 29.设 A 是 n 阶矩阵，满足 AAT=I(I 是 n 阶单位阵，A T 是 A 的转置矩阵)，A0，求A+I（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A+I=A+AA T =AI+A T =A(I+A T ) T =AI+A=AA+I 所以 (1 一A)A+I=0 又因 IA0 故 A+I=0)解析：解析：本题综合考
26、查矩阵的乘法、转置及方阵乘积的行列式等运算这里，将A+I中的 I 换成AA T ，进而推出关于数A+I的关系式是求解的关键 又因 IA0 故 A+I=030.设 A=I 一 T ，其中 I 是 n 阶单位矩阵， 是 n 维非零列向量， T 是 的转置证明： (1)A 2 =A 的充要条件是 T =1； (2)当 T =1 时，A 是不可逆矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)A 2 =(I 一 T )(I 一 T )=I 一 2 T + T T =I 一 2 T +( T ) T =I 一 2 T +( T ) T =I 一(2 一 T ) T A 2 =A 即 I 一(2 一
27、T ) T =I 一 T ，亦即 ( T 一 1) T =O 因为 是非零列向量，有 T 0 故 A 2 =A 的充要条件是 T 一 1=0，即 T =1 (2)用反证法当 T =1 时 A 2 =A，若 A 可逆，则有 A 1 A 2 =A 1 A 即 A=I，这与已知的 A=I 一 T I 矛盾，故 A 是不可逆矩阵)解析：解析：本题(1)主要考查矩阵乘法及其运算规律，用到了分配律、结合律及关于数乘的结合律要注意分析乘积矩阵是哪一型矩阵这里 T 是一个 1 阶方阵，即一个数，因此可把它从矩阵乘积中提出来，这是本题化简推证的关键本题(2)考察可逆矩阵的概念，条件为 T =1，自然应该联想并应
28、用(1)的结论，并利用反证法(最易)，因为当假定 A 可逆时，就可以用 A 1 进行运算31.设 A 是 n 阶可逆方阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得到的矩阵记为 B (1)证明 B 可逆； (2)求 AB 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因A0，及B=一A0，故 B 可逆 (2)记 E ij 是由 n 阶单位矩阵的第 i 行和第 j 行对换后所得到的初等方阵，则 B=E ij A 因而 AB 1 =A( ij A) 1 =AA 1 E ij 1 =E ij 1 =E ij)解析：解析：本题(1)考查方阵可逆的条件及行列式的性质，属于基本题目(还可以利用“等价的
29、矩阵有相同的秩”推出 B 亦为满秩方阵、即可逆方阵)本题(2)考查能否灵活应用矩阵初等行变换与初等方阵的关系，将与 A 行等价的矩阵用矩阵乘积表示出来32.设矩阵 A 的伴随矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由A * =A N1 ，有A 3 =8，得A=2 又由题设方程，有 (AE)BA 1 =3E 两端右乘 A，得 (AE)B=3A 两端左乘 A 1 ，得 (E 一 A 1 )B=3E 即 (E 一 A * )B=3E 亦即 (2E 一 A * )B=6E 又 2EA * 为可逆矩阵，于是 B=6(2EA * ) 1 计算可得 )解析：解析：本题综合考查矩阵的运算及伴随矩阵的概念和性质注意本题化简矩阵方程的关键是利用公式 AA * =A * A=AE也可以直接先给题设方程两端右乘 A，得 AB=B+3A，再两端左乘 A * ，得A B=A * B+3AE，即 2B=A * B+6E，移项得(2E 一 A * )B=6E
