1、考研数学一（线性代数）-试卷 31 及答案解析(总分：86.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设三阶矩阵 A 的特征值为一 1，1，2，其对应的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 P(3 2 ，一 3 ，2 1 )，则 P 1 AP 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A，B 的特征值相同，则( )（分数：2.00）A.A，B 相似于同一个对角矩阵B.存在正交阵 Q，使得 Q T AQBC.r(A)r(B)D.以上都不对4.设
2、 A 是 n 阶矩阵，下列命题错误的是( )（分数：2.00）A.若 A 2 E，则一 1 一定是矩阵 A 的特征值B.若 r(EA)n，则一 1 一定是矩阵 A 的特征值C.若矩阵 A 的各行元素之和为一 1，则一 1 一定是矩阵 A 的特征值D.若 A 是正交矩阵，且 A 的特征值之积小于零，则一 1 一定是 A 的特征值5.与矩阵 相似的矩阵为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 A 为 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A 的秩与矩阵 A 的非零特征值的个数相等B.若 AB，则矩阵 A 与矩阵 B 相似于同一对角阵C.若 r(A)rn，则 A 经
3、过有限次初等行变换可化为D.若矩阵 A 可对角化，则 A 的秩与其非零特征值的个数相等7.设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.存在可逆矩阵 P，使得 P 1 APBB.存在正交矩阵 Q，使得 Q T AQBC.A，B 与同一个对角矩阵相似D.存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQB二、填空题(总题数：7，分数：14.00)8.设 （分数：2.00）填空项 1:_9.设三阶矩阵 A 的特征值为 1 一 1， （分数：2.00）填空项 1:_10.设 1 ， 2 ， 3 是三阶矩阵 A 的 三个不同特征值， 1 ， 2 ， 3 分别是属于特征值 1 ， 2 ， 3 的特征向量
4、，若 1 ，A( 1 2 )，A 2 ( 1 2 3 )线性无关，则 1 ， 2 ， 3 满足 1（分数：2.00）填空项 1:_11.若 1 ， 2 ， 3 是三维线性无关的列向量，A 是三阶方阵，且 A 1 1 2 ，Aa 2 2 3 ，A 3 3 1 ，则A 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 A 为三阶实对称矩阵， 1 (a，一 a，1) T 是方程组 AX0 的解， 2 (a，1，1a) T 是方程组(AE)X0 的解，则 a 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：
5、58.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_16.设 A 为 n 阶非零矩阵，且 A 2 A，r(A)r求5EA（分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1).a 及可逆阵 P，使得 P 1 APA，其中 A 为对角阵；（分数：2.00）_(2).A 100 （分数：2.00）_17.设 （分数：2.00）_18.设 （分数：2.00）_设 （分数：6.00）(1).求 a；（分数：2.00）_(2).求可逆矩阵 P，使得 P 1 AP 为对角阵；（分数：2.00）_(3).求正交阵 Q，使得 Q T AQ 为对角阵（分数：2.00）_设矩阵 （分数：4.00）(1).
6、若 A 有一个特征值为 3，求 a；（分数：2.00）_(2).求可逆矩阵 P，使得 p T A 2 P 为对角矩阵（分数：2.00）_设矩阵 可逆， （分数：4.00）(1).求 a，b 及 对应的 A * 的特征值，（分数：2.00）_(2).判断 A 可否对角化（分数：2.00）_设 A 为三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是三维线性无关的列向量，且 A 1 一 1 2 2 2 3 ，A 2 2 1 一 2 一 2 3 ，A 3 2 1 一 2 2 一 3 （分数：4.00）(1).求矩阵 A 的全部特征值；（分数：2.00）_(2).求A * 2E（分数：2.00）_19.设 A 为三阶
7、矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵 B(A * ) 2 一 4E 的特征值为 0，5，32求 A 1 的特征值并判断 A 1 是否可对角化（分数：2.00）_设 的一个特征值为 1 2，其对应的特征向量为 （分数：4.00）(1).求常数 a，b，c；（分数：2.00）_(2).判断 A 是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵 P，使得 P 1 AP 为对角矩阵若不可对角化，说明理由（分数：2.00）_设二维非零向量 不是二阶方阵 A 的特征向量（分数：4.00）(1).证明 ，A 线性无关；（分数：2.00）_(2).若 A 2 A60，求 A 的特征值，讨论 A 可否对角化；（分数：2.
8、00）_设 A 是三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 为三个三维线性无关的列向量，且满足 A 1 2 3 ，A 2 1 3 ，A 3 1 2 （分数：4.00）(1).求矩阵 A 的特征值；（分数：2.00）_(2).判断矩阵 A 可否对角化（分数：2.00）_设 A，B 为三阶矩阵，且 ABAB，若 1 ， 2 ， 3 为 A 的三个不同的特征值，证明：（分数：4.00）(1).ABBA；（分数：2.00）_(2).存在可逆矩阵 P，使得 P 1 AP，P 1 BP 同时为对角矩阵（分数：2.00）_20.(1)若 A 可逆且 AB，证明：A * B * ； (2)若 AB，证明：存在可逆矩阵
9、P，使得 APBP（分数：2.00）_21.设 （分数：2.00）_（分数：4.00）(1).求 A；（分数：2.00）_(2).求A * 3E（分数：2.00）_设 A 为三阶实对称矩阵，A 的每行元素之和为 5，AX0 有非零解且 1 2 是 A 的特征值，对应特征向量为(一 1，0，1) T （分数：4.00）(1).求 A 的其他特征值与特征向量；（分数：2.00）_(2).求 A（分数：2.00）_考研数学一（线性代数）-试卷 31 答案解析(总分：86.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求
10、。（分数：2.00）_解析：2.设三阶矩阵 A 的特征值为一 1，1，2，其对应的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 P(3 2 ，一 3 ，2 1 )，则 P 1 AP 等于( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：显然 3 2 ，一 3 ，2 1 也是特征值 1，2，一 1 的特征向量，所以 3.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A，B 的特征值相同，则( )（分数：2.00）A.A，B 相似于同一个对角矩阵B.存在正交阵 Q，使得 Q T AQBC.r(A)r(B)D.以上都不对 解析：解析：令4.设 A 是 n 阶矩阵，下列命题错误的是( )（分数：2.00）A.若 A
11、2 E，则一 1 一定是矩阵 A 的特征值 B.若 r(EA)n，则一 1 一定是矩阵 A 的特征值C.若矩阵 A 的各行元素之和为一 1，则一 1 一定是矩阵 A 的特征值D.若 A 是正交矩阵，且 A 的特征值之积小于零，则一 1 一定是 A 的特征值解析：解析：若 r(EA)n，则EA0，于是一 1 为 A 的特征值；若 A 的每行元素之和为一 1，则 5.与矩阵 相似的矩阵为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：A 的特征值为 1，2，0，因为特征值都是单值，所以 A 可以对角化，又因为给定的四个矩阵中只有选项(D)中的矩阵特征值与 A 相同且可以对角化，所以选(D)
12、6.设 A 为 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A 的秩与矩阵 A 的非零特征值的个数相等B.若 AB，则矩阵 A 与矩阵 B 相似于同一对角阵C.若 r(A)rn，则 A 经过有限次初等行变换可化为D.若矩阵 A 可对角化，则 A 的秩与其非零特征值的个数相等 解析：解析：(A)不对，如 ，A 的两个特征值都是 0，但 r(A)1；(B)不对，因为 AB 不一定保证A，B 可以对角化；(C)不对，如 ，A 经过有限次行变换化为 ，经过行变换不能化为 ；因为 A 可以对角化，所以存在可逆矩阵 P，使得 ，于是7.设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.
13、00）A.存在可逆矩阵 P，使得 P 1 APBB.存在正交矩阵 Q，使得 Q T AQBC.A，B 与同一个对角矩阵相似D.存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQB 解析：解析：因为 A，B 都是可逆矩阵，所以 A，B 等价，即存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQB，选(D)二、填空题(总题数：7，分数：14.00)8.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为A * A 2 4，且A0，所以A2，又 AA * AE2E，所以 A 1 ，从而 A 1 的特征值为 9.设三阶矩阵 A 的特征值为 1 一 1， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答
14、案：*）解析：解析：P 1 (A 1 2E)PP 1 A 1 P2E， 10.设 1 ， 2 ， 3 是三阶矩阵 A 的 三个不同特征值， 1 ， 2 ， 3 分别是属于特征值 1 ， 2 ， 3 的特征向量，若 1 ，A( 1 2 )，A 2 ( 1 2 3 )线性无关，则 1 ， 2 ， 3 满足 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 x 1 1 x 2 A( 1 2 )x 3 A 2 ( 1 2 3 )0，即 (x 1 1 x 2 1 2 x 3 ) 1 ( 2 x 2 2 2 x 3 ) 2 3 2 x 3 3 0，则有 x 1 1 x 2 1
15、2 x 3 0， 2 x 2 2 2 x 3 0， 3 2 x 3 0，因为 x 1 ，x 2 ，x 3 只能全为 零，所以 11.若 1 ， 2 ， 3 是三维线性无关的列向量，A 是三阶方阵，且 A 1 1 2 ，Aa 2 2 3 ，A 3 3 1 ，则A 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：令 P( 1 ， 2 ， 3 )，因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 P 可逆， 12.设 A 为三阶实对称矩阵， 1 (a，一 a，1) T 是方程组 AX0 的解， 2 (a，1，1a) T 是方程组(AE)X0 的解，则 a 1（分数：2.00）填空项
16、 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：因为 A 为实对称矩阵，所以不同特征值对应的特征向量正交，因为 AX0 及(AE)X0 有非零解，所以 1 0， 2 一 1 为矩阵 A 的特征值， 1 (a，a，1) T ， 2 (a，1，1 一 a) T 是它们对应的特征向量，所以有 1 T 2 a 2 一 a1 一 a0，解得 a113.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：由 14.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由E 一 A0 得 A 的特征值为 1 一 2， 2 3 6因为 A 有三个线性无关的特征向量
17、，所以 A 可以对角化，从而 r(6EA)1，解得 a0三、解答题(总题数：18，分数：58.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：16.设 A 为 n 阶非零矩阵，且 A 2 A，r(A)r求5EA（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 )解析：设 （分数：4.00）(1).a 及可逆阵 P，使得 P 1 APA，其中 A 为对角阵；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).A 100 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 2 的线
18、性无关的特征向量有两个，故 r(2EA)1， 而 2EA ，所以 x2，y一 2 )解析：18.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 为上三角矩阵，所以 A 的特征值为 1 2 1， 3 4 一1因为 A 有四个线性无关的特征向量，即 A 可以对角化，所以有 )解析：设 （分数：6.00）(1).求 a；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为方程组 AX 有解但不唯一，所以A0，从而 a一 2 或 a1 )解析：(2).求可逆矩阵 P，使得 P 1 AP 为对角阵；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由E 一 A(3)( 一 3)0 得 1 0， 2 3， 3
19、一 3 由(OEA)X0 得 1 0 对应的线性无关的特征向量为 由(3EA)X0 得 2 3 对应的线性无关的特征向量为 由(一 3EA)X0 得 3 一 3 对应的线性无关的特征向量为 ， )解析：(3).求正交阵 Q，使得 Q T AQ 为对角阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设矩阵 （分数：4.00）(1).若 A 有一个特征值为 3，求 a；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E 一 A( 2 一 1) 2 一(a2)2a 一 1， 把 3 代入上式得a2，于是 )解析：(2).求可逆矩阵 P，使得 p T A 2 P 为对角矩阵（分数：2.00）_正确答案
20、：(正确答案：由E 一 A 2 0 得 A 2 的特征值为 1 2 3 1， 4 9 当 1 时，由(EA 2 )X0 得 1 (1，0，0，0) T ， 2 (0，1，0，0) T ， 3 (0，0，一1，1) T ； 当 9 时，由(9EA 2 )X0 得 4 (0，0，1，1) T 将 1 ， 2 ， 3 正交规范化得 1 (1，0，0，0) T ， 2 (0，1，0，0) T ， 3 ，将 4 规范化得 令 P( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) ，则 P T A 2 P )解析：设矩阵 可逆， （分数：4.00）(1).求 a，b 及 对应的 A * 的特征值，（分数：2.00）_正确
21、答案：(正确答案：显然 也是矩阵 A 的特征向量，令 A 1 ，则有 )解析：(2).判断 A 可否对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设 A 为三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是三维线性无关的列向量，且 A 1 一 1 2 2 2 3 ，A 2 2 1 一 2 一 2 3 ，A 3 2 1 一 2 2 一 3 （分数：4.00）(1).求矩阵 A 的全部特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).求A * 2E（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为A一 5，所以 A * 的特征值为 1，一 5，一 5，故 A * 2E 的特征值为3，一
22、3，一 3从而A * 2E27)解析：19.设 A 为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵 B(A * ) 2 一 4E 的特征值为 0，5，32求 A 1 的特征值并判断 A 1 是否可对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A 的三个特征值为 1 ， 2 ， 3 ，因为 B(A * ) 2 一 4E 的三个特征值为 0，5，32，所以 (A * ) 2 的三个特征值为 4，9，36，于是 A * 的三个特征值为 2，3，6 又因为A * 36A 31 ，所以A6 由 ，得 1 3， 2 2， 3 1， 由于一对逆矩阵的特征值互为倒数，所以 A 1 的特征值为 )解析：设
23、的一个特征值为 1 2，其对应的特征向量为 （分数：4.00）(1).求常数 a，b，c；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).判断 A 是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵 P，使得 P 1 AP 为对角矩阵若不可对角化，说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设二维非零向量 不是二阶方阵 A 的特征向量（分数：4.00）(1).证明 ，A 线性无关；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 ，A 线性相关，则存在不全为零的数 k 1 ，k 2 ，使得 k 1 k 2 A0，显然 k 2 0，所以 )解析：(2).若 A 2 A60，求 A 的特
24、征值，讨论 A 可否对角化；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 2 A60，得(A 2 A6E)0， 因为 0，所以 r(A 2 A6E)2，从而A 2 A 一 6E0，即 3EA2EA0，则3EA0或2EA0 若3EA0，则 3EA 可逆，由(3EA)(2EA)0 得 (2EA)0，即A2，矛盾； 若2EA0，则 2EA 可逆，由(2EA)(3EA)0，得 (3EA)0，即A一 3，矛盾，所以有3EA0 且2EA0，于是二阶矩阵 A 有两个特征值一 3，2，故 A可对角化)解析：设 A 是三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 为三个三维线性无关的列向量，且满足 A 1 2 3 ，A
25、2 1 3 ，A 3 1 2 （分数：4.00）(1).求矩阵 A 的特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 1 2 3 0， 由 A( 1 2 3 )2( 1 2 3 )，得 A 的一个特征值为 1 2； 又由 A( 1 一 2 )一( 1 一 2 )，A( 2 3 )一( 2 3 )，得 A 的另一个特征值为 2 一 1因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 1 一 2 与 2 一 3 也线性无关，所以 2 一 1 为矩阵 A 的二重特征值，即 A 的特征值为 2，一 1，一 1)解析：(2).判断矩阵 A 可否对角化（分数：2.00）
26、_正确答案：(正确答案：因为 1 一 2 ， 2 一 3 为属于二重特征值一 1 的两个线性无关的特征向量，所以 A 一定可以对角化)解析：设 A，B 为三阶矩阵，且 ABAB，若 1 ， 2 ， 3 为 A 的三个不同的特征值，证明：（分数：4.00）(1).ABBA；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 ABAB 得 ABABEE，(E 一 B)(EA)E， 即 E 一 B 与 EA 互为逆矩阵，于是(EB)(EA)E(EA)(EB)， 故 ABBA)解析：(2).存在可逆矩阵 P，使得 P 1 AP，P 1 BP 同时为对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A
27、有三个不同的特征值 1 ， 2 ， 3 ，所以 A 可以对角化，设 A 的三个线性无关的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，则有 A( 1 ， 2 ， 3 )( 1 ， 2 ， 3 )diag( 1 ， 2 ， 3 )， BA( 1 ， 2 ， 3 )B( 1 ， 2 ， 3 )diag( 1 ， 2 ， 3 )， AB( 1 ， 2 ， 3 )B( 1 ， 2 ， 3 )diag( 1 ， 2 ， 3 )，于是有 AB i i B i ，i1，2，3 若 B i 0，则 B i 是 A 的属于特征值 i 的特征向量，又 i 为单根，所以有 B i i i ； 若 B i 0，则 i 是 B 的
28、属于特征值 0 的特征向量无论哪种情况，B 都可以对角化，而且 i 是 B 的特征向量，因此，令 P( 1 ， 2 ， 3 )，则 P 1 AP，P 1 BP 同为对角阵)解析：20.(1)若 A 可逆且 AB，证明：A * B * ； (2)若 AB，证明：存在可逆矩阵 P，使得 APBP（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 A 可逆且 AB 所以 B 可逆，A，B 的特征值相同且AB 因为AB，所以存在可逆矩阵 P，使得 P 1 APB， 而 A * AA 1 ，B * BB 1 ， 于是由 P 1 APB，得(P 1 AP) 1 B 1 ，即 P 1 A 1 PB 1 ， 故 P 1 AA 1 PAB 1 或 P 1 A * PB * ，于是 A * B * (2)因为 AB，所以存在可逆阵 P，使得 P 1 APB，即 APPB，于是 APPBPP 1 P(BP)P 1 ，故 APBP)解析：21.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：（分数：4.00）(1).求 A；（分数
