1、考研数学一(线性代数)-试卷 31 及答案解析(总分:86.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:7,分数:14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设三阶矩阵 A 的特征值为一 1,1,2,其对应的特征向量为 1 , 2 , 3 ,令 P(3 2 ,一 3 ,2 1 ),则 P 1 AP 等于( ) (分数:2.00)A.B.C.D.3.设 A,B 为 n 阶矩阵,且 A,B 的特征值相同,则( )(分数:2.00)A.A,B 相似于同一个对角矩阵B.存在正交阵 Q,使得 Q T AQBC.r(A)r(B)D.以上都不对4.设
2、 A 是 n 阶矩阵,下列命题错误的是( )(分数:2.00)A.若 A 2 E,则一 1 一定是矩阵 A 的特征值B.若 r(EA)n,则一 1 一定是矩阵 A 的特征值C.若矩阵 A 的各行元素之和为一 1,则一 1 一定是矩阵 A 的特征值D.若 A 是正交矩阵,且 A 的特征值之积小于零,则一 1 一定是 A 的特征值5.与矩阵 相似的矩阵为( ) (分数:2.00)A.B.C.D.6.设 A 为 n 阶矩阵,下列结论正确的是( )(分数:2.00)A.矩阵 A 的秩与矩阵 A 的非零特征值的个数相等B.若 AB,则矩阵 A 与矩阵 B 相似于同一对角阵C.若 r(A)rn,则 A 经
3、过有限次初等行变换可化为D.若矩阵 A 可对角化,则 A 的秩与其非零特征值的个数相等7.设 A,B 为 n 阶可逆矩阵,则( )(分数:2.00)A.存在可逆矩阵 P,使得 P 1 APBB.存在正交矩阵 Q,使得 Q T AQBC.A,B 与同一个对角矩阵相似D.存在可逆矩阵 P,Q,使得 PAQB二、填空题(总题数:7,分数:14.00)8.设 (分数:2.00)填空项 1:_9.设三阶矩阵 A 的特征值为 1 一 1, (分数:2.00)填空项 1:_10.设 1 , 2 , 3 是三阶矩阵 A 的 三个不同特征值, 1 , 2 , 3 分别是属于特征值 1 , 2 , 3 的特征向量
4、,若 1 ,A( 1 2 ),A 2 ( 1 2 3 )线性无关,则 1 , 2 , 3 满足 1(分数:2.00)填空项 1:_11.若 1 , 2 , 3 是三维线性无关的列向量,A 是三阶方阵,且 A 1 1 2 ,Aa 2 2 3 ,A 3 3 1 ,则A 1(分数:2.00)填空项 1:_12.设 A 为三阶实对称矩阵, 1 (a,一 a,1) T 是方程组 AX0 的解, 2 (a,1,1a) T 是方程组(AE)X0 的解,则 a 1(分数:2.00)填空项 1:_13.设 (分数:2.00)填空项 1:_14.设 (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:18,分数:
5、58.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_16.设 A 为 n 阶非零矩阵,且 A 2 A,r(A)r求5EA(分数:2.00)_设 (分数:4.00)(1).a 及可逆阵 P,使得 P 1 APA,其中 A 为对角阵;(分数:2.00)_(2).A 100 (分数:2.00)_17.设 (分数:2.00)_18.设 (分数:2.00)_设 (分数:6.00)(1).求 a;(分数:2.00)_(2).求可逆矩阵 P,使得 P 1 AP 为对角阵;(分数:2.00)_(3).求正交阵 Q,使得 Q T AQ 为对角阵(分数:2.00)_设矩阵 (分数:4.00)(1).
6、若 A 有一个特征值为 3,求 a;(分数:2.00)_(2).求可逆矩阵 P,使得 p T A 2 P 为对角矩阵(分数:2.00)_设矩阵 可逆, (分数:4.00)(1).求 a,b 及 对应的 A * 的特征值,(分数:2.00)_(2).判断 A 可否对角化(分数:2.00)_设 A 为三阶矩阵, 1 , 2 , 3 是三维线性无关的列向量,且 A 1 一 1 2 2 2 3 ,A 2 2 1 一 2 一 2 3 ,A 3 2 1 一 2 2 一 3 (分数:4.00)(1).求矩阵 A 的全部特征值;(分数:2.00)_(2).求A * 2E(分数:2.00)_19.设 A 为三阶
7、矩阵,且有三个互异的正的特征值,设矩阵 B(A * ) 2 一 4E 的特征值为 0,5,32求 A 1 的特征值并判断 A 1 是否可对角化(分数:2.00)_设 的一个特征值为 1 2,其对应的特征向量为 (分数:4.00)(1).求常数 a,b,c;(分数:2.00)_(2).判断 A 是否可对角化,若可对角化,求可逆矩阵 P,使得 P 1 AP 为对角矩阵若不可对角化,说明理由(分数:2.00)_设二维非零向量 不是二阶方阵 A 的特征向量(分数:4.00)(1).证明 ,A 线性无关;(分数:2.00)_(2).若 A 2 A60,求 A 的特征值,讨论 A 可否对角化;(分数:2.
8、00)_设 A 是三阶矩阵, 1 , 2 , 3 为三个三维线性无关的列向量,且满足 A 1 2 3 ,A 2 1 3 ,A 3 1 2 (分数:4.00)(1).求矩阵 A 的特征值;(分数:2.00)_(2).判断矩阵 A 可否对角化(分数:2.00)_设 A,B 为三阶矩阵,且 ABAB,若 1 , 2 , 3 为 A 的三个不同的特征值,证明:(分数:4.00)(1).ABBA;(分数:2.00)_(2).存在可逆矩阵 P,使得 P 1 AP,P 1 BP 同时为对角矩阵(分数:2.00)_20.(1)若 A 可逆且 AB,证明:A * B * ; (2)若 AB,证明:存在可逆矩阵
9、P,使得 APBP(分数:2.00)_21.设 (分数:2.00)_(分数:4.00)(1).求 A;(分数:2.00)_(2).求A * 3E(分数:2.00)_设 A 为三阶实对称矩阵,A 的每行元素之和为 5,AX0 有非零解且 1 2 是 A 的特征值,对应特征向量为(一 1,0,1) T (分数:4.00)(1).求 A 的其他特征值与特征向量;(分数:2.00)_(2).求 A(分数:2.00)_考研数学一(线性代数)-试卷 31 答案解析(总分:86.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:7,分数:14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求
10、。(分数:2.00)_解析:2.设三阶矩阵 A 的特征值为一 1,1,2,其对应的特征向量为 1 , 2 , 3 ,令 P(3 2 ,一 3 ,2 1 ),则 P 1 AP 等于( ) (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析:显然 3 2 ,一 3 ,2 1 也是特征值 1,2,一 1 的特征向量,所以 3.设 A,B 为 n 阶矩阵,且 A,B 的特征值相同,则( )(分数:2.00)A.A,B 相似于同一个对角矩阵B.存在正交阵 Q,使得 Q T AQBC.r(A)r(B)D.以上都不对 解析:解析:令4.设 A 是 n 阶矩阵,下列命题错误的是( )(分数:2.00)A.若 A
11、2 E,则一 1 一定是矩阵 A 的特征值 B.若 r(EA)n,则一 1 一定是矩阵 A 的特征值C.若矩阵 A 的各行元素之和为一 1,则一 1 一定是矩阵 A 的特征值D.若 A 是正交矩阵,且 A 的特征值之积小于零,则一 1 一定是 A 的特征值解析:解析:若 r(EA)n,则EA0,于是一 1 为 A 的特征值;若 A 的每行元素之和为一 1,则 5.与矩阵 相似的矩阵为( ) (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析:A 的特征值为 1,2,0,因为特征值都是单值,所以 A 可以对角化,又因为给定的四个矩阵中只有选项(D)中的矩阵特征值与 A 相同且可以对角化,所以选(D)
12、6.设 A 为 n 阶矩阵,下列结论正确的是( )(分数:2.00)A.矩阵 A 的秩与矩阵 A 的非零特征值的个数相等B.若 AB,则矩阵 A 与矩阵 B 相似于同一对角阵C.若 r(A)rn,则 A 经过有限次初等行变换可化为D.若矩阵 A 可对角化,则 A 的秩与其非零特征值的个数相等 解析:解析:(A)不对,如 ,A 的两个特征值都是 0,但 r(A)1;(B)不对,因为 AB 不一定保证A,B 可以对角化;(C)不对,如 ,A 经过有限次行变换化为 ,经过行变换不能化为 ;因为 A 可以对角化,所以存在可逆矩阵 P,使得 ,于是7.设 A,B 为 n 阶可逆矩阵,则( )(分数:2.
13、00)A.存在可逆矩阵 P,使得 P 1 APBB.存在正交矩阵 Q,使得 Q T AQBC.A,B 与同一个对角矩阵相似D.存在可逆矩阵 P,Q,使得 PAQB 解析:解析:因为 A,B 都是可逆矩阵,所以 A,B 等价,即存在可逆矩阵 P,Q,使得 PAQB,选(D)二、填空题(总题数:7,分数:14.00)8.设 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2)解析:解析:因为A * A 2 4,且A0,所以A2,又 AA * AE2E,所以 A 1 ,从而 A 1 的特征值为 9.设三阶矩阵 A 的特征值为 1 一 1, (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答
14、案:*)解析:解析:P 1 (A 1 2E)PP 1 A 1 P2E, 10.设 1 , 2 , 3 是三阶矩阵 A 的 三个不同特征值, 1 , 2 , 3 分别是属于特征值 1 , 2 , 3 的特征向量,若 1 ,A( 1 2 ),A 2 ( 1 2 3 )线性无关,则 1 , 2 , 3 满足 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:令 x 1 1 x 2 A( 1 2 )x 3 A 2 ( 1 2 3 )0,即 (x 1 1 x 2 1 2 x 3 ) 1 ( 2 x 2 2 2 x 3 ) 2 3 2 x 3 3 0,则有 x 1 1 x 2 1
15、2 x 3 0, 2 x 2 2 2 x 3 0, 3 2 x 3 0,因为 x 1 ,x 2 ,x 3 只能全为 零,所以 11.若 1 , 2 , 3 是三维线性无关的列向量,A 是三阶方阵,且 A 1 1 2 ,Aa 2 2 3 ,A 3 3 1 ,则A 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2)解析:解析:令 P( 1 , 2 , 3 ),因为 1 , 2 , 3 线性无关,所以 P 可逆, 12.设 A 为三阶实对称矩阵, 1 (a,一 a,1) T 是方程组 AX0 的解, 2 (a,1,1a) T 是方程组(AE)X0 的解,则 a 1(分数:2.00)填空项
16、 1:_ (正确答案:正确答案:1)解析:解析:因为 A 为实对称矩阵,所以不同特征值对应的特征向量正交,因为 AX0 及(AE)X0 有非零解,所以 1 0, 2 一 1 为矩阵 A 的特征值, 1 (a,a,1) T , 2 (a,1,1 一 a) T 是它们对应的特征向量,所以有 1 T 2 a 2 一 a1 一 a0,解得 a113.设 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:4)解析:解析:由 14.设 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0)解析:解析:由E 一 A0 得 A 的特征值为 1 一 2, 2 3 6因为 A 有三个线性无关的特征向量
17、,所以 A 可以对角化,从而 r(6EA)1,解得 a0三、解答题(总题数:18,分数:58.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析:16.设 A 为 n 阶非零矩阵,且 A 2 A,r(A)r求5EA(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 )解析:设 (分数:4.00)(1).a 及可逆阵 P,使得 P 1 APA,其中 A 为对角阵;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:(2).A 100 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:17.设 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 A 有三个线性无关的特征向量,所以 2 的线
18、性无关的特征向量有两个,故 r(2EA)1, 而 2EA ,所以 x2,y一 2 )解析:18.设 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 A 为上三角矩阵,所以 A 的特征值为 1 2 1, 3 4 一1因为 A 有四个线性无关的特征向量,即 A 可以对角化,所以有 )解析:设 (分数:6.00)(1).求 a;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为方程组 AX 有解但不唯一,所以A0,从而 a一 2 或 a1 )解析:(2).求可逆矩阵 P,使得 P 1 AP 为对角阵;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由E 一 A(3)( 一 3)0 得 1 0, 2 3, 3
19、一 3 由(OEA)X0 得 1 0 对应的线性无关的特征向量为 由(3EA)X0 得 2 3 对应的线性无关的特征向量为 由(一 3EA)X0 得 3 一 3 对应的线性无关的特征向量为 , )解析:(3).求正交阵 Q,使得 Q T AQ 为对角阵(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:设矩阵 (分数:4.00)(1).若 A 有一个特征值为 3,求 a;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:E 一 A( 2 一 1) 2 一(a2)2a 一 1, 把 3 代入上式得a2,于是 )解析:(2).求可逆矩阵 P,使得 p T A 2 P 为对角矩阵(分数:2.00)_正确答案
20、:(正确答案:由E 一 A 2 0 得 A 2 的特征值为 1 2 3 1, 4 9 当 1 时,由(EA 2 )X0 得 1 (1,0,0,0) T , 2 (0,1,0,0) T , 3 (0,0,一1,1) T ; 当 9 时,由(9EA 2 )X0 得 4 (0,0,1,1) T 将 1 , 2 , 3 正交规范化得 1 (1,0,0,0) T , 2 (0,1,0,0) T , 3 ,将 4 规范化得 令 P( 1 , 2 , 3 , 4 ) ,则 P T A 2 P )解析:设矩阵 可逆, (分数:4.00)(1).求 a,b 及 对应的 A * 的特征值,(分数:2.00)_正确
21、答案:(正确答案:显然 也是矩阵 A 的特征向量,令 A 1 ,则有 )解析:(2).判断 A 可否对角化(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:设 A 为三阶矩阵, 1 , 2 , 3 是三维线性无关的列向量,且 A 1 一 1 2 2 2 3 ,A 2 2 1 一 2 一 2 3 ,A 3 2 1 一 2 2 一 3 (分数:4.00)(1).求矩阵 A 的全部特征值;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:(2).求A * 2E(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为A一 5,所以 A * 的特征值为 1,一 5,一 5,故 A * 2E 的特征值为3,一
22、3,一 3从而A * 2E27)解析:19.设 A 为三阶矩阵,且有三个互异的正的特征值,设矩阵 B(A * ) 2 一 4E 的特征值为 0,5,32求 A 1 的特征值并判断 A 1 是否可对角化(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 A 的三个特征值为 1 , 2 , 3 ,因为 B(A * ) 2 一 4E 的三个特征值为 0,5,32,所以 (A * ) 2 的三个特征值为 4,9,36,于是 A * 的三个特征值为 2,3,6 又因为A * 36A 31 ,所以A6 由 ,得 1 3, 2 2, 3 1, 由于一对逆矩阵的特征值互为倒数,所以 A 1 的特征值为 )解析:设
23、的一个特征值为 1 2,其对应的特征向量为 (分数:4.00)(1).求常数 a,b,c;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:(2).判断 A 是否可对角化,若可对角化,求可逆矩阵 P,使得 P 1 AP 为对角矩阵若不可对角化,说明理由(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:设二维非零向量 不是二阶方阵 A 的特征向量(分数:4.00)(1).证明 ,A 线性无关;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:若 ,A 线性相关,则存在不全为零的数 k 1 ,k 2 ,使得 k 1 k 2 A0,显然 k 2 0,所以 )解析:(2).若 A 2 A60,求 A 的特
24、征值,讨论 A 可否对角化;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 A 2 A60,得(A 2 A6E)0, 因为 0,所以 r(A 2 A6E)2,从而A 2 A 一 6E0,即 3EA2EA0,则3EA0或2EA0 若3EA0,则 3EA 可逆,由(3EA)(2EA)0 得 (2EA)0,即A2,矛盾; 若2EA0,则 2EA 可逆,由(2EA)(3EA)0,得 (3EA)0,即A一 3,矛盾,所以有3EA0 且2EA0,于是二阶矩阵 A 有两个特征值一 3,2,故 A可对角化)解析:设 A 是三阶矩阵, 1 , 2 , 3 为三个三维线性无关的列向量,且满足 A 1 2 3 ,A
25、2 1 3 ,A 3 1 2 (分数:4.00)(1).求矩阵 A 的特征值;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 1 , 2 , 3 线性无关,所以 1 2 3 0, 由 A( 1 2 3 )2( 1 2 3 ),得 A 的一个特征值为 1 2; 又由 A( 1 一 2 )一( 1 一 2 ),A( 2 3 )一( 2 3 ),得 A 的另一个特征值为 2 一 1因为 1 , 2 , 3 线性无关,所以 1 一 2 与 2 一 3 也线性无关,所以 2 一 1 为矩阵 A 的二重特征值,即 A 的特征值为 2,一 1,一 1)解析:(2).判断矩阵 A 可否对角化(分数:2.00)
26、_正确答案:(正确答案:因为 1 一 2 , 2 一 3 为属于二重特征值一 1 的两个线性无关的特征向量,所以 A 一定可以对角化)解析:设 A,B 为三阶矩阵,且 ABAB,若 1 , 2 , 3 为 A 的三个不同的特征值,证明:(分数:4.00)(1).ABBA;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 ABAB 得 ABABEE,(E 一 B)(EA)E, 即 E 一 B 与 EA 互为逆矩阵,于是(EB)(EA)E(EA)(EB), 故 ABBA)解析:(2).存在可逆矩阵 P,使得 P 1 AP,P 1 BP 同时为对角矩阵(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 A
27、有三个不同的特征值 1 , 2 , 3 ,所以 A 可以对角化,设 A 的三个线性无关的特征向量为 1 , 2 , 3 ,则有 A( 1 , 2 , 3 )( 1 , 2 , 3 )diag( 1 , 2 , 3 ), BA( 1 , 2 , 3 )B( 1 , 2 , 3 )diag( 1 , 2 , 3 ), AB( 1 , 2 , 3 )B( 1 , 2 , 3 )diag( 1 , 2 , 3 ),于是有 AB i i B i ,i1,2,3 若 B i 0,则 B i 是 A 的属于特征值 i 的特征向量,又 i 为单根,所以有 B i i i ; 若 B i 0,则 i 是 B 的
28、属于特征值 0 的特征向量无论哪种情况,B 都可以对角化,而且 i 是 B 的特征向量,因此,令 P( 1 , 2 , 3 ),则 P 1 AP,P 1 BP 同为对角阵)解析:20.(1)若 A 可逆且 AB,证明:A * B * ; (2)若 AB,证明:存在可逆矩阵 P,使得 APBP(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)因为 A 可逆且 AB 所以 B 可逆,A,B 的特征值相同且AB 因为AB,所以存在可逆矩阵 P,使得 P 1 APB, 而 A * AA 1 ,B * BB 1 , 于是由 P 1 APB,得(P 1 AP) 1 B 1 ,即 P 1 A 1 PB 1 , 故 P 1 AA 1 PAB 1 或 P 1 A * PB * ,于是 A * B * (2)因为 AB,所以存在可逆阵 P,使得 P 1 APB,即 APPB,于是 APPBPP 1 P(BP)P 1 ,故 APBP)解析:21.设 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:(分数:4.00)(1).求 A;(分数