1、考研数学一（线性代数）-试卷 29 及答案解析(总分：98.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.存在可逆矩阵 P 1 ，P 2 ，使得 P 1 -1 AP 1 ，P 2 -1 BP 2 为对角矩阵B.存在正交矩阵 Q 1 ，Q 1 ，使得 Q 1 T AQ 1 ，Q 2 T BQ 2 为对角矩阵C.存在可逆矩阵 P，使得 p -1 (A+B)P 为对角矩阵D.存在可逆矩阵 P，Q，使得PAQ=B3.n 阶实对称矩
2、阵 A 正定的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.A 无负特征值B.A 是满秩矩阵C.A 的每个特征值都是单值D.A * 是正定矩阵4.下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.任一个二次型的标准形是唯一的B.若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同C.若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型D.二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的5.设 A 为可逆的实对称矩阵，则二次型 X T AX 与 X T A -1 X( )（分数：2.00）A.规范形与标准形都不一定相同B.规范形相同但标准形不一定相同C.标准形相同但规范形不一定相同D.规范形和标准形都
3、相同6.设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵合同，则 A 是( )（分数：2.00）A.可逆矩阵B.实对称矩阵C.正定矩阵D.正交矩阵7.设 A，B 都是 n 阶矩阵，且存在可逆矩阵 P，使得 AP=B，则( )（分数：2.00）A.A，B 合同B.A，B 相似C.方程组 AX=0 与 BX=0 同解D.r(A)=r(B)8.设 A，B 为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.r(A)=r(B)B.A=BC.ABD.A，B 与同一个实对称矩阵合同9. （分数：2.00）A.相似且合同B.相似不合同C.合同不相似D.不合同也不相似10.设 A，B 为三阶矩
4、阵，且特征值均为一 2，1，1，以下命题：(1)AB；(2)A，B 合同；(3)A，B 等价；(4)A=B中正确的命题个数为( )（分数：2.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个二、填空题(总题数：4，分数：8.00)11.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 2x 2 ) 2 +4x 2 x 3 的矩阵为 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 （分数：2.00）填空项 1:_13.设二次型 2x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2x 1 x 2 +ax 2 x 3 的秩为 2，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 5x 1 2 +x 2
5、2 +tx 3 2 +4x 1 x 2 一 2x 1 x 3 一 2x 2 x 3 为正定二次型，则 t 的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：35，分数：70.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_16. （分数：2.00）_17.设 A T A=E，证明：A 的实特征值的绝对值为 1（分数：2.00）_18.设 0 为 A 的特征值 (1)证明：A T 与 A 特征值相等； (2)求 A 2 ，A T +2A+3E 的特征值； (3)若A0，求 A -1 ，A * ，EA -1 的特征值（分数：2.00）_19.设 X
6、1 ，X 2 分别为 A 的属于不同特征值 1 ， 2 的特征向量证明：X 1 +X 2 不是 A 的特征向量（分数：2.00）_20. （分数：2.00）_21.设向量 =(a 1 ，a 2 ，a n ) T ，其中 a 1 0，A= T (1)求方程组 AX=0 的通解； (2)求 A 的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量（分数：2.00）_22. （分数：2.00）_23. （分数：2.00）_24.设 A 是 n 阶矩阵， 是 A 的特征值，其对应的特征向量为 X，证明： 2 是 A 2 的特征值，X 为特征向量若 A 2 有特征值 ，其对应的特征向量为 X，X 是否一定为 A 的
7、特征向量?说明理由（分数：2.00）_25.设 A，B 为 n 阶矩阵(1)是否有 ABBA；(2)若 A 有特征值 1，2，n，证明：ABBA（分数：2.00）_26.设 为 n 维非零列向量， （分数：2.00）_27. （分数：2.00）_28.设 A 是三阶实对称矩阵，r(A)=1，A 2 一 3A=0，设(1，1，一 1) T 为 A 的非零特征值对应的特征向量 (1)求 A 的特征值； (2)求矩阵 A（分数：2.00）_29. （分数：2.00）_30.设 n 阶矩阵 A 满足(aE-A)(bE-A)=O 且 ab证明：A 可对角化（分数：2.00）_31.设非零 n 维列向量
8、， 正交且 A= T 证明：A 不可以相似对角化（分数：2.00）_32. （分数：2.00）_33.设 （分数：2.00）_34.设 A 为 n 阶非零矩阵，且存在自然数 k，使得 A k =0证明：A 不可以对角化（分数：2.00）_35. （分数：2.00）_36.设 （分数：2.00）_37. （分数：2.00）_38. （分数：2.00）_39. （分数：2.00）_40.用配方法化下列二次型为标准形： f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +2x 2 2 一 5x 3 2 +2x 1 x 2 2x 1 x 3 +2x 2 x 3（分数：2.00）_41.用配方法化下列二次
9、型为标准形： f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 x 2 +2x 1 x 3 +6x 2 x 3 （分数：2.00）_42.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T AX，A 的主对角线上元素之和为 3，又 AB+B=0，其中 （分数：2.00）_43.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +ax 2 2 +x 3 2 -4x 1 x 2 8x 1 x 3 4x 2 x 3 经过正交变换化为标准形 5y 1 2 +by 2 2 一 4y 3 2 ，求： (1)常数 a，b； (2)正交变换的矩阵 Q（分数：2.00）_44.设二次型 f(x 1 ，x 2
10、 ，x 3 )=(a 一 1)x 1 2 +(a 一 1)x 2 2 +2x 3 2 +2x 1 x 2 (a0)的秩为 2 (1)求a； (2)用正交变换法化二次型为标准形（分数：2.00）_45.设 n 阶实对称矩阵 A 的秩为 r，且满足 A 2 =A(A 称为幂等阵) 求：(1)二次型 X T AX 的标准形；(2)E+A+A 2 +A n 的值（分数：2.00）_46.设 A 为 n 阶实对称可逆矩阵， （分数：2.00）_47. （分数：2.00）_48.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +4x 2 2 +2x 3 2 +2tx 1 x 2 +2x 1 x
11、3 为正定二次型，求 t 的范围（分数：2.00）_49.设 A 是 n 阶正定矩阵，证明：E+A1（分数：2.00）_考研数学一（线性代数）-试卷 29 答案解析(总分：98.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.存在可逆矩阵 P 1 ，P 2 ，使得 P 1 -1 AP 1 ，P 2 -1 BP 2 为对角矩阵B.存在正交矩阵 Q 1 ，Q 1 ，使得 Q 1 T AQ 1 ，Q 2 T BQ 2 为对角
12、矩阵C.存在可逆矩阵 P，使得 p -1 (A+B)P 为对角矩阵D.存在可逆矩阵 P，Q，使得PAQ=B 解析：解析：因为 A，B 都是可逆矩阵，所以 A，B 等价，即存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B，选(D)3.n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.A 无负特征值B.A 是满秩矩阵C.A 的每个特征值都是单值D.A * 是正定矩阵 解析：解析：A 正定的充分必要条件是 A 的特征值都是正数，(A)不对；若 A 为正定矩阵，则 A 一定是满秩矩阵，但 A 是满秩矩阵只能保证 A 的特征值都是非零常数，不能保证都是正数，(B)不对；(C)既不是充分条件又不
13、是必要条件；显然(D)既是充分条件又是必要条件4.下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.任一个二次型的标准形是唯一的B.若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同C.若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型D.二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的 解析：解析： 5.设 A 为可逆的实对称矩阵，则二次型 X T AX 与 X T A -1 X( )（分数：2.00）A.规范形与标准形都不一定相同B.规范形相同但标准形不一定相同 C.标准形相同但规范形不一定相同D.规范形和标准形都相同解析：解析：因为 A 与 A -1 合同，所以 X T AX 与 X
14、T A -1 规范形相同，但标准形不一定相同，即使是同一个二次型也有多种标准形，选(B)6.设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵合同，则 A 是( )（分数：2.00）A.可逆矩阵B.实对称矩阵 C.正定矩阵D.正交矩阵解析：解析：因为 A 与对角阵 A 合同，所以存在可逆矩阵 P，使得 P T AP=A，从而 A=(P T ) -1 AP -1 =(P -1 ) T AP -1 ，A T =(P -1 ) T AP -1 T =(P -1 ) T AP -1 =A，选(B)7.设 A，B 都是 n 阶矩阵，且存在可逆矩阵 P，使得 AP=B，则( )（分数：2.00）A.A，B 合同B.A，B 相
15、似C.方程组 AX=0 与 BX=0 同解D.r(A)=r(B) 解析：解析：因为 P 可逆，所以 r(A)=r(B)，选(D)8.设 A，B 为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.r(A)=r(B)B.A=BC.ABD.A，B 与同一个实对称矩阵合同 解析：解析：9. （分数：2.00）A.相似且合同B.相似不合同C.合同不相似 D.不合同也不相似解析：解析：由E-A=0 得 A 的特征值为 1，3，一 5，由E-B=0 得 B 的特征值为 1，1，一 1，所以 A 与 B 合同但不相似，选(C)10.设 A，B 为三阶矩阵，且特征值均为一 2
16、，1，1，以下命题：(1)AB；(2)A，B 合同；(3)A，B 等价；(4)A=B中正确的命题个数为( )（分数：2.00）A.1 个B.2 个 C.3 个D.4 个解析：解析：因为 A，B 的特征值为一 2，1，1，所以A=B=一 2，又因为 r(A)=r(B)=3，所以A，B 等价，但 A，B 不一定相似或合同，选(B)二、填空题(总题数：4，分数：8.00)11.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 2x 2 ) 2 +4x 2 x 3 的矩阵为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：12.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确
17、答案：正确答案：*）解析：解析：13.设二次型 2x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2x 1 x 2 +ax 2 x 3 的秩为 2，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：14.设 5x 1 2 +x 2 2 +tx 3 2 +4x 1 x 2 一 2x 1 x 3 一 2x 2 x 3 为正定二次型，则 t 的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：t2）解析：解析：三、解答题(总题数：35，分数：70.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：16. （分数：2.0
18、0）_正确答案：(正确答案： )解析：17.设 A T A=E，证明：A 的实特征值的绝对值为 1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 AX=X，则 X T A T =X T ，从而有 X T A T AX=X T AX= 2 X T X，因为A T A=E，所以( 2 一 1)X T X=0，而 X T X=X 2 0，所以 2 =1，于是=1)解析：18.设 0 为 A 的特征值 (1)证明：A T 与 A 特征值相等； (2)求 A 2 ，A T +2A+3E 的特征值； (3)若A0，求 A -1 ，A * ，EA -1 的特征值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)
19、【证明】因为E 一 A T =(EA) T =E 一 A ，所以 A T 与A 的特征值相等 (2)因为 A= 0 (0)， 所以 A 2 = 0 A= 0 2 ，(A 2 +2A+3E)=( 0 2 +2 0 +3)， 于是 A 2 ，A 2 +2A+3E 的特征值分别为 0 2 ， 0 2 +2 0 +3 (3)因为A= 1 2 n 0，所以 0 0，由 A= 0 得 ， )解析：19.设 X 1 ，X 2 分别为 A 的属于不同特征值 1 ， 2 的特征向量证明：X 1 +X 2 不是 A 的特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：反证法 不妨设 X 1 +X 2 是 A 的属
20、于特征值 的特征向量，则有 A(X 1 +X 2 )=(X 1 +X 2 )，因为 AX 1 = 1 X 1 ，AX 2 = 2 X 2 ，所以( 1 一 )X 1 +( 2 一 )X 2 =0，而 X 1 ，X 2 线性无关，于是 1 = 2 =，矛盾，故 X 1 +X 2 不是 A 的特征向量)解析：20. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 a T =k，则 A 2 =kA， 设 AX=X，则 A 2 X= 2 X=kX，即 (-k)X=0， 因为 X0，所以矩阵 A 的特征值为 =0 或 =k 由 1 + n =tr(A)且 tr(A)=k 得 1 = n-1 =0， n =
21、k 因为 r(A)=1，所以方程组(0E 一 A)X=0 的基础解系含有 n-1 个线性无关的解向量， 即=0 有 n-1 个线性无关的特征向量，故 A 可以对角化)解析：21.设向量 =(a 1 ，a 2 ，a n ) T ，其中 a 1 0，A= T (1)求方程组 AX=0 的通解； (2)求 A 的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)=1，所以 AX=0 的基础解系含有 n-1 个线性无关的特征向量，其基础解系为 )解析：22. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案
22、： )解析：24.设 A 是 n 阶矩阵， 是 A 的特征值，其对应的特征向量为 X，证明： 2 是 A 2 的特征值，X 为特征向量若 A 2 有特征值 ，其对应的特征向量为 X，X 是否一定为 A 的特征向量?说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.设 A，B 为 n 阶矩阵(1)是否有 ABBA；(2)若 A 有特征值 1，2，n，证明：ABBA（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)一般情况下，AB 与 BA 不等价，如 )解析：26.设 为 n 维非零列向量， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27. （分数：2.00）_正确答案：
23、(正确答案：(1)因为 3 为 A 的特征值，所以3EA=0，解得 y=2 (2)(AP) T (AP)P T A T AP=P T A 2 P， )解析：28.设 A 是三阶实对称矩阵，r(A)=1，A 2 一 3A=0，设(1，1，一 1) T 为 A 的非零特征值对应的特征向量 (1)求 A 的特征值； (2)求矩阵 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)A 2 一 3A=0A3EA=0=0，3，因为 r(A)=1，所以 1 =3， 2 = 3 =0 (2)设特征值 0 对应的特征向量为(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则 x 1 +x 2 一 x 3 =0，则 0 对
24、应的特征向量为 1 =(一 1，1，0) T ， 3 =(1，0，1) T ，令 )解析：29. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交，所以有 )解析：30.设 n 阶矩阵 A 满足(aE-A)(bE-A)=O 且 ab证明：A 可对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(aE-A)(bE-A)=O，得aE-AbE-A=0，则aEA=0 或者 bE-A=0又由(aE-A)(bE-A)=0，得 r(aEA)一 r(bEA)n 同时 r(aE-A)+r(bEA)r(aE-A)-(bEA)=r(a 一 b)E=n 所以 r(aE-A)+r(
25、bEA)=n (1)若aE-A0，则 r(aE-A)=n，所以 r(bEA)=0，故 A=bE (2)若bEA0，则 r(bEA)=n，所以 r(aE-A)=0，故 A=aE (3)若aE-A=0且bEA=0，则 a，b 都是矩阵 A 的特征值 方程组(aE-A)X=0 的基础解系含有 n-r(aE-A)个线性无关的解向量，即特征值 a 对应的线性无关的特征向量个数为 n-r(aE-A)个； 方程组(bEA)X=0 的基础解系含有 n-r(bEA)个线性无关的解向量，即特征值 b 对应的线性无关的特征向量个数为 n 一 r(bEA)个 因为 n-r(aE-A)+n-r(bE-A)=n，所以矩阵
26、 A 有 n 个线性无关的特征向量，所以 A 一定可以对角化)解析：31.设非零 n 维列向量 ， 正交且 A= T 证明：A 不可以相似对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 为矩阵 A 的特征值，X 为 所对应的特征向量，则 AX=X，显然 A 2 X= 2 X，因为 ， 正交，所以 A 2 = T ? T =0，于是 2 X=0，而 X0，故矩阵 A 的特征值为 1 = 2 = n =0 又由 ， 都是非零向量得 A0， 因为 r(OEA)=r(A)1，所以 n-r(OEA)n-1 )解析：32. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)【证明】由E-A=(-1) 2
27、 (+2)=0 得 1 = 2 =1， 3 =一 2 )解析：33.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：34.设 A 为 n 阶非零矩阵，且存在自然数 k，使得 A k =0证明：A 不可以对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：35. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：36.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：37. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：38. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：39. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：40.用配方法化下列二次型为标
28、准形： f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +2x 2 2 一 5x 3 2 +2x 1 x 2 2x 1 x 3 +2x 2 x 3（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：41.用配方法化下列二次型为标准形： f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 x 2 +2x 1 x 3 +6x 2 x 3 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：42.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T AX，A 的主对角线上元素之和为 3，又 AB+B=0，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 AB+B=0 得(E+A)B=0，从而 r(E+A)+r(B)3， 因为 r(B)=2，所以 r(E+A)1，从而 =一 1 为 A 的特征值且不低于 2 重， 显然 =一 1 不可能为三重特征值，则 A 的特征值为 1 = 2 =一 1， 3 =5 由(E+A)B=0 得 B 的列组为(E+A)X=0 的解， )解析：43.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +ax 2 2 +x 3 2 -4x 1 x 2 8x 1 x 3 4x 2 x 3 经过正交变换化为标准形 5y 1 2 +by 2 2 一 4y 3 2 ，求： (1)常数 a，b；
