1、考研数学一（线性代数）-试卷 25 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.( ) （分数：2.00）A.一 3B.一 1C.0D.33.设 （分数：2.00）A.c -2 mB.mC.cmD.c 3 m4.设 1 , 2 , 3 ， 1 ， 2 都是 4 维列向量，且 4 阶行列式 1 , 2 , 3 ， 1 =m， 1 ， 2 ， 2 ， 3 =n，则 4 阶行列式 3 ， 2 ， 1 ， 1 + 2 等于 ( )（分数：2.00）A.m+nB.一(
2、m+n)C.n 一 mD.m 一 n5.线性方程组 （分数：2.00）A.若方程组无解，则必有系数行列式A=0B.若方程组有解，则必有系数行列式A0C.系数行列式A=0，则方程组必无解D.系数行列式A0 是方程组有唯一解的充分非必要条件6.线性方程组 （分数：2.00）A.当 a，b，c 为任意实数时，方程组均有解B.当 a=0 时，方程组无解C.当 b=0 时，方程组无解D.当 c=0 时，方程组无解7.设 A，B 是 n 阶矩阵，则下列结论正确的是 ( )（分数：2.00）A.B.C.D.8.设 A 是 n 阶矩阵，X 是任意的 n 维列向量，B 是任意的 n 阶方阵，则下列说法错误的是
3、( )（分数：2.00）A.AB=0A=0B.B T AB=0A=0C.AX=0A=0D.X T AX=0A=09.设 n 维行向量 （分数：2.00）A.0B.一 EC.ED.E+ T a10.A，B 是 n 阶方阵，则下列公式正确的是 ( )（分数：2.00）A.(A 2 ) -1 =(A -1 ) 2B.(A+B) -1 =A -1 +B -1C.(A+B)(AB)=A 2 一 B 2D.(kA) -1 =kA -1 (k0)11.已知 A，B，A+ -1 ，A -1 +B -1 均为 n 阶可逆阵，则(A -1 +B -1 ) -1 等于 ( )（分数：2.00）A.A+BB.A -1
4、 +B -1C.A(A+B) -1 BD.(A+B) -1二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12. （分数：2.00）填空项 1:_13.设 a，b，a+b 均非 0，则行列式 （分数：2.00）填空项 1:_14.已知 A，B 为 3 阶相似矩阵， 1 =1， 2 =2 为 A 的两个特征值，B=2，则行列式 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 n 阶矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_16.设 A= 1 , 2 , 3 是 3 阶矩阵，A=4，若 B= 1 3 2 +2 3 ， 2 2 3 ，2 2 + 3 ，则B= 1（分数：2.00）填空项 1:_17.设 =1，0，
5、1 T ，A= T ，n 是正数，则E 一 A n = 1（分数：2.00）填空项 1:_18.设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且 （分数：2.00）填空项 1:_19.设 A 为奇数阶矩阵，AA T =A T A=E，A0，则AE= 1（分数：2.00）填空项 1:_20.设 3 阶方阵 A，B 满足关系式 A -1 BA=6A+BA，且 （分数：2.00）填空项 1:_21.设 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：22.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_23.计算行列式 （分数：2.00）_24.计算行列式
6、 （分数：2.00）_25.计算 （分数：2.00）_26.已知 n(n3)阶实矩阵 A=( ij ) nn 满足条件：(1) ij =A ij (i，j=1，2，n)，其中 A ij 是 ij 的代数余子式；(2)a ij 0求A（分数：2.00）_27.A是 n 阶行列式，其中有一行(或一列)元素全是 1，证明：这个行列式的全部代数余子式的和等于该行列式的值（分数：2.00）_28.计算 （分数：2.00）_29.计算行列式 （分数：2.00）_30.设 试证明： （分数：2.00）_31.计算 （分数：2.00）_32.A 为 n(n3)阶非零实矩阵，A ij 为 A 中元素 a ij
7、的代数余子式，试证明：(1) ，且A=1；(2) （分数：2.00）_考研数学一（线性代数）-试卷 25 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.( ) （分数：2.00）A.一 3 B.一 1C.0D.3解析：解析：3.设 （分数：2.00）A.c -2 mB.m C.cmD.c 3 m解析：解析：由4.设 1 , 2 , 3 ， 1 ， 2 都是 4 维列向量，且 4 阶行列式 1 , 2 , 3 ， 1 =m， 1 ， 2 ， 2 ， 3 =n
8、，则 4 阶行列式 3 ， 2 ， 1 ， 1 + 2 等于 ( )（分数：2.00）A.m+nB.一(m+n)C.n 一 m D.m 一 n解析：解析：因 3 , 2 , 1 , 1 + 2 = 3 , 2 , 1 , 1 + 3 , 2 , 1 , 2 = 1 , 2 , 3 , 1 1 , 2 , 3 , 2 = 1 , 2 , 3 , 1 1 , 2 , 2 , 3 =nm 应选 C5.线性方程组 （分数：2.00）A.若方程组无解，则必有系数行列式A=0 B.若方程组有解，则必有系数行列式A0C.系数行列式A=0，则方程组必无解D.系数行列式A0 是方程组有唯一解的充分非必要条件解析
9、：解析：方程组无解A=0(反证，若A0，用克拉默法则，方程组必有解)；B 方程组有解，A可能为零，也可能不为零；CA=0，方程组也可能有解；DA0方程组有唯一解，但方程组有唯一解，A一定不为零6.线性方程组 （分数：2.00）A.当 a，b，c 为任意实数时，方程组均有解 B.当 a=0 时，方程组无解C.当 b=0 时，方程组无解D.当 c=0 时，方程组无解解析：解析：当 a=0 或 b=0 或 c=0 时，方程组均有解，且系数行列式7.设 A，B 是 n 阶矩阵，则下列结论正确的是 ( )（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析： D 不正确，8.设 A 是 n 阶矩阵，X 是任意
10、的 n 维列向量，B 是任意的 n 阶方阵，则下列说法错误的是 ( )（分数：2.00）A.AB=0A=0B.B T AB=0A=0C.AX=0A=0D.X T AX=0A=0 解析：解析：对任意的 X，有 X T AX=0，可推出 A T =一 A，不能推出 A=0例 对任意的x 1 ，x 2 T ，均有 但 9.设 n 维行向量 （分数：2.00）A.0B.一 EC.E D.E+ T a解析：解析：AB=(E 一 T )(E+2 T )=E+ T 一 2 T T =E+ T 一 2 T ( T )，其中 10.A，B 是 n 阶方阵，则下列公式正确的是 ( )（分数：2.00）A.(A 2
11、 ) -1 =(A -1 ) 2 B.(A+B) -1 =A -1 +B -1C.(A+B)(AB)=A 2 一 B 2D.(kA) -1 =kA -1 (k0)解析：解析：A 一 1 =(AA) 一 1 =A 一 1 A 一 1 =A 2 B 不成立，例：B=一 A，A+B 不可逆C 中，ABBA，BAAB0D 中， 11.已知 A，B，A+ -1 ，A -1 +B -1 均为 n 阶可逆阵，则(A -1 +B -1 ) -1 等于 ( )（分数：2.00）A.A+BB.A -1 +B -1C.A(A+B) -1 B D.(A+B) -1解析：解析：直接计算(A 一 1 +B 一 1 ) 一
12、 1 =B 一 1 (BA 一 1 +E) 一 1 =B 一 1 (B+A)A 一 1 一 1 =A(A+B) 一 1 B二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(x 2 一 y 2 )(b 2 一 c 2 )）解析：解析：13.设 a，b，a+b 均非 0，则行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2(a 3 +b 3 )）解析：解析：将第 2，3 行加到第 1 行上去，提出公因子 2(a+b)后，再将第 1 列的一 1 倍加到第 2，3 列，得到14.已知 A，B 为 3 阶相似矩阵， 1 =1
13、， 2 =2 为 A 的两个特征值，B=2，则行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：设 3 为 A 的另一特征值则由 AB 知，A=B=2，且 1 2 3 =A=2，可见 3 =1，从而 A，B 有相同的特征值 1 =1， 2 =2， 3 =1于是有A+E=( 1 +1)( 2 +1)( 3 +1)=12，(2B) * =2 2 B * =4 3 B * =4 3 B 2 =256，故 15.设 n 阶矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(一 1) n-1 (n 一 1)）解析：解析：16.设 A= 1 , 2 , 3 是 3
14、 阶矩阵，A=4，若 B= 1 3 2 +2 3 ， 2 2 3 ，2 2 + 3 ，则B= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：20）解析：解析：利用行列式的性质 B= 1 3 2 +2 3 ， 2 2 3 ，5 3 =5 1 3 2 +2 3 ， 2 2 3 ， 3 =5 1 3 2 ， 2 ， 3 =5 1 , 2 , 3 =2017.设 =1，0，1 T ，A= T ，n 是正数，则E 一 A n = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a 2 (a 一 2 n )）解析：解析：18.设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且 （分数：2
15、.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(一 1) mn ab）解析：解析：19.设 A 为奇数阶矩阵，AA T =A T A=E，A0，则AE= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：AE=A 一 AA T =A(E 一 A T )=A(EA) T =AEA由于 AA T =A T A=E，可知A 2 =1又由于A0，可知A=1又由于 A 为奇数阶矩阵，故EA=一(AE)=一AE，故有AE=一AE，可知AE=020.设 3 阶方阵 A，B 满足关系式 A -1 BA=6A+BA，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：diag(3
16、，2，1)）解析：解析：由 A -1 BA=6A+BA 得 B=6A(E-A) -1 =diag(3，2，1)， 21.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3 n-1 A）解析：解析：三、解答题(总题数：11，分数：22.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.计算行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按第一列展开，得 )解析：24.计算行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把原行列式表示成如下形式 )解析：26.已知 n(n3)阶实
17、矩阵 A=( ij ) nn 满足条件：(1) ij =A ij (i，j=1，2，n)，其中 A ij 是 ij 的代数余子式；(2)a ij 0求A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知 ij =A ij ，所以 A * =A T ，且 AA * =AA T =AE两边取行列式得AA T =A T =A 2 =AE=A n 从而A=1 或 A=0由于 a 11 0，可知A=a 11 A 11 +a 12 A 12 +a 1n A 1n =a 11 2 +a 12 2 +a 1n 2 0于是A=1.)解析：27.A是 n 阶行列式，其中有一行(或一列)元素全是 1，证明：这个行列式
18、的全部代数余子式的和等于该行列式的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不失一般性，设 )解析：28.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按第一行展开 得到递推公式 D 5 D 4 =一 x(D 4 D 3 )=一 x 3 (D 2 D 1 ) )解析：29.计算行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.设 试证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)显然在0，1上连续，在(0，1)上可导而 可知 f(x)在0，1上满足罗尔定理的条件，故 )解析：31.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把第 1 行的(一 x)倍分别加到第
19、 2，3，n 行，得 当 x0 时，再把第 j列的 倍加到第 1 列(j=2，n)，就把 D n 化成了上三角行列式 )解析：32.A 为 n(n3)阶非零实矩阵，A ij 为 A 中元素 a ij 的代数余子式，试证明：(1) ，且A=1；(2) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)当 a ij =A ij 时，有 A T =A * ，则 A T A=AA * =AE由于 A 为 n 阶非零实矩阵，即 a ij 不全为 0，所以 而 tr(AA T )=tr(AE)=nA，这说明A0在 AA T =AE 两边取行列式，得A n-2 =1，A=1反之，若 A T A=E 且A=1，则 A * A=AE=E 且A 可逆，于是，A T A=A * A，A T =A * ，即 a ij =A ij (2)当 a ij =一 A ij 时，有 A T =一 A * ，则 A T A=一 A * A=一AE由于 A 为 n 阶非零实矩阵，即 a ij 不全为 0，所以 )解析：
