1、考研数学一（线性代数）-试卷 24 及答案解析(总分：46.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 （分数：2.00）A.合同且相似B.合同但不相似C.不合同但相似D.不合同且不相似3.设矩阵 A= （分数：2.00）A.合同，且相似B.合同，但不相似C.不合同，但相似D.既不合同，也不相似4.设 A 为 3 阶实对称矩阵，如果二次曲面方程 在正交变换下的标准方程的图形如图所示，则 A 的正特征值的个数为( ) （分数：2.00）A.0B.1C.2D.35.设二次型 f(x
2、1 ，x 2 ，x 3 )在正交变换 x=Py 下的标准形为 2y 1 2 +y 2 2 一 y 3 2 ，其中 P=(e 1 ，e 2 ，e 3 )若 Q=(x 1 ，x 2 ，x 3 )，则 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )在正交变换 x=Qy 下的标准形为（分数：2.00）A.2y 1 2 y 2 2 +y 3 2 B.2y 1 2 +y 2 2 一 y 3 2 C.2y 1 2 y 2 2 y 3 2 D.2y 1 2 +y 2 2 +y 3 2 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6.已知实二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=a(x 1 2 +x 2 2 +x 3 2
3、 )+4 1 x 2 +4 1 x 3 +4 2 x 3 经正交变换x=Py 可化成标准形 f=6y 1 2 ，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_7.若二次曲面的方程 x 2 +3y 2 +z 2 +2axy+2xz+2yz=4 经正交变换化为 y 1 2 +4z 1 2 =4，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 一 x 2 2 +2ax 1 x 2 +4x 2 x 3 的负惯性指数为 1，则 a 的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2
4、 2 +x 3 2 +2ax 1 x 2 +2x 2 x 3 +2x 1 x 3 经正交变换 （分数：2.00）填空项 1:_10.若二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +4x 2 2 +4x 3 2 +2x 1 x 2 2x 2 x 3 +4x 1 x 3 为正定二次型，则 的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_11.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 x 3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2 的秩为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：24.00)12.解答题解答应写出文字说明、
5、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_13.求一个正交变换，化二次型 f=x 1 2 +4x 2 2 +4x 3 2 一 4x 1 x 2 +4x 1 x 3 8x 2 x 3 成标准形（分数：2.00）_14.设 A 是 n 阶正定阵，E 是 n 阶单位阵，证明 A+E 的行列式大于 1（分数：2.00）_15.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 2 +3x 2 2 +3x 3 2 +2ax 1 x 2 (a0)通过正交变换化成标准形f=y 1 2 +2y 2 2 +5y 3 2 ，求参数 a 及所用的正交变换矩阵（分数：2.00）_16.已知二次型 f(x 1 ，x
6、 2 ，x 3 )=5x 1 2 +5x 2 2 +cx 3 2 一 2 1 x 2 +6 1 x 3 6 2 x 3 的秩为 2 (1)求参数 c 及此二次型对应矩阵的特征值 (2)指出方程 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=1 表示何种二次曲面（分数：2.00）_17.已知二次曲面方程 x 2 +ay 2 +z 2 +2bxy+2xz+2yz=4 可以经过正交变换 （分数：2.00）_18.设 A 为 m 阶实对称阵且正定，B 为 mn 实矩阵，B T 为 B 的转置矩阵试证：B T AB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩 r(B)=n（分数：2.00）_19.已知二次型 f(x 1
7、 ，x 2 ，x 3 )=(1 一 a)x 1 2 +(1 一 a)x 2 2 +2x 3 2 +2(1+a) 1 x 2 的秩为 2 (I)求a 的值； ()求正交变换 x=Qy，把 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )化成标准形； (III)求方程 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=0 的解（分数：2.00）_20.)设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=ax 1 2 +axx 2 2 +(a 一 1)xx 3 2 +2 1 x 2 2 2 x 3 (I)求二次型 f 的矩阵的所有特征值； (II)若二次型 f 的规范形为 y 1 2 +y 2 2 ，求 a 的值（分数：2.00）
8、_21.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 y 1 2 +y 2 2 ，且 Q 的第 3 列为( （分数：2.00）_22.已知 A= （分数：2.00）_23.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2(a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ) 2 +(b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 3 x 3 ) 2 ，记 （分数：2.00）_考研数学一（线性代数）-试卷 24 答案解析(总分：46.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项
9、符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 （分数：2.00）A.合同且相似 B.合同但不相似C.不合同但相似D.不合同且不相似解析：解析：因为 A 为实对称矩阵，且易求出 A 的特征值为 1 =4， 2 = 3 = 4 =0，所以必有正交矩阵 P，使得 P 1 AP=P T AP= 3.设矩阵 A= （分数：2.00）A.合同，且相似B.合同，但不相似 C.不合同，但相似D.既不合同，也不相似解析：解析：由 A 的特征方程 4.设 A 为 3 阶实对称矩阵，如果二次曲面方程 在正交变换下的标准方程的图形如图所示，则 A 的正特征值的个数为( ) （分数：2.00）A.0B.1 C.2D.
10、3解析：解析：由图形知该二次曲面为双叶双曲面，其标准方程为 1 x“ 2 一 2 y“ 2 3 z“ 2 =1，其中 i 0(i=1，2，3)，由于用正交变换化成的标准方程中各变量平方项的系数为 A 的特征值，故 A 的特征值为： 1 0，一 2 0，一 3 0，因此 A 的正特征值的个数为 15.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )在正交变换 x=Py 下的标准形为 2y 1 2 +y 2 2 一 y 3 2 ，其中 P=(e 1 ，e 2 ，e 3 )若 Q=(x 1 ，x 2 ，x 3 )，则 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )在正交变换 x=Qy 下的标准形为（分数：2.00）
11、A.2y 1 2 y 2 2 +y 3 2 B.2y 1 2 +y 2 2 一 y 3 2 C.2y 1 2 y 2 2 y 3 2 D.2y 1 2 +y 2 2 +y 3 2 解析：解析：设二次型的矩阵为 A，则由题意知矩阵 P 的列向量 e 1 ，e 2 ，e 3 是矩阵 A 的标准正交的特征向量，对应的特征值依次是 2，1，一 1即有 Ae 1 =2e 1 ，Ae 2 =2e 2 ，Ae 3 =2e 3 从而有 AQ=A(e 1 ，e 3 ，e 2 )=(Ae 1 ，Ae 3 ，e 2 )=(2e 1 ，(e 3 )，e 2 ) =(e 1 ，e 3 ，e 2 ) 矩阵 Q 的列向量
12、e 1 ，e 3 ，e 2 仍是 A 的标准正交的特征向量，对应的特征值依次是 2，一1，1矩阵 Q 是正交矩阵，有 Q 1 =Q T ，上式两端左乘 Q 1 ，得 Q 1 AQ=Q T AQ= 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6.已知实二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=a(x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 )+4 1 x 2 +4 1 x 3 +4 2 x 3 经正交变换x=Py 可化成标准形 f=6y 1 2 ，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由题设条件知，f 的矩阵为7.若二次曲面的方程 x 2 +3y 2 +
13、z 2 +2axy+2xz+2yz=4 经正交变换化为 y 1 2 +4z 1 2 =4，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由题设条件知二次曲面方程左端的二次型的秩为 2，即矩阵 A= 内秩为 2，于是有0=det(A)= 8.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 一 x 2 2 +2ax 1 x 2 +4x 2 x 3 的负惯性指数为 1，则 a 的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2，2）解析：解析：对 f 配方，可得 f=(x 1 +ax 3 ) 2 一(x 2 2x 3 ) 2
14、 +(4 一 a 2 )x 3 2 于是 f 可经可逆线性变换 9.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2ax 1 x 2 +2x 2 x 3 +2x 1 x 3 经正交变换 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：=0A= 10.若二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +4x 2 2 +4x 3 2 +2x 1 x 2 2x 2 x 3 +4x 1 x 3 为正定二次型，则 的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 21）解析：解析：由 A= 的各阶顺序主子
15、式均大于 0，即 1 =10， 2 = 11.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 x 3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2 的秩为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：f 的矩阵 A=三、解答题(总题数：12，分数：24.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.求一个正交变换，化二次型 f=x 1 2 +4x 2 2 +4x 3 2 一 4x 1 x 2 +4x 1 x 3 8x 2 x 3 成标准形（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f 的矩阵 得
16、 A 的全部特征值为 1 = 2 =0， 3 =9 对于 1 = 2 =0，求方程组(0EA)X=0 的基础解系，由 )解析：14.设 A 是 n 阶正定阵，E 是 n 阶单位阵，证明 A+E 的行列式大于 1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 是正定阵，故存在正交阵 Q，使 )解析：15.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 2 +3x 2 2 +3x 3 2 +2ax 1 x 2 (a0)通过正交变换化成标准形f=y 1 2 +2y 2 2 +5y 3 2 ，求参数 a 及所用的正交变换矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型 f 的矩阵为
17、A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =5 将=1(或 =5)代入特征方程，得 a 2 一 4=0，a=2，又 a0，故 a=2这时， )解析：16.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=5x 1 2 +5x 2 2 +cx 3 2 一 2 1 x 2 +6 1 x 3 6 2 x 3 的秩为 2 (1)求参数 c 及此二次型对应矩阵的特征值 (2)指出方程 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=1 表示何种二次曲面（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)f 对应的矩阵为 )解析：17.已知二次曲面方程 x 2 +ay 2 +z 2 +2bxy+2xz+2yz=4 可以经
18、过正交变换 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 解之得到 a=3，b=1 计算可得，矩阵 的对应于特征值 1 =0， 2 =1， 3 =4 的单位特征向量分别可取为 )解析：18.设 A 为 m 阶实对称阵且正定，B 为 mn 实矩阵，B T 为 B 的转置矩阵试证：B T AB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩 r(B)=n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性：设 B T AB 为正定矩阵，则对任意的实 n 维列向量 x0，有 x T (B T AB)x0，即 (Bx) T A(Bx)0 于是 Bx0因此，取=0 只有零解，从而有 r(B)=n 充分性：因(B T
19、AB) T =B T A T B=B T AB，故 B T AB 为实对称矩阵若 r(B)=n，则齐次线性方程组 Bx=0 只有零解，从而对任意实 n 维列向量 x0有 Bx0又 A 为正定矩阵，所以对于 Bx0，有(Bx) T A(Bx)=x T (B T AB)x0于是当 x0 时，x T (B T AB)x0故 B T AB 为正定矩阵)解析：19.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(1 一 a)x 1 2 +(1 一 a)x 2 2 +2x 3 2 +2(1+a) 1 x 2 的秩为 2 (I)求a 的值； ()求正交变换 x=Qy，把 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )
20、化成标准形； (III)求方程 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=0 的解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)f 的秩为 2，即 f 的矩阵 可知 A 的特征值为 1 = 2 =2， 3 =0 A 的属于 1 =2 的线性无关的特征向量为 1 =(1，l，0) T ， 2 =(0，0，1) T A 的属于 3 =0 的线性无关的特征量为 3 =(-1，1，0) T 易见 1 ， 2 ， 3 ，两两正交将 1 ， 2 ， 3 单位化得 取 Q=(e 1 ，e 2 ，e 3 )，则 Q 为正交矩阵作正交变换 x=Qy，得 f 的标准形为 f( 1 ， 2 ， 3 )= 1 y 1 2
21、 + 2 y 2 2 + 3 y 3 2 =2y 1 2 +2y 1 2 (3)在正交变换 x=Qy 下，f( 1 ， 2 ， 3 )=0 化成 2y 1 2 +2y 1 2 =0，解之得 y 1 一 y 2 =0，从而得所求方程的解为 x=Q )解析：20.)设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=ax 1 2 +axx 2 2 +(a 一 1)xx 3 2 +2 1 x 2 2 2 x 3 (I)求二次型 f 的矩阵的所有特征值； (II)若二次型 f 的规范形为 y 1 2 +y 2 2 ，求 a 的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I) )解析：21.已知二次型 f(
22、x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 y 1 2 +y 2 2 ，且 Q 的第 3 列为( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)由题设，A 的特征值为 1，1，0，且(1，0，1) T 为 A 的属于特征值 0 的一个特征向量设(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T 为 A 的属于特征值 1 的特征向量，因为 A 的属于不同特征值的特征向量正交，所以(x 1 ，x 2 ，x 3 ) =0，即 x 1 +x 3 =0，取( ) T 、(0，1，0) T 为 A 的属于特征值 1 的两个正交的单位特征向量令正交矩阵 )解析：22.已知 A= （
23、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I) 因为 r(A T A)=r(A)，对 A 施以初等行变换 可见当 a=一 1 时，r(A)=2，所以 a=一 1 () =( 一 2)( 2 一 6)=( 一 2)( 一 6) 于是得 A T A 的特征值为 1 =2， 2 =6， 3 =0 对于 =2，由求方程组(2EA T A)x=0 的一个非零解， 可得属于 1 =2的一个单位特征向量 (1，一 1，0) T ； 对于 2 =6，由求方程组(6E 一 A T A)x=0 的一个非零解，可得属于 2 =6 的一个单位特征向量 (1，1，2) T ； 对于 3 =0，由求方程组(A T A)x=0 的一个非零解， 可得属于 3 =0 的一个单位特征向量 (1，1，一 1) T 令矩阵 Q= )解析：23.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2(a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ) 2 +(b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 3 x 3 ) 2 ，记 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)记 x= ，由于 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2(a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ) 2 +(b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 3 x 3 ) 2 =A321(x 1 ，x 2 ，x 3 ) )解析：
