1、考研数学一（线性代数）-试卷 23 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 n 阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABC=E，其中 E 是 n 阶单位阵，则必有( )（分数：2.00）A.ACB=E。B.CBA=E。C.BAC=E。D.BCA=E。3.设 A 是 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 B=AC 的秩为 r 1 ，则( )（分数：2.00）A.rr 1 。B.rr 1 。C.r=r 1 。D.r 与 r 1 的关
2、系依 C 而定。4.假设 A 是 n 阶方阵，其秩 r(A)=rn，那么在 A 的 n 个行向量中( )（分数：2.00）A.必有 r 个行向量线性无关。B.任意 r 个行向量线性无关。C.任意 r 个行向量都构成最大线性无关向量组。D.任何一个行向量都可以由其他 r 个行向量线性表示。5.设 1 ， 2 ， 3 是三维向量空间 R 3 的一组基，则由基 1 ， 到基 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 的过渡矩阵为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 A= （分数：2.00）A.1。B.-2。C.1 或-2。D.-1。7.设 （分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 线
3、性相关。B. 1 ， 2 ， 3 线性无关。C.r( 1 ， 2 ， 3 )=r( 1 ， 2 )。D. 1 ， 2 ， 3 线性相关， 1 ， 2 线性无关。8.设 =2 是非奇异矩阵 A 的一个特征值，则矩阵 有特征值( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.10.下列条件不能保证 n 阶实对称阵 A 正定的是( )（分数：2.00）A.A -1 正定。B.A 没有负的特征值。C.A 的正惯性指数等于 n。D.A 合同于单位矩阵。二、填空题(总题数：7，分数：14.00)11.行列式 （分数：2.00）填空项
4、1:_12.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_13.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_14.设 1 =(1，2，-1，0) T ， 2 =(1，1，0，2) T ， 3 =(2，1，1，a) T ，若由 1 ， 2 ， 3 形成的向量空间的维数是 2，则 a= 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.设 A 是秩为 3 的 54 矩阵， 1 ， 2 ， 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个不同的解，如果 1 + 2 +2 3 =(2，0，0，0) T ，3 1 + 2 =(2，4，6，8) T ，则方程组 Ax=b 的通解是 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.已
5、知矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_17.设 A 是 mn 矩阵，E 是 n 阶单位阵，矩阵 B=-aE+A T A 是正定阵，则 a 的取值范围是 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_19.证明： （分数：2.00）_20.已知 AB=A-B，证明：A，B 满足乘法交换律。（分数：2.00）_21.设向量组 a 1 ，a 2 ，a m 线性相关，且 a 1 0，证明存在某个向量 a k (2km)，使 a k 能由 a 1 ，a 2 ，a k-1 线性表示。（分数：2
6、.00）_22.设有齐次线性方程组 （分数：2.00）_23.设线性方程组(1)Ax=0 的一个基础解系为 1 =(1，1，1，0，2) T ， 2 =(1，1，0，1，1) T ， 3 =(1，0，1，1，2) T 。线性方程组(2)Bx=0 的一个基础解系为 1 =(1，1，-1，-1，1) T ， 2 =(1，-1，1，-1，2) T ， 3 =(1，-1，-1，1，1) T 。求 ()线性方程组(3) （分数：2.00）_24.已知 A= （分数：2.00）_25.已知 A 是三阶实对称矩阵，满足 A 4 +2A 3 +A 2 +2A=O，且秩 r(A)=2，求矩阵 A 的全部特征值，
7、并求秩 r(A+E)。（分数：2.00）_26.在某国，每年有比例为 p 的农村居民移居城镇，有比例为 q 的城镇居民移居农村。假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变。把 n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为 x n 和 y n (x n +y n =1)。 ()求关系式 中的矩阵 A； ()设目前农村人口与城镇人口相等，即 （分数：2.00）_27.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= ()求二次型 f 的矩阵的所有特征值； ()若二次型 f 的规范形为 （分数：2.00）_考研数学一（线性代数）-试卷 23 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)
8、一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 n 阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABC=E，其中 E 是 n 阶单位阵，则必有( )（分数：2.00）A.ACB=E。B.CBA=E。C.BAC=E。D.BCA=E。 解析：解析：由题设 ABC=E，可知 A(BC)=E 或(AB)C=E， 即 A 与 BC 以及 AB 与 C 均互为逆矩阵，从而有 (BC)A=BCA=E 或 C(AB)=CAB=E， 比较四个选项，应选 D。3.设 A 是 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，矩
9、阵 B=AC 的秩为 r 1 ，则( )（分数：2.00）A.rr 1 。B.rr 1 。C.r=r 1 。 D.r 与 r 1 的关系依 C 而定。解析：解析：因为 B=AC=EAC，其中 E 为 m 阶单位矩阵，而 E 与 C 均可逆，由矩阵等价的定义可知，矩阵B 与 A 等价，从而 r(B)=r(A)。所以应选 C。4.假设 A 是 n 阶方阵，其秩 r(A)=rn，那么在 A 的 n 个行向量中( )（分数：2.00）A.必有 r 个行向量线性无关。 B.任意 r 个行向量线性无关。C.任意 r 个行向量都构成最大线性无关向量组。D.任何一个行向量都可以由其他 r 个行向量线性表示。解
10、析：解析：由矩阵秩的定义可知，A 的 n 个行向量组成的向量组的秩也为 r，再由向量组秩的定义，这n 个向量中必然存在 r 个线性无关的向量，所以应选 A。5.设 1 ， 2 ， 3 是三维向量空间 R 3 的一组基，则由基 1 ， 到基 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 的过渡矩阵为( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由基 1 ， 3 到 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 的过渡矩阵 M 满足 ( 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 ) 6.设 A= （分数：2.00）A.1。B.-2。 C.1 或-2。D.-1。解析：解析：由于 Ax=0 的
11、任一解向量都可由 线性表出，所以 是 Ax=0 的基础解系，即 Ax=0 的基础解系只含一个解向量，因此 r(A)=2。 由方程组 Ax=0 有非零解可得A=(a-1) 2 (a+2)=0，即 a=1 或-2。当 a=1 时，r(A)=1，舍去；当 a=-2 时，r(A)=2。所以选 B。7.设 （分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 线性相关。B. 1 ， 2 ， 3 线性无关。C.r( 1 ， 2 ， 3 )=r( 1 ， 2 )。D. 1 ， 2 ， 3 线性相关， 1 ， 2 线性无关。 解析：解析：三直线交于一点的充分必要条件是以下线性方程组 或 x 1 +y 2 + 3 =0
12、(2) 有唯一解。由(2)式可得 3 =-x 1 -y 2 。 而方程组(2)(或(1)有唯一解 3 可由 1 ， 2 线性表示，且表示式唯一。 8.设 =2 是非奇异矩阵 A 的一个特征值，则矩阵 有特征值( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因为 为 A 的非零特征值，所以 2 为 A 2 的特征值， 为(A 2 ) -1 的特征值。因此 的特征值为 3 9.下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：选项 A 是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化。 选项 B 是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个不同
13、的特征值，所以矩阵必可以相似对角化。 选项 C 是秩为 1 的矩阵，由E-A= 3 -4 2 ，可知矩阵的特征值是 4，0，0。对于二重根 =0，由秩 r(0E-A)=r(A)=1可知齐次方程组(0E-A)x=0 的基础解系有 3-1=2 个线性无关的解向量，即 =0 时有两个线性无关的特征向量，从而矩阵必可以相似对角化。 选项 D 是上三角矩阵，主对角线上的元素 1，1，-1 就是矩阵的特征值，对于二重特征值 =1，由秩 10.下列条件不能保证 n 阶实对称阵 A 正定的是( )（分数：2.00）A.A -1 正定。B.A 没有负的特征值。 C.A 的正惯性指数等于 n。D.A 合同于单位矩
14、阵。解析：解析：A -1 正定表明存在可逆矩阵 C，使 C T A -1 C=E，两边求逆得到 C -1 A(C T ) -1 =C -1 A(C -1 ) T =E，即 A 合同于 E，A 正定，因此不应选 A。 D 选项是 A 正定的定义，也不是正确的选择。 C 选项表明 A 的正惯性指数等于 n，故 A 是正定阵。由排除法，故选 B。 事实上，一个矩阵没有负的特征值，但可能有零特征值，而正定阵的特征值必须全是正数。二、填空题(总题数：7，分数：14.00)11.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-2(x 3 +y 3 )）解析：解析：将后两列加到第一列上12
15、.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 A * =AA -1 可得(A * ) -1 = 13.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：根据 A 可逆可知，其伴随矩阵 A * 也是可逆的，因此 r(AXA * )=r(X)=2=r(B)，因此可得B=0，则 14.设 1 =(1，2，-1，0) T ， 2 =(1，1，0，2) T ， 3 =(2，1，1，a) T ，若由 1 ， 2 ， 3 形成的向量空间的维数是 2，则 a= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6）解析：解析
16、：由题意知向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关，而其中两个向量线性无关，所以 r( 1 ， 2 ， 3 )=2，对 1 ， 2 ， 3 组成的矩阵作初等行变换 15.设 A 是秩为 3 的 54 矩阵， 1 ， 2 ， 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个不同的解，如果 1 + 2 +2 3 =(2，0，0，0) T ，3 1 + 2 =(2，4，6，8) T ，则方程组 Ax=b 的通解是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：( ）解析：解析：由于 r(A)=3，所以齐次方程组 Ax=0 的基础解系只含有 4-r(A)=1 个解向量。又因为 ( 1 + 2 +2
17、3 )-(3 1 + 2 )=2( 3 - 1 )=(0，-4，-6，-8) T 是 Ax=0 的解，所以其基础解系为(0，2，3，4) T ，由 A( 1 + 2 +2 3 )=A 1 +A 2 +2A 3 =4b， 可知 ( 1 + 2 +2 3 )是方程组 Ax=b 的一个解，根据非齐次线性方程组的解的结构可知，其通解是( 16.已知矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-1）解析：解析：A 的特征多项式为 E-A= 17.设 A 是 mn 矩阵，E 是 n 阶单位阵，矩阵 B=-aE+A T A 是正定阵，则 a 的取值范围是 1。（分数：2.00）填空项
18、 1:_ （正确答案：正确答案：a0）解析：解析：B T =(-aE+A T A) T =-aE+A T A=B，故 B 是一个对称矩阵。 B 正定的充要条件是对于任意给定的 x0，都有 x T Bx=x T (-aE+A T A)x=-ax T x+x T A T Ax=-ax T x+(Ax) T Ax0， 其中(Ax) T (Ax)0，x T x0，因此 a 的取值范围是-a0，即 a0。三、解答题(总题数：10，分数：20.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：19.证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题可利用递推法证明。
19、)解析：20.已知 AB=A-B，证明：A，B 满足乘法交换律。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AB=A-B 可得 E+A-B-AB=E，即(E+A)(E-B)=E，这说明 E+A 与 E-B 互为逆矩阵，所以(E-B)(E+A)=E，将括号展开得 BA=A-B，从而可得 AB=BA，即 A，B 满足乘法交换律。)解析：21.设向量组 a 1 ，a 2 ，a m 线性相关，且 a 1 0，证明存在某个向量 a k (2km)，使 a k 能由 a 1 ，a 2 ，a k-1 线性表示。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为向量组 a 1 ，a 2 ，a m 线性相关，由定
20、义知，存在不全为零的数 1 ， 2 ， m ，使 1 a 1 + 2 a 2 + m a m =0。 因 1 ， 2 ， m 不全为零，所以必存在 k，使得 k 0，且 k+1 = m =0。 当 k=1 时，代入上式有 1 a 1 =0。又因为 a 1 0，所以 1 =0，与假设矛盾，故 k1。 当 k 0 且 k2 时，有 )解析：22.设有齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换，有 当 a=0 时，r(A)=1n，方程组有非零解，其同解方程组为 x 1 +x 2 +x n =0， 由此得基础解系为 1 =(-1，1，0，0) T ，
21、 2 =(-1，0，1，0) T ， n-1 =(-1，0，0，1) T ， 于是方程组的通解为 x=k 1 1 +k n-1 n-1 ，其中 k 1 ，k n-1 为任意常数。 当 a0 时，对矩阵 B 作初等行变换，有 当 a= 时，r(A)=n-1n，方程组也有非零解，其同解方程组为 )解析：23.设线性方程组(1)Ax=0 的一个基础解系为 1 =(1，1，1，0，2) T ， 2 =(1，1，0，1，1) T ， 3 =(1，0，1，1，2) T 。线性方程组(2)Bx=0 的一个基础解系为 1 =(1，1，-1，-1，1) T ， 2 =(1，-1，1，-1，2) T ， 3 =(
22、1，-1，-1，1，1) T 。求 ()线性方程组(3) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()线性方程组(1)Ax=0 的通解为 x=k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 ；线性方程组(2)Bx=0 的通解为 x=l 1 1 +l 2 2 +l 3 3 ；线性方程组(3) 的解是方程组(1)和(2)的公共解，故考虑线性方程组(4)k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 =l 1 1 +l 2 2 +l 3 3 ，将其系数矩阵作初等行变换，即 则方程组(4)的一个基础解系是(-2，0，2，-1，0，1) T 。将其代入(4)得到方程组(3)的一个基础 解系 =-2 1 +2 2 =-
23、 1 + 3 =(0，-2，0，2，0) T 。所以方程组(3)的通解为 x=K(0，-1，0，1，0) T ，其中 K 为任意常数。 ()线性方程组(3) )解析：24.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 的特征多项式为 =(-2n+1)(-n+1) n-1 ， 则 A 的特征值为 1 =2n-1， 2 =n-1，其中 2 =n-1 为 n-1 重根。 当 1 =2n-1 时，解齐次方程组( 1 E-A)x=0，对系数矩阵作初等变换，有 得到基础解系 1 =(1，1，1) T 。 当 2 =n-1 时，齐次方程组( 2 E-A)x=0 等价于 x 1 +x 2 +x n
24、 =0，得到基础解系 2 =(-1，1，0，0) T ， 3 =(-1，0，1，0) T ， n =(-1，0，0，1) T ，则 A 的特征向量是 k 1 1 和 k 2 2 +k 3 3 +k n n ，其中 k 1 0，k 2 ，k 3 ，k n 不同时为零。 )解析：25.已知 A 是三阶实对称矩阵，满足 A 4 +2A 3 +A 2 +2A=O，且秩 r(A)=2，求矩阵 A 的全部特征值，并求秩 r(A+E)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 是矩阵 A 的任一特征值，(0)是属于特征值 的特征向量，则A=，于是 A n = n 。用 右乘 A 4 +2A 2 +A 2
25、 +2A=O，得( 4 +2 3 + 2 +2)=0。 因为特征向量 0，故 4 +2 3 + 2 +2=(+2)( 2 +1)=0。由于实对称矩阵的特征值必是实数，从而矩阵 A 的特征值是 0 或-2。 由于实对称矩阵必可相似对角化，且秩 r(A)=r()=2，所以 A 的特征值是 0，-2，-2。 因 A，则有 A+EA+E= )解析：26.在某国，每年有比例为 p 的农村居民移居城镇，有比例为 q 的城镇居民移居农村。假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变。把 n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为 x n 和 y n (x n +y n =1)。 ()求关系式 中的
26、矩阵 A； ()设目前农村人口与城镇人口相等，即 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由题意，人口迁移的规律不变 x n+1 =x n +qy n -px n =(1-p)x n +qy n ， y n+1 =y n +px n -qy n =px n +(1-q)y n ， 用矩阵表示为 得 A 的特征值为 1 =1， 2 =r，其中 r=1-p-q。 当 1 =1 时，解方程(A-E)x=0，得特征向量 p 1 = 当 2 =r 时，解方程(A-rE)x=0，得特征向量 p 2 = 令 P=(p 1 ，p 2 )= ，则 P -1 AP= =，A=PP -1 ，A n =PA n P -1 。 于是 )解析：27.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= ()求二次型 f 的矩阵的所有特征值； ()若二次型 f 的规范形为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()二次型的矩阵为 A= ，则有 所有特征值是 1 =a， 2 =a-2， 3 =a+1。 ()若规范形为 )解析：
