1、考研数学一（线性代数）-试卷 19 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B 是 n 阶方阵，A，Y，b 是 n1 矩阵，则方程组 （分数：2.00）A.r(A)=r(Ab)，r(B)任意B.AX=b 有解，BY=0 有非零解C.A0，b 可由 B 的列向量线性表出D.B0，b 可由 A 的列向量线性表出3.设 1 , 2 , 3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量，且 r(A)=3， 1 =1，2，3，4 T ， 2 + 3 =0
2、，1，2，3 T ，k 是任意常数，则方程组 AX=b 的通解是 ( )（分数：2.00）A.B.C.D.4.设 1 ， 2 是 n 阶矩阵 A 的特征值， 1 , 2 分别是 A 的对应于 1 ， 2 的特征向量，则 ( )（分数：2.00）A.当 1 = 2 时， 1 , 2 对应分量必成比例B.当 1 = 2 时， 1 , 2 对应分量不成比例C.当 1 2 时， 1 , 2 对应分量必成比例D.当 1 2 时， 1 , 2 对应分量必不成比例5.已知 1 =一 1，1，a，4 T ， 2 =一 2，1，5，a T ， 3 =a，2，10，1 T 是 4 阶方阵 A 的3 个不同特征值对
3、应的特征向量，则 a 的取值为 ( )（分数：2.00）A.a5B.a一 4C.a一 3D.a一 3 目 a一 46.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则 ( )（分数：2.00）A.E-A=E-BB.A 与 B 有相同的特征值和特征向量C.A 与 B 都相似于一个对角矩阵D.对任意常数 t，tE-A 与 tE-B 相似7.设 A 为 n 阶矩阵，下列命题正确的是 ( )（分数：2.00）A.若 为 A T 的特征向量，那么 为 A 的特征向量B.若 为 A * 的特征向量，那么 为 A 的特征向量C.若 为 A 2 的特征向量，那么 为 A 的特征向量
4、D.若 为 2A 的特征向量，那么 为 A 的特征向量8.已知 3 阶矩阵 A 有特征值 1 =1， 2 =2， 3 =3，则 2A * 的特征值是 ( )（分数：2.00）A.1，2，3B.4，6，12C.2，4，6D.8，16，249.已知 A 是 3 阶矩阵，r(A)=1，则 =0 ( )（分数：2.00）A.必是 A 的二重特征值B.至少是 A 的二重特征值C.至多是 A 的二重特征值D.一重、二重、三重特征值都可能10.已知 1 ， 2 是方程(E-A)X=0 的两个不同的解向量，则下列向量中必是 A 的对应于特征值 的特征向量的是 ( )（分数：2.00）A. 1B. 2C. 1
5、一 2D. 1 + 211.设 （分数：2.00）A. 1 =1，2，1 TB. 2 =1，一 2，1 TC. 3 =2，1，2 TD. 4 =2，1，一 2 T二、填空题(总题数：4，分数：8.00)12.已知 =1，3，2 T ，=1，一 1，一 2 T ，A=E 一 T ，则 A 的最大特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_13.已知 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 A 是 3 阶矩阵, 1 ， 2 ， 3 是三个线性无关的 3 维列向量，满足 A i = i ，i=1，2，3，则 A= 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3
6、 )=2x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2tx 1 x 2 +tx 2 x 3 是正定的，则 t 的取值范围是 1.（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：30.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_17.求齐次线性方程组 （分数：2.00）_18.问 为何值时，线性方程组 （分数：2.00）_19. 为何值时，方程组 （分数：2.00）_20.设四元齐次线性方程组(I)为 （分数：2.00）_21.设 1 ， 2 ， t 和 a ， 2 ， s 分别是 AX=0 和 BX=0 的基础解系证明：AX=0和 BX=0 有非零公共解的充要条件
7、是 1 ， 2 ， t ， 1 ， 2 ， s 线性相关（分数：2.00）_已知 1 =1，2，一 3，1 T ， 2 =5，一 5，a，11 T ， 3 =1，一 3，6，3 T ， 4 =2，一1，3，a T 问：（分数：6.00）(1).a 为何值时，向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性相关；（分数：2.00）_(2).a 为何值时，向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性无关；（分数：2.00）_(3).a 为何值时， 4 能由 1 , 2 , 3 线性表出，并写出它的表出式（分数：2.00）_22.已知 （分数：2.00）_23.设向量组 1 =a 11 ,a 21 a n1 T
8、 ， 2 =a 12 ,a 22 a n2 T ， s =a 1s ,a 2s a ns T 证明：向量组 1 , 2（分数：2.00）_24.已知 1 , 2 s 线性无关， 可由 1 , 2 s 线性表出，且表示式的系数全不为零证明： 1 , 2 s ， 中任意 s 个向量线性无关（分数：2.00）_25.已知向量组 1 ， 2 ， s+1 (s1)线性无关， i = i +t i+1 ，i=1，2，s证明：向量组 1 ， 2 ， s 线性无关（分数：2.00）_设 A 是 33 矩阵， 1 , 2 , 3 是三维列向量，且线性无关，已知 A 1 = 2 + 3 ，A 2 = 1 + 3
9、，A 3 = 1 + 2 （分数：4.00）(1).证明：A 1 ，A 2 ，A 3 线性无关；（分数：2.00）_(2).求A（分数：2.00）_26.已知 A 是 n 阶矩阵， 1 , 2 s 是 n 维线性无关向量组，若 A 1 ,A 2 A s 线性相关证明：A 不可逆（分数：2.00）_考研数学一（线性代数）-试卷 19 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B 是 n 阶方阵，A，Y，b 是 n1 矩阵，则方程组 （分数：2.0
10、0）A.r(A)=r(Ab)，r(B)任意 B.AX=b 有解，BY=0 有非零解C.A0，b 可由 B 的列向量线性表出D.B0，b 可由 A 的列向量线性表出解析：解析： r(A)=r(Ab)，r(B)任意(BY=0 总有解，至少有零解，其余均错)3.设 1 , 2 , 3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量，且 r(A)=3， 1 =1，2，3，4 T ， 2 + 3 =0，1，2，3 T ，k 是任意常数，则方程组 AX=b 的通解是 ( )（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：方程组有齐次解：2 1 一( 2 + 3 )=2，3，4，5 T ，故选 C4.设 1
11、 ， 2 是 n 阶矩阵 A 的特征值， 1 , 2 分别是 A 的对应于 1 ， 2 的特征向量，则 ( )（分数：2.00）A.当 1 = 2 时， 1 , 2 对应分量必成比例B.当 1 = 2 时， 1 , 2 对应分量不成比例C.当 1 2 时， 1 , 2 对应分量必成比例D.当 1 2 时， 1 , 2 对应分量必不成比例 解析：解析：当 1 = 2 时， 1 与 2 可以线性相关也可以线性无关，所以 1 ， 2 可以对应分量成比例，也可以对应分量不成比例，故排除 A，B当 1 2 时， 1 ， 2 一定线性无关，对应分量一定不成比例，故选 D5.已知 1 =一 1，1，a，4
12、T ， 2 =一 2，1，5，a T ， 3 =a，2，10，1 T 是 4 阶方阵 A 的3 个不同特征值对应的特征向量，则 a 的取值为 ( )（分数：2.00）A.a5 B.a一 4C.a一 3D.a一 3 目 a一 4解析：解析： 1 , 2 , 3 是三个不同特征值的特征向量，必线性无关，由 6.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则 ( )（分数：2.00）A.E-A=E-BB.A 与 B 有相同的特征值和特征向量C.A 与 B 都相似于一个对角矩阵D.对任意常数 t，tE-A 与 tE-B 相似 解析：解析：A 与 B 相似，存在可逆矩阵 P
13、，使得 P 一 1 AP=B，则 tE 一 B=tE 一 P 一 1 AP 一 1 (tE)PP 一1 AP=P 一 1 (tE 一 A)P，即 tE 一 A 与 tE 一 B 相似，选 D对于 A：E 一 A=EBA=B；对于 B：A 与 B相似，则 A 与 B 有相同的特征值，但特征向量不一定相同；对于 C：A 与 B 不一定能够相似对角化7.设 A 为 n 阶矩阵，下列命题正确的是 ( )（分数：2.00）A.若 为 A T 的特征向量，那么 为 A 的特征向量B.若 为 A * 的特征向量，那么 为 A 的特征向量C.若 为 A 2 的特征向量，那么 为 A 的特征向量D.若 为 2A
14、 的特征向量，那么 为 A 的特征向量 解析：解析：(1)矩阵 A T 与 A 的特征值相同，但特征向量不一定相同，故 A 错误 (2)假设 为 A 的特征向量， 为其特征值，当 0 时 也为 A * 的特征向量这是由于 A=A * A=A * A * =A -1 但反之， 为 A * 的特征向量，那么 不一定为 A 的特征向量例如：当r(A)n 一 1 时，A * =0，此时，任意 n 维非零列向量都是 A * 的特征向量，故 A * 的特征向量不一定是A 的特征向量可知 B 错误 (3)假设 为 A 的特征向量， 为其特征值，则 为 A 2 的特征向量这是由于 A 2 =A(A)=A= *
15、 但反之，若 为 A 2 的特征向量， 不一定为 A 的特征向量例如 假设 A 1 = 1 ，A 2 =一 2 ，其中 1 ， 2 0 此时有 A 2 ( 1 + 2 )=A 2 1 +A 2 2 = 1 + 2 ，可知 1 + 2 为 A 2 的特征向量但 1 ， 2 是矩阵 A 两个不同特征值的特征向量，它们的和历+尼不是 A 的特征向量故 C 错误 (4)若 为 2A 的特征向量，则存在实数 使得 2A=，此时有 8.已知 3 阶矩阵 A 有特征值 1 =1， 2 =2， 3 =3，则 2A * 的特征值是 ( )（分数：2.00）A.1，2，3B.4，6，12 C.2，4，6D.8，1
16、6，24解析：解析：2A * 的特征值是 9.已知 A 是 3 阶矩阵，r(A)=1，则 =0 ( )（分数：2.00）A.必是 A 的二重特征值B.至少是 A 的二重特征值 C.至多是 A 的二重特征值D.一重、二重、三重特征值都可能解析：解析：A 是三阶矩阵，r(A)=1，r(0EA)=1(0EA)X=0 有两个线性无关特征向量，故 =0 至少是二重特征值，也可能是三重，例如：10.已知 1 ， 2 是方程(E-A)X=0 的两个不同的解向量，则下列向量中必是 A 的对应于特征值 的特征向量的是 ( )（分数：2.00）A. 1B. 2C. 1 一 2 D. 1 + 2解析：解析：因 1
17、2 ，故 1 一 2 0，且仍有关系 A( 1 一 2 )= 1 一 2 =( 1 一 2 )，故 1 一 2 是特征向量而 A 1 ，B 2 D 1 + 2 均有可能是零向量而不成为 A 的特征向量11.设 （分数：2.00）A. 1 =1，2，1 TB. 2 =1，一 2，1 T C. 3 =2，1，2 TD. 4 =2，1，一 2 T解析：解析：因 二、填空题(总题数：4，分数：8.00)12.已知 =1，3，2 T ，=1，一 1，一 2 T ，A=E 一 T ，则 A 的最大特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：7）解析：解析：由于矩阵 T 的秩为 1，
18、故 T 的特征值为 0，0，tr( T )，其中 tr( T )= T =一 6故 A=E 一 T 的特征值为 1，1，7，故 A 的最大特征值为 713.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析： 存在可逆阵 P，使得14.设 A 是 3 阶矩阵, 1 ， 2 ， 3 是三个线性无关的 3 维列向量，满足 A i = i ，i=1，2，3，则 A= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：E）解析：解析：因 A 1 = 1 ，A 1 = 2 ，A 3 = 3 ，合并成矩阵形式有A 1 ，A 2 ，A 3 =A 1 ， 2 ， 3 ，=
19、1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 ， 3 ，线性无关， 1 ， 2 ， 3 ，是可逆阵，故 A= 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 ， 3 一 1 =E15.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2tx 1 x 2 +tx 2 x 3 是正定的，则 t 的取值范围是 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：f 的对应矩阵 f 正定，A 的顺序主子式0，即 取公共部分，知 t 的取值范围是三、解答题(总题数：13，分数：30.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：17.求齐次
20、线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 则方程组的解为 令 )解析：18.问 为何值时，线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19. 为何值时，方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设四元齐次线性方程组(I)为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 1 ， 2 ， t 和 a ， 2 ， s 分别是 AX=0 和 BX=0 的基础解系证明：AX=0和 BX=0 有非零公共解的充要条件是 1 ， 2 ， t ， 1 ， 2 ， s 线性相关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：“”由 1 ， 2 ，
21、 t ， 1 ， 2 ， s 线性相关，知存在 k 1 ，k 2 ，k s ，l 1 ，l 2 ，l s 不全为零，使得 k 1 1 +k 2 2 +k t t +l 1 1 +l 2 2 +l s s =0令 =k 1 1 +k 2 2 +k t t ，则 0( 否则 k 1 ，k 2 ，k t ，l 1 ，l 2 ，l s 全为 0)，且 =l 1 1 l 2 2 一一 l s s ，即一 个非零向量 既可由 1 ， 2 ， t 表示，也可由 1 ， 2 ， s 表示，所以 Ax=0 和Bx=0 有非零公共解“”若 Ax=0 和 Bx=0 有非零公共解，假设为 0，则考=k 1 1 +k
22、2 2 +k t t 且 =一 l 1 1 l 2 2 l s s ，于是，存在 k 1 ，k 2 ，k t 不全为零，存在 l 1 ，l 2 ，l s 不全为零，使得 k 1 1 +k 2 2 +k t t +l 1 1 +l 2 2 +l s s =0从而 1 ， 2 ， t ， 1 ， 2 ， s 线性相关)解析：已知 1 =1，2，一 3，1 T ， 2 =5，一 5，a，11 T ， 3 =1，一 3，6，3 T ， 4 =2，一1，3，a T 问：（分数：6.00）(1).a 为何值时，向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性相关；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析
23、：(2).a 为何值时，向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性无关；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(2)a4，a12 时， 1 , 2 , 3 , 4 线性无关；)解析：(3).a 为何值时， 4 能由 1 , 2 , 3 线性表出，并写出它的表出式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(3)a=4 时， 4 可由 1 , 2 , 3 线性表出得 4 = 1 + 3 )解析：22.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设向量组 1 =a 11 ,a 21 a n1 T ， 2 =a 12 ,a 22 a n2 T ， s =a 1s ,a 2s a
24、ns T 证明：向量组 1 , 2（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 , 2 s (线性无关)线性相关 存在不全为 0 的 x 1 ,x 2 ,x s ，使得 x 1 1 +x 2 2 +x s s =0 成立 (没)有不全为 0 的 x 1 ,x 2 ,x s ，使得 成立 齐次线性方程组 )解析：24.已知 1 , 2 s 线性无关， 可由 1 , 2 s 线性表出，且表示式的系数全不为零证明： 1 , 2 s ， 中任意 s 个向量线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用反证法设 1 , 2 s ， 中任意 s 个向量组 i-1 , i+1 s ， 线性相关，则存
25、在不全为零的 k 1 ,k 2 ,，k i-1 ，k i+1 ，k s ，k，使得 k 1 1 +k i-1 i-1 +k i+1 i+1 +k s s +k=0 另一方面，由题设 =l 1 1 +l 2 2 +l i i +l s s ，其中 I i 0，i=1，2，5代入上式，得(k 1 +kl 1 ) 1 +(k 2 +k 2 l 2 ) 2 +(kl i-1 +kl i-1 ) i-1 +kl i i +(k i+1 +kl i+1 ) i+1 +(k s +kl s ) s =0因已知 1 , 2 s 线性无关，从而由 kl i =0，l i 0，故 k=0，从而由式得 k 1 ，k
26、 2 ，k i-1 ，k i+1 ，k s 均为 0，矛盾故 1 , 2 s ， 中任意 s 个向量线性无关)解析：25.已知向量组 1 ， 2 ， s+1 (s1)线性无关， i = i +t i+1 ，i=1，2，s证明：向量组 1 ， 2 ， s 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设有数 k 1 ,k 2 ,，k s ，使得 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0 成立，即 k 1 ( 1 +t 2 )+k 2 ( 2 +t 3 )+k s ( s +t s+1 )=k 1 1 +(k 1 t+k 2 ) 2 +(k 2 t+k 3 ) 3 +(k s-1 t+k
27、s ) s +k s t s+1 =0因 1 , 2 s+1 线性无关，故 )解析：设 A 是 33 矩阵， 1 , 2 , 3 是三维列向量，且线性无关，已知 A 1 = 2 + 3 ，A 2 = 1 + 3 ，A 3 = 1 + 2 （分数：4.00）(1).证明：A 1 ，A 2 ，A 3 线性无关；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 1 ,A 2 ，A 3 = 2 + 3 ， 1 + 3 ， 1 + 2 其中 )解析：(2).求A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 两边取行列式，得 )解析：26.已知 A 是 n 阶矩阵， 1 , 2 s 是 n 维线性无关向量组，若
28、 A 1 ,A 2 A s 线性相关证明：A 不可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 A 1 1 +A 2 2 +A s s 线性相关，故存在不全为零的数 k 1 ,k 2 ,，k s ，使得 k 1 A 1 +k 2 A 2 +k s A s =0，即 A(k 1 A 1 +k 2 A 2 +k s A s )=A=0其中 =k 1 A 1 +k 2 A 2 +k s A s 成立，因已知 1 , 2 s 线性无关，对任意不全为零的 k 1 ,k 2 ,，k s ，有 =k 1 1 +k 2 2 +k s s 0，而 A=0说明线性方程组 AX=0 有非零解，从而A=0，A 是不可逆矩阵)解析：
