1、考研数学一（线性代数）-试卷 16 及答案解析(总分：78.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A、B、A+B、A 1 +B 1 均为 n 阶可逆方阵，则(A 1 +B 1 ) 1 =( )（分数：2.00）A.A 1 +B 1B.A+BC.A(A+B) 1 BD.(A+B) 13.设 n 维行向量 =( （分数：2.00）A.0B.一 IC.1D.I+ T 4.设三阶矩阵 A= （分数：2.00）A.a=b 或 a+2b=0B.a=b 或 a+2b0C.ab 且 a+2
2、b=0D.ab 且 a+2b05.设矩阵 B= （分数：2.00）A.2B.3C.4D.56.设 （分数：2.00）A.A 1 P 1 P 2B.P 1 A 1 P 2C.P 1 P 2 A 1D.P 2 A 1 P 17.设矩阵 A=(a ij ) 33 满足 A * =A T ，其中 A * 为 A 的伴随矩阵，A T 为 A 的转置矩阵若 a 11 ，a 12 ，a 13 为三个相等的正数，则 a 11 为( )（分数：2.00）A.B.3C.D.二、填空题(总题数：19，分数：38.00)8.设 为 3 维单位列向量，E 为 3 阶单位矩阵，则矩阵 E 一 T 的秩为 1（分数：2.0
3、0）填空项 1:_9.设 A=(a ij )是 3 阶非零矩阵，A为 A 的行列式，A ij 为 a ij 的代数余子式若 a ij +A ij =0(i，j=1，2，3)，则A= 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 n(n3)阶方阵 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 （分数：2.00）填空项 1:_16.设 A、B 分别为 m 阶和 n 阶方阵，且A=a，B=b，则行列式 （分数：2.00）填空项 1:_17.
4、设 4 阶方阵 A 的秩为 2，则其伴随矩阵 A * 的秩为 1（分数：2.00）填空项 1:_18.设 A、B 均是 n 阶矩阵，且A=2，B=一 3，A * 为 A 的伴随矩阵，则行列式2A * B 1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_19.设 （分数：2.00）填空项 1:_20.设 为 3 维列向量， T 是 的转量若 T = （分数：2.00）填空项 1:_21.设三阶方阵 A、B 满足 A 2 BAB=E，其中 E 为三阶单位矩阵，若 A= （分数：2.00）填空项 1:_22.设 n 维向量 =(a，0，0，a) T ，a0；E 位 n 阶单位矩阵，矩阵 A=E T ，B=
5、E+ （分数：2.00）填空项 1:_23.设 A、B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵已知 AB=2A+B，B= （分数：2.00）填空项 1:_24.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_25.设 A=(a ij )33 是实正交矩阵，且 a 11 =1，b=(1，0，0) T ，则线性方程组 Ax=b 的解是 1（分数：2.00）填空项 1:_26.已知 1 ， 2 均为 2 维向量，矩阵 A=2 1 + 2 ， 1 一 2 ，= 1 ， 2 ，若行列式A=6，则B= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：26.00)27.解答题解答应写出文字说明、证明过
6、程或演算步骤。（分数：2.00）_28.设 A、B 都是 n 阶方阵，且 A 2 =E，B 2 =E，A+B=0，证明：A+B=0（分数：2.00）_29.设 （分数：2.00）_30.设 A、B 均为 n 阶方阵，且满足 AB=A+B，证明 AE 可逆，并求(AE) 1 （分数：2.00）_31.设有矩阵 A mn ，B nm ，已知 E m 一 AB 可逆，证明：E n 一 BA 可逆，且(E n 一 BA) 1 =E mn +B(E m 一 AB) 1 A（分数：2.00）_32.设 A 为 mn 矩阵，证明：r(A)=n （分数：2.00）_33.设 A=(a ij )为 n 阶方阵，
7、证明：对任意的 n 维列向量 X，都有 X T AX=0 （分数：2.00）_34.设实方阵 A=(a ij ) 44 满足：(1)a ij =A ij (i，j=1，2，3，4，其中 A ij 为 a ij 的代数余子式)；(2)a 11 0求A（分数：2.00）_35.设 A * 是 A 33 的伴随矩阵，A= （分数：2.00）_36.设 （分数：2.00）_37.设 3 阶矩阵 A 的逆阵为 （分数：2.00）_38.设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数记分块矩阵 （分数：2.00）_39.已知矩阵 （分数：2.00）_考研数学一（线性代数）-试卷 16 答案解
8、析(总分：78.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A、B、A+B、A 1 +B 1 均为 n 阶可逆方阵，则(A 1 +B 1 ) 1 =( )（分数：2.00）A.A 1 +B 1B.A+BC.A(A+B) 1 B D.(A+B) 1解析：解析：由(A 1 +B 1 )A(A+B) 1 B=(E+B 1 A)CA+B) 1 B=B 1 (B+A)(A+B) 1 B=B 1 B=E，或 A(A+B) 1 B=B 1 (A+B)A 1 1 =(B 1 AA 1 +B
9、 1 BA 1 ) 1 =(B 1 +A 1 ) 1 =(A 1 +B 1 ) 1 即知只有(C)正确3.设 n 维行向量 =( （分数：2.00）A.0B.一 IC.1 D.I+ T 解析：解析：AB=(I T )(I+2 T )=I+2 T 一 T 2 T T 一 I+ T 一2 T ( T )，而 T = 4.设三阶矩阵 A= （分数：2.00）A.a=b 或 a+2b=0B.a=b 或 a+2b0C.ab 且 a+2b=0 D.ab 且 a+2b0解析：解析：由 r(A * )=1，知 A * 至少有一个元素 A ij =(一 1) ij M ij 0，其中 M ij 为 A 的(i，
10、j)元素的余子式即 A 的一个 2 阶子式，故 r(A)2，又由 0=A * =A * ，知A=0，故得，r(A)=2由 0=A =(a+2b)(a 一 b) 2 得 a=b 或 a+2b=0，若 a=b，则显然有 r(A)1，与 r(A)=2 矛盾，故ab 且 a+2b=05.设矩阵 B= （分数：2.00）A.2B.3C.4 D.5解析：解析：由条件知存在可逆矩阵 P，使 P 1 AP=B故有 P 1 (A 一 2E)P=P 1 AP 一 2E=B 一 2E= 6.设 （分数：2.00）A.A 1 P 1 P 2B.P 1 A 1 P 2C.P 1 P 2 A 1 D.P 2 A 1 P
11、1解析：解析：利用初等变换与初等矩阵的关系，可得 B=AP 2 P 1 ，故 B 1 =P 1 1 P 2 1 A 1 =P 2 P 2 A 1 7.设矩阵 A=(a ij ) 33 满足 A * =A T ，其中 A * 为 A 的伴随矩阵，A T 为 A 的转置矩阵若 a 11 ，a 12 ，a 13 为三个相等的正数，则 a 11 为( )（分数：2.00）A. B.3C.D.解析：解析：由比较 A * =A T 对应元素知 a=A ij (i，j=1，2，3)，其中 A ij 为A中 a ij 的代数余子式，利用行列式按行展开法则得A= =3a 11 2 0又由 A * =A T 两端
12、取行列式得A 2 =A，A=1，故得 3a 11 2 =1，a 11 = 二、填空题(总题数：19，分数：38.00)8.设 为 3 维单位列向量，E 为 3 阶单位矩阵，则矩阵 E 一 T 的秩为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：若取单位向量 =(1，0，0) T ，则矩阵 E 一 T = 9.设 A=(a ij )是 3 阶非零矩阵，A为 A 的行列式，A ij 为 a ij 的代数余子式若 a ij +A ij =0(i，j=1，2，3)，则A= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析：由 A0，不妨设 a
13、ij 0，由已知的 A ij =a ij (i，j=1，2，3)，得 10.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：秩(AB)=秩(A)=211.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：t=一 3）解析：解析：BA=O 且 B0 时，必有A=012.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：B=(A+2E) 1 (A 2 一 4E)=(A+2E) 1 (A+2E)(A 一 2E)=A 一 2E= 13.设 n(n3)阶方阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： =n 一
14、 1A=1+(n 一 1)a(1a) n1 0a= 或 a=1，而当 a=1 时，有r(A)=1；而当 a= 14.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：B=8(2EA * ) 1 A 1 =8A(2EA * ) 1 =8(2AAA * ) 1 =8(2AAE) 1 =8(2A+2E) 1 =4(A+E) 1 = 15.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：因 A 2 =2A，故当 n=2 时，A n 一 2A n1 =A 2 一 2A=O；当 n2 时，A n 一 2A n1 =A n2 (A 2 2A)=A n2
15、=O=O，故恒有 A n 一 2A n1 =0(n2)16.设 A、B 分别为 m 阶和 n 阶方阵，且A=a，B=b，则行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(一 1) mn ab）解析：解析：可用行列式的拉普拉斯展开法则或经 mn 次相邻两列的互换，得17.设 4 阶方阵 A 的秩为 2，则其伴随矩阵 A * 的秩为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：当 r(A 44 )=2 时，A 中 3 阶子式全为零A * =018.设 A、B 均是 n 阶矩阵，且A=2，B=一 3，A * 为 A 的伴随矩阵，则行列式2A * B 1
16、 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一*）解析：解析：2A * B 1 =2 n A * B 1 =2 n A n1 B 1 =一 19.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：E+B=E+(E+A) 1 (E 一 A)，两端左乘 E+A，得 (E+A)(E+B)=E+A+EA=2E (E+A)(E+B)=E (E+B) 1 = 20.设 为 3 维列向量， T 是 的转量若 T = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：3设 21.设三阶方阵 A、B 满足 A 2 BAB=E，其中 E 为三阶单
17、位矩阵，若 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题设方程解得(AE)B=E，两端取行列式，得 2B=1，故B=22.设 n 维向量 =(a，0，0，a) T ，a0；E 位 n 阶单位矩阵，矩阵 A=E T ，B=E+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析：由 T =2a 2 ，及 23.设 A、B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵已知 AB=2A+B，B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题设方程得(AE)B 一 2A=O，(AE)B 一 2(AE)=2E，(AE)(B
18、 一 2E)一2E，(AE) 1 = 24.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 A 2 = ，A 4 一(A 2 ) 2 =E，A 2004 =(A 4 ) 501 =E 501 =E，故 B 2004 一 2A 2 =P 1 A 2004 P 一 2A 2 =E 一 2A 2 = 25.设 A=(a ij )33 是实正交矩阵，且 a 11 =1，b=(1，0，0) T ，则线性方程组 Ax=b 的解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于正交矩阵的行(列)向量组均为正交单位向量组，故 A= ，又
19、A 1 =A T ，故方程组 Ax=b 的解为 x=A 1 b=A T b= 26.已知 1 ， 2 均为 2 维向量，矩阵 A=2 1 + 2 ， 1 一 2 ，= 1 ， 2 ，若行列式A=6，则B= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2）解析：解析：A=2 1 + 2 ， 1 一 2 = 1 ， 2 三、解答题(总题数：13，分数：26.00)27.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：28.设 A、B 都是 n 阶方阵，且 A 2 =E，B 2 =E，A+B=0，证明：A+B=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由条
20、件知A=1，B=1，且A=一BAB=一 1，故A+B=AE+EB=AB 2 +A 2 B=A(B+A)B=AB+AB=一A+BA+B=0)解析：29.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)A 2 =4E，故 A 2k =(A 2 ) k =(4E) k =4 k E，A 2k+1 =A 2k A=4 k A(k=1，2，) (2)由 A 2 =4EA 1 = A B=A 1 (E+AA 2 )=A 1 +EA= )解析：30.设 A、B 均为 n 阶方阵，且满足 AB=A+B，证明 AE 可逆，并求(AE) 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(AE)(BE)=E=(A
21、E) 1 =BE)解析：31.设有矩阵 A mn ，B nm ，已知 E m 一 AB 可逆，证明：E n 一 BA 可逆，且(E n 一 BA) 1 =E mn +B(E m 一 AB) 1 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(E n 一 EA)E n +B(E m 一 AB) 1 A=E n)解析：32.设 A 为 mn 矩阵，证明：r(A)=n （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 r(A)=n，则存在可逆矩阵 P mn 及 Q mn ，使 PAQ= )解析：33.设 A=(a ij )为 n 阶方阵，证明：对任意的 n 维列向量 X，都有 X T AX=0 （分数：2
22、.00）_正确答案：(正确答案：必要性：取 X= j =(0，0，1，0，0) T (第 j 个分量为 1，其余分量全为零的 n 维列向量)，则由 0= j T A j =a ij ，及 ij 时，有 0=( i + j ) T A( i + j )= i T A i + i T A i + j T A i + j T A j =0+a ij +a ij +0=a ij +a ji ，可知 A 为反对称矩阵充分性：若 A T =一 A，则 XA T X=一 X T AX，又 X T A T X 为 1 阶方阵，其转置不变，因而有 X T A T X=(X T A T X) T =X T AXX
23、 T AX=一 X T AX2X T AX=0X T AX=0)解析：34.设实方阵 A=(a ij ) 44 满足：(1)a ij =A ij (i，j=1，2，3，4，其中 A ij 为 a ij 的代数余子式)；(2)a 11 0求A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A+1)解析：35.设 A * 是 A 33 的伴随矩阵，A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A * =AA 1 = )解析：36.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用 AA * =A E=4E，用 A 左乘方程两端，得 4B=E+2AB，(4E 一 2A)B=E，B=(4E 一 2A) 1 = )解析：37.设 3 阶矩阵 A 的逆阵为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(A * ) 1 = )解析：38.设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数记分块矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)PQ= (2)由(1)得PQ=A 2 (b 一 T A 1 )，而PQPQ，且由条件知P=A0Q=A(b 一 T A 1 )，因而 Q 可逆 )解析：39.已知矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设等式得(AB)X(AB)=E，故 X=(AB) 1 (AB) 1 = )解析：
