1、考研数学一（线性代数）-试卷 15 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.已知 1 ， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1 ， 2 是对应齐次线性方程组AX=0 的基础解系，k 1 ，k 2 为任意常数，则方程组 AX=b 的通解(一般解)是 （分数：2.00）A.B.C.D.3.要使 都是线性方程组 AX=0 的解，只要系数矩阵 A 为 （分数：2.00）A.B.C.D.4.已知 （分数：2.00）A.t=6 时 P 的秩必为 1B
2、.t=6 时 P 的秩必为 2C.t6 时 P 的秩必为 1D.t6 时 P 的秩必为 25.设 （分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 线性相关B. 1 ， 2 ， 3 线性无关C.秩 r( 1 ， 2 ， 3 )=秩 r( 1 ， 2 )D. 1 ， 2 ， 3 线性相关， 1 ， 2 线性无关6.设有三张不同平面的方程 a i1 x+a i2 y+a i3 z=b i ，i=1，2，3，它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为 2，则这三张平面可能的位置关系为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0，其中 A，B 均为 mn
3、 矩阵，现有 4 个命题： 若 Ax=0 的解均是Bx=0 的解，则秩(A)秩(B)； 若秩(A)秩(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解； 若 Ax=0 与 Bx=0 同解；则秩(A)=秩(B)； 若秩(A)=秩(B)则 Ax=0 与 Bx=0 同解 以上命题中正确的是( )（分数：2.00）A.B.C.D.8.设 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )是 4 阶矩阵，A * 为 A 的伴随矩阵若(1，0，1，0) T 是方程组Ax=0 的一个基础解系，则 A * x=0 的基础解系可为( )（分数：2.00）A. 1 ， 3 B. 1 ， 2 C. 1 ， 2 ， 3 D. 2 ，
4、 3 ， 4 9.矩阵 A= （分数：2.00）A.B.aC.a，dD.a，d二、填空题(总题数：5，分数：10.00)10.设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 A 的秩为 n 一 1，则线性方程组 AX=0 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_11.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_12.若方程组 （分数：2.00）填空项 1:_13.若 3 阶非零方程B 的每一列都是方程组 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_14.设 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：38.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分
5、数：2.00）_16.问 a、b 为何值时，线性方程组 （分数：2.00）_17.问 为何值时，线性方程组 （分数：2.00）_18.已知 1 =(1，0，2，3)， 2 =(1，1，3，5)， 3 =(1，一 1，a+2，1)， 4 =(1，2，4，a+8)及 =(1，1，6+3，5) (1)a、b 为何值时， 不能表示成 1 ， 2 ， 3 ， 4 的线性组合? (2)a、b 为何值时， 有 1 ， 2 ， 3 ， 4 的唯一的线性表示式?并写出该表示式（分数：2.00）_19.设 4 元齐次线性方程组(I)为 （分数：2.00）_20.已知线性方程组 的一个基础解系为：(b 11 ，b
6、12 ，b 1,2n ) T ，(b 21 ，b 22 ，b 2,2n ) T ，(b n1 ，b n2 ，b n,n ) T 试写出线性方程组的 （分数：2.00）_21.设 1 ， 2 ， s 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系， 1 =t 1 1 +t 2 2 ， 2 =t 1 2 +t 2 3 ， s =t 1 s +t 2 1 ，其中 t 1 ，t 2 为实常数试问 t 1 ，t 2 满足什么关系时， 1 ， 2 ， s 也为 Ax=0 的一个基础解系（分数：2.00）_22.)已知方阵 A= 1 2 3 4 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为 4 维列向量，其中 2 ， 3
7、， 4 线性无关， 1 =2 2 3 如果 = 1 + 2 + 3 + 4 ，求线性方程组 Ax= 的解（分数：2.00）_23.已知平面上三条不同直线的方程分别为 l 1 ：ax+2by+3c=0 l 2 ：ax+2cy+3a=0 l 3 ：ax+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+c=0（分数：2.00）_24.设有齐次线性方程组 （分数：2.00）_25.已知 3 阶矩阵 A 的第一行是(a，b，c)，a，b，c 不全为零，矩阵 B= （分数：2.00）_26.已知非齐次线性方程组 （分数：2.00）_27.设线性方程组 （分数：2.00）_28.设以元线性
8、方程组 Ax=b，其中 （分数：2.00）_29.设 （分数：2.00）_30.设 A= （分数：2.00）_31.设 A= （分数：2.00）_32.设 A= （分数：2.00）_33.设 A= （分数：2.00）_考研数学一（线性代数）-试卷 15 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.已知 1 ， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1 ， 2 是对应齐次线性方程组AX=0 的基础解系，k 1 ，k 2 为任意常数，则方程组 A
9、X=b 的通解(一般解)是 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由于 3.要使 都是线性方程组 AX=0 的解，只要系数矩阵 A 为 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：因为 1 与 2 线性无关，所以，三元齐次线性方程组 AX=0 的基础解系中至少含 2 个解向量，即 3 一 r(A)2，或 r(A)1，而备选项 B、C 及 D 中的矩阵的秩都大于 1，所以它们都不对，只有备选项(A)正确4.已知 （分数：2.00）A.t=6 时 P 的秩必为 1B.t=6 时 P 的秩必为 2C.t6 时 P 的秩必为 1 D.t6 时 P 的秩必为 2解析：解析：由 PQ=0，知
10、 Q 的每一列都是线性方程组 PX=0 的解当 t6 时，Q 的列秩为 2，故 PX=0 至少有 2 个线性无关的解，所以其基础解系所含向量个数至少为 2，即 3 一 r(P)2，或 r(P)1；又P0，有 r(P)1，故当 t6 时必有 r(P)=15.设 （分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 线性相关B. 1 ， 2 ， 3 线性无关C.秩 r( 1 ， 2 ， 3 )=秩 r( 1 ， 2 )D. 1 ， 2 ， 3 线性相关， 1 ， 2 线性无关 解析：解析：考虑由 3 条直线的方程联立所得的线性方程组 6.设有三张不同平面的方程 a i1 x+a i2 y+a i3 z=b
11、i ，i=1，2，3，它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为 2，则这三张平面可能的位置关系为 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：设由三个平面方程联立所得线性方程组为 Ax=b，则由题设条件知 Ax=b 有解，且因其导出组Ax=0 的基础解系所含向量个数为 3 一 r(A)32=1，故 Ax=b 的通解具有如下形式：7.设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0，其中 A，B 均为 mn 矩阵，现有 4 个命题： 若 Ax=0 的解均是Bx=0 的解，则秩(A)秩(B)； 若秩(A)秩(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解； 若 Ax=0 与 Bx=0
12、 同解；则秩(A)=秩(B)； 若秩(A)=秩(B)则 Ax=0 与 Bx=0 同解 以上命题中正确的是( )（分数：2.00）A.B. C.D.解析：8.设 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )是 4 阶矩阵，A * 为 A 的伴随矩阵若(1，0，1，0) T 是方程组Ax=0 的一个基础解系，则 A * x=0 的基础解系可为( )（分数：2.00）A. 1 ， 3 B. 1 ， 2 C. 1 ， 2 ， 3 D. 2 ， 3 ， 4 解析：解析：首先，4 元齐次线性方程组 A * x=0 的基础解系所含解向量的个数为 4 一 r(A * )，其中 r(A * )为 A * 的秩，因此求
13、 r(A * )是一个关键其次，由 Ax=0 的基础解系只含 1 个向量，即 4 一 r(A)=1，得 r(A)=3，于是由 r(A * )与 r(A)的关系，知 r(A * )=1，因此，方程组 A * x=0 的基础解系所含解向量的个数为 4 一 r(A * )=3，故选项(A)、(B)不对再次，由(1，0，1，0) T 是方程组 Ax=0 或 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 +x 4 4 =0 的解，知 1 + 3 =0，故 1 与 3 线性相关，于是只有选项(D)正确9.矩阵 A= （分数：2.00）A.B.aC.a，dD.a，d 解析：解析：对方程组的增广矩阵施行初等行变换(
14、化成阶梯形)：二、填空题(总题数：5，分数：10.00)10.设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 A 的秩为 n 一 1，则线性方程组 AX=0 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k(1，1，1) T ）解析：解析：因为 Ax=0 的基础解系所含向：量个数为 n 一 r(A)=n 一(n 一 1)=1，故 AX=0 的任一非零解都可作为它的基础解系由已知，=(1，1，1) T 是 AX=0 的一个非零解，从而 可作为 AX=0 的基础解系，故得通解为 X=k(1，1，1) T (k 为任意常数)11.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （
15、正确答案：正确答案：一 1）解析：解析：对方程组的增广矩阵 作初等行变换： 由此可知： 当 a3 且 a一 1 时，r(A)=3，方程组有唯一解； 当 a=3 时，r(A)= =2，方程组有无穷多解； 当 a=一 1 时，r(A)=2，而12.若方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：a 1 +a 2 +a 3 +a 4 =0 对方程组的增广矩阵施行初等行变换： 由阶梯形矩阵及方程组 Ax=b 有解判定定理知，方程组有解 13.若 3 阶非零方程B 的每一列都是方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：=1）填空项 1:_ （正确答
16、案：B=0）解析：解析：由条件知方程组的系数行列式为零，即 A= 14.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1，0，0) T ）解析：解析：由于A T =A= 三、解答题(总题数：19，分数：38.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：16.问 a、b 为何值时，线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将方程组的增广矩阵 用初等行变换化成阶梯形： 于是可知(记方程组的系数矩阵为 A) 当 a1 时，r(A)= =4，因而方程组有唯一解 当 a=1 且 b一 1 时，r(A)=2，=3，故方程组无解 当 a=1
17、 且 b=一 1 时，r(A)= 进一步化成简化行阶梯形 故得方程组的用自由未知量表示的通解为 用对应齐次线性方程组的基础解系表示的通解为 )解析：解析：本题主要考查如何根据方程组系数矩阵及增广矩阵的秩来判定解的情况，以及在有解时如何求其通解注意在求解含有参数的方程组时，为了确定矩阵的秩，需要对参数的不同取值进行分类讨论，特别应注意“二分法”例如本题中对参数的分类是 这样分法，既不重复，也不遗漏还应注意在方程组有无穷多解时，当把17.问 为何值时，线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对方程组的增广矩阵进行初等行变换： 由阶梯形矩阵知 r(A)=2，如一+10，则 =3，方程组
18、无解故当且仅当 =1 时，方程组有解，且有无穷多解，此时，阶梯形矩阵为 选取与首非零元对应的未知量 x 1 、x 2 为约束未知量，则 x 3 就是自由未知量了，于是得通解 )解析：解析：本题仍然考查方程组解的理论及求解方法注意，当题目对通解的形式没有要求时，给出任意一种形式的通解都是可以的18.已知 1 =(1，0，2，3)， 2 =(1，1，3，5)， 3 =(1，一 1，a+2，1)， 4 =(1，2，4，a+8)及 =(1，1，6+3，5) (1)a、b 为何值时， 不能表示成 1 ， 2 ， 3 ， 4 的线性组合? (2)a、b 为何值时， 有 1 ， 2 ， 3 ， 4 的唯一的
19、线性表示式?并写出该表示式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 =x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 +x 4 4 ，即 将上面方程组的增广矩阵用初等行变换化成阶梯形： 由此可知 (1)当 a=一 1 且 b0 时，r(A)=2，而 =3，方程组无解，所以 不能表示成 1 ， 2 ， 3 ， 4 的线性组合 (2)当 a一 1 时，r(A)= =4，：疗程组有唯一解，即 可由 1 ， 2 ， 3 ， 4 唯一地线性表出，且有 )解析：解析：本题考查非齐次线性方程组解的情况的判定及求解方法注意系数矩阵 A 的秩等于由 A 经初等行变换化成的阶梯形矩阵中非零行的个数，所以分 a一 1
20、和 a=一 1 两种情况分别讨论19.设 4 元齐次线性方程组(I)为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由已知，(I)的系数矩阵为 故(I)的基础解系可取为：(0，0，1，0)，(一 1，1，0，1) (2)有非零公共解 将()的通解代入方程组(I)，则有 )解析：解析：本题(1)求基础解系属基本题目；而(2)主要考查齐次线性方程组通解的概念、两方程组公共解的概念及其求法注意，寻求两方程组(I)与()的公共解，也就是寻求它们的解集合的交集合中的向量，或者说在()的解集合中寻找那些满足方程组(I)的解向量20.已知线性方程组 的一个基础解系为：(b 11 ，b 12 ，b 1,2
21、n ) T ，(b 21 ，b 22 ，b 2,2n ) T ，(b n1 ，b n2 ，b n,n ) T 试写出线性方程组的 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记方程组(I)、()的系数矩阵分别为 A、B，则可以看出题给的(I)的基础解系中的 n 个向量就是 B 的 n 个行向量的转置向量因此，由(I)的已知基础解系可知 AB T =0 转置即得 BA T =0 因此可知 A T 的 n 个列向量即 A 的 n 个行向量的转置向量都是方程组()的解向量 由于 B 的秩为 n(B 的行向量组线性无关)，故()的解空间的维数为 2nr(B)=2nn=n，所以()的任何 n 个线性无关的
22、解就是()的一个基础解系已知(I)的基础解系含 n 个向量，即 2nr(A)=n，故 r(A)=n，于是可知A 的 n 个行向量线性无关，从而它们的转置向量构成()的一个基础解系，因此()的通解为 y=c 1 (a 11 ，a 12 ，a 1,2n ) T +c 2 (a 21 ，a 22 ，a 2,2n ) T +c n (a n1 ，a n2 ，a n,2n ) T ， 其中 c 1 ，c 2 ，c n 为任意常数)解析：解析：本题主要考查对矩阵的秩、齐次线性方程组的基础解系和通解等基本概念的理解及灵活应用注意，()是一个 n2n 齐次线性方程组，所以它必然存在基础解系，找到了基础解系，也
23、就有了通解解答中引入系数矩阵的记号，不仅出于使得表述简单明了的目的，特别在讨论解的理论时必然要涉及到方程组的系数矩阵，因而必须引入它们21.设 1 ， 2 ， s 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系， 1 =t 1 1 +t 2 2 ， 2 =t 1 2 +t 2 3 ， s =t 1 s +t 2 1 ，其中 t 1 ，t 2 为实常数试问 t 1 ，t 2 满足什么关系时， 1 ， 2 ， s 也为 Ax=0 的一个基础解系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 1 =A(t 1 1 +t 2 2 )=t 1 A 1 +t 2 A 2 =0+0=0，知 1 为Ax=0 的解，
24、同理可知 2 ， 3 ， s 均为 Ax=0 的解已知 Ax=0 的基础解系含 s 个向量，故Ax=0 的任何 s 个线性无关的解都可作为 Ax=0 的基础解系因此 1 ， 2 ， s 为 Ax=0 的基础解系，当且仅当 1 ， 2 ， s 线性无关 设有一组数 k 1 ，k 2 ，k s ，使得 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0 即(t 1 k 1 +t 2 k 2 ) 1 +(t 2 k 1 +t 1 k 2 ) 2 +(t 2 k s1 +t 1 k s ) s =0， 由于 1 ， 2 ， s 线性无关，有 (*) 上面齐次线性方程组的系数行列式为 )解析：解析：本题综合考
25、查齐次线性方程组的基础解系的概念及其只有零解的条件，向量组线性相关性的概念及其判定注意本题判定 1 ， 2 ， s 的线性相关性，属于一种常见题型22.)已知方阵 A= 1 2 3 4 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为 4 维列向量，其中 2 ， 3 ， 4 线性无关， 1 =2 2 3 如果 = 1 + 2 + 3 + 4 ，求线性方程组 Ax= 的解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 得 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 +x 4 4 = 1 ， 2 ， 3 ， 4 将 1 =2 2 3 代入上式，整理后得 (2x 1 +x 2 3) 2 +(一 x 1 +x 3 )
26、3 +(x 4 一 1) 4 =0 由 2 ， 3 ， 4 ，线性无关，知 )解析：23.已知平面上三条不同直线的方程分别为 l 1 ：ax+2by+3c=0 l 2 ：ax+2cy+3a=0 l 3 ：ax+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+c=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性 设三直线 l 1 ，l 2 ，l 3 交于一点，则二元线性方程组 =3(a+b+c)(ab) 2 一(bc) 2 +(ca) 2 及 (ab) 2 +(bc)(ca) 2 0， (否则 a=b=c，则三条直线重合，从而有无穷多个交点，与交点惟一矛盾)，所以 a+b+c
27、=0 充分性 若 a+b+c=0，则由必要性的证明知 ，又系数矩阵 A 中有一个二阶于式 )解析：解析：本题在将几何问题转化为代数问题之后，证法 1 主要利用了非齐次线性方程组有惟一解的充要奈件，证法 2 主要利用了 Cramer 法则的结果注意，由于平面直线的方程是二元一次方程，故本题实际上隐含了下述条件：a 与 b 不同时为零，b 与 c 不同时为零，c 与 a 不同时为零，本题两种证法的充分性证明中都用到这些条件24.设有齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换： (1)当 a=0 时，r(A)=1n，故方程组有非零解，其同解方程组为
28、 x 1 +x 2 +x n =0 由此得基础解系为 1 =(一 1，1，0，0) T ， 2 =(一 1 0，1，0) T ， n1 =(一 1，0，0，1) T ，于是方程组的通解为 x=k 1 1 +k 2 2 +k n1 n1 ，其中 k 1 ，k n1 ，为任意常数 (2)当 a0 时，对矩阵 B 作初等行变换： 可知 a=一 )解析：解析：对 n 元齐次线性方程组 Ax=0，当 r(A)=rn 时有非零解，此时，为了求出基础解系，应先求出方程组的用自由未知量表示的通解，然后在这个通解中依次令 n 一 r 个自由未知量分别取值为1，0，0；0，1，0；0，0，1，则所得到的 n 一
29、r 个解 1 ， 2 ， nr ，就是方程组的一个基础解系那么，究竟怎样来选取自由未知量呢?其一般原则是：先在系数矩阵中找到一个r 阶非零子式(由 r(A)=r 知这样的非零子式必存在)，则可将与这个子式对应的 r 个未知量作为约束未知量，从而方程组的其它 n 一 r 个未知量自然就是自由未知量了，解出由自由未知量表示约束未知量的表达式，就是用自由未知量表示的通解例如，本题中当 a=一 25.已知 3 阶矩阵 A 的第一行是(a，b，c)，a，b，c 不全为零，矩阵 B= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AB=0 知矩阵 B 的每一列都是方程组 Ax=0 的解，因此 Ax=0 必
30、有非零解，要求其通解只要求出它的基础解系即可而基础解系所含向量个数等于 3 一 r(A)，所以需要先确定 A 的秩r(A) 由于 AB=0，故 r(A)+r(B)3，又由 a，b，c 不全为零，可知 r(A)1 当 k9 时，r(B)=2，于是 r(A)=1； 当 k=9 时，r(B)=1，于是 r(A)=2 或 r(A)=2 (1)当 k9 时，因 r(A)=1，知 Ax=0 的基础解系含 2 个向量又由 AB=O 可得 由于 1 =(1，2，3) T ， 2 =(3，6，k) T 线性无关，故 1 ， 2 为 Ax=0 的一个基础解系，于是 Ax=0 的通解为 x=c 1 1 +c 2 2
31、 ，其中 c 1 ，c 2 为任意常数 (2)当 k=9 时，分别就 r(A)=2 和 r(A)=1 进行讨论 如果 r(A)=2，则 Ax=0 的基础解系由一个向量构成。又因为 )解析：解析：本题综合考查矩阵秩的概念、齐次线性方程组基础解系的概念及求解方法注意当 r(A)=1时，A 的极大无关行向量组只含 1 个向量，故此时方程组 Ax=0 可经消元法化为同解方程组 ax 1 +bx 2 +cx 3 =026.已知非齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 1 ， 2 ， 3 是该方程组的 3 个线性无关的解，则由解的性质知 1 = 1 一 2 ， 2 = 1 一
32、3 是对应齐次线性方程组 Ax=0 的两个解，且由 1 2 = 1 2 3 及 1 ， 2 ， 3 线性无关，易知向量组 1 ， 2 线性无关，故齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系至少含 2 个向量，即 4 一 r(A)2，得 r(A)2，又显然有 r(A)2cA 中存在 2 阶非零子式 =一 1，或由 A 的前 2 行线性无关)，于是有 r(A)=2 (2)对增广矩阵石施行初等行变换； 由此可得方程组的用自由未知量表示的通解为 令 x 3 =k 1 ，x 4 =k 2 ，则得用对应齐次线性方程组的基础解系表示的通解为 )解析：27.设线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方
33、程组(I)的系数矩阵 A 的行列式为 (1)当A0，即 a1 且 a2 时，方程组(I)只有零解，而零解 x=(0，0，0) T 不满足方程()，故当 a1 且 a2 时，(I)与()无公共解；(2)当 a=1 时，由 A 的初等行变换 得方程组(I)的通解为 x=c(1，0，一 1) T ，其中 c 为任意常数显然当 a=1 时，()是(I)的一个方程，(I)的解都满足()所以，当 a=1 时，(I)与()的所有公共解是 x=c(1，0，一 1) T ，其中 c 为任意常数； (3)当 a=2 时，由 A 的初等行变换 )解析：28.设以元线性方程组 Ax=b，其中 （分数：2.00）_正确
34、答案：(正确答案：(I) 记 D n =A，以下用数学归纳法证明 D n =(n+1)a n 当 n=1 时，D 1 =2a，结论成立；当 n=2 时， D 2 = =3a 2 =(n+1)a n 结论成立；假设结论对于小于 n 的情况成立将 D n 按第 1 行展开，得 D D n =2aD D n1 =2aD n1 一 a 2 D n2 (代入归纳假设 D k =(k+1)a k ，kn) =2ana n1 一 a 2 (n 一 1)a n2 =(n+1)a n 故A=(n+1)a n ()该方程组有唯一解 A0，即 a0此时，由克莱姆法则，将 D n 第 1 列换成 b，得行列式 ()当
35、a=0 时，方程组为 )解析：解析：本题综合考查高阶行列式的计算、线性方程组解的判定及其求解方法注意当 a=0 时，方程组为：x 2 =1，x 3 =0，x n =0，由于系数矩阵右上角的 n 一 1 阶子式非零，故选取 x 2 ，x n 为约束未知量，而 x 1 为自由未知量，令 x 1 =0，便得 Ax=b 的一个特解为 =(0，1，0，0) T ，在对应齐次方程组 Ax=0 中，令自由未知量 x 1 =1，便得 Ax=0 的基础解系为 =(1，0，0，0) T ，于是由解的结构定理便得 Ax=b 的通解为 x=+k29.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)设 2 =(x
36、1 ，x 2 ，x 3 ) T ，解方程组 A 2 = 1 ，由 得 x 1 =一 x 2 ，x 3 =12x 2 (x 2 任意)令自由未知量 x 2 =一 c 1 ，则得 设 3 =(y 1 ，y 2 ，y 3 ) T ，解方程组 A 2 3 = 1 ，由 得 y 1 =一 一 y 2 (y 2 ，y 3 任意)令自由未知量 y 2 =c 2 ，y 3 =c 3 ，则得 其中 c 3 ，c 3 为任意常数 ()3 个 3 维向量 1 ， 2 ， 3 线性无关的充要条件是 3 阶行列式 D= 1 2 3 0而 )解析：解析：本题综合考查线性方程组的求解、方阵的幂和行列式的基本运算，以及 n 个 n 雏向量线性相关性的判别方法
