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    【考研类试卷】考研数学一(线性代数)-试卷14及答案解析.doc

    • 资源ID:1394153       资源大小:170.50KB        全文页数:9页
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    【考研类试卷】考研数学一(线性代数)-试卷14及答案解析.doc

    1、考研数学一(线性代数)-试卷 14 及答案解析(总分:54.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:11,分数:22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设矩阵 A= (分数:2.00)A.-6。B.6。C.D.3.下列命题中 如果矩阵 AB=E,则 A 可逆且 A -1 =B; 如果 n 阶矩阵 A,B 满足(AB) 2 =E,则(BA) 2 =E; 如果矩阵 A,B 均为 n 阶不可逆矩阵,则 A+B 必不可逆; 如果矩阵 A,B 均为 n 阶不可逆矩阵,则 AB 必不可逆。 正确的是( )(分数:2.00)A.。B.。C.。

    2、D.。4.设 A= (分数:2.00)A.a=1 时,B 的秩必为 2。B.a=1 时,B 的秩必为 1。C.a1 时,B 的秩必为 1。D.a1 时,B 的秩必为 2。5.现有四个向量组 (1,2,3) T ,(3,-1,5) T ,(0,4,-2) T ,(1,3,0) T ; (a,1,b,0,0) T ,(c,0,d,2,0) T ,(e,0,f,0,3) T ; (a,1,2,3) T ,(b,1,2,3) T ,(c,3,4,5) T ,(d,0,0,0) T ; (1,0,3,1) T ,(-1,3,0,-2) T ,(2,1,7,2) T ,(4,2,14,5) T 。 则下列

    3、结论正确的是( )(分数:2.00)A.线性相关的向量组为;线性无关的向量组为。B.线性相关的向量组为;线性无关的向量组为。C.线性相关的向量组为;线性无关的向量组为。D.线性相关的向量组为;线性无关的向量组为。6.设向量组: 1 , 2 , r 可由向量组: 1 , 2 , s 线性表示,则( )(分数:2.00)A.当 rs 时,向量组必线性相关。B.当 rs 时,向量组必线性相关。C.当 rs 时,向量组必线性相关。D.当 rs 时,向量组必线性相关。7.已知 1 , 2 , 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个不同的解,那么向量 1 - 2 , 1 + 2 -2 3 , (分数:2

    4、.00)A.4。B.3。C.2。D.1。8.设 A 为 n 阶矩阵,A T 是 A 的转置矩阵,对于线性方程组(1)Ax=0 和(2)A T Ax=0,必有( )(分数:2.00)A.(1)的解是(2)的解,(2)的解也是(1)的解。B.(1)的解是(2)的解,(2)的解不是(1)的解。C.(2)的解是(1)的解,(1)的解不是(2)的解。D.(2)的解不是(1)的解,(1)的解也不是(2)的解。9.三阶矩阵 A 的特征值全为零,则必有( )(分数:2.00)A.秩 r(A)=0。B.秩 r(A)=1。C.秩 r(A)=2。D.条件不足,不能确定。10.已知矩阵 A= ,那么下列矩阵中 (分数

    5、:2.00)A.1。B.2。C.3。D.4。11.下列二次型中是正定二次型的是( )(分数:2.00)A.f 1 =(x 1 -x 2 ) 2 +(x 2 -x 3 ) 2 +(x 3 -x 1 ) 2 。B.f 2 =(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 -x 3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2 。C.f 3 =(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 +x 3 ) 2 +(x 3 -x 4 ) 2 +(x 4 -x 1 ) 2 。D.f 4 =(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 +x 3 ) 2 +(x 3 +x 4 ) 2 +(x 4 -x 1 ) 2 。二、填空题(总题数:8

    6、,分数:16.00)12.已知 A 为三阶方阵,A 2 -A-2E=O,且 0A5,则A+2E= 1。(分数:2.00)填空项 1:_13.设 A= (分数:2.00)填空项 1:_14.设 A 是 43 矩阵,且 A 的秩 r(A)=2,而 B= (分数:2.00)填空项 1:_15.与 1 =(1,2,3,-1) T , 2 =(0,1,1,2) T , 3 =(2,1,3,0) T 都正交的单位向量是 1。(分数:2.00)填空项 1:_16.设 A= (分数:2.00)填空项 1:_17.已知 A=12 是 A= (分数:2.00)填空项 1:_18.设三阶方阵 A 的特征值是 1,2

    7、,3,它们所对应的特征向量依次为 1 , 2 , 3 ,令 P=(3 3 , 1 ,2 2 ),则 P -1 AP= 1。(分数:2.00)填空项 1:_19.设 f= (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:8,分数:16.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_21.设 A 为 n 阶可逆矩阵, 为 n 维列向量,b 为常数,记分块矩阵 (分数:2.00)_22.设向量组 1 =(a,0,10) T , 2 =(-2,1,5) T , 3 =(-1,1,4) T ,=(1,b,c) T ,试问:当 a,b,c 满足什么条件时, () 可由

    8、1 , 2 , 3 线性表出,且表示唯一; () 不可由 1 , 2 , 3 线性表出; () 可由 1 , 2 , 3 线性表出,但表示不唯一,求出一般表达式。(分数:2.00)_23.设 A= (分数:2.00)_24.设四元齐次线性方程组 (分数:2.00)_25.已知 p= (分数:2.00)_26.设 A= ,且存在正交矩阵 Q 使得 Q T AQ 为对角矩阵。若 Q 的第一列为 (分数:2.00)_27.设二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=2(a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ) 2 +(b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 3 x 3 ) 2 ,记

    9、()证明二次型 f 对应的矩阵为 2 T + T ; ()若 , 正交且均为单位向量,证明f 在正交变换下的标准形为 (分数:2.00)_考研数学一(线性代数)-试卷 14 答案解析(总分:54.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:11,分数:22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设矩阵 A= (分数:2.00)A.-6。B.6。C. D.解析:解析:化简矩阵方程,构造 B+E,用因式分解法,则有 A(B+E)+(B+E)=-E,即(A+E)(B+E)=-E, 两边取行列式,由行列式乘法公式得 A+E.B+E=1,

    10、又A+E=3.下列命题中 如果矩阵 AB=E,则 A 可逆且 A -1 =B; 如果 n 阶矩阵 A,B 满足(AB) 2 =E,则(BA) 2 =E; 如果矩阵 A,B 均为 n 阶不可逆矩阵,则 A+B 必不可逆; 如果矩阵 A,B 均为 n 阶不可逆矩阵,则 AB 必不可逆。 正确的是( )(分数:2.00)A.。B.。C.。D.。 解析:解析:如果 A、B 均为 n 阶矩阵,命题当然正确,但是题中没有 n 阶矩阵这一条件,故不正确。例如 显然 A 不可逆。 若 A、B 为 n 阶矩阵,(AB) 2 =E,即(AB)(AB)=E,则可知 A、B 均可逆,于是 ABA=B -1 ,从而 B

    11、ABA=E,即(BA) 2 =E。因此正确。 若设 显然 A、B 都不可逆,但 A+B= 4.设 A= (分数:2.00)A.a=1 时,B 的秩必为 2。B.a=1 时,B 的秩必为 1。C.a1 时,B 的秩必为 1。 D.a1 时,B 的秩必为 2。解析:解析:当 a=1 时,易见 r(A)=1;当 a1 时,则5.现有四个向量组 (1,2,3) T ,(3,-1,5) T ,(0,4,-2) T ,(1,3,0) T ; (a,1,b,0,0) T ,(c,0,d,2,0) T ,(e,0,f,0,3) T ; (a,1,2,3) T ,(b,1,2,3) T ,(c,3,4,5) T

    12、 ,(d,0,0,0) T ; (1,0,3,1) T ,(-1,3,0,-2) T ,(2,1,7,2) T ,(4,2,14,5) T 。 则下列结论正确的是( )(分数:2.00)A.线性相关的向量组为;线性无关的向量组为。B.线性相关的向量组为;线性无关的向量组为。C.线性相关的向量组为;线性无关的向量组为。D.线性相关的向量组为;线性无关的向量组为。 解析:解析:向量组是四个三维向量,从而线性相关,可排除 B。 由于(1,0,0) T ,(0,2,0) T ,(0,0,3) T 线性无关,添上两个分量就可得向量组,故向量组线性无关。所以应排除 C。 向量组中前两个向量之差与最后一个向

    13、量对应分量成比例,于是 1 , 2 , 4 线性相关,那么添加 3 后,向量组必线性相关。应排除 A。 由排除法,所以应选 D。6.设向量组: 1 , 2 , r 可由向量组: 1 , 2 , s 线性表示,则( )(分数:2.00)A.当 rs 时,向量组必线性相关。B.当 rs 时,向量组必线性相关。C.当 rs 时,向量组必线性相关。D.当 rs 时,向量组必线性相关。 解析:解析:因为向量组可由向量组线性表示,故 r()r()S。 又因为当 rs 时,必有 r()r,即向量组的秩小于其所含向量的个数,此时向量组必线性相关,所以应选 D。7.已知 1 , 2 , 3 是非齐次线性方程组

    14、Ax=b 的三个不同的解,那么向量 1 - 2 , 1 + 2 -2 3 , (分数:2.00)A.4。 B.3。C.2。D.1。解析:解析:由 A i =b(i=1,2,3)有 A( 1 - 2 )=A 1 -A 2 =b-b=0, A( 1 + 2 -2 3 )=A 1 +A 2 -2A 3 =b+b-2b=0, A( 1 -3 2 +2 3 )=A 1 -3A 2 +2A 3 =b-3b+2b=0, 即 1 - 2 , 1 + 2 -3 3 , 8.设 A 为 n 阶矩阵,A T 是 A 的转置矩阵,对于线性方程组(1)Ax=0 和(2)A T Ax=0,必有( )(分数:2.00)A.

    15、(1)的解是(2)的解,(2)的解也是(1)的解。 B.(1)的解是(2)的解,(2)的解不是(1)的解。C.(2)的解是(1)的解,(1)的解不是(2)的解。D.(2)的解不是(1)的解,(1)的解也不是(2)的解。解析:解析:如果 是(1)的解,有 A=0,可得 A T A=A T (A)=A T 0=0, 即 是(2)的解。故(1)的解必是(2)的解。 反之,若 是(2)的解,有 A T A=0,用 T 左乘可得 0= T 0= T (A T A)=( T A T )(A)=(A) T (A), 若设 A=(b 1 ,b 2 ,b n ),那么 (A) T (A)=b 1 2 +b 2

    16、2 +b n 2 =0 9.三阶矩阵 A 的特征值全为零,则必有( )(分数:2.00)A.秩 r(A)=0。B.秩 r(A)=1。C.秩 r(A)=2。D.条件不足,不能确定。 解析:解析:考查下列矩阵10.已知矩阵 A= ,那么下列矩阵中 (分数:2.00)A.1。B.2。C.3。 D.4。解析:解析:二阶矩阵 A 有两个不同的特征值 1 和 3,因此 ,那么只要和矩阵 A 有相同的特征值,它就一定和 A 相似,也就一定与 A 相似。 和分别是上三角和下三角矩阵,且特征值是 1 和 3,所以它们均与 A 相似,对于和,由11.下列二次型中是正定二次型的是( )(分数:2.00)A.f 1

    17、=(x 1 -x 2 ) 2 +(x 2 -x 3 ) 2 +(x 3 -x 1 ) 2 。B.f 2 =(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 -x 3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2 。C.f 3 =(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 +x 3 ) 2 +(x 3 -x 4 ) 2 +(x 4 -x 1 ) 2 。D.f 4 =(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 +x 3 ) 2 +(x 3 +x 4 ) 2 +(x 4 -x 1 ) 2 。 解析:解析:f=x T Ax 正定 二、填空题(总题数:8,分数:16.00)12.已知 A 为三阶方阵,A 2 -A-2E=O,且

    18、0A5,则A+2E= 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:4)解析:解析:设 A 的特征值 i 对应的特征向量是 x i (x i 0,i=1,2,3),则 Ax i =x i 。 由 A 2 -A-2E=O 可知,特征向量 x i 满足(A 2 -A-2E)x i =0,从而有 i 2 -2=0,解得 i =-1 或 i =2。再根据A= 1 2 3 及 0A5 可得, 1 = 2 =-1, 3 =2。 由 Ax i =Ax i 可得(A+2E)x i =( i +2)x i ,即 A+2E 的特征值 i (i=1,2,3)满足 i = i +2,所以 1 = 2 =

    19、1, 3 =4,故A+2E=114=4。13.设 A= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:由 B+E=(E+A) -1 (E-A)+E =(E+A) -1 (E-A)+(E+A) -1 (E+A) =(E+A) -1 (E-A)+(E+A) =2(E+A) -1 , 可得(E+B) -1 = (E+A)。已知 A= ,因此 14.设 A 是 43 矩阵,且 A 的秩 r(A)=2,而 B= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2)解析:解析:因为15.与 1 =(1,2,3,-1) T , 2 =(0,1,1,2) T , 3 =(2,

    20、1,3,0) T 都正交的单位向量是 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:设 =(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ) T 与 1 , 2 , 3 均正交,则 对以上齐次线性方程组的系数矩阵作初等行变换,有 得到基础解系是(-1,-1,1,0) T ,将这个向量单位化得 16.设 A= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:k 1 (1,4,7) T +k 2 (2,5,8) T ,k 1 ,k 2 为任意常数)解析:解析:因为矩阵 A 的秩是 2,所以A=0,且 r(A * )=1。再由 A * A=AAE=O 可知,A 的列向量

    21、为 A * x=0 的解,因此 A * x=0 的通解是 k 1 (1,4,7) T +k 2 (2,5,8) T 。17.已知 A=12 是 A= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:4)解析:解析:因为 =12 是 A 的特征值,因此12E-A=0,即18.设三阶方阵 A 的特征值是 1,2,3,它们所对应的特征向量依次为 1 , 2 , 3 ,令 P=(3 3 , 1 ,2 2 ),则 P -1 AP= 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:因为 3 3 , 1 ,2 2 分别为 A 的对应特征值 3,1,2 的特征向量,所以 1

    22、9.设 f= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:二次型的矩阵为 其各阶主子式为 因为 f 为正定二次型,所以必有 1-a 2 0且-a(5a+4)0,因此 a0。 故当 三、解答题(总题数:8,分数:16.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:21.设 A 为 n 阶可逆矩阵, 为 n 维列向量,b 为常数,记分块矩阵 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()由 AA * =A * A=AE 及 A * =fAA -1 有 ()由下三角形行列式及分块矩阵行列式的运算,有 )解析:22.设向量组 1 =(a

    23、,0,10) T , 2 =(-2,1,5) T , 3 =(-1,1,4) T ,=(1,b,c) T ,试问:当 a,b,c 满足什么条件时, () 可由 1 , 2 , 3 线性表出,且表示唯一; () 不可由 1 , 2 , 3 线性表出; () 可由 1 , 2 , 3 线性表出,但表示不唯一,求出一般表达式。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:考虑线性方程组 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 =, (1) 记其系数矩阵 A=( 1 , 2 , 3 )。对该线性方程组的增广矩阵作初等行变换,即 ()当 a-10 时,r(A)=r(A,)=3,此时方程组(1)有唯一解, 可

    24、由 1 , 2 , 3 唯一地线性表出。 ()当 a=-10,且 c3b-1时, 可知 r(A)r(A,),此时方程组(1)无解, 不可由 1 , 2 , 3 线性表出。 ()当 a=-10,且 c=3b-1 时, 可知 r(A)=r(A,)=2,此时方程组(1)有无穷多解,其全部解为 k 1 = ,k 2 =l,k 3 =b-l,其中 l 为任意常数。 可由 1 , 2 , 3 线性表出,但表示不唯一,其一般表达式为 = )解析:23.设 A= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:() ()对方程组系数矩阵的增广矩阵作初等行变换,得 要使原线性方程组有无穷多解,则有 1-a 4 =0

    25、且-a-a 2 =0,即 a=-1。 当 a=-1 时, )解析:24.设四元齐次线性方程组 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()求方程组(1)的基础解系: 对方程组(1)的系数矩阵作初等行变换 分别取 ,其基础解系可取为 求方程(2)的基础解系: 对方程组(2)的系数矩阵作初等行变换 分别取 ,其基础解系可取为 )解析:25.已知 p= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()设 是特征向量 p 所对应的特征值,根据特征值的定义,有(A-E)p=0,即 从而有方程组 解得 a=-3,b=0,且 p 所对应的特征值 =-1。 ()A 的特征多项式 A-E= =-(+1) 3 ,

    26、 得 A 的特征值为 =-1(三重)。 若 A 能相似对角化,则特征值 =-1 有三个线性无关的特征向量,而 )解析:26.设 A= ,且存在正交矩阵 Q 使得 Q T AQ 为对角矩阵。若 Q 的第一列为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:按已知条件,(1,2,1) T 是矩阵 A 的特征向量,设特征值是 1 ,那么 又因 E-A= =(-2)(-5)(+4), 知矩阵 A 的特征值是 2,5,-4。 对 =5,由(5E-A)x=0 得基础解系 2 =(1,-1,1) T 。 对 =-4,由(-4E-A)x=0 得基础解系 3 =(-1,0,1) T 。 因为 A 是实对称矩阵,对应

    27、于不同特征值的特征向量相互正交,故只需单位化 2 , 3 ,即 )解析:27.设二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=2(a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ) 2 +(b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 3 x 3 ) 2 ,记 ()证明二次型 f 对应的矩阵为 2 T + T ; ()若 , 正交且均为单位向量,证明f 在正交变换下的标准形为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=2(a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ) 2 +(b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 3 x 3 ) 2 所以二次型 f 对应的矩阵为 2 T + T 。 ()设 A=2 T + T ,由于=1, T = T =0,则 A=(2 T + T )=2 2 + T =2, 所以 为矩阵对应特征值 1 =2 的特征向量; A=(2 T + T )=2 T + 2 =, 所以 为矩阵对应特征值 2 =1 的特征向量。 而矩阵 A 的秩 r(A)=r(2 TT + T )r(2 T )+r( T )=2, 所以 3 =0 也是矩阵的一个特征值。故 f 在正交变换下的标准形为 )解析:


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