1、考研数学一（线性代数）-试卷 14 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设矩阵 A= （分数：2.00）A.-6。B.6。C.D.3.下列命题中 如果矩阵 AB=E，则 A 可逆且 A -1 =B； 如果 n 阶矩阵 A，B 满足(AB) 2 =E，则(BA) 2 =E； 如果矩阵 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 A+B 必不可逆； 如果矩阵 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 AB 必不可逆。 正确的是( )（分数：2.00）A.。B.。C.。
2、D.。4.设 A= （分数：2.00）A.a=1 时，B 的秩必为 2。B.a=1 时，B 的秩必为 1。C.a1 时,B 的秩必为 1。D.a1 时，B 的秩必为 2。5.现有四个向量组 (1，2，3) T ，(3，-1，5) T ，(0，4，-2) T ，(1，3，0) T ； (a，1，b，0，0) T ，(c，0，d，2，0) T ，(e，0，f，0，3) T ； (a，1，2，3) T ，(b，1，2，3) T ，(c，3，4，5) T ，(d，0，0，0) T ； (1，0，3，1) T ，(-1，3，0，-2) T ，(2，1，7，2) T ，(4，2，14，5) T 。 则下列
3、结论正确的是( )（分数：2.00）A.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为。B.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为。C.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为。D.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为。6.设向量组： 1 ， 2 ， r 可由向量组： 1 ， 2 ， s 线性表示，则( )（分数：2.00）A.当 rs 时，向量组必线性相关。B.当 rs 时，向量组必线性相关。C.当 rs 时，向量组必线性相关。D.当 rs 时，向量组必线性相关。7.已知 1 ， 2 ， 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个不同的解，那么向量 1 - 2 ， 1 + 2 -2 3 ， （分数：2
4、.00）A.4。B.3。C.2。D.1。8.设 A 为 n 阶矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，对于线性方程组(1)Ax=0 和(2)A T Ax=0，必有( )（分数：2.00）A.(1)的解是(2)的解，(2)的解也是(1)的解。B.(1)的解是(2)的解，(2)的解不是(1)的解。C.(2)的解是(1)的解，(1)的解不是(2)的解。D.(2)的解不是(1)的解，(1)的解也不是(2)的解。9.三阶矩阵 A 的特征值全为零，则必有( )（分数：2.00）A.秩 r(A)=0。B.秩 r(A)=1。C.秩 r(A)=2。D.条件不足，不能确定。10.已知矩阵 A= ，那么下列矩阵中 （分数
5、：2.00）A.1。B.2。C.3。D.4。11.下列二次型中是正定二次型的是( )（分数：2.00）A.f 1 =(x 1 -x 2 ) 2 +(x 2 -x 3 ) 2 +(x 3 -x 1 ) 2 。B.f 2 =(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 -x 3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2 。C.f 3 =(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 +x 3 ) 2 +(x 3 -x 4 ) 2 +(x 4 -x 1 ) 2 。D.f 4 =(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 +x 3 ) 2 +(x 3 +x 4 ) 2 +(x 4 -x 1 ) 2 。二、填空题(总题数：8
6、，分数：16.00)12.已知 A 为三阶方阵，A 2 -A-2E=O，且 0A5，则A+2E= 1。（分数：2.00）填空项 1:_13.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_14.设 A 是 43 矩阵，且 A 的秩 r(A)=2，而 B= （分数：2.00）填空项 1:_15.与 1 =(1，2，3，-1) T ， 2 =(0，1，1，2) T ， 3 =(2，1，3，0) T 都正交的单位向量是 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_17.已知 A=12 是 A= （分数：2.00）填空项 1:_18.设三阶方阵 A 的特征值是 1，2
7、，3，它们所对应的特征向量依次为 1 ， 2 ， 3 ，令 P=(3 3 ， 1 ，2 2 )，则 P -1 AP= 1。（分数：2.00）填空项 1:_19.设 f= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：16.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_21.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵 （分数：2.00）_22.设向量组 1 =(a，0，10) T ， 2 =(-2，1，5) T ， 3 =(-1，1，4) T ，=(1，b，c) T ，试问：当 a，b，c 满足什么条件时， () 可由
8、1 ， 2 ， 3 线性表出，且表示唯一； () 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表出； () 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出，但表示不唯一，求出一般表达式。（分数：2.00）_23.设 A= （分数：2.00）_24.设四元齐次线性方程组 （分数：2.00）_25.已知 p= （分数：2.00）_26.设 A= ，且存在正交矩阵 Q 使得 Q T AQ 为对角矩阵。若 Q 的第一列为 （分数：2.00）_27.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2(a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ) 2 +(b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 3 x 3 ) 2 ，记
9、()证明二次型 f 对应的矩阵为 2 T + T ； ()若 ， 正交且均为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为 （分数：2.00）_考研数学一（线性代数）-试卷 14 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设矩阵 A= （分数：2.00）A.-6。B.6。C. D.解析：解析：化简矩阵方程，构造 B+E，用因式分解法，则有 A(B+E)+(B+E)=-E，即(A+E)(B+E)=-E， 两边取行列式，由行列式乘法公式得 A+E.B+E=1，
10、又A+E=3.下列命题中 如果矩阵 AB=E，则 A 可逆且 A -1 =B； 如果 n 阶矩阵 A，B 满足(AB) 2 =E，则(BA) 2 =E； 如果矩阵 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 A+B 必不可逆； 如果矩阵 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 AB 必不可逆。 正确的是( )（分数：2.00）A.。B.。C.。D.。 解析：解析：如果 A、B 均为 n 阶矩阵，命题当然正确，但是题中没有 n 阶矩阵这一条件，故不正确。例如 显然 A 不可逆。 若 A、B 为 n 阶矩阵，(AB) 2 =E，即(AB)(AB)=E，则可知 A、B 均可逆，于是 ABA=B -1 ，从而 B
11、ABA=E，即(BA) 2 =E。因此正确。 若设 显然 A、B 都不可逆，但 A+B= 4.设 A= （分数：2.00）A.a=1 时，B 的秩必为 2。B.a=1 时，B 的秩必为 1。C.a1 时,B 的秩必为 1。 D.a1 时，B 的秩必为 2。解析：解析：当 a=1 时，易见 r(A)=1；当 a1 时，则5.现有四个向量组 (1，2，3) T ，(3，-1，5) T ，(0，4，-2) T ，(1，3，0) T ； (a，1，b，0，0) T ，(c，0，d，2，0) T ，(e，0，f，0，3) T ； (a，1，2，3) T ，(b，1，2，3) T ，(c，3，4，5) T
12、 ，(d，0，0，0) T ； (1，0，3，1) T ，(-1，3，0，-2) T ，(2，1，7，2) T ，(4，2，14，5) T 。 则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为。B.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为。C.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为。D.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为。 解析：解析：向量组是四个三维向量，从而线性相关，可排除 B。 由于(1，0，0) T ，(0，2，0) T ，(0，0，3) T 线性无关，添上两个分量就可得向量组，故向量组线性无关。所以应排除 C。 向量组中前两个向量之差与最后一个向
13、量对应分量成比例，于是 1 ， 2 ， 4 线性相关，那么添加 3 后，向量组必线性相关。应排除 A。 由排除法，所以应选 D。6.设向量组： 1 ， 2 ， r 可由向量组： 1 ， 2 ， s 线性表示，则( )（分数：2.00）A.当 rs 时，向量组必线性相关。B.当 rs 时，向量组必线性相关。C.当 rs 时，向量组必线性相关。D.当 rs 时，向量组必线性相关。 解析：解析：因为向量组可由向量组线性表示，故 r()r()S。 又因为当 rs 时，必有 r()r，即向量组的秩小于其所含向量的个数，此时向量组必线性相关，所以应选 D。7.已知 1 ， 2 ， 3 是非齐次线性方程组
14、Ax=b 的三个不同的解，那么向量 1 - 2 ， 1 + 2 -2 3 ， （分数：2.00）A.4。 B.3。C.2。D.1。解析：解析：由 A i =b(i=1，2，3)有 A( 1 - 2 )=A 1 -A 2 =b-b=0， A( 1 + 2 -2 3 )=A 1 +A 2 -2A 3 =b+b-2b=0， A( 1 -3 2 +2 3 )=A 1 -3A 2 +2A 3 =b-3b+2b=0， 即 1 - 2 ， 1 + 2 -3 3 ， 8.设 A 为 n 阶矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，对于线性方程组(1)Ax=0 和(2)A T Ax=0，必有( )（分数：2.00）A.
15、(1)的解是(2)的解，(2)的解也是(1)的解。 B.(1)的解是(2)的解，(2)的解不是(1)的解。C.(2)的解是(1)的解，(1)的解不是(2)的解。D.(2)的解不是(1)的解，(1)的解也不是(2)的解。解析：解析：如果 是(1)的解，有 A=0，可得 A T A=A T (A)=A T 0=0， 即 是(2)的解。故(1)的解必是(2)的解。 反之，若 是(2)的解，有 A T A=0，用 T 左乘可得 0= T 0= T (A T A)=( T A T )(A)=(A) T (A)， 若设 A=(b 1 ，b 2 ，b n )，那么 (A) T (A)=b 1 2 +b 2
16、2 +b n 2 =0 9.三阶矩阵 A 的特征值全为零，则必有( )（分数：2.00）A.秩 r(A)=0。B.秩 r(A)=1。C.秩 r(A)=2。D.条件不足，不能确定。 解析：解析：考查下列矩阵10.已知矩阵 A= ，那么下列矩阵中 （分数：2.00）A.1。B.2。C.3。 D.4。解析：解析：二阶矩阵 A 有两个不同的特征值 1 和 3，因此 ，那么只要和矩阵 A 有相同的特征值，它就一定和 A 相似，也就一定与 A 相似。 和分别是上三角和下三角矩阵，且特征值是 1 和 3，所以它们均与 A 相似，对于和，由11.下列二次型中是正定二次型的是( )（分数：2.00）A.f 1
17、=(x 1 -x 2 ) 2 +(x 2 -x 3 ) 2 +(x 3 -x 1 ) 2 。B.f 2 =(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 -x 3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2 。C.f 3 =(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 +x 3 ) 2 +(x 3 -x 4 ) 2 +(x 4 -x 1 ) 2 。D.f 4 =(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 +x 3 ) 2 +(x 3 +x 4 ) 2 +(x 4 -x 1 ) 2 。 解析：解析：f=x T Ax 正定 二、填空题(总题数：8，分数：16.00)12.已知 A 为三阶方阵，A 2 -A-2E=O，且
18、0A5，则A+2E= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：设 A 的特征值 i 对应的特征向量是 x i (x i 0，i=1，2，3)，则 Ax i =x i 。 由 A 2 -A-2E=O 可知，特征向量 x i 满足(A 2 -A-2E)x i =0，从而有 i 2 -2=0，解得 i =-1 或 i =2。再根据A= 1 2 3 及 0A5 可得， 1 = 2 =-1， 3 =2。 由 Ax i =Ax i 可得(A+2E)x i =( i +2)x i ，即 A+2E 的特征值 i (i=1，2，3)满足 i = i +2，所以 1 = 2 =
19、1， 3 =4，故A+2E=114=4。13.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 B+E=(E+A) -1 (E-A)+E =(E+A) -1 (E-A)+(E+A) -1 (E+A) =(E+A) -1 (E-A)+(E+A) =2(E+A) -1 ， 可得(E+B) -1 = (E+A)。已知 A= ，因此 14.设 A 是 43 矩阵，且 A 的秩 r(A)=2，而 B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为15.与 1 =(1，2，3，-1) T ， 2 =(0，1，1，2) T ， 3 =(2，
20、1，3，0) T 都正交的单位向量是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 ) T 与 1 ， 2 ， 3 均正交，则 对以上齐次线性方程组的系数矩阵作初等行变换，有 得到基础解系是(-1，-1，1，0) T ，将这个向量单位化得 16.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k 1 (1，4，7) T +k 2 (2，5，8) T ，k 1 ，k 2 为任意常数）解析：解析：因为矩阵 A 的秩是 2，所以A=0，且 r(A * )=1。再由 A * A=AAE=O 可知，A 的列向量
21、为 A * x=0 的解，因此 A * x=0 的通解是 k 1 (1，4，7) T +k 2 (2，5，8) T 。17.已知 A=12 是 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：因为 =12 是 A 的特征值，因此12E-A=0，即18.设三阶方阵 A 的特征值是 1，2，3，它们所对应的特征向量依次为 1 ， 2 ， 3 ，令 P=(3 3 ， 1 ，2 2 )，则 P -1 AP= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 3 3 ， 1 ，2 2 分别为 A 的对应特征值 3，1，2 的特征向量，所以 1
22、9.设 f= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：二次型的矩阵为 其各阶主子式为 因为 f 为正定二次型，所以必有 1-a 2 0且-a(5a+4)0，因此 a0。 故当 三、解答题(总题数：8，分数：16.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：21.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由 AA * =A * A=AE 及 A * =fAA -1 有 ()由下三角形行列式及分块矩阵行列式的运算，有 )解析：22.设向量组 1 =(a
23、，0，10) T ， 2 =(-2，1，5) T ， 3 =(-1，1，4) T ，=(1，b，c) T ，试问：当 a，b，c 满足什么条件时， () 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出，且表示唯一； () 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表出； () 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出，但表示不唯一，求出一般表达式。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：考虑线性方程组 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 =， (1) 记其系数矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 )。对该线性方程组的增广矩阵作初等行变换，即 ()当 a-10 时，r(A)=r(A，)=3，此时方程组(1)有唯一解， 可
24、由 1 ， 2 ， 3 唯一地线性表出。 ()当 a=-10，且 c3b-1时， 可知 r(A)r(A，)，此时方程组(1)无解， 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表出。 ()当 a=-10，且 c=3b-1 时， 可知 r(A)=r(A，)=2，此时方程组(1)有无穷多解，其全部解为 k 1 = ，k 2 =l，k 3 =b-l，其中 l 为任意常数。 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出，但表示不唯一，其一般表达式为 = )解析：23.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() ()对方程组系数矩阵的增广矩阵作初等行变换，得 要使原线性方程组有无穷多解，则有 1-a 4 =0
25、且-a-a 2 =0，即 a=-1。 当 a=-1 时， )解析：24.设四元齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()求方程组(1)的基础解系： 对方程组(1)的系数矩阵作初等行变换 分别取 ，其基础解系可取为 求方程(2)的基础解系： 对方程组(2)的系数矩阵作初等行变换 分别取 ，其基础解系可取为 )解析：25.已知 p= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()设 是特征向量 p 所对应的特征值，根据特征值的定义，有(A-E)p=0，即 从而有方程组 解得 a=-3，b=0，且 p 所对应的特征值 =-1。 ()A 的特征多项式 A-E= =-(+1) 3 ，
26、 得 A 的特征值为 =-1(三重)。 若 A 能相似对角化，则特征值 =-1 有三个线性无关的特征向量，而 )解析：26.设 A= ，且存在正交矩阵 Q 使得 Q T AQ 为对角矩阵。若 Q 的第一列为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按已知条件，(1，2，1) T 是矩阵 A 的特征向量，设特征值是 1 ，那么 又因 E-A= =(-2)(-5)(+4)， 知矩阵 A 的特征值是 2，5，-4。 对 =5，由(5E-A)x=0 得基础解系 2 =(1，-1，1) T 。 对 =-4，由(-4E-A)x=0 得基础解系 3 =(-1，0，1) T 。 因为 A 是实对称矩阵，对应
27、于不同特征值的特征向量相互正交，故只需单位化 2 ， 3 ，即 )解析：27.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2(a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ) 2 +(b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 3 x 3 ) 2 ，记 ()证明二次型 f 对应的矩阵为 2 T + T ； ()若 ， 正交且均为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2(a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ) 2 +(b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 3 x 3 ) 2 所以二次型 f 对应的矩阵为 2 T + T 。 ()设 A=2 T + T ，由于=1， T = T =0，则 A=(2 T + T )=2 2 + T =2， 所以 为矩阵对应特征值 1 =2 的特征向量； A=(2 T + T )=2 T + 2 =， 所以 为矩阵对应特征值 2 =1 的特征向量。 而矩阵 A 的秩 r(A)=r(2 TT + T )r(2 T )+r( T )=2， 所以 3 =0 也是矩阵的一个特征值。故 f 在正交变换下的标准形为 )解析：
