1、考研数学一（线性代数）-试卷 12 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.四阶行列式 （分数：2.00）A.a 1 a 2 a 3 a 4 -b 1 b 2 b 3 b 4 。B.a 1 a 2 a 3 a 4 +b 1 b 2 b 3 b 4 。C.(a 1 a 2 -b 1 b 2 )(a 3 a 4 -b 3 b 4 )。D.(a 2 a 3 -b 2 b 3 )(a 1 a 4 -b 1 b 4 )。3.设 A 和 B 都是 n 阶矩阵，则必有
2、( )（分数：2.00）A.A+B=A+B。B.AB=BA。C.AB=BA。D.(A+B) -1 =A -1 +B -1 。4.设 A= （分数：2.00）A.P 1 P 3 A。B.P 2 P 3 A。C.AP 3 P 2 。D.AP 1 P 3 。5.向量组 1 =(1，3，5，-1) T ， 2 =(2，-1，-3，4) T ， 3 =(6，4，4，6) T ， 4 =(7，7，9，1) T ， 5 =(3，2，2，3) T 的极大线性无关组是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 5 。B. 1 ， 3 ， 5 。C. 2 ， 3 ， 4 。D. 3 ， 4 ， 5 。6.设 A
3、 是 mn 矩阵，Ax=0 是非齐次线性方程组 Ax=b 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 Ax=0 仅有零解，则 Ax=b 有唯一解。B.若 Ax=0 有非零解，则 Ax=b 有无穷多个解。C.若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 仅有零解。D.若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 有非零解。7.已知四阶方阵 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )， 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为四维列向量，其中 1 ， 2 线性无关，若 1 +2 2 - 3 =， 1 + 2 + 3 + 4 =，2 1 +3 2 + 3 +2 4 =，k 1 ，k 2 为
4、任意常数，那么 Ax= 的通解为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P -1 AP) T 属于特征值 的特征向量是( )（分数：2.00）A.P -1 。B.P T 。C.P。D.(P -1 ) T 。9.设 A 是 n 阶矩阵，下列命题中正确的是( )（分数：2.00）A.若 是 A T 的特征向量，那么 是 A 的特征向量。B.若 是 A * 的特征向量，那么 是 A 的特征向量。C.若 是 A 2 的特征向量，那么 是 A 的特征向量。D.若 是 2A 的特征向量
5、，那么 是 A 的特征向量。10.下列矩阵中 A 与 B 合同的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：8，分数：16.00)11.已知 A，B，C 都是行列式值为 2 的三阶矩阵，则 D= （分数：2.00）填空项 1:_12.已知 2CA-2AB=C-B，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_13.设三阶方阵 A，B 满足关系式 A -1 BA=6A+BA，且 A= （分数：2.00）填空项 1:_14.任意一个三维向量都可以由 1 =(1，0，1) T ， 2 =(1，-2，3) T ， 3 =(a，1，2) T 线性表示，则 a 的取值为 1。（分数：2.
6、00）填空项 1:_15.齐次方程组 （分数：2.00）填空项 1:_16.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_17.设 =(1，-1，a) T 是 A= （分数：2.00）填空项 1:_18.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_20.已知 A= （分数：2.00）_21.设 A= （分数：2.00）_22.设向量组()：b 1 ，b r 能由向量组()：a 1 ，a s 线性表示为 (b 1 ，b r )=( 1 ，
7、s )K， 其中 K 为 sr 矩阵，且向量组()线性无关。证明向量组()线性无关的充分必要条件是矩阵 K 的秩 r(K)=r。（分数：2.00）_23.已知方程组 有解，证明：方程组 （分数：2.00）_24.已知方程组 的一个基础解系为(b 11 ，b 12 ，b 1，2n ) T ，(b 21 ，b 22 ，b 2，2n ) T ，(b n1 ，b n2 ，b n，2n ) T 。试写出线性方程组 （分数：2.00）_25.设矩阵 A 与 B 相似，且 A= （分数：2.00）_26.A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且 （分数：2.00）_27.设矩阵 A= （分数：2.00）_考
8、研数学一（线性代数）-试卷 12 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.四阶行列式 （分数：2.00）A.a 1 a 2 a 3 a 4 -b 1 b 2 b 3 b 4 。B.a 1 a 2 a 3 a 4 +b 1 b 2 b 3 b 4 。C.(a 1 a 2 -b 1 b 2 )(a 3 a 4 -b 3 b 4 )。D.(a 2 a 3 -b 2 b 3 )(a 1 a 4 -b 1 b 4 )。 解析：解析：将此行列式按第一行展开，3.
9、设 A 和 B 都是 n 阶矩阵，则必有( )（分数：2.00）A.A+B=A+B。B.AB=BA。C.AB=BA。 D.(A+B) -1 =A -1 +B -1 。解析：解析：因为AB=AB=BA=BA，所以 C 正确。 取 B=-A，则A+B=0，而A+B不一定为零，故 A 错误。 由矩阵乘法不满足交换律知，B 不正确。 因(A+B)(A -1 +B -1 )E，故 D 也不正确。 所以应选 C。4.设 A= （分数：2.00）A.P 1 P 3 A。B.P 2 P 3 A。 C.AP 3 P 2 。D.AP 1 P 3 。解析：解析：矩阵 A 作两次初等行变换可得到矩阵 B，而 AP 3
10、 P 2 ，AP 1 P 3 描述的是矩阵 A 作列变换，故应排除。该变换或者把矩阵 A 第一行的 2 倍加至第三行后，再第一、二两行互换可得到 B；或者把矩阵A 的第一、二两行互换后，再把第二行的 2 倍加至第三行也可得到 B。而 P 2 P 3 A 正是后者，所以应选B。5.向量组 1 =(1，3，5，-1) T ， 2 =(2，-1，-3，4) T ， 3 =(6，4，4，6) T ， 4 =(7，7，9，1) T ， 5 =(3，2，2，3) T 的极大线性无关组是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 5 。B. 1 ， 3 ， 5 。C. 2 ， 3 ， 4 。 D. 3 ，
11、 4 ， 5 。解析：解析：对向量组构成的矩阵作初等行变换，有 ( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ) 可见秩 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )=3。 又因为三阶子式 6.设 A 是 mn 矩阵，Ax=0 是非齐次线性方程组 Ax=b 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 Ax=0 仅有零解，则 Ax=b 有唯一解。B.若 Ax=0 有非零解，则 Ax=b 有无穷多个解。C.若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 仅有零解。D.若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 有非零解。 解析：解析：因为不论齐次线性方程组 Ax=0 的解的情况如何
12、，即 r(A)=n 或 r(A)n，以此均不能推得 r(A)=r(A：b)， 所以选项 A、B 均不正确。 而由 Ax=b 有无穷多个解可知，r(A)=r(A：b)n。根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件可知，此时 Ax=0 必有非零解。所以应选 D。7.已知四阶方阵 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )， 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为四维列向量，其中 1 ， 2 线性无关，若 1 +2 2 - 3 =， 1 + 2 + 3 + 4 =，2 1 +3 2 + 3 +2 4 =，k 1 ，k 2 为任意常数，那么 Ax= 的通解为( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：
13、由 1 +2 2 - 3 = 知 8.设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P -1 AP) T 属于特征值 的特征向量是( )（分数：2.00）A.P -1 。B.P T 。 C.P。D.(P -1 ) T 。解析：解析：设 是矩阵(P T AP) T 属于 的特征向量，并考虑到 A 为实对称矩阵 A T =A，有 (P -1 AP)=，即 P T A(P -1 ) T =。 把四个选项中的向量逐一代入上式替换 ，同时考虑到A=，可得选项 B 正确，即 左端=P T A(P -1 ) T (P T )=P T A=
14、P T =P T =右端。 所以应选 B。9.设 A 是 n 阶矩阵，下列命题中正确的是( )（分数：2.00）A.若 是 A T 的特征向量，那么 是 A 的特征向量。B.若 是 A * 的特征向量，那么 是 A 的特征向量。C.若 是 A 2 的特征向量，那么 是 A 的特征向量。D.若 是 2A 的特征向量，那么 是 A 的特征向量。 解析：解析：如果 是 2A 的特征向量，即(2A)=，那么 A= ，所以 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量。 由于(E-A)x=0 与(E-A T )x=0 不一定同解，所以 不一定是 A T 的特征向量。例如 10.下列矩阵中 A 与 B 合同的是(
15、) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：合同的定义：C T AC=B，矩阵 C 可逆。合同的必要条件是：r(A)=r(B)且行列式A与B同号。A 选项的矩阵秩不相等。B 选项中行列式正、负号不同，故排除。C 选项中矩阵 A 的特征值为 1，2，0，而矩阵 B 的特征值为 1，3，0，所以二次型 x T Ax 与 x T Bx 有相同的正、负惯性指数，因此 A 和 B 合同。而 D 选项中，A 的特征值为 1，2，B 的特征值为-1，-2，-2，因此 x T Ax 与 x T Bx 正、负惯性指数不同，故不合同。所以选 C。二、填空题(总题数：8，分数：16.00)11.已知 A，B
16、，C 都是行列式值为 2 的三阶矩阵，则 D= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据拉普拉斯展开式，得12.已知 2CA-2AB=C-B，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 2CA-2AB=C-B，得 2CA-C=2AB-B，因此有 C(2A-E)=(2A-E)B。 因为 2A-E= 可逆， 所以 C=(2A-E)B(2A-E) -1 ，于是 C 3 =(2A-E)B 3 (2A-E) -1 13.设三阶方阵 A，B 满足关系式 A -1 BA=6A+BA，且 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （
17、正确答案：正确答案：*）解析：解析：在等式 A -1 BA=6A+BA 两端右乘 A -1 ，可得 A -1 B=6E+B，在该等式两端左乘 A，可得 B=6A+AB，则有(E-A)B=6A，即 B=6(E-A) -1 A，且 14.任意一个三维向量都可以由 1 =(1，0，1) T ， 2 =(1，-2，3) T ， 3 =(a，1，2) T 线性表示，则 a 的取值为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a3）解析：解析：任意一个三维向量都可以用 1 =(1，0，1) T ， 2 =(1，-2，3) T ， 3 =(a，1，2) T 线性表示，即对于任意的向量 ，方
18、程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 有解，也就是对于任意的，r( 1 ， 2 ， 3 )=r( 1 ， 2 ， 3 ，)=3，因此 1 ， 2 ， 3 = 15.齐次方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-3 或-1）解析：解析：系数矩阵的行列式A=16.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：E-A= =(-2) 2 -2-2(a-2)=0。 如果 =2 是二重根，则 =2 是 2 -2-2(a-2)=0 的单根，故 a=2。 如果 2 -2-2(a-2)=0 是完全平方，则有=4+8(a-2)=0，满足 =1
19、是一个二重根，此时 a= 17.设 =(1，-1，a) T 是 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-1）解析：解析： 是 A * 的特征向量，设对应于 的特征值为 0 ，则有 A * = 0 ，该等式两端同时左乘 A，即得 AA * =A= 0 A，即 展开成方程组的形式为 18.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：二次型的矩阵 A= ，特征多项式 E-A= =(-6)(-2)(+4)， 所以矩阵 A的特征值是 2，6，-4，即正交变换下的二次型的标准形是 ，因此其规范形
20、是三、解答题(总题数：9，分数：18.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：20.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将矩阵 A 分块，即 A= 将 B 改写成 B=3E+P，于是 将 C 改写成 C= (3-1)，则 C 2 =6C，C N =6 N-1 C，所以 )解析：21.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对 A 作初等变换，即 )解析：22.设向量组()：b 1 ，b r 能由向量组()：a 1 ，a s 线性表示为 (b 1 ，b r )=( 1 ， s )K， 其中 K 为 sr 矩阵，且向量组()
21、线性无关。证明向量组()线性无关的充分必要条件是矩阵 K 的秩 r(K)=r。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性：令 B=(b 1 ，b r )，A=(a 1 ，a s )，则有 B=AK，由定理 r(B)=r(AK)minr(A)，r(K)， 结合向量组()：b 1 ，b 2 ，b r 线性无关知 r(B)=r，故 r(K)r。 又因为 K 为 rs 阶矩阵，则有 r(K)minr，sr。 综上所述 rr(K)r，即 r(K)=r。 充分性：已知 r(K)=r，向量组()线性无关，r(A)=s，因此 A 的行最简矩阵为 ，存在可逆矩阵 P 使 于是有 PB=PAK= 由矩阵秩的
22、性质 r(B)=r(PB)= )解析：23.已知方程组 有解，证明：方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用 A 1 ， 分别表示方程组(1)与(2)的系数矩阵和增广矩阵，则 。已知方程组(1)有解，故 r(A 1 )= 。 又由于(b 1 ，b 2 ，b m ，1)不能由(a 1 ，a 2 ，a m1 ，0)，(a 12 ，a 22 ，a m2 ，0)，(a 1n ，a 2n ，a mn ， 0)线性表示，所以 )解析：24.已知方程组 的一个基础解系为(b 11 ，b 12 ，b 1，2n ) T ，(b 21 ，b 22 ，b 2，2n ) T ，(b n1 ，b n2 ，b
23、 n，2n ) T 。试写出线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意可知，线性方程组(2)的通解为 y=c 1 (a 1 ，a 12 ，a 1,2n ) T +c 2 (a 21 ，a 22 ，a 2,2n ) T +c。(a n1 ，a n2 ，a n,2n ) T ， 其中 c 1 ，c 2 ，c n 是任意的常数。 这是因为： 设方程组(1)和(2)的系数矩阵分别为 A，B，则根据题意可知 AB T =O，因此 BA T =(AB T ) T =O， 可见 A 的 n 个行向量的转置为(2)的 n 个解向量。 由于刀的秩为 n，所以(2)的解空间的维数为 2n-r(B
24、)=2n-n=n，又因为 A 的秩等于 2n 与(1)的解空间的维数的差，即 n，因此 A 的 n 个行向量是线性无关的，从而它们的转置向量构成(2)的一个基础解系。)解析：25.设矩阵 A 与 B 相似，且 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AB 有 于是得 a=5，b=6。 且由 AB，知 A 与 B 有相同的特征值，于是 A 的特征值是 1 = 2 =2， 3 =6。 当 =2 时，解齐次线性方程组(2E-A)x=0 得到基础解系为 1 =(1，-1，0) T ， 2 =(1，0，1) T ，即属于 =2 的两个线性无关的特征向量。 当 =6 时，解齐次线性方程组(6E
25、-A)x=0，得到基础解系是(1，-2，3) T ，即属于 =6 的特征向量。 令 P=( 1 ， 2 ， 3 )= )解析：26.A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由 即特征值 1 =-1， 2 =1 对应的特征向量为 又由 r(A)=23 可知，A 有一个特征值为 0。设 3 =0 对应的特征向量为 两两正交，于是得 是特征值 0 对应的特征向量。 因此后 k 1 1 ，k 2 2 ，k 3 是依次对应于特征值-1，1，0 的特征向量，其中 k 1 ，k 2 ，k 3 为任意非零常数。 ()令 )解析：27.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 3 是 A 的特征值，故3E-A=8(3-y-1)=0，解得 y=2。于是 由于 A T =A，要(AP) T (AP)=P T A 2 P=，而 A 2 = 是对称矩阵，即要 A 2 ，故可构造二次型 x T A 2 x，再化其为标准形。由配方法，有 其中 y 1 =x 1 ，y 2 =x 2 ，y 3 =x 3 + x 4 ，y 4 =x 4 ，即 于是 (AP) T (AP)=P T A 2 P= )解析：
