1、考研数学一（线性代数）-试卷 10 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.下列命题正确的是 ( )（分数：2.00）A.若 AB=E，则 A 必可逆，且 A -1 =BB.若 A，B 均为 n 阶可逆阵，则 A+B 必可逆C.若 A，B 均为 n 阶不可逆阵，则 AB 必不可逆D.若 A，B 均为 n 阶不可逆阵，则 AB 必不可逆3.设 A 是 n 阶方阵，且 A 3 =0，则 ( )（分数：2.00）A.A 不可逆，且 EA 不可逆B.A 可逆，但
2、 E+A 不可逆C.A 2 一 A+E 及 A 2 +A+E 均可逆D.A 不可逆，且必有 A 2 =04.设 A，B 是 n 阶方阵，AB=0B0，则必有 ( )（分数：2.00）A.(A+B) 2 =A 2 +B 2B.B0C.B * =0D.A * =05.A 是 n 阶方阵，A * 是 A 的伴随矩阵，则A * = ( )（分数：2.00）A.AB.A -1 C.A n-1 D.A n 6.A 是 n 阶方阵，A=3则(A * ) * = ( )（分数：2.00）A.B.C.D.3 n-17.设 A 是 n 阶可逆方阵(n2)，A * 是 A 的伴随阵，则(A * ) * = ( )（
3、分数：2.00）A.A n1 AB.A n+1 AC.A n2 AD.A n+2 A8.设 A nn 是正交矩阵，则 ( )（分数：2.00）A.A * (A * ) T =AEB.(A * ) T A * =A * EC.A * (A * ) T =ED.(A * ) T A * =一 E9.设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下列等式中，不一定成立的是 ( )（分数：2.00）A.(A+A -1 ) 2 =A 2 +2AA -1 +(A -1 ) 2B.(A+A T ) 2 =A 2 +2AA T +(A T ) 2C.(A+A * ) 2 =A 2 +2AA +(A * ) 2D.(A+E)
4、2 =A 2 +2AE+E 210.设 A 为 3 阶非零矩阵，且满足 a ij =A ij (i，j=1，2，3)，其中 A ij 为 a ij 的代数余子式，则下列结论：A 是可逆矩阵；A 是对称矩阵；A 是不可逆矩阵；A 是正交矩阵其中正确的个数为 ( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.411.设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则下列命题中：若 A 可逆，则 B 可逆；若 A+B 逆，则 B 可逆；若 B 可逆，则 A+B 可逆；AE 恒可逆正确的个数为 ( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.4二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.设 （分数：2
5、.00）填空项 1:_13.设 （分数：2.00）填空项 1:_14.已知 A 2 一 2A+E=0，则(A+E) -1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设 A 是 n 阶矩阵，A=5，则(2A) * = 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设 （分数：2.00）填空项 1:_17.设 （分数：2.00）填空项 1:_18.已知 A，B 均是 3 阶矩阵，将 A 中第 3 行的一 2 倍加到第 2 行得矩阵 A 1 ，将 B 中第 1 列和第 2 列对换得到 B 1 ，又 （分数：2.00）填空项 1:_19.设 （分数：2.00）填空项 1:_20.设 A，B 为 3 阶相似
6、矩阵，且2E+A=0， 1 =1， 2 =一 1 为 B 的两个特征值，则行列式A+2AB= 1（分数：2.00）填空项 1:_21.设 A=E+ T ，其中 ， 均为 n 维列向量， T =3，则A+E= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_23.设 A 是 n 阶矩阵，满足 AA T =E(E 是 n 阶单位矩阵，A T 是 A 的转置矩阵)，A0，求A+E（分数：2.00）_24.设 a 1 ，a 2 ，a n 是互不相同的实数，且 （分数：2.00）_25.设 B=2AE，证明：B 2 =E
7、 的充分必要条件是 A 2 =A（分数：2.00）_26.设 A 是 n 阶矩阵，证明：A=0 的充要条件是 AA 2 =O.（分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1).证明：当 n3 时，有 A n =A n-2 +A 2 一 E；（分数：2.00）_(2).求 A 100 （分数：2.00）_27.设 （分数：2.00）_28.证明：方阵 A 与所有同阶对角阵可交换的充分必要条件是 A 是对角阵（分数：2.00）_29.证明：若 A 为 n 阶可逆方阵，A * 为 A 的伴随矩阵，则(A * ) T =(A T ) * （分数：2.00）_30.证明：若 A 为 n 阶方阵，则有A
8、* =(一 A) * (n2)（分数：2.00）_考研数学一（线性代数）-试卷 10 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.下列命题正确的是 ( )（分数：2.00）A.若 AB=E，则 A 必可逆，且 A -1 =BB.若 A，B 均为 n 阶可逆阵，则 A+B 必可逆C.若 A，B 均为 n 阶不可逆阵，则 AB 必不可逆D.若 A，B 均为 n 阶不可逆阵，则 AB 必不可逆 解析：解析：因 A，B 不可逆，则A=0，B=0，故AB=AB=0
9、，AB 不可逆A 中 AB=E，但未指出是方阵，若 则 AB=E，但 A，B 均无逆可言B 中，取 B=-A，则 A+B=A-A=0 不可逆C 中，取3.设 A 是 n 阶方阵，且 A 3 =0，则 ( )（分数：2.00）A.A 不可逆，且 EA 不可逆B.A 可逆，但 E+A 不可逆C.A 2 一 A+E 及 A 2 +A+E 均可逆 D.A 不可逆，且必有 A 2 =0解析：解析：A 3 =0，有 E 3 +A 3 =(E+A)(A 2 一 A+E)=E，E 3 一 A 3 =(E 一 A)(A 2 +A+E)=E，故 A 2 一A+E 及 A 2 +A+E 均可逆，由以上两式知，E 一
10、 A，E+A 也均可逆，故 A，B 不成立，同时 D 不成立，例： 4.设 A，B 是 n 阶方阵，AB=0B0，则必有 ( )（分数：2.00）A.(A+B) 2 =A 2 +B 2B.B0C.B * =0D.A * =0 解析：解析：AB=0，不一定有 BA=0，故 A(A+B)=A 2 +B 2 ，不成立；B0，B可以为零，也可以不为零，B * 也可以为零，可以不为零，故 B，C 不成立；B0，AB=0，AX=0 有非零解，故A=0，从而A * =A n-1 =05.A 是 n 阶方阵，A * 是 A 的伴随矩阵，则A * = ( )（分数：2.00）A.AB.A -1 C.A n-1
11、D.A n 解析：解析：AA * =AE，两边取行列式，得AA * =A n 若A0，A * =A n-1 =A n-1 ；若A=0，则A * =0，故选 C6.A 是 n 阶方阵，A=3则(A * ) * = ( )（分数：2.00）A. B.C.D.3 n-1解析：解析：A=3，A 可逆7.设 A 是 n 阶可逆方阵(n2)，A * 是 A 的伴随阵，则(A * ) * = ( )（分数：2.00）A.A n1 AB.A n+1 AC.A n2 A D.A n+2 A解析：解析：AA * =AE，得 8.设 A nn 是正交矩阵，则 ( )（分数：2.00）A.A * (A * ) T =
12、AEB.(A * ) T A * =A * EC.A * (A * ) T =E D.(A * ) T A * =一 E解析：解析：因为 A 是正交阵，所以有9.设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下列等式中，不一定成立的是 ( )（分数：2.00）A.(A+A -1 ) 2 =A 2 +2AA -1 +(A -1 ) 2B.(A+A T ) 2 =A 2 +2AA T +(A T ) 2 C.(A+A * ) 2 =A 2 +2AA +(A * ) 2D.(A+E) 2 =A 2 +2AE+E 2解析：解析：由矩阵乘法的分配律可知：(A+B) 2 =(A+B)A+(A+B)B=A 2 +BA+AB
13、+B 2 ，因此，(A+B) 2 =A 2 +2AB+B 2 的充要条件是 BA=AB，也即 A，B 的乘积可交换由于 A 与 A -1 ，A 与 A * 以及 A 与 E 都是可交换的，故 ACD 中的等式都是成立的故选 B10.设 A 为 3 阶非零矩阵，且满足 a ij =A ij (i，j=1，2，3)，其中 A ij 为 a ij 的代数余子式，则下列结论：A 是可逆矩阵；A 是对称矩阵；A 是不可逆矩阵；A 是正交矩阵其中正确的个数为 ( )（分数：2.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析：由 a ij =A ij (i，j=1，2，3)及伴随矩阵的定义可知：A * =A T
14、 ，那么A * =A T ，也即A 2 =A，即A(A一 1)=0又由于 A 为非零矩阵，不妨设 a 11 0，则A=a 11 A 11 +a 12 A 12 +a 13 A 13 =a 11 2 +a 12 2 +a 13 2 0，故A=1因此，A 可逆并且 AA T =AA * =AE=E，可知 A 是正交矩阵可知、正确，错误从题目中的条件无法判断 A 是否为对称矩阵，故正确的只有两个，选 B11.设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则下列命题中：若 A 可逆，则 B 可逆；若 A+B 逆，则 B 可逆；若 B 可逆，则 A+B 可逆；AE 恒可逆正确的个数为 ( )（分数：2
15、.00）A.1B.2C.3D.4 解析：解析：由于(A-E)B=A，可知当 A 可逆时，AEB0，故B0，因此 B 可逆，可知是正确的当 A+B 可逆时，AB=AB0，故B0，因此 B 可逆，可知是正确的类似地，当B 可逆时，A 可逆，故AB=AB0，因此 AB 可逆，故 A+B 也可逆，可知是正确的最后，由AB=A+B 可知(AE)BA=0，也即(AE)B 一(AE)=E，进一步有(AE)(B 一 E)=E，故 AE 恒可逆可知也是正确的综上，4 个命题都是正确的，故选 D二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：O）解析：
16、解析：13.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：用初等变换求。14.已知 A 2 一 2A+E=0，则(A+E) -1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：15.设 A 是 n 阶矩阵，A=5，则(2A) * = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：16.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：17.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：18.已知 A，B 均是 3 阶矩阵，将 A 中第 3 行的一 2
17、 倍加到第 2 行得矩阵 A 1 ，将 B 中第 1 列和第 2 列对换得到 B 1 ，又 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：19.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：20.设 A，B 为 3 阶相似矩阵，且2E+A=0， 1 =1， 2 =一 1 为 B 的两个特征值，则行列式A+2AB= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：18）解析：解析：由2E+A=A 一(-2E)=0 知 =一 2 为 A 的一个特征值由 AB 知 A 和 B 有相同特征值，因此 1 =1， 2 =一 1 也是 A 的
18、特征值故 A，B 的特征值均为 1 =1， 2 =一 1， 3 =一2则有 E+2B 的特征值为 1+21=3，1+2(一 1)=一 1，1+2(2)=一 3，从而E+2B=3(一 1)(一 3)=9，A= 1 2 3 =2故A+2AB=A(E+2B)=A.E+2B=29=1821.设 A=E+ T ，其中 ， 均为 n 维列向量， T =3，则A+E= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：23 n）解析：解析：由于 T =3，可知 tr( T )=3 T 的秩为 1，故 0 至少为 T 的 n 一 1 重特征值，故 T 的特征值为 0(n 一 1 重)，3因此，A+2E
19、= T +3E 的特征值为 3(n 一 1 重)，6，故A+2E=3 n-1 6=23 n 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：23.设 A 是 n 阶矩阵，满足 AA T =E(E 是 n 阶单位矩阵，A T 是 A 的转置矩阵)，A0，求A+E（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A+E=A+AA T =A(E+A T )=A.(A+E) T =A.A+E )解析：24.设 a 1 ，a 2 ，a n 是互不相同的实数，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 a 1 ,a 2 ,a n 互不相同，故由范德蒙德
20、行列式知，A0，根据克拉默法则，方程组 AX=b 有唯一解，且 )解析：25.设 B=2AE，证明：B 2 =E 的充分必要条件是 A 2 =A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：B=2AE，B 2 =(2AE)(2AE)=4A 2 4A+E， )解析：26.设 A 是 n 阶矩阵，证明：A=0 的充要条件是 AA 2 =O.（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 则若应有 )解析：设 （分数：4.00）(1).证明：当 n3 时，有 A n =A n-2 +A 2 一 E；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用归纳法n=3 时，因 )解析：(2).求 A 100 （分数：2
21、.00）_正确答案：(正确答案：由上述递推关系可得 A 100 =A 98 +A 2 一 E=(A 96 +A 2 一 E)+A 2 一 E=A 96 +2(A 2 一 E)=A 2 +49(A 2 一 E) )解析：27.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) 令 )解析：28.证明：方阵 A 与所有同阶对角阵可交换的充分必要条件是 A 是对角阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：充分性 A 是对角阵，则显然 A 可与任何对角阵可交换必要性 与任何对角阵可交换则应与对角元素互不相同的对角阵 )解析：29.证明：若 A 为 n 阶可逆方阵，A * 为 A 的伴随矩阵，则(A
22、 * ) T =(A T ) * （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AT=(A * A 一 1 ) T =A(A 一 1 ) T =A(A T ) -1 =A T (A T ) -1 =(A T ) * )解析：30.证明：若 A 为 n 阶方阵，则有A * =(一 A) * (n2)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A=( a ij ) nn ，A的元素 a ij 的代数余子式为 A ij ，则A的元素一 a ij 的代数余子式为 B ij =(一 1) n 一 1 A ij ， 于是(一 A) * =(一 1) n 一 1 (A ij ) nn =(一 1) n 一 1 A * ，所以 (一 A) * =(一 1) n-1 A * =(一 1) n-1 n A * =A * )解析：
