1、考研数学一(矩阵)-试卷 1 及答案解析(总分:60.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:9,分数:18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 A 为 n 阶方阵,且 A 的行列式Aa0,A * 是 A 的伴随矩阵,则A * 等于( )(分数:2.00)A.aB.C.a n-1D.a n3.设 A 和 B 都是 n 阶矩阵,则必有( )(分数:2.00)A.ABABB.ABBAC.ABBAD.(AB) -1 A -1 B -14.设 n 阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABCE,其中 E 是 n 阶单位阵,则必有( )(分数
2、:2.00)A.ACBEB.CBAEC.BACED.BCAE5.设 A 是 mn 矩阵,C 是 n 阶可逆矩阵,矩阵 A 的秩为 r,矩阵 BAC 的秩为 r 1 ,则( )(分数:2.00)A.rr 1B.rr 1C.rr 1D.r 与 r 1 的关系依 C 而定6.设三阶矩阵 A (分数:2.00)A.ab 或 a2b0B.ab 或 a260C.a6 且 a2b0D.ab 或 a2b07.设 A 是 3 阶方阵,将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B,再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C,则满足 AQC 的可逆矩阵 Q 为( )(分数:2.00)A.B.C.D.8.已知矩阵 A
3、,那么下列矩阵中 (分数:2.00)A.1B.2C.3D.49.设 A 为 n 阶非零矩阵,E 为 n 阶单位矩阵若 A 3 O,则( )(分数:2.00)A.EA 不可逆,EA 不可逆B.EA 不可逆,EA 可逆C.EA 可逆,EA 可逆D.EA 可逆,EA 不可逆二、填空题(总题数:13,分数:26.00)10.已知 2CA2ABCB,其中 A (分数:2.00)填空项 1:_11.设 A (分数:2.00)填空项 1:_12.设 A (分数:2.00)填空项 1:_13.设 A (分数:2.00)填空项 1:_14.已知 n 阶矩阵 A (分数:2.00)填空项 1:_15.设 n 阶矩
4、阵 A 满足 A 2 A,E 为凡阶单位阵,则 r(A)r(AE) 1(分数:2.00)填空项 1:_16.已知 A (分数:2.00)填空项 1:_17.已知 1 (1,0,0) T , 2 (1,2,1) T , 3 (1,1,0) T ,且 A 1 (2,1) T ,A 2 (1,1) T ,A 3 (3,4) T ,则 A 1(分数:2.00)填空项 1:_18.设 A、B 均为 3 阶矩阵,E 是 3 阶单位矩阵,已知 AB2A3B,A (分数:2.00)填空项 1:_19.设 (分数:2.00)填空项 1:_20.设矩阵 A 与 B (分数:2.00)填空项 1:_21.设 A 是
5、一个 n 阶矩阵,且 A 2 2A8EO,则 r(4EA)r(2EA) 1(分数:2.00)填空项 1:_22.设 3 阶方阵 A,B 满足关系式 A -1 BA6ABA,且 A (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:8,分数:16.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_24.设 A 为 n 阶矩阵(n2),A * 为 A 的伴随矩阵,证明 (分数:2.00)_25.设矩阵 (分数:2.00)_26.已知 A (分数:2.00)_27.设 A 为 n 阶可逆矩阵, 为 n 维列向量,b 为常数,记分块矩阵 P (分数:2.00)_28.设
6、, 为 3 维列向量,矩阵 A T T ,其中 T , T 分别为 , 的转置证明:r(A)2(分数:2.00)_29.设 A (分数:2.00)_30.已知矩阵 A 的伴随阵 A * diag(1,1,1,8),且 ABA -1 BA -1 3E,求 B(分数:2.00)_考研数学一(矩阵)-试卷 1 答案解析(总分:60.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:9,分数:18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 A 为 n 阶方阵,且 A 的行列式Aa0,A * 是 A 的伴随矩阵,则A * 等于( )(分数:2.0
7、0)A.aB.C.a n-1 D.a n解析:解析:对 AA * AE 两边取行列式,得 AA * AEA n 由Aa0,可得A * A n-1 a n-1 3.设 A 和 B 都是 n 阶矩阵,则必有( )(分数:2.00)A.ABABB.ABBAC.ABBA D.(AB) -1 A -1 B -1解析:解析:因为ABABBABA,所以 C 正确 对于选项 A,取 BA,则AB0,而AB不一定必为零,故 A 错误 对于选项 B,由矩阵乘法不满足交换律知,B 不正确 对于选项 D,因(AB)(A -1 B -1 )E,故 D 也不正确 所以应选 C4.设 n 阶方阵 A、B、C 满足关系式 A
8、BCE,其中 E 是 n 阶单位阵,则必有( )(分数:2.00)A.ACBEB.CBAEC.BACED.BCAE 解析:解析:由题设 ABCE,可知 A(BC)E 或(AB)CE, 即 A 与 BC 以及 AB 与 C 均互为逆矩阵,从而有 (BC)ABCAE 或 C(AB)CABE, 比较四个选项,所以应选 D5.设 A 是 mn 矩阵,C 是 n 阶可逆矩阵,矩阵 A 的秩为 r,矩阵 BAC 的秩为 r 1 ,则( )(分数:2.00)A.rr 1B.rr 1C.rr 1 D.r 与 r 1 的关系依 C 而定解析:解析:因为 BACEAC,其中 E 为 m 阶单位矩阵,而 E 与 C
9、 均可逆,由矩阵的等价定义可知,矩阵 B 与 A 等价,从而 r(B)r(a)所以应选 C6.设三阶矩阵 A (分数:2.00)A.ab 或 a2b0B.ab 或 a260C.a6 且 a2b0 D.ab 或 a2b0解析:解析:根据矩阵 A 与其伴随矩阵 A * 秩的关系可知,r(a)2,即 A 为降秩矩阵,从而 A 7.设 A 是 3 阶方阵,将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B,再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C,则满足 AQC 的可逆矩阵 Q 为( )(分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析:由题设,有8.已知矩阵 A ,那么下列矩阵中 (分数:2.00)A.1B.
10、2C.3 D.4解析:解析:二阶矩阵 A 有两个不同的特征值 1 和 3,因此 AA ,那么只要和矩阵 A 有相同的特征值,它就一定和 A 相似,也就一定与 A 相似 (1)和(2)分别是上三角和下三角矩阵,且特征值是 1 和3,所以它们均与 A 相似,对于(3)和(4),由9.设 A 为 n 阶非零矩阵,E 为 n 阶单位矩阵若 A 3 O,则( )(分数:2.00)A.EA 不可逆,EA 不可逆B.EA 不可逆,EA 可逆C.EA 可逆,EA 可逆 D.EA 可逆,EA 不可逆解析:解析:已知(EA)(EAA 2 )EA 3 E,(EA)(EAA 2 )EA 3 E 故EA,EA 均可逆故
11、应选 C二、填空题(总题数:13,分数:26.00)10.已知 2CA2ABCB,其中 A (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:由 2CA2ABCB,得 2CAC2ABB,因此有 C(2AE)(2AE)B 因为 2AE 可逆, 所以,C 3 (2AE)B 3 (2AE) -1 那么可得 C 3 (2AE)B 3 (2AE) -1 11.设 A (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:对已知矩阵和单位矩阵同时作初等变换,即12.设 A (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2)解析:解析:对 A 作初等变换,1
12、3.设 A (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:因为 ABO,则有 r(A)r(B)3,又已知矩阵 B0,因此 r(B)1,那么 r(A)3,则行列式A0而 A 2(5a4), 所以 a14.已知 n 阶矩阵 A (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1)解析:解析:根据 A 2 AA(AE),已知矩阵 A 15.设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 A,E 为凡阶单位阵,则 r(A)r(AE) 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:n)解析:解析:由已知 A 2 A,则有 A(AE)A 2 AAAO,所以 r(A)r(AE
13、)n 又 r(AE)r(EA), 则 r(A)r(AE)r(A)r(EA)r(AEA)r(E)n, 因此 r(A)r(AE)n16.已知 A (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:左乘矩阵 A,并把等式 AA * AE 代入已知矩阵方程,得AXE2AX, 移项可得(AE2A)XE,因此 X(AE2A) -1 已知A4,所以 X(4E2A) -1 17.已知 1 (1,0,0) T , 2 (1,2,1) T , 3 (1,1,0) T ,且 A 1 (2,1) T ,A 2 (1,1) T ,A 3 (3,4) T ,则 A 1(分数:2.00)填空项 1:_
14、 (正确答案:正确答案:*)解析:解析:利用分块矩阵,得 A( 1 , 2 , 3 )(A 1 ,A 2 ,A 3 ) ,那么 18.设 A、B 均为 3 阶矩阵,E 是 3 阶单位矩阵,已知 AB2A3B,A (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:利用已知条件 AB2A3B,通过移、添加项构造出 B2E,于是有 AB2A3B6E6E,则有(A3E)(B2E)6E从而 (B2E) -1 (A3E) 19.设 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:由(EB -1 A) T B T XE,得B(EB -1 A) T XE,即(BE
15、BB -1 A) T XE,也就是 (BA) T XE,因此 X -1 (BA) T 20.设矩阵 A 与 B (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:3)解析:解析:矩阵 A 与 B 相似,则 A2E 与 B2E 相似,结合已知条件,并根据相似矩阵的性质,则有 r(A)r(A2E)r(B)r(B2E)21321.设 A 是一个 n 阶矩阵,且 A 2 2A8EO,则 r(4EA)r(2EA) 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:n)解析:解析:根据已知 A 2 2A8EO,可得(4EA)(2EA)O,根据矩阵秩的性质可知 r(4EA)r(2EA)n, 同
16、时 r(4EA)r(2EA)r(4EA)(2EA)r(6E)n, 因此 r(4EA)r(2EA)n22.设 3 阶方阵 A,B 满足关系式 A -1 BA6ABA,且 A (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:由题设可知,A 可逆,已知 A -1 BA6ABA,在该等式的两端右乘 A -1 ,则有 A -1 B6EB,在该等式两端左乘 A,可得 B6AAB,则有(EA)B6A,即 B6(EA) -1 A,且 三、解答题(总题数:8,分数:16.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:24.设 A 为 n 阶矩阵(n2
17、),A * 为 A 的伴随矩阵,证明 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)当 r(A)n 时,A0,则有 A * A n-1 0 从而 A * 可逆,即 r(A * )n (2)当 r(A)n1 时,由矩阵秩的定义知,A 中至少有一个 n1 阶子式不为零,即 A * 中至少有一个元素不为零,故 r(A * )1 又因 r(A)n1 时,有A0,且由 AA * AE 知, AA * 0 因此根据矩阵秩的性质得 r(A)r(A * )n, 把 r(A)n1 代入上式,得 r(A * )1 综上所述,有 r(A * )1 (3)当 r(A)n2 时,A 的所有 n1 阶子式都为零,也就是
18、 A * 的任一元素均为零,即 A * 0,从而 r(A * )0)解析:25.设矩阵 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:A 与相似,相似矩阵有相同的特征值,故 5,4,y 是 A 的特征值 因为 4 是 A 的特征值,所以有 A4E 9(4)0, 解得 4 已知相似矩阵的行列式相同,于是由 所以有20y100,y5 当 5 时,解方程(A5E)0,得两个线性无关的特征向量 ,将它们正交化、 单位化得: 当 4 时,解方程(A4E)0,得特征向量 ,单位化得: )解析:26.已知 A (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 得矩阵 A 的特征值 1 2 3, 3 0 当 3 时,
19、有(3EA)0,且 得特征向量 1 (1,2,0) T , 2 (0,0,1) T 当 0 时,有(0EA)0,且 得特征向量 3 (1,1,1) T 那么,令 P( 1 , 2 , 3 ) 则有 p -1 AP )解析:27.设 A 为 n 阶可逆矩阵, 为 n 维列向量,b 为常数,记分块矩阵 P (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)由 AA * A * AAE 及 A * AA -1 有 (2)由下三角形行列式及分块矩阵行列式的运算,有 )解析:28.设 , 为 3 维列向量,矩阵 A T T ,其中 T , T 分别为 , 的转置证明:r(A)2(分数:2.00)_正确答案
20、:(正确答案:r(A)r( T T )r(aa T )r( T )r()r()2)解析:29.设 A (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:首先观察 下面用数学归纳法证明此结论成立: 当 n2 时,结论显然成立;假设 nk 时成立,则 nk1 时, )解析:30.已知矩阵 A 的伴随阵 A * diag(1,1,1,8),且 ABA -1 BA -1 3E,求 B(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由题意可知 A -1 存在,A * AA -1 两端取行列式可得A * A 4 A -1 A 3 , 因为 A * diag(1,1,1,8),所以A * 8,即A2由 ABA -1 BA -1 3E 移项并提取公因式得,(AE)BA -1 3E,右乘 A 得(AE)B3A,左乘 A -1 得(EA -1 )B3E 由已求结果A2,知 得(EA -1 )diag(2,2,2, ), 因此 B3(EA -1 ) -1 3diag(2,2,2, )解析: