1、考研数学一（矩阵）-试卷 1 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 为 n 阶方阵，且 A 的行列式Aa0，A * 是 A 的伴随矩阵，则A * 等于( )（分数：2.00）A.aB.C.a n-1D.a n3.设 A 和 B 都是 n 阶矩阵，则必有( )（分数：2.00）A.ABABB.ABBAC.ABBAD.(AB) -1 A -1 B -14.设 n 阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABCE，其中 E 是 n 阶单位阵，则必有( )（分数
2、：2.00）A.ACBEB.CBAEC.BACED.BCAE5.设 A 是 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 BAC 的秩为 r 1 ，则( )（分数：2.00）A.rr 1B.rr 1C.rr 1D.r 与 r 1 的关系依 C 而定6.设三阶矩阵 A （分数：2.00）A.ab 或 a2b0B.ab 或 a260C.a6 且 a2b0D.ab 或 a2b07.设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C，则满足 AQC 的可逆矩阵 Q 为( )（分数：2.00）A.B.C.D.8.已知矩阵 A
3、，那么下列矩阵中 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.49.设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵若 A 3 O，则( )（分数：2.00）A.EA 不可逆，EA 不可逆B.EA 不可逆，EA 可逆C.EA 可逆，EA 可逆D.EA 可逆，EA 不可逆二、填空题(总题数：13，分数：26.00)10.已知 2CA2ABCB，其中 A （分数：2.00）填空项 1:_11.设 A （分数：2.00）填空项 1:_12.设 A （分数：2.00）填空项 1:_13.设 A （分数：2.00）填空项 1:_14.已知 n 阶矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_15.设 n 阶矩
4、阵 A 满足 A 2 A，E 为凡阶单位阵，则 r(A)r(AE) 1（分数：2.00）填空项 1:_16.已知 A （分数：2.00）填空项 1:_17.已知 1 (1，0，0) T ， 2 (1，2，1) T ， 3 (1，1，0) T ，且 A 1 (2，1) T ，A 2 (1，1) T ，A 3 (3，4) T ，则 A 1（分数：2.00）填空项 1:_18.设 A、B 均为 3 阶矩阵，E 是 3 阶单位矩阵，已知 AB2A3B，A （分数：2.00）填空项 1:_19.设 （分数：2.00）填空项 1:_20.设矩阵 A 与 B （分数：2.00）填空项 1:_21.设 A 是
5、一个 n 阶矩阵，且 A 2 2A8EO，则 r(4EA)r(2EA) 1（分数：2.00）填空项 1:_22.设 3 阶方阵 A，B 满足关系式 A -1 BA6ABA，且 A （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：16.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_24.设 A 为 n 阶矩阵(n2)，A * 为 A 的伴随矩阵，证明 （分数：2.00）_25.设矩阵 （分数：2.00）_26.已知 A （分数：2.00）_27.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵 P （分数：2.00）_28.设
6、， 为 3 维列向量，矩阵 A T T ，其中 T ， T 分别为 ， 的转置证明：r(A)2（分数：2.00）_29.设 A （分数：2.00）_30.已知矩阵 A 的伴随阵 A * diag(1，1，1，8)，且 ABA -1 BA -1 3E，求 B（分数：2.00）_考研数学一（矩阵）-试卷 1 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 为 n 阶方阵，且 A 的行列式Aa0，A * 是 A 的伴随矩阵，则A * 等于( )（分数：2.0
7、0）A.aB.C.a n-1 D.a n解析：解析：对 AA * AE 两边取行列式，得 AA * AEA n 由Aa0，可得A * A n-1 a n-1 3.设 A 和 B 都是 n 阶矩阵，则必有( )（分数：2.00）A.ABABB.ABBAC.ABBA D.(AB) -1 A -1 B -1解析：解析：因为ABABBABA，所以 C 正确 对于选项 A，取 BA，则AB0，而AB不一定必为零，故 A 错误 对于选项 B，由矩阵乘法不满足交换律知，B 不正确 对于选项 D，因(AB)(A -1 B -1 )E，故 D 也不正确 所以应选 C4.设 n 阶方阵 A、B、C 满足关系式 A
8、BCE，其中 E 是 n 阶单位阵，则必有( )（分数：2.00）A.ACBEB.CBAEC.BACED.BCAE 解析：解析：由题设 ABCE，可知 A(BC)E 或(AB)CE， 即 A 与 BC 以及 AB 与 C 均互为逆矩阵，从而有 (BC)ABCAE 或 C(AB)CABE， 比较四个选项，所以应选 D5.设 A 是 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 BAC 的秩为 r 1 ，则( )（分数：2.00）A.rr 1B.rr 1C.rr 1 D.r 与 r 1 的关系依 C 而定解析：解析：因为 BACEAC，其中 E 为 m 阶单位矩阵，而 E 与 C
9、 均可逆，由矩阵的等价定义可知，矩阵 B 与 A 等价，从而 r(B)r(a)所以应选 C6.设三阶矩阵 A （分数：2.00）A.ab 或 a2b0B.ab 或 a260C.a6 且 a2b0 D.ab 或 a2b0解析：解析：根据矩阵 A 与其伴随矩阵 A * 秩的关系可知，r(a)2，即 A 为降秩矩阵，从而 A 7.设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C，则满足 AQC 的可逆矩阵 Q 为( )（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由题设，有8.已知矩阵 A ，那么下列矩阵中 （分数：2.00）A.1B.
10、2C.3 D.4解析：解析：二阶矩阵 A 有两个不同的特征值 1 和 3，因此 AA ，那么只要和矩阵 A 有相同的特征值，它就一定和 A 相似，也就一定与 A 相似 (1)和(2)分别是上三角和下三角矩阵，且特征值是 1 和3，所以它们均与 A 相似，对于(3)和(4)，由9.设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵若 A 3 O，则( )（分数：2.00）A.EA 不可逆，EA 不可逆B.EA 不可逆，EA 可逆C.EA 可逆，EA 可逆 D.EA 可逆，EA 不可逆解析：解析：已知(EA)(EAA 2 )EA 3 E，(EA)(EAA 2 )EA 3 E 故EA，EA 均可逆故
11、应选 C二、填空题(总题数：13，分数：26.00)10.已知 2CA2ABCB，其中 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 2CA2ABCB，得 2CAC2ABB，因此有 C(2AE)(2AE)B 因为 2AE 可逆， 所以，C 3 (2AE)B 3 (2AE) -1 那么可得 C 3 (2AE)B 3 (2AE) -1 11.设 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：对已知矩阵和单位矩阵同时作初等变换，即12.设 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：对 A 作初等变换，1
12、3.设 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 ABO，则有 r(A)r(B)3，又已知矩阵 B0，因此 r(B)1，那么 r(A)3，则行列式A0而 A 2(5a4)， 所以 a14.已知 n 阶矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：根据 A 2 AA(AE)，已知矩阵 A 15.设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 A，E 为凡阶单位阵，则 r(A)r(AE) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：n）解析：解析：由已知 A 2 A，则有 A(AE)A 2 AAAO，所以 r(A)r(AE
13、)n 又 r(AE)r(EA)， 则 r(A)r(AE)r(A)r(EA)r(AEA)r(E)n， 因此 r(A)r(AE)n16.已知 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：左乘矩阵 A，并把等式 AA * AE 代入已知矩阵方程，得AXE2AX， 移项可得(AE2A)XE，因此 X(AE2A) -1 已知A4，所以 X(4E2A) -1 17.已知 1 (1，0，0) T ， 2 (1，2，1) T ， 3 (1，1，0) T ，且 A 1 (2，1) T ，A 2 (1，1) T ，A 3 (3，4) T ，则 A 1（分数：2.00）填空项 1:_
14、 （正确答案：正确答案：*）解析：解析：利用分块矩阵，得 A( 1 ， 2 ， 3 )(A 1 ，A 2 ，A 3 ) ，那么 18.设 A、B 均为 3 阶矩阵，E 是 3 阶单位矩阵，已知 AB2A3B，A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：利用已知条件 AB2A3B，通过移、添加项构造出 B2E，于是有 AB2A3B6E6E，则有(A3E)(B2E)6E从而 (B2E) -1 (A3E) 19.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由(EB -1 A) T B T XE，得B(EB -1 A) T XE，即(BE
15、BB -1 A) T XE，也就是 (BA) T XE，因此 X -1 (BA) T 20.设矩阵 A 与 B （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：矩阵 A 与 B 相似，则 A2E 与 B2E 相似，结合已知条件，并根据相似矩阵的性质，则有 r(A)r(A2E)r(B)r(B2E)21321.设 A 是一个 n 阶矩阵，且 A 2 2A8EO，则 r(4EA)r(2EA) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：n）解析：解析：根据已知 A 2 2A8EO，可得(4EA)(2EA)O，根据矩阵秩的性质可知 r(4EA)r(2EA)n， 同
16、时 r(4EA)r(2EA)r(4EA)(2EA)r(6E)n， 因此 r(4EA)r(2EA)n22.设 3 阶方阵 A，B 满足关系式 A -1 BA6ABA，且 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题设可知，A 可逆，已知 A -1 BA6ABA，在该等式的两端右乘 A -1 ，则有 A -1 B6EB，在该等式两端左乘 A，可得 B6AAB，则有(EA)B6A，即 B6(EA) -1 A，且 三、解答题(总题数：8，分数：16.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：24.设 A 为 n 阶矩阵(n2
17、)，A * 为 A 的伴随矩阵，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)当 r(A)n 时，A0，则有 A * A n-1 0 从而 A * 可逆，即 r(A * )n (2)当 r(A)n1 时，由矩阵秩的定义知，A 中至少有一个 n1 阶子式不为零，即 A * 中至少有一个元素不为零，故 r(A * )1 又因 r(A)n1 时，有A0，且由 AA * AE 知， AA * 0 因此根据矩阵秩的性质得 r(A)r(A * )n， 把 r(A)n1 代入上式，得 r(A * )1 综上所述，有 r(A * )1 (3)当 r(A)n2 时，A 的所有 n1 阶子式都为零，也就是
18、 A * 的任一元素均为零，即 A * 0，从而 r(A * )0)解析：25.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 与相似，相似矩阵有相同的特征值，故 5，4，y 是 A 的特征值 因为 4 是 A 的特征值，所以有 A4E 9(4)0， 解得 4 已知相似矩阵的行列式相同，于是由 所以有20y100，y5 当 5 时，解方程(A5E)0，得两个线性无关的特征向量 ，将它们正交化、 单位化得： 当 4 时，解方程(A4E)0，得特征向量 ，单位化得： )解析：26.已知 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得矩阵 A 的特征值 1 2 3， 3 0 当 3 时，
19、有(3EA)0，且 得特征向量 1 (1，2，0) T ， 2 (0，0，1) T 当 0 时，有(0EA)0，且 得特征向量 3 (1，1，1) T 那么，令 P( 1 ， 2 ， 3 ) 则有 p -1 AP )解析：27.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵 P （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 AA * A * AAE 及 A * AA -1 有 (2)由下三角形行列式及分块矩阵行列式的运算，有 )解析：28.设 ， 为 3 维列向量，矩阵 A T T ，其中 T ， T 分别为 ， 的转置证明：r(A)2（分数：2.00）_正确答案
20、：(正确答案：r(A)r( T T )r(aa T )r( T )r()r()2)解析：29.设 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先观察 下面用数学归纳法证明此结论成立： 当 n2 时，结论显然成立；假设 nk 时成立，则 nk1 时， )解析：30.已知矩阵 A 的伴随阵 A * diag(1，1，1，8)，且 ABA -1 BA -1 3E，求 B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意可知 A -1 存在，A * AA -1 两端取行列式可得A * A 4 A -1 A 3 ， 因为 A * diag(1，1，1，8)，所以A * 8，即A2由 ABA -1 BA -1 3E 移项并提取公因式得，(AE)BA -1 3E，右乘 A 得(AE)B3A，左乘 A -1 得(EA -1 )B3E 由已求结果A2，知 得(EA -1 )diag(2，2，2， )， 因此 B3(EA -1 ) -1 3diag(2，2，2， )解析：
