1、考研数学一（特征值与特征向量，二次型）历年真题试卷汇编 1 及答案解析(总分：78.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.(2010 年试题，6)设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A 2 +A=0,若 A 的秩为 3，则 A 相似于( )（分数：2.00）A.B.C.D.3.(2008 年试题，一)设 A 为三阶非零矩阵，如果二次曲面方程 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.34.(2007 年试题，一)设矩阵 （分数：2.00）A.合同，且相似B.合同，但不相似C.不合同
2、，但相似D.既不合同，也不相似5.(2001 年试题，二)设 （分数：2.00）A.合同且相似B.合同但不相似C.不合同但相似D.不合同且不相似二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.(1999 年试题，一)设 n 阶矩阵 A 的元素全为 1，则 A 的 n 个特征值是 1.（分数：2.00）填空项 1:_7.(2009 年试题，二)若 3 维列向量 ， 满足 T =2，其中 T 为 的转置，则矩阵 T 的非零特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_8.(2008 年试题，二)设 A 为 2 阶矩阵， 为线性无关的 2 维列向量 A 1 =0，A 2 =2 1 + 2 ，则 A 的非
3、零特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_9.(1998 年试题，一)设 A 为 n 阶矩阵，A0，A * 为 A 的伴随矩阵，E 为 n 阶单位矩阵若 A 有特征值 A，则(A * ) 2 +E 必有特征值 1（分数：2.00）填空项 1:_10.(2011 年试题，二)若二次曲面的方程 x 2 +3y 2 +z 2 +2axy+2xz+2yz=4经正交变换化为 y 1 2 +4z 1 2 =4 则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：58.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_12.(2003 年试题，九)设矩阵 （分数：2.0
4、0）_13.(1999 年试题，十)设矩阵 （分数：2.00）_(1997 年试题，七)已知 是矩阵 （分数：4.00）(1).试确定参数 a，b 及特征向量 所对应的特征值；（分数：2.00）_(2).问 A 能否相似于对角阵?说明理由（分数：2.00）_(2002 年试题，十)设 A，B 为同阶方阵（分数：6.00）(1).如果 A、B 相似，试证 A、B 的特征多项式相等；（分数：2.00）_(2).举一个 2 阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立；（分数：2.00）_(3).当 A，B 均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立（分数：2.00）_(2001 年试题，十)已知 3 阶矩阵
5、 A 与三维向量 x，使得向量组 x，Ax，A 2 x 线性无关，且满足 A 3 x=3Ax一 2A 2 x（分数：4.00）(1).记 P=(x，Ax，A 2 x)，求 3 阶矩阵 B，使 A=PBP -1 ；（分数：2.00）_(2).计算行列式A+E（分数：2.00）_14.(2004 年试题，三)设矩阵 （分数：2.00）_(2011 年试题，21)A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为 2，即 rA=2，且 求 （分数：4.00）(1).A 的特征值与特征向最；（分数：2.00）_(2).矩阵 A（分数：2.00）_(2007 年试题，22)设 3 阶对称矩阵 A 的特征值 1 =1， 2
6、 =2， 3 =一 1，且 1 =(1，一 1，1) T 是 A 的属于 1 的一个特征向量，记 B=A 5 一 4A 3 +E，其中 E 为 3 阶单位矩阵（分数：4.00）(1).验证 1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量；（分数：2.00）_(2).求矩阵 B（分数：2.00）_(2006 年试题，21)设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1 =(一 1，2，一 1) T ， 2 =(0，一 1，1) T 是线性方程组 Ax=O 的两个解（分数：4.00）(1).求 A 的特征值与特征向量；（分数：2.00）_(2).求正交矩阵 Q 和对角矩阵
7、 A，使得 Q T AQ=A.（分数：2.00）_15.(2000 年试题，十一)某试验性生成线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将六分之一的熟练工支援其他生产部门其缺额由招收新的非熟练工补齐新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有五分之二成为熟练丁，没第 n 年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 x n 和 y n ，记成向量 (1)求 的关系式并写成矩阵形式： ; (2)验证 是 A 的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值； (3)当 时，求 （分数：2.00）_(2005 年试题，20)已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(1a)x 1 2 +(1
8、 一 a)x 2 2 +2x 3 2 +2(1+a)x 1 x 2 的秩为 2（分数：6.00）(1).求 a 的值；（分数：2.00）_(2).求正交变换 x=Qy，把，(x 1 ，x 2 ，x 3 )化成标准形；（分数：2.00）_(3).求方程 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=0 的解（分数：2.00）_(2012 年试题，三)已知 （分数：4.00）(1).求实数 a 的值；（分数：2.00）_(2).求正交变换 x=Qy 将 f 化为标准形（分数：2.00）_(2010 年试题，21)设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=xTAx 在正交变换 x=Qy 下的标准型为 y
9、1 2 +y 2 2 ，且Q 的第三列为 （分数：4.00）(1).求 A；（分数：2.00）_(2).证明 A+E 为正定矩阵（分数：2.00）_(2009 年试题，21)设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=a 2 2 +a 2 2 +(a 一 1)x 3 2 +2x 1 x 3 2x 2 x 3 （分数：4.00）(1).求二次型 f 的矩阵的所有特征值；（分数：2.00）_(2).若二次型 f 的规范形为 y 1 2 +y 2 2 ，求 a 的值（分数：2.00）_16.(2002 年试题，一)已知实二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=a(x 1 2 +x 2 2 +x
10、 3 2 )+4x 1 x 2 +4x 1 x 3 +4x 2 x 3 经正交变换 x=Py 可化成标准形 f=6y 1 2 ，则 a=_（分数：2.00）_17.(1998 年试题，十)已知二次曲面方程 x 2 +ay 2 +z 2 +2bxy+2xz+2yz=4 可以经过正交变换 （分数：2.00）_18.(1999 年试题，十一)设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，曰为 mn 实矩阵，B T 为 B 的转置矩阵，试证：B T AB 为正定矩阵的充分必要条件是曰的秩 rB=m（分数：2.00）_考研数学一（特征值与特征向量，二次型）历年真题试卷汇编 1 答案解析(总分：78.00，做题时间
11、：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.(2010 年试题，6)设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A 2 +A=0,若 A 的秩为 3，则 A 相似于( )（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由 A 2 +A=0 得A 2 +A=A+E=0，即 0 和一 1 是矩阵 A 的所有可能特征值又 A 的秩为 3，且其为 4 阶实对称矩阵，故一 1 是 A 的三重特征值，即知 A 相似于 3.(2008 年试题，一)设 A 为三阶非零矩阵，如果二次曲面方程 （分数：2.00）A.0B
12、.1 C.2D.3解析：解析：图 26 一 1 中二次曲面为旋转双叶双曲面，其标准方程为 对于二次型 其特征值为4.(2007 年试题，一)设矩阵 （分数：2.00）A.合同，且相似B.合同，但不相似 C.不合同，但相似D.既不合同，也不相似解析：解析： 5.(2001 年试题，二)设 （分数：2.00）A.合同且相似 B.合同但不相似C.不合同但相似D.不合同且不相似解析：解析：首先要明确合同与相似的定义：两个实对称阵相似 它们特征值全一样；两个实对称阵合同 它们特征值符号全一样由此，计算 A 的特征值由AE=0，则有 可算得 1 =4， 2 = 3 = 4 =0，对应于 1 =4，A 有相
13、应的特征向量 1 ；对应于 =0，由 则 r(A一 0.E)=1 从而它有 4 一 1=3 个线性无关特征向量，记为 2 , 3 , 4 ，令 P=( 1 , 2 , 3 , 4 )，必有 P -1 AP=B，因而 A 与 B 相似，同时由前述已知，可用施密特正交化 P 为正交阵 ，使得 ，综上知 A 与 B 合同且相似，选 A 注意相似和合同的区别：实对称矩阵合同时，它们不一定相似，但相似时一定合同如： 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.(1999 年试题，一)设 n 阶矩阵 A 的元素全为 1，则 A 的 n 个特征值是 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答
14、案：由特征值方程，有A 一 E=0，即 由行列式的性质，有 由此有 ）解析：解析：求矩阵的特征值一般有两种方法，即E 一 A=0 或 Ax=Ax前一种方法主要用于矩阵元素已知的情形，最终转化为行列式的计算问题，后一种方法经常用于矩阵 A 满足第一矩阵等式的情形，在抽象矩阵特征值的求解中应用广泛特别地，若 rA=1，则矩阵 A 的特征值是7.(2009 年试题，二)若 3 维列向量 ， 满足 T =2，其中 T 为 的转置，则矩阵 T 的非零特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：依题知， T =( T )=2，故矩阵 T 有一非零特征值 2又因为矩阵 T 的秩为 1
15、，所以其特征值为 ）解析：8.(2008 年试题，二)设 A 为 2 阶矩阵， 为线性无关的 2 维列向量 A 1 =0，A 2 =2 1 + 2 ，则 A 的非零特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：用定义来求，即由 A 1 =0，A(2 1 + 2 )=A 2 =2 1 + 2 且 1 ， 2 线性无关知，A 的两个特征值为 1 和 0，故 A 的非零特征值为 1 解析二利用相似矩阵具有相同特征值的结论来求，即 A( 1 ， 2 )=(0，2 1 + 2 )= 因 1 ， 2 线性无关，故 A 与 ）解析：解析：从解法 1 中不难看出， 1 和 2 1 + 2
16、 分别是对应于 A 的特征值 0 和 1 的特征向量9.(1998 年试题，一)设 A 为 n 阶矩阵，A0，A * 为 A 的伴随矩阵，E 为 n 阶单位矩阵若 A 有特征值 A，则(A * ) 2 +E 必有特征值 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：本题可按定义法求解，即设 对应的特征向量为 x，则 Ax=x. 由定义知，(A * ) 2 +E 必有特征值 ）解析：10.(2011 年试题，二)若二次曲面的方程 x 2 +3y 2 +z 2 +2axy+2xz+2yz=4经正交变换化为 y 1 2 +4z 1 2 =4 则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_
17、（正确答案：正确答案： ）解析：三、解答题(总题数：18，分数：58.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：12.(2003 年试题，九)设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设，不难算出 从而 A 可逆，由初等行变换可求出 则由公式 A * =AA -1 ，可求得 又由已知 则易求得 综上 又由特征方程 可求出 1 =9， 2 =9， 3 =3当 1 = 2 =9 时，由(B+2E 一 9E)x=0，可求得相应特征向量为 1 =(一l，1，0) T ， 2 =(一 2，0，1) T 即对应于特征值 9 的所有特征向量为 k 1 1 +k 2 2 =
18、k 1 (一1，1，0) T +k 2 (一 2，0，1) T 当 3 =3 时，由(B+2E 一 3E)x=0，可求得相应特征向量为 3 =(0，1，1) T 故对应于特征值 3 的所有特征向量为 k 3 3 =k 3 (0，1，1) T 以上 k 1 ，k 2 ，k 3 皆为不为零的任意常数 解析二令 则得 A 的特征值为 1 = 2 =1， 3 =7当 1 = 2 =1 时，对应的线性无关的特征向量可取为 当 3 =7 时，对应的特征向量为 记 ， 分别为矩阵A 的特征值和特征向量，则 A * = 于是(B+2E)(P -1 )=P -1 A * P(P -1 )+2P -1 ，=|P
19、-1 A * +2P -1 因而可知， 和 P -1 分别为 B+2E 的特征值和特征向量又A= 1 2 3 =7，则 B+2 层的特征值分别为 9，9，3又 则 即有 B+2E 对应于特征值 9 的全部特征向量为：k 1 P -1 1 +k 2 P -1 2 = 其中 k 1 ，k 2 是不全为零的任意常数；其对应于特征值 3的全部特征向量为：k 2 P -1 3 = )解析：13.(1999 年试题，十)设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 是 A * 属于特征值 0 的特征向量，则有 A * = 0 又 AA * =AE=一 E，故 AA * =A 0 = 0 A=一
20、即可得 得方程组 解得 0 =1，b=一3，a=c 又由A=一 1 得 )解析：解析：涉及与伴随矩阵 A * 有关的计算或证明，一般会应用关系式 AA * =A * A=AE 进行分析和讨论，切忌通过式子 A * =AA -1 来求 A * 的矩阵(1997 年试题，七)已知 是矩阵 （分数：4.00）(1).试确定参数 a，b 及特征向量 所对应的特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意设设特征向量 对应的特征值为 0 ，则由 A= 0 得： 则 )解析：(2).问 A 能否相似于对角阵?说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 )解析：(2002 年试题，十)设
21、 A，B 为同阶方阵（分数：6.00）(1).如果 A、B 相似，试证 A、B 的特征多项式相等；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 A、B 相似，则存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=B，则E 一 B=EP -1 AP=P -1 (EA)P=P -1 E 一 AP=EA，命题得证)解析：(2).举一个 2 阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 显然EA=E 一 B=( 一 1) 2 若 A 与 B 相似，则存在可逆矩阵 P，使得 B=P -1 AP=P -1 P=E，与 )解析：(3).当 A，B 均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命
22、题成立（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A，B 均为实对称矩阵知，A，B 均相似于对角阵又 A，B 的特征多项式相等，可设其解为 1 ， 2 ， n ，则 即存在可逆矩阵 P，Q 使 )解析：解析：注意若 A 一 B，则 A、B 的特征多项式相等，亦即它们具有相同的特征值；反过来，若 A、B有相同的特征值，则 A、B 不一定相似但若 A、B 具有相同的特征值，且特征值均不相等，则 A、B 相似故第(2)问在举反例时，必须保证其特征值是重根(2001 年试题，十)已知 3 阶矩阵 A 与三维向量 x，使得向量组 x，Ax，A 2 x 线性无关，且满足 A 3 x=3Ax一 2A 2
23、x（分数：4.00）(1).记 P=(x，Ax，A 2 x)，求 3 阶矩阵 B，使 A=PBP -1 ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：解法 1 依题设，A(x，Ax，A 2 x)=(Ax，A 2 x，A 3 x)=(Ax，A 2 x，3Ax 一 2A 2 x) 即得 因 P=(x，Ax，A 2 x)可逆，故得 解法 2 由 A 3 x=3Ax 一 2A 2 x 知，A(A 2 x+3Ax)=A 2 x+3Ax，故 A 有特征值 1，同理得其有三个不同的特征值 1,一 3，0，也就有三个线性无关的特征向量，不难看出依次为：A 2 x+3Ax，A 2 xAx，A 2 x+2Ax 一
24、3x 令 Q=(A 2 x+3Ax，A 2 xAx，A 2 x+2Ax 一 3x)，则有 故 A=QAQ -1 =PCAC -1 P -1 从而 B=CAC -1 解法 3 设 则由 AP=PB得： 即 从而 因为 x，Ax，A 2 x 线性无关，故可得 a 1 =a 2 =a 3 =b 2 =c 1 =0，b 1 =c 2 =1，b 3 =3，c 3 =一 2，即得 解法 4 因为 P=(x，Ax，A 2 x)可逆，所以 P -1 P=E，即 P -1 (x，Ax，A 2 x)=E进而有 故 B=P -1 AP=P -1 (AxA 2 x，A 2 x)=P -1 (Ax，A 2 x，3Ax
25、一 2A 2 x)=(P -1 Ax，P -1 A 2 x，3P -1 Ax 一 2P -1 A 2 x) )解析：(2).计算行列式A+E（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(1)知，A 与 B 相似，故 A+E 与 B+E 也相似，则 )解析：解析：注意本题的解法技巧，因为 A 是抽象矩阵，直接求其行列式或特征值是困难的，可利用求其相似矩阵的行列式或特征值来达到求原矩阵的行列式或特征值的效果，这种处理技巧值得借鉴此外，应注意由 A 3 x=3Ax 一 2A 2 x 得(A 2 +2A 一 3A)x=0，进而得A 3 +2A 2 一 3A=0，即A.A 一EA+3E=0 后，不能说
26、A 的特征值就是 0，1，一 3，只能说明 A 的特征值所组成的集合 c0，1，一314.(2004 年试题，三)设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：矩阵 A 的特征多项式为 若 =2 是特征方程的二重根，则 2 2 一82+18+3a=0，得 a=一 2当 a=一 2 时，A 的特征值为 2，2，6，矩阵 的秩为 1，则 =2 对应的线性无关的特征向量有两个，故此时 A 可相似对角化；若 A=2 不是特征方程的二重根，则 2 一8+18+3a 是完全平方式，从而得=644(18+3a)=0，即得 当 时，A 的特征值为2，4，4，矩阵 )解析：解析：n 阶矩阵 A 可相似对角化
27、 (2011 年试题，21)A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为 2，即 rA=2，且 求 （分数：4.00）(1).A 的特征值与特征向最；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ，则 A 1 =一 1 ，A 2 = 2 ，根据特征值特征向量的定义，A的特征值为 1 =一 1， 2 =1，对应的线性无关的特征向量为 因为 rA=23 =0令 为矩阵A 的相应于 3 =0 的特征向量，因为 A 为实对称矩阵，所以有 解得 )解析：(2).矩阵 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 , 2 , 3 单位化得 令 Q=(y 1 ,y 2 ,y 3 )= 则 Q T AQ= 于是 )解
28、析：(2007 年试题，22)设 3 阶对称矩阵 A 的特征值 1 =1， 2 =2， 3 =一 1，且 1 =(1，一 1，1) T 是 A 的属于 1 的一个特征向量，记 B=A 5 一 4A 3 +E，其中 E 为 3 阶单位矩阵（分数：4.00）(1).验证 1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A= 和 A n = n ，则 B 1 =(A 5 一 4A 3 +E) 1 =A 5 1 一4A 3 1 + 1 =( 1 5 一 4 1 3 +1) 1 =一 2 1 故由此知， 1 是矩阵 B 属于特征值 1 =一2
29、的特征向量同理可得，曰的另外两个特征值为 2 = 3 =1，设其对应的特征向量为 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则因为 A 是实对称矩阵，知曰也是实对称矩阵，所以有： 1 T =x 1 一 x 2 +x 3 =0 即矩阵 B 属于特征值 2 = 3 =1 的线性无关的特征向量可取为 2 =(1，1，0) T ， 3 =(一 1，0，1) T 故综上知：B 的特征值 1 =一 2，对应的全部特征向量为 k 1 (1，一 1，1) T ，k 1 是不为零的常数，另外两个特征值 =1，对应的全部特征向量为后 k 2 (1，1，0) T +k 3 (一 1，0，1) T ，其中 k 2 ，
30、k 3 是不全为零的常数)解析：(2).求矩阵 B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 B( 1 , 2 , 3 )=( 1 1 , 2 2 , 3 3 )所以 B=( 1 1 , 2 2 , 3 3 )( 1 , 2 , 3 ) -1 )解析：(2006 年试题，21)设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1 =(一 1，2，一 1) T ， 2 =(0，一 1，1) T 是线性方程组 Ax=O 的两个解（分数：4.00）(1).求 A 的特征值与特征向量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为矩阵 A 的各行元素之和均为 3，所以有 )解析：(2).求正
31、交矩阵 Q 和对角矩阵 A，使得 Q T AQ=A.（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 是实对称矩阵，所以 与 1 ， 2 正交，故只需再得 1 ， 2 正交化取 1 = 1 =(一 1，2，一 1) T ， 再将 ， 1 ， 2 单位化得 令 Q=r 1 ,r 2 ,r 3 ，则 Q -1 =Q T ，由 A 足实对称矩阵必可相似对角化，得 )解析：15.(2000 年试题，十一)某试验性生成线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将六分之一的熟练工支援其他生产部门其缺额由招收新的非熟练工补齐新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有五分之二成为熟练丁，没第 n 年一月
32、份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 x n 和 y n ，记成向量 (1)求 的关系式并写成矩阵形式： ; (2)验证 是 A 的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值； (3)当 时，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)依题意有， 用矩阵表示为 即有 (2)因为 1 ， 2 所组成的行列式 故知 1 ， 2 线性无关又 ，故由定义知， 1 是 A 的特征向萤对应的特征值为 1 =1； 故由定义知， 2 也是 A 的特征向量对应的特征值为 2 = (3)因为 所以只需求 A n ，便可得 令 P= 1 ， 2 = 于是 A= 因而, 评注在计算 时，也可先将 用特征向量 线性表出，即得 然后可得 )解析：(2005 年试题，20)已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(1a)x 1 2 +(1 一 a)x 2 2 +2x 3 2 +2(1+a)x 1 x 2 的秩为 2（分数：6.00）(1).求 a 的值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意可知：二次型矩阵 )解析：(2).求正交变换 x=Qy，把，(x 1 ，x
