1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 62及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A和 B为任意二不相容事件，且 P(A)P(B)0，则必有 （分数：2.00）A.B.C.D.3.在最简单的全概率公式 P(B)=P(B)P(B|A)+P( )P(B| （分数：2.00）A.0P(A)1，B 为任意随机事件B.A与 B为互不相容事件C.A与 B为对立事件D.A与 B为相互独立事件4.设随机变量 X的分布函数 F(x)= （分数：2.00）A.0B.12
2、C.D.1e 1 5.设随机变量 X服从正态分布(，4 2 )，YN(，5 2 )；记 p 1 =PX4，p 2 =PY+5，则（分数：2.00）A.p 1 =p 2 .B.p 1 p 2 C.p 1 p 2 D.因 未知，无法比较 p 1 与 p 2 的大小6.设随机变量 X与 Y相互独立，其分布函数分别为 F X (x)与 F Y (y)，则 Z=maxX，Y的分布函数 F Z (z)是（分数：2.00）A.maxF X (z)，F Y (z)B.F X (z)+F Y (z)F X (z)F Y (z).C.F X (z)F Y (z)D.12F X (z)+F Y (z)7.将一枚硬币
3、重复掷 n次，以 X和 Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X和 Y的相关系数等于（分数：2.00）A.1B.0C.12D.1二、填空题(总题数：7，分数：14.00)8.口袋内有四个同样的球，分别标有号码 1，2，3，4每次从中任取一个球(每次取后放回去)，连续两次如果第 i次取到球上的编号记为 a i ，i=1，2，记事件 A表示事件“a 1 2 4a 2 ”，则该试验的样本空间 = 1；事件 A= 2；概率 P(A)= 3（分数：2.00）填空项 1:_9.设 f(x)=k （分数：2.00）填空项 1:_10.设随机变量 X与 Y相互独立同分布，且都服从 p=23 的 01分布，则
4、随机变量 Z=maxX，Y的分布律为 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设随机变量 X和 Y的相关系数为 09，若 Z=2X1，则 Y与 Z的相关系数为 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设随机变量 X与 Y相互独立，且 XB(5，08)，YN(1，1)，则 P0X+Y10 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设总体 X服从正态分布 N(0， 2 )，而 X 1 ，X 2 ，X 15 是取自总体 X的简单随机样本，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，a X i 2 +b （分数：2.00）填空项 1:_三、解答
5、题(总题数：11，分数：26.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_16.假设从单位正方形区域 D=(x，y)|0x1，0y1中随机地选取一点，以该点的两个坐标 x与 y作为直角三角形的两条直角边，求该直角三角形的面积大于14 概率 p（分数：2.00）_17.设随机变量 X在(0，1)上服从均匀分布，现有一常数 a，任取 X的四个值，已知至少有一个大于 a的概率为 09，问 a是多少?（分数：2.00）_18.设 f(x)是非负随机变量的概率密度，求 Y= （分数：2.00）_设二维随机变量(X，Y)的联合分布为 （分数：6.00）(1).a，b，c 之值；（分数：2.
6、00）_(2).Z的概率分布；（分数：2.00）_(3).PZ=X与 PZ=Y（分数：2.00）_19.假设二维随机变量(X，Y)在矩形区域 G=(x，y)|0x2，0y1上服从均匀分布记 （分数：2.00）_设二维随机变量(U，V)N(2，2；4，1；12)，记 X=UbY=V（分数：4.00）(1).问当常数 b为何值时，X 与 Y独立?（分数：2.00）_(2).求(X，Y)的密度函数(x，y)（分数：2.00）_20.设二维随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)|0x1，0y2上服从均匀分布，令 Z=min(X，Y)，求EZ与 DZ。（分数：2.00）_21.设二维连续型随机变量(X
7、，Y)在区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 1上服从均匀分布 ()问 X与 Y是否相互独立； ()求 X与 Y的相关系数（分数：2.00）_22.有 100道单项选择题，每个题中有 4个备选答案，且其中只有一个答案是正确的规定选择正确得 1分，选择错误得 0分假设无知者对于每一个题都是从 4个备选答案中随机地选答，并且没有不选的情况，计算他能够超过 40分的概率（分数：2.00）_23.设总体 X服从韦布尔分布，密度函数为 （分数：2.00）_考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 62答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下
8、列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A和 B为任意二不相容事件，且 P(A)P(B)0，则必有 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：因为3.在最简单的全概率公式 P(B)=P(B)P(B|A)+P( )P(B| （分数：2.00）A.0P(A)1，B 为任意随机事件 B.A与 B为互不相容事件C.A与 B为对立事件D.A与 B为相互独立事件解析：解析：由于 A ，故 B=B=(A )B=AB B P(B)=P(AB B)=P(AB)+P(B)=P(A)P(B|A)+P( )P(B|4.设随机变量 X的分布函数 F(x)= （分数：2.
9、00）A.0B.12C. D.1e 1 解析：解析：由 PX=x=F(x)F(x0)，可知 PX=1=F(1)F(10)5.设随机变量 X服从正态分布(，4 2 )，YN(，5 2 )；记 p 1 =PX4，p 2 =PY+5，则（分数：2.00）A.p 1 =p 2 . B.p 1 p 2 C.p 1 p 2 D.因 未知，无法比较 p 1 与 p 2 的大小解析：解析：p 1 =PX4=( )=(1)=1(1)， p 2 =PY+5=1PY+5=1( 6.设随机变量 X与 Y相互独立，其分布函数分别为 F X (x)与 F Y (y)，则 Z=maxX，Y的分布函数 F Z (z)是（分数
10、：2.00）A.maxF X (z)，F Y (z)B.F X (z)+F Y (z)F X (z)F Y (z).C.F X (z)F Y (z) D.12F X (z)+F Y (z)解析：解析：F Z (z)=Pmax(X，Y)z=PXz，Yz=PXzPyz=F X (z)F Y (z)，应选(C)7.将一枚硬币重复掷 n次，以 X和 Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X和 Y的相关系数等于（分数：2.00）A.1 B.0C.12D.1解析：解析：依题意，Y=nX，故 XY =1应选(A)一般来说，两个随机变量 X与 Y的相关系数 XY 满足| XY |1若 Y=aX+b，则当 a
11、0 时， XY =1，当 a0 时， XY =1二、填空题(总题数：7，分数：14.00)8.口袋内有四个同样的球，分别标有号码 1，2，3，4每次从中任取一个球(每次取后放回去)，连续两次如果第 i次取到球上的编号记为 a i ，i=1，2，记事件 A表示事件“a 1 2 4a 2 ”，则该试验的样本空间 = 1；事件 A= 2；概率 P(A)= 3（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1，1)，(1，4)，(2，1)，(4，4)；(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)；716）解析：解析：=(i，j)：i，j=1，2，3，4=
12、(1，1)，(1，4)，(2，1)，(4，4)； A=(i，j)：i 2 4j，i，j=1，2，3，4 =(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)； P(A)=#A#=7169.设 f(x)=k （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：将 f(x)= 作变换，得 将其与正态分布 N(1，12)的密度比较，可得10.设随机变量 X与 Y相互独立同分布，且都服从 p=23 的 01分布，则随机变量 Z=maxX，Y的分布律为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：显然 Z也是离散型随机变量
13、，只取 0，1 两个值，且 PZ=0=Pmax(X，Y)=0=PX=0，Y=0=PX=0PY=0=19， PZ=1=1PZ=0=89 于是 Z的分布律为11.设随机变量 X和 Y的相关系数为 09，若 Z=2X1，则 Y与 Z的相关系数为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0.9）解析：解析：Cov(Y，Z)=Cov(Y，2X1)=2Cov(X，Y)，DZ=D(2X1)=4DX Y 与 Z的相关系数 YZ 为 YZ = 12.设随机变量 X与 Y相互独立，且 XB(5，08)，YN(1，1)，则 P0X+Y10 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：
14、0928）解析：解析：由于 EX=4，DX=08，EY=1，DY=1，所以 E(X+Y)=EX+EY=5，D(X+Y)=DX+DY=18 根据切比雪夫不等式 P0X+Y10=P|X+Y5|5113.设总体 X服从正态分布 N(0， 2 )，而 X 1 ，X 2 ，X 15 是取自总体 X的简单随机样本，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：F；(10，5)）解析：解析：根据简单随机样本的性质，X 1 ，X 2 ，X 15 相互独立且都服从分布 N(0， 2 )，所以 X 1 2 +X 10 2 与 X 11 2 +X 10 2 相互独立，由于 X i N(0，1)，因此
15、1 2 (X 1 2 +X 10 2 ) 2 (10)， 1 2 (X 11 2 +X 15 2 ) 2 (5)， 14.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，a X i 2 +b （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：样本方差 S 2 是总体方差 2 的无偏估计，所以 三、解答题(总题数：11，分数：26.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：16.假设从单位正方形区域 D=(x，y)|0x1，0y1中随机地选取一点，以该点的两个坐标 x与 y作为直角三角形的两条直角边，求该直角三角形的面积大于14 概率
16、p（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设事件 A=“直角形面积大于 14”，依题意，事件 A所在区域 D 1 =(x，y)|0x1，0y1，12xy14)，如图 13，则 )解析：17.设随机变量 X在(0，1)上服从均匀分布，现有一常数 a，任取 X的四个值，已知至少有一个大于 a的概率为 09，问 a是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：依题意 0a1 且 PXa=1a，PXa=a，且 a 4 =109=01，a= )解析：18.设 f(x)是非负随机变量的概率密度，求 Y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 X是只取非负值的随机变量，所以在(0，+)内 y
17、= 是 x的单调可导函数，其反函数 x=h(y)=y 2 的定义域为(0，+)，h(y)=2y0，根据公式，Y= 的概率密度 f Y (y)为 )解析：设二维随机变量(X，Y)的联合分布为 （分数：6.00）(1).a，b，c 之值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由联合分布性质，有 01+a+02+b+02+01+c=1，即 a+b+c=04 由EXY=012a06+02+3c=01 3c2a=04 由 PX0|Y2 3a5c=07 联立，解方程组 )解析：(2).Z的概率分布；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(X，Y)的联合分布 及 Z=X+Y，可知 Z的取值为 0，
18、1，2，3，4由于 PZ=0=PX=1，Y=1=01， PZ=1=PX=0，Y=1+PX=1，Y=2=01+01=02， PZ=2=PX=0，Y=2+PX=1，Y=3+PX=1，Y=1 =02+02=04 PZ=3=PX=0，Y=3+PX=1，Y=2=01， PZ=4=PX=1，Y=3=02， 从而得 Z的概率分布为 )解析：(3).PZ=X与 PZ=Y（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 X，Y 的边缘分布可知 PZ=Y=PX+Y=Y=PX=0=03， PZ=X=Px+Y=X=PY=0=P( )解析：19.假设二维随机变量(X，Y)在矩形区域 G=(x，y)|0x2，0y1上服从均匀
19、分布记 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()(U，V)是二维离散型随机变量，只取(0，0)，(1，0)，(1，1)各值，且 PU=0，V=0=PXY，X2Y=PXY=14， PU=1，V=0=PXY，X2Y=PYX2Y=14， PU=1，V=1=PXY，X2Y=PX2Y=12 于是(X，Y)的联合分布为 ()从()中分布表看出 EU=34，DU=316，EV=12，DV=14； EUV=PU=1，V=1=12，Cov(U，V) )解析：设二维随机变量(U，V)N(2，2；4，1；12)，记 X=UbY=V（分数：4.00）(1).问当常数 b为何值时，X 与 Y独立?（分数：2.00
20、）_正确答案：(正确答案：由于 X=UbV，Y=V，且 =10，故(X，Y)服从二维正态分布，所以 X与 Y独立等价于 X与 Y不相关，即 Cov(X，Y)=0，从而有 Cov(UbV，V)=0，Cov(U，V)bDV=0，即 )解析：(2).求(X，Y)的密度函数(x，y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由正态分布的性质知 X=UV 服从正态分布，且 EX=EUEV=22=0 DX=D(UV)=DU+DV2Cov(U，V)=4+12 =3， 所以 XN(0，3)，同理 Y=VN(2，1) 又因为 X与 Y独立，故 f(x，y)=f X (x)f Y (y) )解析：20.设二维随机
21、变量(X，Y)在区域 D=(x，y)|0x1，0y2上服从均匀分布，令 Z=min(X，Y)，求EZ与 DZ。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求出 Z的分布函数 F Z (z)与概率密度 f Z (z)，再计算 EZ与 DZ 当 z0 时，F Z (z)=0，当 z1 时，F Z (z)=1，当 0z1 时， F Z (z)=PZz=Pmin(X，Y)z=1Pmin(X，Y)z =1PXz，Yz=1=PXzPYz =1(1z)(1 )=12(3zz 2 )， f Z (z) EZ= + zf Z (z)dz= 0 1 z( z)dz=512， EZ 2 = 0 1 z 2 ( z)
22、dz=14；DZ= )解析：21.设二维连续型随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 1上服从均匀分布 ()问 X与 Y是否相互独立； ()求 X与 Y的相关系数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：依题意，(X，Y)的联合密度为 ()为判断 X与 Y的相互独立性，先要计算边缘密度 f X (x)与 f Y (y) f X (x)= + f(x，y)dy 当|x|1 时，f X (x)=0 类似地，有 f Y (y) 当 x=y=0时，f(0，0)=1，而 f X (0)f Y (0)= =4 2 显然它们不相等，因此随机变量 X与 Y不是相互独立的 或 f X (x)
23、f Y (y)f(x，y)，故 X与 Y不相互独立 ()EX= + xf X (x)dx= 1 1 x dx=0 在这里，被积函数是奇函数，而积分区间1，1又是关于原点对称的区间，故积分值为零类似地，有 EY=0 E(XY)= + + xyf(x，y)dxdy 故 Cov(X，Y)=E(XY)EXEY=0， )解析：22.有 100道单项选择题，每个题中有 4个备选答案，且其中只有一个答案是正确的规定选择正确得 1分，选择错误得 0分假设无知者对于每一个题都是从 4个备选答案中随机地选答，并且没有不选的情况，计算他能够超过 40分的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 X表示 100个题中他能选对的题数，则 X服从二项分布 B(100，025)，从而EX=25，DX=1875，应用拉普拉斯中心极限定理，X 近似服从正态分布 N(25，1875)，于是 PX40=1PX40 )解析：23.设总体 X服从韦布尔分布，密度函数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x 1 ，x 2 ，x n 是样本 X 1 ，X n 的观测值，当 x i 0(i=1，2，n)时其似然函数为 因此 的最大似然估计值为 )解析：
