1、考研数学一（概率论与数理统计）-试卷 4及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B，C 为随机事件，且 A发生必导致 B与 C最多有一个发生，则有( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 A，B 是任意两个随机事件，又知 B （分数：2.00）A.P(AB)=P(A)+P(B)。B.P(A-B)=P(A)-P(B)。C.P(AB)=P(A)P(BA)。D.P(AB)P(A)。4.袋中有 5个球，其中白球 2个，黑球 3个。甲、乙两人依次从
2、袋中各取一球，记 A=“甲取到白球”，B=“乙取到白球”。 若取后放回，此时记 p 1 =P(a)，p 2 =P(B)； 若取后不放回，此时记 p 3 =P(A)，P 4 =P(B)。 则( )（分数：2.00）A.p 1 p 2 p 3 p 4 。B.p 1 =p 2 p 3 p 4 。C.p 1 =p 2 =p 3 p 4 。D.p 1 =p 2 =p 3 =p 4 。5.假设 X为随机变量，则对任意实数 a，概率 PX=a=0的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.X是离散型随机变量。B.X不是离散型随机变量。C.X的分布函数是连续函数。D.X的概率密度是连续函数。6.设随机变量 X
3、的密度函数为 f X (x)，Y=-2X+3，则 Y的密度函数为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X与 Y相互独立，且都服从区间(0，1)上的均匀分布，则下列服从相应区间或区域上均匀分布的是( )（分数：2.00）A.X 2 。B.X-Y。C.X+Y。D.(X，Y)。8.设随机变量 X与 Y相互独立，其分布函数分别为 F X (x)与 F Y (y)，则 Z=maxX，Y的分布函数 F Z (z)是( )（分数：2.00）A.maxF X (z)，F Y (z)。B.F X (z)+F Y (z)-F X (z)F Y (z)。C.F X (z)F Y (z)。D.9.
4、对任意两个随机变量 X和 Y，若 E(XY)=E(X).E(Y)，则( )（分数：2.00）A.D(XY)=D(X).D(Y)。B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)。C.X与 Y独立。D.X与 Y不独立。10.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自正态总体 N(0， 2 )的简单随机样本， 与 S 2 分别是样本均值与样本方差，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11.设 A、B 是两个随机事件，且 P(A)= （分数：2.00）填空项 1:_12.已知事件 A与 B相互独立，P(A)=a，P(B)=b。如果事件 C发生必然导致事件 A与 B
5、同时发生，则事件A，B，C 均不发生的概率为 1。（分数：2.00）填空项 1:_13.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X的简单随机样本，而 XB （分数：2.00）填空项 1:_14.设随机变量 X服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量 Y=X 2 在(0，4)内的概率密度 f Y (y)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.设二维随机变量(X，Y)的分布函数为 (2x+1)(2y-1)，其中 (x)为标准正态分布函数，则(X，Y)N 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.设随机变量 X服从1，3上的均匀分布，则 （分数：2.00）填空项 1:_17.设 X表示 10
6、次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为 04，则 X 2 的数学期望 E(X 2 )= 1。（分数：2.00）填空项 1:_18.假设随机变量 X服从-1，1上的均匀分布，a 是区间-1，1上的一个定点，Y 为点 X到 a的距离，当a= 1时，随机变量 X与 Y不相关。（分数：2.00）填空项 1:_19.设随机试验成功的概率 p=020，现在将试验独立地重复进行 100次，则试验成功的次数介于 16与 32之间的概率 = 1。(3)=0998 7，(1)=08413)（分数：2.00）填空项 1:_20.已知总体 X服从参数为 的泊松分布，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体
7、X的简单随机样本，其样本均值和样本方差分别为 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_22.甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们存一昼夜内到达的时刻是等可能的。如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中的任何一艘都不需要等候码头空出的概率。（分数：2.00）_23.已知一本书中每页印刷错误的个数 X服从参数为 02 的泊松分布，写出 X的概率分布，并求一页上印刷错误不多于 1个的概率。（分数：2.00）_24.设随机变量 X在 1，2，3 中等可能地
8、取值，随机变量 Y在 1X 中等可能地取值。求：()二维随机变量(X，Y)的联合分布律及边缘分布律；()求在 Y=2的条件下 X的条件分布。（分数：2.00）_25.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= （分数：2.00）_26.设随机变量 X与 Y相互独立，X 的概率分布为 PX=i= (i=-1，0，1)，Y 的概率密度为 f Y (y)= 记 Z=X+Y。 ()求 （分数：2.00）_27.某流水线上每个产品不合格的概率为 p(0p1)，各产品合格与否相对独立，当出现 1个不合格产品时即停机检修。设开机后第 1次停机时已生产了的产品个数为 X，求 X的数学期望 E(X)和
9、方差 D(X)。（分数：2.00）_28.已知总体 X的数学期望 E(X)=，方差 D(X)= 2 ，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X容量为 2n的简单随机样本，样本均值为 （分数：2.00）_29.设总体 X的概率分布为 其中 (0 （分数：2.00）_考研数学一（概率论与数理统计）-试卷 4答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B，C 为随机事件，且 A发生必导致 B与 C最多有一个发生，则有( ) （分数：2.00）A.B.
10、C. D.解析：解析：B 与 C最多有一个发生(即 B与 C同时发生的反面)等价于事件 。当 A发生时必导致 B与 C最多有一个发生，说明3.设 A，B 是任意两个随机事件，又知 B （分数：2.00）A.P(AB)=P(A)+P(B)。B.P(A-B)=P(A)-P(B)。C.P(AB)=P(A)P(BA)。D.P(AB)P(A)。 解析：解析：由于 B A，则 AB=B，AB=A。当 P(A)0，选项 A不成立；当 P(A)=0时，条件概率P(BA)不存在，选项 C不成立；由于任何事件概率的非负性，而题设 P(A)P(B)，故选项 B不成立。对于选项 D，根据题设条件 0P(A)P(B)1
11、，可知条件概率 P(AB)存在，并且4.袋中有 5个球，其中白球 2个，黑球 3个。甲、乙两人依次从袋中各取一球，记 A=“甲取到白球”，B=“乙取到白球”。 若取后放回，此时记 p 1 =P(a)，p 2 =P(B)； 若取后不放回，此时记 p 3 =P(A)，P 4 =P(B)。 则( )（分数：2.00）A.p 1 p 2 p 3 p 4 。B.p 1 =p 2 p 3 p 4 。C.p 1 =p 2 =p 3 p 4 。D.p 1 =p 2 =p 3 =p 4 。 解析：解析：依据取球方式知 p 1 =p 2 =p 3 ，又因为“抽签结果与先后顺序无关”，得 p 3 =p 4 ，所以正
12、确答案是 D。5.假设 X为随机变量，则对任意实数 a，概率 PX=a=0的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.X是离散型随机变量。B.X不是离散型随机变量。C.X的分布函数是连续函数。 D.X的概率密度是连续函数。解析：解析：对任意实数 a有 PX=a=0是连续型随机变量的必要条件但非充分条件，因此选项 B、D 不能选，又离散型随机变量必有 a使 PX=a0，选项 A不能选，故正确选项是 C。事实上，PX=a=0 F(a)-F(a-0)=0 对任意实数 a，F(a)=F(a-0)6.设随机变量 X的密度函数为 f X (x)，Y=-2X+3，则 Y的密度函数为( ) （分数：2.00）
13、A.B. C.D.解析：解析：y=-2x+3 是 x的单调可导函数，其反函数 x=h(y)= 根据随机变量函数的公式：7.设随机变量 X与 Y相互独立，且都服从区间(0，1)上的均匀分布，则下列服从相应区间或区域上均匀分布的是( )（分数：2.00）A.X 2 。B.X-Y。C.X+Y。D.(X，Y)。 解析：解析：根据 X，Y 的独立性可知，(X，Y)的联合密度 f(x，y)=8.设随机变量 X与 Y相互独立，其分布函数分别为 F X (x)与 F Y (y)，则 Z=maxX，Y的分布函数 F Z (z)是( )（分数：2.00）A.maxF X (z)，F Y (z)。B.F X (z)
14、+F Y (z)-F X (z)F Y (z)。C.F X (z)F Y (z)。 D.解析：解析：F Z (z)=Pmax(X，Y)z=PXz，Yz =PXz.PYz=F X (z).F Y (z)， 故选项 C正确。9.对任意两个随机变量 X和 Y，若 E(XY)=E(X).E(Y)，则( )（分数：2.00）A.D(XY)=D(X).D(Y)。B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)。 C.X与 Y独立。D.X与 Y不独立。解析：解析：因为 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E(XY)-E(X).E(Y)， 可见 D(X+Y)=D(X)+D(Y)10.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自
15、正态总体 N(0， 2 )的简单随机样本， 与 S 2 分别是样本均值与样本方差，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：根据正态总体抽样分布公式知二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11.设 A、B 是两个随机事件，且 P(A)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据乘法公式 根据减法公式，有12.已知事件 A与 B相互独立，P(A)=a，P(B)=b。如果事件 C发生必然导致事件 A与 B同时发生，则事件A，B，C 均不发生的概率为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1-a)(1-b)）解析：解析
16、：所求的概率为 ，已知“事件 C发生必导致 A、B 同时发生”，显然是用于化简 的。已知 由吸收律可知， ，又因为 A与 B独立，故所求的概率为13.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X的简单随机样本，而 XB （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 X i B ，X i 是一次伯努利试验结果，X i 相互独立。所以 X 1 +X 2 +X n 可以看成 n次独立重复试验。即 所以 14.设随机变量 X服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量 Y=X 2 在(0，4)内的概率密度 f Y (y)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：
17、正确答案：*）解析：解析：首先求出在(0，4)上 Y的分布函数 F Y (y)。当 0y4 时，有 F Y (y)=PYy=PX 2 Y= 故 f Y (y)=F“ Y (y)= 15.设二维随机变量(X，Y)的分布函数为 (2x+1)(2y-1)，其中 (x)为标准正态分布函数，则(X，Y)N 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：(X，Y)的分布函数为 (2x+1)(2y-1)，所以可知 X，Y 独立。 (2x+1)(2y-1)= =F X (x)F Y (y)， 根据正态分布 XN(， 2 )的标准化可知 16.设随机变量 X服从1，3上的均匀分布，
18、则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：随机变量 X的密度函数17.设 X表示 10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为 04，则 X 2 的数学期望 E(X 2 )= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：184）解析：解析：根据题意可知，X 服从 n=10，p=04 的二项分布，因此有 E(X)=np=4，D(X)=np(1-p)=24， 因此 E(X 2 )=D(X)+E 2 (X)=184。18.假设随机变量 X服从-1，1上的均匀分布，a 是区间-1，1上的一个定点，Y 为点 X到 a的距离，当a= 1时，随机变
19、量 X与 Y不相关。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：已知 Xf(x)= E(X)=0，依题意 Y=X-a，a 应使 E(XY)=E(X)E(Y)=0。其中19.设随机试验成功的概率 p=020，现在将试验独立地重复进行 100次，则试验成功的次数介于 16与 32之间的概率 = 1。(3)=0998 7，(1)=08413)（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：084）解析：解析：令 X=“在 100次独立重复试验中成功的次数”，则 X服从参数为(n，p)的二项分布，其中n=100，p=020，且 根据棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，可知
20、随机变量 近似服从标准正态分布 N(0，1)。因此试验成功的次数介于 16和 32之间的概率 =P16X3220.已知总体 X服从参数为 的泊松分布，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，其样本均值和样本方差分别为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据 = 求 a。 根据题意可得 E(X)=D(X)=，那么 =，E(S 2 )=D(X)=，则 +(2-3a)E(S 2 )=a+(2-3a)=(2-2a)=， 解得 a= 三、解答题(总题数：9，分数：18.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解
21、析：22.甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们存一昼夜内到达的时刻是等可能的。如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中的任何一艘都不需要等候码头空出的概率。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设甲、乙两艘船到达的时间分别为 x，y，并把(x，y)视为直角坐标系里的一个点的坐标，则 x，y 满足条件 0x24，0y24。 所以总的基本事件数为坐标系中边长为 24的正方形的面积，如图 3-1-4所示。 用事件 A表示“两艘船中任何一艘都不需要等候码 头空出”，则 x，y满足不等式 y-x1，x-y2。 则上述不等式组表示的区域为图中阴影部分的面积，即
22、 事件 A的基本事件数。 容易求得正方形面积为 S=24 2 ，阴影部分面积为 s= ，根据几何概型，可得 )解析：23.已知一本书中每页印刷错误的个数 X服从参数为 02 的泊松分布，写出 X的概率分布，并求一页上印刷错误不多于 1个的概率。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意可知，Xp(02)，X 的概率函数为 将 X=0，1，2，3代入函数，可得 p(0)08187，p(1)01637， p(2)0016 4，p(3)00011， p(4)00001，p(5)0。 X的概率分布表如下： )解析：24.设随机变量 X在 1，2，3 中等可能地取值，随机变量 Y在 1X 中等可能
23、地取值。求：()二维随机变量(X，Y)的联合分布律及边缘分布律；()求在 Y=2的条件下 X的条件分布。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由题意可知 PX=1，Y=2=PX=1，Y=3=PX=2，Y=3=0。 由乘法公式，可得 PX=1，Y=1=PX=1.PY=1X=1= 尸X=2，Y=1=PX=2.PY=1X=2= PX=3，Y=1=PX=3.PY=1X=3= PX=2，Y=2=PX=2.PY=2X=2= PX=3，Y=2=PX=3.PY=2X=3= PX=3，Y=3=PX=3.Py=3X=3= 所以X，Y的联合分布律为 进一步得到边缘分布()在 Y=2的条件下 X可能的取值为
24、2，3，因此 从而得到在 Y=2条件下随机变量 X的条件分布为 )解析：25.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()当 x0 时 f X (x)=0；当 x0 时，f X (x)= =e -x ，即 当y0 时，f Y (y)=0；当 f 1 (x).f 2 (x)=0时，f Y (y)= =ye -y ，即 ()X1，Y1 所对应的区域如图 3-3-3所示： 则 PY1X1 )解析：26.设随机变量 X与 Y相互独立，X 的概率分布为 PX=i= (i=-1，0，1)，Y 的概率密度为 f Y (y)= 记 Z=X+Y。 ()求
25、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.某流水线上每个产品不合格的概率为 p(0p1)，各产品合格与否相对独立，当出现 1个不合格产品时即停机检修。设开机后第 1次停机时已生产了的产品个数为 X，求 X的数学期望 E(X)和方差 D(X)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 q=1-p，所以 X的概率分布为 PX=k=q k-1 p(k=1，2，)， 故 X的数学期望为 因为 故 X的方差为 D(X)=E(X 2 )-E 2 (X)= )解析：28.已知总体 X的数学期望 E(X)=，方差 D(X)= 2 ，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X容量为 2n的简单随机样本，样本均值为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为总体分布未知，将 Y化简，根据数字特征性质计算 E(Y)。因为 )解析：29.设总体 X的概率分布为 其中 (0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E(X)=0 2 +12(1-)+2 2 +3(1-2)=3-4， 令 E(X)= ，则 的矩估计量为 。根据给定的样本观察值可得 (3+1+3+0+3+1+2+3)=2， 因此 的矩估计值 对于给定的样本值似然函数为 L()=4 6 (1-) 2 (1-2) 4 ，则 lnL()=ln4+6ln+2ln(1-)+4ln(1-2)， 于是 的最大似然估计值为 )解析：
