1、考研数学一（概率论与数理统计）-试卷 3及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.随机事件 A与 B互不相容，0P(A)1，则下列结论中一定成立的是( )（分数：2.00）A.AB=。B.C.A=B。D.3.设当事件 A与 B同时发生时，事件 C必发生，则( )（分数：2.00）A.P(C)P(A)+P(B)-1。B.P(C)P(A)+P(B)-1。C.P(C)=P(AB)。D.P(C)=P(AB)。4.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1 =掷第一次
2、出现正面，A 2 =掷第二次出现正面，A 3 =正反面各出现一次，A 4 =正面出现两次，则事件( )（分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立。B.A 2 ，A 3 ，A 4 相互独立。C.A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立。D.A 2 ，A 3 ，A 4 两两独立。5.设随机变量 X服从正态分布 N(， 2 )，则随 的增大，概率 PX-应该( )（分数：2.00）A.单调增大。B.单调减少。C.保持不变。D.增减不定。6.设随机变量 X和 Y独立同分布，已知 PX=k=p(1-p) k-1 ，k=1，2，0p1，则 PXY的值为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.
3、7.已知随机变量 X与 Y均服从 0-1分布，且 E(XY)= ，则 PX+Y1=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.假设二维随机变量(X 1 ，X 2 )的协方差矩阵为= （分数：2.00）A.=0。B.=C.=D.=1。9.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立同分布，其密度函数为偶函数，且 D(X i )=1，i=1，2，n，则对任意 0，根据切比雪夫不等式直接可得( ) （分数：2.00）A.B.C.D.10.设总体 X服从参数为 (0)的泊松分布，X 1 ，X 2 ，X n (n2)为取自总体的简单随机样本，则对应的统计量 （分数：2.00）A.E(T 1 )E(
4、T 2 )，D(T 1 )D(T 2 )。B.E(T 1 )E(T 2 )，D(T 1 )D(T 2 )。C.E(T 1 )E(T 2 )，D(T 1 )D(T 2 )。D.E(T 1 )E(T 2 )，D(T 1 )D(T 2 )。11.设 是取自总体 X中的简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n 的样本均值，则 （分数：2.00）A.XN(， 2 )。B.X服从参数为 的指数分布。C.PX=m=(1-) m-1 ，m=1，2，。D.X服从0，上均匀分布。二、填空题(总题数：9，分数：18.00)12.在区间(0，1)中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于 （分数：2.00）填空项
5、1:_13.每箱产品有 10件，其中次品数从 0到 2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品不合格而拒收。由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为 2，一件次品被误判为正品的概率为 10。则随机检验一箱产品，通过验收的概率 p= 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.设离散型随机变量 X的分布律为 PX=i=p i+1 ，i=0，1，则 p= 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.设随机变量 X服从参数为 1的泊松分布，则 PX=E(X 2 )= 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= （分数：2.
6、00）填空项 1:_17.已知随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，且都服从标准正态分布，Y 1 =X 1 ，Y 2 =X 2 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_18.将 10双不同的鞋随意分成 10堆，每堆 2只，以 X表示 10堆中恰好配成一双鞋的堆数，则 E(X)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_19.设二维随机变量(X，Y)服从 N(，； 2 ， 2 ；0)，则 E(XY 2 )= 1。（分数：2.00）填空项 1:_20.设总体 X的概率密度函数为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)21.解答题解答应写出
7、文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_22.设有两箱同类零件，第一箱内装 5件，其中 1件是一等品，第二箱内装 5件，其中 2件是一等品，现在从两箱中随机挑一箱，然后从该箱中先后不放回地随机取出 2件零件。求：()先取出的零件是一等品的概率；()在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍为一等品的概率。（分数：2.00）_23.已知连续型随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）_24.已知随机变量 X的概率密度 （分数：2.00）_25.设随机变量 Y i (i=1，2，3)相互独立，并且都服从参数 p的 0-1分布，令 （分数：2.00）_26.设二维随机变量(X，Y
8、)的概率密度为 （分数：2.00）_27.设 A，B 为随机事件，且 （分数：2.00）_28.设某种元件的使用寿命 X的概率密度为 （分数：2.00）_29.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体为 N(，)的简单随机样本。记 （分数：2.00）_考研数学一（概率论与数理统计）-试卷 3答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.随机事件 A与 B互不相容，0P(A)1，则下列结论中一定成立的是( )（分数：2.00）A.AB=。B. C.A=B。
9、D.解析：解析：因 AB=3.设当事件 A与 B同时发生时，事件 C必发生，则( )（分数：2.00）A.P(C)P(A)+P(B)-1。B.P(C)P(A)+P(B)-1。 C.P(C)=P(AB)。D.P(C)=P(AB)。解析：解析：由题设条件可知 C4.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1 =掷第一次出现正面，A 2 =掷第二次出现正面，A 3 =正反面各出现一次，A 4 =正面出现两次，则事件( )（分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立。B.A 2 ，A 3 ，A 4 相互独立。C.A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立。 D.A 2 ，A 3 ，A 4 两两独
10、立。解析：解析：显然 P(A 1 )=P(A 2 )= ，且 A 1 与 A 2 相互独立。 5.设随机变量 X服从正态分布 N(， 2 )，则随 的增大，概率 PX-应该( )（分数：2.00）A.单调增大。B.单调减少。C.保持不变。 D.增减不定。解析：解析：若 XN(， 2 )，则 因此 6.设随机变量 X和 Y独立同分布，已知 PX=k=p(1-p) k-1 ，k=1，2，0p1，则 PXY的值为( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：根据对称性得知 PXY=PXY= 1-PX=Y。7.已知随机变量 X与 Y均服从 0-1分布，且 E(XY)= ，则 PX+Y1=(
11、) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：因为 X与 Y均服从 0-1分布，所以可以列出(X，Y)的联合分布如下： 又已知 E(XY)= ，从而 PX+Y1=P 11 +P 12 +P 21 =1-P 22 = 8.假设二维随机变量(X 1 ，X 2 )的协方差矩阵为= （分数：2.00）A.=0。B.=C.=D.=1。 解析：解析：9.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立同分布，其密度函数为偶函数，且 D(X i )=1，i=1，2，n，则对任意 0，根据切比雪夫不等式直接可得( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由题意知 E(X i )=0，i=1，
12、2，n。记 。根据切比雪夫不等式，有 10.设总体 X服从参数为 (0)的泊松分布，X 1 ，X 2 ，X n (n2)为取自总体的简单随机样本，则对应的统计量 （分数：2.00）A.E(T 1 )E(T 2 )，D(T 1 )D(T 2 )。B.E(T 1 )E(T 2 )，D(T 1 )D(T 2 )。C.E(T 1 )E(T 2 )，D(T 1 )D(T 2 )。D.E(T 1 )E(T 2 )，D(T 1 )D(T 2 )。 解析：解析：因为 X服从参数为 (0)的泊松分布，那么 E(X i )=，D(X i )=，i=1，2，n， 则 11.设 是取自总体 X中的简单随机样本 X 1
13、 ，X 2 ，X n 的样本均值，则 （分数：2.00）A.XN(， 2 )。 B.X服从参数为 的指数分布。C.PX=m=(1-) m-1 ，m=1，2，。D.X服从0，上均匀分布。解析：解析：若 XN(， 2 )，则 E(X)=， 的矩估计为 ，应选 A。 对于选项 B，X 服从参数为 的指数分布，则 E(X)= 对于选项 C，X 服从参数为 的几何分布，E(X)= 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)12.在区间(0，1)中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：这是一个几何概型，设 x，y 为所取的两个数
14、，则样本空间 =(x，y)0x，y1，记A=(x，y)(x，y)，x-y 。 所以 P(A)= 13.每箱产品有 10件，其中次品数从 0到 2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品不合格而拒收。由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为 2，一件次品被误判为正品的概率为 10。则随机检验一箱产品，通过验收的概率 p= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0892）解析：解析：设事件 A=“一件产品能够通过验收”，则 P(A)=p。事件 B=“任取一件产品为正品”， =“任取一件产品为次品”，则 A=BA ，根据题设可知 P(AB)=1-0
15、02=098， =01， 所以 P=P(A)=P(AB)+ =P(B)P(AB)+ =098P(B)+1-P(B)01 =01+088P(B)。 显然 P(B)与该箱产品中有几件次品有关，利用全概率公式计算 P(B)。设 C i =“每箱产品含 i件次品”(i=0，1，2)，则 C 0 ，C 1 ，C 2 是一完备事件组，P(C i )= ，故 B=C 0 BC 1 BC 2 B，且 P(B)=P(C 0 )P(BC 0 )+P(C 1 )P(BC 1 )+P(C 2 )P(BC 2 ) 14.设离散型随机变量 X的分布律为 PX=i=p i+1 ，i=0，1，则 p= 1。（分数：2.00）
16、填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 PX=0+PX=1=p+p 2 =1，所以 p 2 +p-1=0，解得 P= 15.设随机变量 X服从参数为 1的泊松分布，则 PX=E(X 2 )= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 X服从参数为 1的泊松分布，所以 E(X)=D(X)=1。从而由 D(X)=E(X 2 )-E 2 (X) 得 E(X 2 )=2。故 PX=E(X 2 )=PX=2= 16.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：已知
17、二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)，求满足一定条件的概率 Pg(X，Y)z 0 ，一般可转化为二重积分 Pg(X，Y)z 0 = 进行计算。 根据题设可得，如图 3-3-1所示， 17.已知随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，且都服从标准正态分布，Y 1 =X 1 ，Y 2 =X 2 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：正态）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析：Y 1 -Y 2 =X 1 -X 2 + ，所以 Y 1 -Y 2 为多个相互独立正态变量和，且服从正态分布。又 E(Y 1 -Y 2 )=0，D(Y 1 -Y 2 )= 故 Y 1
18、 -Y 2 18.将 10双不同的鞋随意分成 10堆，每堆 2只，以 X表示 10堆中恰好配成一双鞋的堆数，则 E(X)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 X i = 则 将第 i堆的第一只鞋固定，第二只鞋要与第一只鞋配对，只有在不同于第一只鞋剩下的 19只中唯一的一只才有可能，故 PX i =1= ，也就有 19.设二维随机变量(X，Y)服从 N(，； 2 ， 2 ；0)，则 E(XY 2 )= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 3 + 2）解析：解析：由于 =0，根据二维正态分布的性质可知随机变量 X，X 独立，所
19、以 E(XY 2 )=E(X).E(Y 2 )。已知(X，Y)服从 N(，； 2 ， 2 ；0)，则 E(X)=，E(Y 2 )=D(Y)+E 2 (Y)= 2 + 2 ，所以 E(XY 2 )=( 2 + 2 )= 3 + 2 。20.设总体 X的概率密度函数为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：显然 E(S 2 )=D(X)，而 D(X)=EX-E(X) 2 。 三、解答题(总题数：9，分数：18.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：22.设有两箱同类零件，第一箱内装 5件，其中 1件是一等品
20、，第二箱内装 5件，其中 2件是一等品，现在从两箱中随机挑一箱，然后从该箱中先后不放回地随机取出 2件零件。求：()先取出的零件是一等品的概率；()在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍为一等品的概率。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 H i 表示“被挑出的是第 i箱”，i=1，2，则 H 1 ，H 2 为完备事件组。A 表示“先取的一件是一等品”，B 表示“在同一箱中取的第二件是一等品”。 ()由全概率公式得： P(A)=P(H 1 )P(AH 1 )+P(H 2 )P(AH 2 ) ()P(BA)表示的是“在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍为一等品的
21、概率”。由条件概率和全概率公式可得 )解析：23.已知连续型随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 解方程组 )解析：24.已知随机变量 X的概率密度 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：直接根据 F(x)=PXx，F Y (y)=PF(X)y求解。 ()令 Y=F(X)，则由0F(x)1 及 F(x)为 x的单调不减连续函数知(如图 3-2-6所示)，当 y0 时，F Y (y)=0；当 y1 时，F Y (y)=1；当 0y 时， F Y (y)=PF(X)y =PF(X)0+P0F(X)y )解析：25.设随机变量 Y i (i=1，2，3)相互独立，
22、并且都服从参数 p的 0-1分布，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意随机变量(X 1 ，X 2 )是离散型的，它的全部可能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)。题目中是要计算出取各相应值的概率。注意事件 Y 1 ，Y 2 ，Y 3 相互独立且服从同参数 P的 0-1分布，所以它们的和 Y 1 +Y 2 +Y 3 Y，服从二项分布 B(3，p)。于是 PX 1 =0，X 2 =0=PY 1 +Y 2 +Y 3 1，Y 1 +Y 2 +Y 3 2=PY=0+PY=3=(1-p 3 )+p 3 ， PX 1 =0，X 2 =1=PY 1 +Y 2 +Y 3 1，Y 1 +Y
23、2 +Y 3 =2=PY=2=3p 2 (1-p)， PX 1 =1，X 2 =0=PY 1 +Y 2 +Y 3 =1，Y 1 +Y 2 +Y 3 2=PY=1=3p(1-p) 2 ， PX 1 =1，X 2 =1=PY 1 +Y 2 +Y 3 =1，Y 1 +Y 2 +Y 3 =2= =0。 计算可得(X 1 ，X 2 )的联合概率分布为 )解析：26.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()已知(X，Y)的概率密度，所以关于 X的边缘概率密度 所以，关于 Y的边缘概率密度 (11)设 F Z (z)=PZz=P2X-Yz， (1)当 z0 时，F
24、 Z (z)=P2X-Yz=0； (2)当0z2 时，F Z (z)=P2X-YZ= (3)当 z2 时，F Z (z)=P2X-Yz=1。 所以 F Z (z)的即分布函数为：F Z (z)= 故所求的概率密度为：f Z (z)= )解析：27.设 A，B 为随机事件，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因为 P(AB)=P(A)P(BA)= ，所以 PX=1，Y=1=P(AB)= PX=1，Y=0= PX=0，Y=1=P(AB)=P(B)-P(AB)= PX=0，Y=0= =1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)+P(AB)= (或 PX=0，Y=0= 故(X，Y)的概率分布为 ()X，Y 的概率分布分别为)解析：28.设某种元件的使用寿命 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：似然函数为 当 x i (i=1，2，n)时，L()0，取对数得 由于 必须满足 x i (i=1，2，1)，所以当 取 x 1 ，x 2 ，x n 中的最小值时，L()取最大值， 所以 的最大似然估计值为 )解析：29.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体为 N(，)的简单随机样本。记 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()首先 T是统计量。其次 对一切 ， 成立。所以 T是 2 的无偏估计量。 )解析：
