1、考研数学一（概率论与数理统计）-试卷 17及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设事件 A与 B满足条件 AB= （分数：2.00）A.AB=B.AB=。C.AB=A。D.AB=B。3.设 A，B 是任意两个随机事件，则 =( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 A、B、C 三个事件两两独立，则 A、B、C 相互独立的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.A与 BC独立。B.AB与 AC 独立。C.AB与 AC独立。D.AB 与 AC 独
2、立。5.设随机变量 X在0，1上服从均匀分布，记事件 A= （分数：2.00）A.A与 B互不相容。B.B包含 A。C.A与 B对立。D.A与 B相互独立。6.设相互独立的随机变量 X和 Y均服从 P(1)分布，则 PX=1X+Y=2的值为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X服从参数为 1的指数分布。记 Y=maxX，1，则 E(Y)=( )（分数：2.00）A.1。B.1+e -1 。C.1-e -1 。D.e -1 。8.设随机事件 A与 B互不相容，0P(A)1，0P(B)1，记 （分数：2.00）A.p=0。B.p=1。C.p0。D.p0。9.设总体 XN(，
3、2 )，X 1 ，X 2 ，X n 为取自总体 X的简单随机样本， （分数：2.00）A.E( B.E( C.E( D.E( 10.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自正态总体 N(0， 2 )的简单随机样本， 是样本均值，记 ，则可以作出服从自由度为 n-1的 t分布统计量( ) （分数：2.00）A.B.C.D.11.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，记 E(X)=，D(X)= 2 ， （分数：2.00）A.S是 的无偏估计。B.S 2 是 2 的无偏估计。C.D.二、填空题(总题数：9，分数：18.00)12.在区间(0，1)中随机地取出两个数，则“两数之积
4、小于 （分数：2.00）填空项 1:_13.三个箱子，第一个箱子中有 4个黑球与 1个白球，第二个箱中有 3个黑球和 3个白球，第三个箱子中有 3个黑球与 5个白球。现随机地选取一个箱子，从中任取 1个球，则这个球为白球的概率是 1；若已发现取出的这个球是白球，则它不是取自第二个箱子的概率是 2。（分数：2.00）填空项 1:_14.假设 X是在区间(0，1)内取值的连续型随机变量，而 Y=1-X。已知 PX029=075，则满足PYk=025 的常数 k= 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.已知随机变量 X服从参数为 的指数分布，则概率 （分数：2.00）填空项 1:_16.随机变量
5、 X在 （分数：2.00）填空项 1:_17.已知(X，Y)的概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_18.设相互独立的两个随机变量 X和 Y均服从标准正态分布，则随机变量 X-Y的概率密度函数的最大值等于 1。（分数：2.00）填空项 1:_19.设随机量 X和 Y相互独立，其概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_20.设随机变量 X和 Y相互独立，且 XN(0，1)，YN(0，2)，则 E(X 2 +Y)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_22.已知 P(A)=0
6、5，P(B)=07，则()在怎样的条件下，P(AB)取得最大值?最大值是多少?()在怎样的条件下，P(AB)取得最小值?最小值是多少?（分数：2.00）_23.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）_24.编号为 1，2，3 的三个球随意放入编号为 1，2，3 的三个盒子中，每盒仅放一个球，令 （分数：2.00）_25.设随机变量 X和 Y的联合密度为 （分数：2.00）_26.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3件合格品和 3件次品，乙箱中仅装有 3件合格品。从甲箱中任取 3件产品放入乙箱后，求： ()乙箱中次品件数的数学期望； ()从乙箱中任取一件产品是次品的概率。（分
7、数：2.00）_27.设由流水线加工的某种零件的内径 X(单位：毫米)服从正态分布 N(，1)，内径小于 10或大于 12的为不合格品，其余为合格品。销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损。已知销售利润 T(单位：元)与销售零件的内径 X有如下关系： （分数：2.00）_28.设 X的概率密度为 X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本。 ()求 的矩估计量 ； ()求 （分数：2.00）_29.设总体 X的概率密度为 其中参数 (01)未知。X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的简单随机样本， 是样本均值。 ()求参数 的矩估计量 ()判断 （分数：2.00）_考研数
8、学一（概率论与数理统计）-试卷 17答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设事件 A与 B满足条件 AB= （分数：2.00）A.AB=B.AB=。 C.AB=A。D.AB=B。解析：解析：由对称性可知选项 C、D 都不成立(否则，一个成立另一个必成立)，而若选项 A成立 ，这与已知 AB=3.设 A，B 是任意两个随机事件，则 =( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由事件运算法则的分配律知4.设 A、B、C 三个事件两两独立，
9、则 A、B、C 相互独立的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.A与 BC独立。 B.AB与 AC 独立。C.AB与 AC独立。D.AB 与 AC 独立。解析：解析：经观察，即可知由选项 A能够推得所需条件。事实上，若 A与 BC独立，则有 P(ABC)=P(A)P(BC)。 而由题设知 P(BC)=P(B)P(C)。从而 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)。故选 A。5.设随机变量 X在0，1上服从均匀分布，记事件 A= （分数：2.00）A.A与 B互不相容。B.B包含 A。C.A与 B对立。D.A与 B相互独立。 解析：解析：由图 3-2-1可立即得到正确选项为 D，事实上，根据
10、题设可知6.设相互独立的随机变量 X和 Y均服从 P(1)分布，则 PX=1X+Y=2的值为( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：PX=1X+Y=2= PX+Y=2= X=kPY=2-k PX=1，X+Y=2=PX=1，Y=1=PX=1PY=1 =e -1 .e -1 =e -2 。 所以 PX=1X+Y=2= 7.设随机变量 X服从参数为 1的指数分布。记 Y=maxX，1，则 E(Y)=( )（分数：2.00）A.1。B.1+e -1 。 C.1-e -1 。D.e -1 。解析：解析：随机变量 X的密度函数为8.设随机事件 A与 B互不相容，0P(A)1，0P(B)1，
11、记 （分数：2.00）A.p=0。B.p=1。C.p0。 D.p0。解析：解析：选项 B不能选，否则选项 D必成立。因此仅能在选项 A、C、D 中考虑，即考虑 的符号，而相关系数符号取决于 Cov(X，Y)=E(XY)-E(X).E(Y)，根据题设知 E(X)=P(A)，E(Y)=P(B)，XY9.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 为取自总体 X的简单随机样本， （分数：2.00）A.E( B.E( C.E( D.E( 解析：解析：由 XN(， 2 )，得 相互独立。故 10.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自正态总体 N(0， 2 )的简单随机样本， 是样本均值，记
12、，则可以作出服从自由度为 n-1的 t分布统计量( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由于 2 (n-1)，且这两个随机变量相互独立，故 故选项 A不正确。 因为S 3 或 S 4 与 11.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，记 E(X)=，D(X)= 2 ， （分数：2.00）A.S是 的无偏估计。B.S 2 是 2 的无偏估计。 C.D.解析：解析：根据排除法逐项分析。二、填空题(总题数：9，分数：18.00)12.在区间(0，1)中随机地取出两个数，则“两数之积小于 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：记(
13、0，1)中任取的两个数为 X，Y，则(X，Y)= (x，y)0x1，0y1， 为基本事件全体，并且取 中任何一点的可能性都一样，故该试验是几何概型，如图 3-1-2所示，事件A=“两数之积小于 ，0x1，0y1，由几何概型可得13.三个箱子，第一个箱子中有 4个黑球与 1个白球，第二个箱中有 3个黑球和 3个白球，第三个箱子中有 3个黑球与 5个白球。现随机地选取一个箱子，从中任取 1个球，则这个球为白球的概率是 1；若已发现取出的这个球是白球，则它不是取自第二个箱子的概率是 2。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：设事件 A i =“取到第 i箱”，i=1
14、，2，3，B=“取到白球”，则第一个空应为 P(B)，第二个空应为 。显然 A 1 ，A 2 ，A 3 是一完备事件组，由题意可得 P(A i )= ，i=1，2，3，P(BA 1 )= 根据全概率公式和贝叶斯公式，可得 14.假设 X是在区间(0，1)内取值的连续型随机变量，而 Y=1-X。已知 PX029=075，则满足PYk=025 的常数 k= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：071）解析：解析：由于 PYk=P1-Xk=PX1-k=1-PX1-k=025，所以 PX1-k=1-025=075。又因 PX029=075，得 1-k=029，即 k=071。1
15、5.已知随机变量 X服从参数为 的指数分布，则概率 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据题设知 PX0=1，PX0=0，应用全概率公式得16.随机变量 X在 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：首先求出 Y的分布函数 F Y (y)。由于 X在 上服从均匀分布，因此 X的概率密度函数f X (x)与分布函数 F X (x)分别为 F Y (y)=PYy t=PsinXY。 当-1y1 时，F Y (y)=PXarcsiny=F X (arcsiny)= 当 y-1 时，F Y (y)=0； 当 y1 时，F Y (y)
16、=1。 因此 Y的概率密度函数 f Y (y)为 17.已知(X，Y)的概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：03）解析：解析：由于 01+02+01+02=06+=1，即 +=04， 又 05=PX 2 +Y 2 =1=PX 2 =0，Y 2 =1+PX 2 =1，Y 2 =0 =PX=0，Y=1+PX=0，Y=-1+PX=1，Y=0 =+01+01。 故=03，=01。 那么 PX 2 Y 2 =1=PX 2 =1，Y 2 =1=PX=1，Y=1+PX=1，Y=-1 =02+=03。18.设相互独立的两个随机变量 X和 Y均服从标准正态分布，则随机变量 X-Y
17、的概率密度函数的最大值等于 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据题意可知，X-YN(0，2)，其概率密度函数 f(x)的最大值在 x=0处，最大值为19.设随机量 X和 Y相互独立，其概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：20.设随机变量 X和 Y相互独立，且 XN(0，1)，YN(0，2)，则 E(X 2 +Y)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：因为 X和 Y相互独立，所以 X 2 与 Y相互独立， E(X 2 +Y)=E(X 2 )+E(Y)， 由于XN(
18、0，1)，所以 E(X)=0，D(X)=1。 因此 E(X 2 )=D(X)+(EX) 2 =1，YN(0，2)，故 E(Y)=0，所以 E(X 2 +Y)=1。三、解答题(总题数：9，分数：18.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：22.已知 P(A)=05，P(B)=07，则()在怎样的条件下，P(AB)取得最大值?最大值是多少?()在怎样的条件下，P(AB)取得最小值?最小值是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由于 因此 P(AB)P(A)，P(AB)P(B)， 即 P(AB)minP(A)，P(B)。已知 P(A)=05
19、，P(B)=07，所以 P(AB)minP(A)，P(B)=P(A)=05， P(AB)的最大值是05，P(AB)=P(A)=05 成立的条件是 AB=A，即 A )解析：23.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据分布函数的定义，有 F Y (y)=PYy=Pe X y= 于是当 y1 的时候，满足 F Y (y)=PXlny= 因此所求概率密度函数为 )解析：24.编号为 1，2，3 的三个球随意放入编号为 1，2，3 的三个盒子中，每盒仅放一个球，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求出 X i 的分布，而后再求得联合分布的部分值，从而求得
20、联合分布。 如果将3个数的任一排列作为一个基本事件，则基本事件总数为 3!=6，PX 1 =1=P1号球落入 1号盒= ，PX 1 =0=1- ，同理，PX 2 =1= ，PX 2 =0= 又 PX 1 =1，X 2 =1=P1号球落入 1号盒，2 号球落入 2号盒= ，依次可求得(X 1 ，X 2 )的联合分布为 )解析：25.设随机变量 X和 Y的联合密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()根据题意可得，当 x (0，1)时，f(x)=0；当 0x1，有 ()事件“X 大于 Y”的概率 ()条件概率 )解析：26.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3件合格品和 3
21、件次品，乙箱中仅装有 3件合格品。从甲箱中任取 3件产品放入乙箱后，求： ()乙箱中次品件数的数学期望； ()从乙箱中任取一件产品是次品的概率。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()X 的可能取值为 0，1，2，3，所以 X的概率分布为 ()设 A表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于X=0，X=1，X=2，X=3构成完备事件组，因此根据全概率公式，有 )解析：27.设由流水线加工的某种零件的内径 X(单位：毫米)服从正态分布 N(，1)，内径小于 10或大于 12的为不合格品，其余为合格品。销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损。已知销售利润 T(单位：元)与销售零件的内径
22、X有如下关系： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：依据数学期望的计算公式及一般正态分布的标准化方法，有 E(T)=-1PX10+20P10X12-5PX12 =-(10-)+20(12-)-(10-)-51-(12-) =25(12-)-21(10-)-5， 可知销售利润的数学期望 E(T)是 的函数。要求 E(T)的最大值，令其一阶导数为 0，有 因实际问题一定可取到最值，所以当 )解析：28.设 X的概率密度为 X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本。 ()求 的矩估计量 ； ()求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() ()因为 )解析：29.设总体 X的概率密度为 其中参数 (01)未知。X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的简单随机样本， 是样本均值。 ()求参数 的矩估计量 ()判断 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
