1、考研数学一（概率论与数理统计）-试卷 12及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 X是随机变量，EX0 且 E(X 2 )=07，DX=02，则以下各式成立的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.已知随机变量 X n (n=1，2，)相互独立且都在(-1，1)上服从均匀分布，根据独立同分布中心极限定理有 （分数：2.00）A.(0)B.(1)C.D.(2)4.设 X 1 ，X 2 ，X n 是总体 N(， 2 )的样本， ，则服从自由度为
2、n-1的 t分布的随机变量是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.设总体 X服从正态分布 N(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体的简单随机样本，样本均值为 ，样本方差为 S 2 ，则服从 2 (n)的随机变量为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设总体 X与 Y都服从正态分布 N(0， 2 )，已知 X 1 ，X 2 ，X m 与 Y 1 ，Y 2 ，Y n 是分别来自总体 X与 Y的两个相互独立的简单随机样本，统计量 Y= = ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.若 X 1 ，X 2 ，X 3 两两不相关
3、，且 DX i =1(i=1，2，3)，则 D(X 1 +X 2 +X 3 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设相互独立的两个随机变量 X，Y 具有同一分布律，且 X的分布律为： （分数：2.00）填空项 1:_9.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，且 X 1 B （分数：2.00）填空项 1:_10.设随机变量 X与 Y的分布律为 且相关系数 （分数：2.00）填空项 1:_11.设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 XN(0，3)，YN(0，4)，相关系数 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：36.00)12.解答题解答应写出文
4、字说明、证明过程或演算步骤。_13.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_14.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自对数级数分布 （分数：2.00）_15.设总体 X服从参数为 N和 p的二项分布，X 1 ，X 2 ，X n 为取自 X的样本，试求参数 N和 p的矩估计（分数：2.00）_16.设总体 X的分布列为截尾几何分布 PX=l= k-1 (1-)，k=1，2，r， PX=r+1= r ， 从中抽得样本 X 1 ，X 2 ，X n ，其中有 m个取值为 r+1，求 的极大似然估计（分数：2.00）_设总体 X服从正态分布 N(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是其样本（分
5、数：4.00）(1).求 C使得 （分数：2.00）_(2).求 k使得 （分数：2.00）_17.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的一个样本 （分数：2.00）_18.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自均匀分布在0，上的一个样本，试证：T n =maxX 1 ，X 2 ，X n 是 的相合估计（分数：2.00）_已知 X具有概率密度 （分数：4.00）(1).求未知参数 的矩估计和最大似然估计；（分数：2.00）_(2).验证所求得的矩估计是否为 的无偏估计（分数：2.00）_19.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 3 是来自 X的样本，试证：估计量 （分数
6、：2.00）_20.设 X 1 ，X 2 ，X n 为总体 X的一个样本，设 EX=，DX= 2 ，试确定常数 C，使 （分数：2.00）_21.设总体服从 U0，X 1 ，X 2 ，X N 为总体的样本证明： （分数：2.00）_22.设从均值为 ，方差为 2 0 的总体中分别抽取容量为 n 1 ，n 2 的两个独立样本，样本均值分别为 证明：对于任何满足条件 a+b=1的常数 a，b， （分数：2.00）_23.设 X 1 ，X 2 ，X n 独立同分布，X 1 的取值有四种可能，其概率分布分别为： p 1 =1-，p 2 =- 2 ，p 3 = 2 - 3 ，p 4 = 3 ，记 N j
7、 为 X 1 ，X 2 ，X n 中出现各种可能的结果的次数，N 1 +N 2 +N 3 +N 4 =n确定 a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 使 （分数：2.00）_设总体 XN( 1 ， 2 )，YN( 2 ， 2 )从总体 X，Y 中独立地抽取两个容量为 m，n 的样本 X 1 ，X m 和 Y 1 ，Y N 记样本均值分别为 （分数：4.00）C；_(2).Z的方：差 DZ（分数：2.00）_24.设有 K台仪器，已知用第 i台仪器测量时，测定值总体的标准差为 i ，i=1，2，K，用这些仪器独立地对某一物理量 各观察一次，分别得到 X 1 ，X 2 ，X k ，设仪器都没有系统误
8、差，即 E(X i )=，i=1，2，k，试求：a 1 ，a 2 ，a k 应取何值，使用 是无偏的，并且 （分数：2.00）_考研数学一（概率论与数理统计）-试卷 12答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 X是随机变量，EX0 且 E(X 2 )=07，DX=02，则以下各式成立的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析： ，于是由切比雪夫不等式知3.已知随机变量 X n (n=1，2，)相互独立且都在(-1，1)上服从均匀分
9、布，根据独立同分布中心极限定理有 （分数：2.00）A.(0)B.(1)C. D.(2)解析：解析：由题设知 EX n =0，DX n = 由中心极限定理，对任意 x有 4.设 X 1 ，X 2 ，X n 是总体 N(， 2 )的样本， ，则服从自由度为 n-1的 t分布的随机变量是( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：5.设总体 X服从正态分布 N(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体的简单随机样本，样本均值为 ，样本方差为 S 2 ，则服从 2 (n)的随机变量为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由于总体 XN(， 2 )，所以 与
10、S 2 独立，由 2 分布的可加性，我们仅需确定服从 2 (1)的随机变量因为 6.设总体 X与 Y都服从正态分布 N(0， 2 )，已知 X 1 ，X 2 ，X m 与 Y 1 ，Y 2 ，Y n 是分别来自总体 X与 Y的两个相互独立的简单随机样本，统计量 Y= = ( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：应用 t分布的典型模式由于 ，U 与 V相互独立，由 t分布的典型模式二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.若 X 1 ，X 2 ，X 3 两两不相关，且 DX i =1(i=1，2，3)，则 D(X 1 +X 2 +X 3 )= 1（分数：2.00）填空项 1:
11、_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：因为 X 1 ，X 2 ，X 3 两两不相关，所以 Cov(X i ，X j )=0(ij)，于是 D(X 1 +X 2 +X 3 )=D(X 1 +X 2 )+X 3 =D(X 1 +X 2 )+DX 3 +2Cov(X 1 +X 2 ，X 3 ) =DX 1 +DX 2 +DX 3 +2Cov(X 1 ，X 2 )+2Cov(X 1 ，X 3 )+2Cov(X 2 ，X 3 ) =DX 1 +DX 2 +DX 3 =38.设相互独立的两个随机变量 X，Y 具有同一分布律，且 X的分布律为： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*
12、）解析：解析：PZ=0=PX=0，Y=0=PX=0PY=0= PZ=1=1-PZ=0=9.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，且 X 1 B （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：EX 1 (X 1 +X 2 -X 3 )=E( +X 1 X 2 -X 1 X 3 ) =E( )+EX 1 EX 2 -EX 1 EX 3 =DX 1 +(EX 1 ) 2 +EX 1 EX 2 -EX 1 EX 3 = 10.设随机变量 X与 Y的分布律为 且相关系数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设(X，Y)的分布律为
13、(X，Y)的边缘分布律也表示于表中)，则 E(EY)=p 11 从而有 由此得 所以(X，Y)的分布律为 11.设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 XN(0，3)，YN(0，4)，相关系数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：16，分数：36.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：13.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求矩估计： 再求极大似然估计： )解析：14.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自对数级数分布 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为 p
14、很难解出来，所以再求总体的二阶原点矩 )解析：15.设总体 X服从参数为 N和 p的二项分布，X 1 ，X 2 ，X n 为取自 X的样本，试求参数 N和 p的矩估计（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 解之得 N= 1 P， )解析：16.设总体 X的分布列为截尾几何分布 PX=l= k-1 (1-)，k=1，2，r， PX=r+1= r ， 从中抽得样本 X 1 ，X 2 ，X n ，其中有 m个取值为 r+1，求 的极大似然估计（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 解似然方程 得 的极大似然估计 )解析：设总体 X服从正态分布 N(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是其
15、样本（分数：4.00）(1).求 C使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).求 k使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的一个样本 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由切比雪夫不等式，对任意的 0 有 )解析：18.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自均匀分布在0，上的一个样本，试证：T n =maxX 1 ，X 2 ，X n 是 的相合估计（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：T n =X (n) 的分布函数为 T n 的密度为 f T (t)=F“ T (t)=nf(t)F n-
16、1 (t)= 由切比雪夫不等式有 当 n时， )解析：已知 X具有概率密度 （分数：4.00）(1).求未知参数 的矩估计和最大似然估计；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求矩估计 再求最大似然估计 得 a的最大似然估计 )解析：(2).验证所求得的矩估计是否为 的无偏估计（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对矩估计 )解析：19.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 3 是来自 X的样本，试证：估计量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设 X 1 ，X 2 ，X n 为总体 X的一个样本，设 EX=，DX= 2 ，试确定常数 C，使 （分数
17、：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设总体服从 U0，X 1 ，X 2 ，X N 为总体的样本证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： .由切比夫不等式有： )解析：22.设从均值为 ，方差为 2 0 的总体中分别抽取容量为 n 1 ，n 2 的两个独立样本，样本均值分别为 证明：对于任何满足条件 a+b=1的常数 a，b， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意得： 故 T是 的无偏估计量 )解析：23.设 X 1 ，X 2 ，X n 独立同分布，X 1 的取值有四种可能，其概率分布分别为： p 1 =1-，p 2 =- 2 ，p 3 = 2 - 3 ，p
18、 4 = 3 ，记 N j 为 X 1 ，X 2 ，X n 中出现各种可能的结果的次数，N 1 +N 2 +N 3 +N 4 =n确定 a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 N i B(n，p i )，i=1，2，3，4，所以 EN i =p i ，从而有： ET= =a 1 n(1-)+a 2 n(- 2 )+a 3 n( 2 - 3 )+a 4 n 3 =na 1 +n(a 2 -a 1 )+n(a 3 -a 2 ) 2 +n(a 4 -a 3 ) 3 若使 T是 的无偏估计，即要求 解之得：a 1 =0，a 2 =a 3 =a 4 =
19、即 T= )解析：设总体 XN( 1 ， 2 )，YN( 2 ， 2 )从总体 X，Y 中独立地抽取两个容量为 m，n 的样本 X 1 ，X m 和 Y 1 ，Y N 记样本均值分别为 （分数：4.00）C；_正确答案：(正确答案： )解析：(2).Z的方：差 DZ（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设有 K台仪器，已知用第 i台仪器测量时，测定值总体的标准差为 i ，i=1，2，K，用这些仪器独立地对某一物理量 各观察一次，分别得到 X 1 ，X 2 ，X k ，设仪器都没有系统误差，即 E(X i )=，i=1，2，k，试求：a 1 ，a 2 ，a k 应取何值，使用 是无偏的，并且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 令函数 g(a 1 ，a 2 ，a k )= ，问题归结为多元函数 g(a 1 ，a 2 ，a k )在条件 之下的最小值 作拉格朗日函数：G(a 1 ，a 2 ，a k ，)=g(a 1 ，a 2 ，a k )+(a 1 +a 2 +a k -1) )解析：
