1、考研数学一（概率论与数理统计）-试卷 11及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 X 1 ，X 2 ，X 8 和 Y 1 ，Y 2 ，Y 10 分别是来自正态总体 N(-1，4)和 N(2，5)的简单随机样本，且相互独立， 分别为这两个样本的方差，则服从 F(7，9)分布的统计量是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设总体 XN(a， 2 )，YN(b， 2 )相互独立分别从 X和 Y中各抽取容量为 9和 10的简单随机样本，记它们的方差为
2、 ，则这四个统计量 中，方差最小者是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 x 1 ，x 2 ，x n 是来自总体 XN(， 2 )(， 2 都未知)的简单随机样本的观察值，则 2 的最大似然估计值为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.设总体 XP()( 为未知参数)，X 1 ，X 4 ，X n 是来自总体 X的简单随机样本，其均值与方差分别 （分数：2.00）A.-1B.0C.D.1二、填空题(总题数：10，分数：20.00)6.设总体 XP()，X 1 ，X 2 ，X n 是来自 X的简单随机样本，它的均值和方差分别为 和 S 2 ，则 （分数：2.00）填空项 1
3、:_7.设总体 X和 Y相互独立，且分别服从正态分布 N(0，4)和 N(0，7)，X 1 ，X 2 ，X 8 和 Y 1 ，Y 2 ，Y 14 分别来自总体 X和 Y的简单随机样本，则统计量 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 X 1 ，X 2 ，X 3 是来自总体 N(0， 2 )的简单随机样本，记 U=X 1 +X 2 与 V=X 2 +X 3 ，则(U，V)的概率密度为 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设 X 1 ，X 2 是来自总体 N(0， 2 )的简单随机样本，则查表得概率 （分数：2.00）填空项 1:_10.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_1
4、1.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 是来自正态总体 XN(， 2 )的样本，则统计量 （分数：2.00）填空项 1:_12.设总体 XN(a，2)，YN(b，2)，且独立，由分别来自总体 X和 y的容量分别为 m和 n的简单随机样本得样本方差 （分数：2.00）填空项 1:_13.设总体 X的密度函数为 f(x；)= （分数：2.00）填空项 1:_14.设总体 X的方差为 1，根据来自 X的容量为 100的简单随机样本，测得样本均值为 5，则 X的数学期望的置信度近似等于 095 的置信区间为 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设总体 XN(，8)，X 1 ，X 2 ，X 3
5、6 是来自 X的简单随机样本， 是它的均值如果 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：30.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_17.独立地重复进行某项试验，直到成功为止，每次试验成功的概率为 p假设前 5次试验每次的试验费用为 10元，从第 6次起每次的试验费用为 5元试求这项试验的总费用的期望值 a（分数：2.00）_18.利用列维一林德伯格定理，证明：棣莫弗-拉普拉斯定理（分数：2.00）_某保险公司接受了 10000辆电动自行车的保险，每辆车每年的保费为 12元若车丢失，则赔偿车主 1000元假设车的丢失率为 0006，对于此项业务，试
6、利用中心极限定理，求保险公司：（分数：6.00）(1).亏损的概率 a；（分数：2.00）_(2).一年获利润不少于 40000元的概率 ；（分数：2.00）_(3).一年获利润不少于 60000元的概率 （分数：2.00）_将 n个观测数据相加时，首先对小数部分按“四舍五入”舍去小数位后化为整数试利用中心极限定理估计：（分数：4.00）(1).试当 n=1500时求舍位误差之和的绝对值大于 15的概率；（分数：2.00）_(2).估计数据个数 n满足何条件时，以不小于 90的概率，使舍位误差之和的绝对值小于 10的数据个数n（分数：2.00）_19.设 X是任一非负(离散型或连续型)随机变量
7、，已知 的数学期望存在，而 0 是任意实数，证明：不等式 （分数：2.00）_20.设事件 A出现的概率为 p=05，试利用切比雪夫不等式，估计在 1000次独立重复试验中事件 A出现的次数在 450到 550次之间的概率 a（分数：2.00）_设来自总体 X的简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n ，总体 X的概率分布为 （分数：6.00）(1).未知参数 的最大似然估计量；（分数：2.00）_(2).未知参数 的矩估计量；（分数：2.00）_(3).当样本值为 1，1，2，1，3，2 时的最大似然估计值和矩估计值（分数：2.00）_21.假设一批产品的不合格品数与合格品数之比为 R(未知
8、常数)现在按还原抽样方式随意抽取的 n件中发现是件不合格品试求 R的最大似然估计值（分数：2.00）_假设总体 X在区间0，上服从均匀分布，X 1 ，X 2 ，X n 是来自 X的简单随机样本，试求：（分数：4.00）(1).端点 的最大似然估计量；（分数：2.00）_(2).端点 置信水平为 095 的置信区间（分数：2.00）_考研数学一（概率论与数理统计）-试卷 11答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 X 1 ，X 2 ，X 8 和 Y
9、1 ，Y 2 ，Y 10 分别是来自正态总体 N(-1，4)和 N(2，5)的简单随机样本，且相互独立， 分别为这两个样本的方差，则服从 F(7，9)分布的统计量是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由3.设总体 XN(a， 2 )，YN(b， 2 )相互独立分别从 X和 Y中各抽取容量为 9和 10的简单随机样本，记它们的方差为 ，则这四个统计量 中，方差最小者是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由 所以，方差最小者为4.设 x 1 ，x 2 ，x n 是来自总体 XN(， 2 )(， 2 都未知)的简单随机样本的观察值，则 2 的最大似然估计值
10、为 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：在 未知时， 2 的最大似然估计值为 5.设总体 XP()( 为未知参数)，X 1 ，X 4 ，X n 是来自总体 X的简单随机样本，其均值与方差分别 （分数：2.00）A.-1B.0C. D.1解析：解析：要使 是 的无偏估计量，应有 ，即 aE( )+(2-3a)E(S 2 )= 由于 =EX-，E(S 2 )=DX=，将它们代入得 a+(2-3a)=，即 a= 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)6.设总体 XP()，X 1 ，X 2 ，X n 是来自 X的简单随机样本，它的均值和方差分别为 和 S 2 ，则 （分数：2
11、.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：7.设总体 X和 Y相互独立，且分别服从正态分布 N(0，4)和 N(0，7)，X 1 ，X 2 ，X 8 和 Y 1 ，Y 2 ，Y 14 分别来自总体 X和 Y的简单随机样本，则统计量 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由8.设 X 1 ，X 2 ，X 3 是来自总体 N(0， 2 )的简单随机样本，记 U=X 1 +X 2 与 V=X 2 +X 3 ，则(U，V)的概率密度为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由(X 1 ，X 2 ，X 3 )服从三
12、维正态分布知，X 1 ，X 2 ，X 3 的线性函数组成的二维随机变量(U，V)也服从二维正态分布，记为 ，其中 1 =EU=E(X 1 +X 2 )=EX 1 +EX 2 =0， =DU=D(X 1 +X 2 )=DX 1 +DX 2 =2 2 ， 2 =EV=E(X 2 -X 3 )=EX 2 -EX 3 =0， =DV=D(X 2 -X 3 )=DX 2 +DX 3 =2 2 ， 所以(U，V)的概率密度为 9.设 X 1 ，X 2 是来自总体 N(0， 2 )的简单随机样本，则查表得概率 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：09）解析：解析：(X 1 ，X 2 )服
13、从二维正态分布，所以(X 1 +X 2 ，X 1 -X 2 )也服从二维正态分布，并且由X 1 +X 2 N(0，2 2 )，X 1 -X 2 N(0，2 2 )知 Cov(X 1 +X 2 ，X 1 -X 2 )=DX 1 -DX 2 =0，即 X 1 +X 2 与 X 1 -X 2 相互独立此外 ，所以， 10.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：似然函数为 解似然方程得 的极大似然估计值为11.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 是来自正态总体 XN(， 2 )的样本，则统计量 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案
14、：正确答案：t(2)）解析：解析：因为 XN(， 2 )，所以 X 3 -X 4 N(0，2 2 )， 12.设总体 XN(a，2)，YN(b，2)，且独立，由分别来自总体 X和 y的容量分别为 m和 n的简单随机样本得样本方差 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 2 (m+n-2)）解析：解析：因为 13.设总体 X的密度函数为 f(x；)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：似然函数为 L(x 1 ，x 2 ，x n ；) (0x i 1，0，i=1，2，n)， 取对数得 lnL(x 1 ，x 2 ，x n ；)= (0x i 1
15、，0，i=1，2，n)， 令 14.设总体 X的方差为 1，根据来自 X的容量为 100的简单随机样本，测得样本均值为 5，则 X的数学期望的置信度近似等于 095 的置信区间为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(4804，5196)(答(48，52)也对)）解析：解析：设样本为 X 1 ，X 2 ，X n ，EX=，DX= 2 ， 由中心极限定理知，当 n充分大时有： 近似服从 N(0，1)，于是 即 的置信度近似为 1-a的置信区间是 15.设总体 XN(，8)，X 1 ，X 2 ，X 36 是来自 X的简单随机样本， 是它的均值如果 （分数：2.00）填空项 1
16、:_ （正确答案：正确答案：0966）解析：解析：由题设可知 三、解答题(总题数：10，分数：30.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：17.独立地重复进行某项试验，直到成功为止，每次试验成功的概率为 p假设前 5次试验每次的试验费用为 10元，从第 6次起每次的试验费用为 5元试求这项试验的总费用的期望值 a（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：以 X表示“试验的总次数”，首先求 X的概率分布设 A k =第 k次试验成功(k=1，2，)，则 P(A k )=p，X 的概率分布为 PX=n= =pq n-1 (n=1，2，)， 其中 q=1-p于是试验的总次
17、数 X服从参数为户的 p何分布 现在求试验的总费用的期望值 a由条件知，试验的总费用为 该项试验的总费用 Y是一随机变量，其期望值为 )解析：18.利用列维一林德伯格定理，证明：棣莫弗-拉普拉斯定理（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，同服从 0-1分布； EX i =p，DX i =pq(i=1，2，n)， S n =X 1 +X 2 +X n ，ES=np，DS n =npq，其中 q=1-pX 1 ，X 2 ，X n 满足列维一林德伯格定理的条件：X 1 ，X 2 ，X n 独立同分布且数学期望和方差存在，当 n充分大时近似地 S n
18、 N(np，npq)解析：某保险公司接受了 10000辆电动自行车的保险，每辆车每年的保费为 12元若车丢失，则赔偿车主 1000元假设车的丢失率为 0006，对于此项业务，试利用中心极限定理，求保险公司：（分数：6.00）(1).亏损的概率 a；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 X为需要赔偿的车主人数，则需要赔偿的金额为 Y=01X(万元)；保费总收入C=12万元易见，随机变量 X服从参数为(n，p)的二项分布，其中n=10000，p=0006；EX=np=60，DX=np(1-p)=5964由棣莫弗一拉普拉斯定理知，随机变量 X近似服从正态分布 N(60，5964)，随机变量
19、Y近似服从正态分布 N(6，05964) 保险公司亏损的概率 )解析：(2).一年获利润不少于 40000元的概率 ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：保险公司一年获利润不少于 4万元的概率 )解析：(3).一年获利润不少于 60000元的概率 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：保险公司一年获利润不少于 6万元的概率 )解析：将 n个观测数据相加时，首先对小数部分按“四舍五入”舍去小数位后化为整数试利用中心极限定理估计：（分数：4.00）(1).试当 n=1500时求舍位误差之和的绝对值大于 15的概率；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 X i 是“第 i个数据的舍
20、位误差”，由条件可以认为 X i 独立且都在区间-05，05上服从均匀分布，从而 EX i =0，DX i =112记 S n =X 1 +X 2 +X n 为 n个数据的舍位误差之和，则 ES n =0，DS n =n12根据列维一林德伯格中心极限定理，当 n充分大时 S n 近似服从N(0，n12)记 (x)为 N(0，1)的分布函数 由于 近似服从标准正态分布，且 n=1500，可见 )解析：(2).估计数据个数 n满足何条件时，以不小于 90的概率，使舍位误差之和的绝对值小于 10的数据个数n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：数据个数 n应满足条件： )解析：19.设 X是任一
21、非负(离散型或连续型)随机变量，已知 的数学期望存在，而 0 是任意实数，证明：不等式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 X是离散型随机变量，其一切可能值为x i ，则 (2)设 X是连续型随机变量，其概率密度为 f(x)，则 )解析：20.设事件 A出现的概率为 p=05，试利用切比雪夫不等式，估计在 1000次独立重复试验中事件 A出现的次数在 450到 550次之间的概率 a（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 u n 是“1000 次独立重复试验中事件 A出现的次数”，则 n B(1000，05)，EX=100005=500，DX=100005 2 =250
22、利用切比雪夫不等式，知 a=P450u n 550=Pu n -500501- )解析：设来自总体 X的简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n ，总体 X的概率分布为 （分数：6.00）(1).未知参数 的最大似然估计量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：求参数 的最大似然估计量样本 X 1 ，X 2 ，X n 中 1，2 和 3出现的次数分别为 v 1 ，v 2 和，n-v 1 -v 2 ，则似然函数和似然方程为 似然方程的唯一解就是参数 的最大似然估计量 )解析：(2).未知参数 的矩估计量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：求参数 的矩估计量总体 X的数学期望为 EX=
23、 2 +4(1-)+3(1-) 2 在上式中用样本均值 估计数学期望 EX，可得 的矩估计量 )解析：(3).当样本值为 1，1，2，1，3，2 时的最大似然估计值和矩估计值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对于样本值 1，1，2，1，3，2，由上面得到的一般公式，可得最大似然估计值矩估计值 )解析：21.假设一批产品的不合格品数与合格品数之比为 R(未知常数)现在按还原抽样方式随意抽取的 n件中发现是件不合格品试求 R的最大似然估计值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 a是这批产品中不合格品的件数，b 是合格品的件数从而，a=Rb，合格品率为 设 X是“随意抽取的一件产品中
24、不合格品的件数”，则 X服从参数为 p的 0-1分布对于来自总体 X的简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n ，记 v n =X 1 +X 2 +X n ，则似然函数和似然方程为 由条件知 v n =X 1 +X 2 +X n =k，于是似然方程的唯一解 )解析：假设总体 X在区间0，上服从均匀分布，X 1 ，X 2 ，X n 是来自 X的简单随机样本，试求：（分数：4.00）(1).端点 的最大似然估计量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 X (n) =maxX 1 ，X 2 ，X n )由总体 X的分布函数 F(x)= (0x)知，X (n) 的分布函数为 F (n) (x)
25、= (0x) 总体 X的概率密度函数为f(x；)= 未知参数 的似然函数为 由于似然函数 L()无驻点，需要直接求 L()的最大值点，记 X (n) =maxX 1 ，X 2 ，X n ；由于当 X (n) 时，L()=0；当 X (n) 时，L()随 减小而增大，所以当 =X (n) 时 L()达到最大值，故 =X (n) 就是未知参数 的最大似然估计量 现在讨论估计量 =X (n) 的无偏性为此，首先求 =X (n) 的概率分布总体 X的分布函数为 由于 X 1 ，X 2 ，X n 独立同分布，则 =X (n) 的分布函数为 F (n) (x)=PX (n) x=PX 1 x，X n x )解析：(2).端点 置信水平为 095 的置信区间（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：求端点 的 095 置信区间选统计量 利用 X (n) 的分布函数 F (n) (x)，确定两个常数 1 和 2 ，使之满足下列关系式： )解析：
