1、考研数学一（概率统计）-试卷 6 及答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 X 和 Y 分别表示扔 n 次硬币出现正面和反面的次数，则 X，Y 的相关系数为( )（分数：2.00）A.一 1B.0C.D.13.设随机变量 XU一 1，1，则随机变量 U=arcsinX，V=arccosX 的相关系数为( )（分数：2.00）A.一 1B.0C.D.14.对于随机变量 X 1 ，X 2 ，X n ，下列说法不正确的是( )（分数：2.00）A.若 X 1
2、，X 2 ，X n 两两不相关，则 D(X 1 ，X 2 ，X n )= B.若 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，则 D(X 1 ，X 2 ，X n )=D(X 1 )+D(X 2 )+D(X n )C.若 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布，服从 N(0， 2 )，则 D.若 D(X 1 +X 2 +X n )=D(X 1 )+D(X 2 )+D(X n )，则 X 1 ，X 2 ，X n 两两不相关5.设(X，Y)服从二维正态分布，其边缘分布为 XN(1，1)，YN(2，4)，X，Y 的相关系数为 XY =一05，且 P(aX+bY1)=05，则( ) （分数：2.00）A.
3、B.C.D.二、填空题(总题数：9，分数：18.00)6.设随机变量 X 与 Y 的相关系数为 （分数：2.00）填空项 1:_7.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_8.设 X 的分布函数为 F(x)= （分数：2.00）填空项 1:_9.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_10.设随机变量 XP()，且 E(X 一 1)(X 一 2)=1，则 = 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设每次试验成功的概率为 02，失败的概率为 08，设独立重复试验直到成功为止的试验次数为 X，则 E(X)= 1（分数：2.00）
4、填空项 1:_12.设随机变量 X，Y 不相关，XU(3，3)，Y 的密度为 f Y (y)= （分数：2.00）填空项 1:_13.将一均匀的骰子连续扔六次，所出现的点数之和为 X，用切比雪夫不等式估计 P(14X28)= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 X 1 ，X 2 ，X 100 相互独立且在区间一 1，1上同服从均匀分布，则由中心极限定理 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：21，分数：42.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_16.设随机变量 X，Y 相互独立，且 X （分数：2.00）_17.设随机变量 X，Y
5、 相互独立，且 XP(1)，YP(2)，求 Pmax(X，Y)0及 Pmin(X，Y)0（分数：2.00）_18.设随机变量 X，Y 相互独立，且 X （分数：2.00）_19.n 把钥匙中只有一把可以把门打开，现从中任取一把开门，直到打开门为止，下列两种情况分别求开门次数的数学期望和方差： (1)试开过的钥匙除去； (2)试开过的钥匙重新放回（分数：2.00）_20.设一部机器一天内发生故障的概率为 （分数：2.00）_21.设由自动生产线加工的某种零件的内径 X(毫米)服从正态分布 N(，1)，内径小于 10 或大于 12 为不合格品，其余为合格产品销售合格品获利，销售不合格产品亏损，已知
6、销售利润 T(单位：元)与销售零件的内径 X 有如下关系： （分数：2.00）_22.某商店经销某种商品，每周进货数量 X 与顾客对该种商品的需求量 Y 之间是相互独立的，且都服从10，20上的均匀分布商店每出售一单位商品可获利 1000 元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利 500 元，计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值（分数：2.00）_23.设随机变量 X，Y 相互独立，且 X （分数：2.00）_24.设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，令 U= （分数：2.00）_25.设有 20 人在某 11 层楼的底层乘电梯上楼，电梯在途中只下不
7、上，每个乘客在哪一层下等可能，且乘客之间相互独立，求电梯停的次数的数学期望（分数：2.00）_26.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）_27.设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 XN(1，3 2 )，YN(0，4 2 )，且 X，Y 的相关系数为一 （分数：2.00）_28.设随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)0x2，0y1上服从均匀分布，令 （分数：2.00）_29.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X m+n (mn)独立同分布，其方差为 2 ，令 Y= （分数：2.00）_30.设 X 1 ，X 2 ，X n (n2)相互独立且都服从 N(0，1)
8、，Y i =X i （分数：2.00）_31.设随机变量 X，Y 相互独立且都服从 N(， 2 )分布，令 Z=max(X，Y)，求 E(Z)（分数：2.00）_32.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立目在0，a上服从均匀分布，令 U=maxX 1 ，X 2 ，X n ，求 U 的数学期望与方差（分数：2.00）_33.电信公司将 n 个人的电话资费单寄给 n 个人，但信封上各收信人的地址随机填写，用随机变量 X 表示收到自己电话资费单的人的个数，求 E(X)及 D(X)（分数：2.00）_34.设 X，Y 为随机变量，且 E(X)=1，E(Y)=2，D(X)=4，D(Y)=9，
9、 XY =一 （分数：2.00）_35.一电路使用某种电阻一只，另外 35 只备用，若一只损坏，立即使用另一只更换，直到用完所有备用电阻为止设电阻使用寿命服从参数为 =001 的指数分布，用 X 表示 36 只电阻的使用总寿命，用中心极限定理估计 P(X4200)(1)=08413，(2)=09772)（分数：2.00）_考研数学一（概率统计）-试卷 6 答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 X 和 Y 分别表示扔 n 次硬币出现正面和反面的次数
10、，则 X，Y 的相关系数为( )（分数：2.00）A.一 1 B.0C.D.1解析：解析：设正面出现的概率为 P，则 XB(n，p)，Y=n 一 XB(n，1 一 p)， E(X)=np，D(X)=np(1 一p)，E(Y)=n(1 一 p)，D(y)=np(1 一 p)， Cov(X，Y)=Cov(X，n 一 X)=Cov(X，n)一 Cov(X，X)， 因为Cov(X，n)=E(nX)一 E(n)E(X)=nE(X)一 nE(X)=0， Cov(X，X)=D(X)=np(1p)，所以 XY = 3.设随机变量 XU一 1，1，则随机变量 U=arcsinX，V=arccosX 的相关系数为
11、( )（分数：2.00）A.一 1 B.0C.D.1解析：解析：当 PY=aX+b=1(a0)时， XY =1；当 PY=aX+b=1(a0)时， XY =一 1 因为arcsinx+arccosx= 4.对于随机变量 X 1 ，X 2 ，X n ，下列说法不正确的是( )（分数：2.00）A.若 X 1 ，X 2 ，X n 两两不相关，则 D(X 1 ，X 2 ，X n )= B.若 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，则 D(X 1 ，X 2 ，X n )=D(X 1 )+D(X 2 )+D(X n )C.若 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布，服从 N(0， 2 )，则 D.若
12、 D(X 1 +X 2 +X n )=D(X 1 )+D(X 2 )+D(X n )，则 X 1 ，X 2 ，X n 两两不相关 解析：解析：若 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，则(B)，(C)是正确的，若 X 1 ，X 2 ，X n 两两不相关，则(A)是正确的，选(D)5.设(X，Y)服从二维正态分布，其边缘分布为 XN(1，1)，YN(2，4)，X，Y 的相关系数为 XY =一05，且 P(aX+bY1)=05，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：因为(X，Y)服从二维正态分布，所以 aX+bY 服从正态分布， E(aX+bY)=a+2b， D(aX+bY)=
13、a 2 +4b 2 +2abCov(X，Y)=a 2 +4b 2 一 2ab， 即 aX+bYN(a+2b，a 2 +4b 2 一 2ab)， 由 P(aX+bY1)=05 得 a+2b=1，所以选(D)二、填空题(总题数：9，分数：18.00)6.设随机变量 X 与 Y 的相关系数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：18）解析：解析：D(X)=E(X 2 )一E(X) 2 =4，D(Y)=E(Y 2 )一E(Y) 2 =9， Cov(X，Y)= XY 7.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：
14、8.设 X 的分布函数为 F(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：06）解析：解析：随机变量 X 的分布律为 X 9.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：因为10.设随机变量 XP()，且 E(X 一 1)(X 一 2)=1，则 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：因为 XP()，所以 E(X)=，D(X)=，故 E(X 2 )=D(X)+E(X) 2 = 2 + 由 E(X一 1)(X 一 2)=E(X 2 一 3X+2)=E(X)一 3E(X)
15、+2= 2 一 2+2=1 得 =111.设每次试验成功的概率为 02，失败的概率为 08，设独立重复试验直到成功为止的试验次数为 X，则 E(X)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：X 的分布律为 P(X=k)=0208 k1 ，k=1，2， 12.设随机变量 X，Y 不相关，XU(3，3)，Y 的密度为 f Y (y)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13.将一均匀的骰子连续扔六次，所出现的点数之和为 X，用切比雪夫不等式估计 P(14X28)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*
16、）解析：解析：14.设 X 1 ，X 2 ，X 100 相互独立且在区间一 1，1上同服从均匀分布，则由中心极限定理 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：08413）解析：解析：三、解答题(总题数：21，分数：42.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：16.设随机变量 X，Y 相互独立，且 X （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 k 1 ( 1 + 2 )+k 2 ( 2 +X 3 )+k 3 Y 1 =0，整理得 (k 1 +Yk 3 ) 1 +(k 1 +k 2 ) 2 +Xk 2 3 =0 因为 1 ， 2 ，
17、 3 线性无关，所以有 又 1 + 2 ， 2 +X 3 ，Y 1 线性相关的充分必要条件是上述方程组有非零解，即 =0，从而 XY=0， 即 1 + 2 ， 2 +X 3 ，Y 1 线性相关的充分必要条件是 XY=0 注意到 X，Y 相互独立，所以 1 + 2 ， 2 +X 3 ，Y 1 线性相关的概率为 )解析：17.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XP(1)，YP(2)，求 Pmax(X，Y)0及 Pmin(X，Y)0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Pmax(X，Y)0=1 一 Pmax(X，Y)=0=1 一 P(X=0，Y=0) =1 一 P(X=0)P(Y=0)=1一 e
18、 -1 e -2 =1 一 e -3 Pmin(X，Y)0=1 一 Pmin(X，Y)=0， 令 A=X=0，B=Y=0，则min(X，Y)=0=A+B， 于是 Pmin(X，Y)=0=P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB) =e -1 +e -2 一 e -1 e -2 =e -1 +e -2 e -3 ， 故 Pmin(X，Y)0=1 一 e -1 一 e -2 +e -3 )解析：18.设随机变量 X，Y 相互独立，且 X （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F U (u)=P(Uu)=P(X+2Yu) =P(X 一 1)P(X+2YuX=1)+P(X=2)P(X+2YuX
19、=2) )解析：19.n 把钥匙中只有一把可以把门打开，现从中任取一把开门，直到打开门为止，下列两种情况分别求开门次数的数学期望和方差： (1)试开过的钥匙除去； (2)试开过的钥匙重新放回（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 X 为第一种情况开门次数，X 的可能取值为 1，2，n )解析：20.设一部机器一天内发生故障的概率为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设由自动生产线加工的某种零件的内径 X(毫米)服从正态分布 N(，1)，内径小于 10 或大于 12 为不合格品，其余为合格产品销售合格品获利，销售不合格产品亏损，已知销售利润 T(单位：元)与销
20、售零件的内径 X 有如下关系： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E(T)=一 1P(X10)+20P(10X12)一 5P(X12) =一 (10)+20(12)一 (10 一 )一 51 一 (12 一 ) =25(12)21(10)5 )解析：22.某商店经销某种商品，每周进货数量 X 与顾客对该种商品的需求量 Y 之间是相互独立的，且都服从10，20上的均匀分布商店每出售一单位商品可获利 1000 元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利 500 元，计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 R 为商店
21、每周的利润，则有 R= 因为 X，Y 相互独立且都服从10，20上的均匀分布，所以(X，Y)的联合密度函数为 )解析：23.设随机变量 X，Y 相互独立，且 X （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，令 U= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 X 服从参数为 2 的指数分布，所以 X 的分布函数为 (U，V)的可能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1) P(U=0，V=0)=P(X1，X2)=P(X1)=F(1)=1 一 e -2 ； P(U=0，V=1)=P(X1，X2)=0； P(U=1，V=
22、1)=P(X1，X2)=P(X2)=1 一 F(2)=e -4 ； P(U=1，V=0)=P(X1，X2)=e -2 一 e -4 (U，V)的联合分布律为 E(U)=e 2 ，E(V)=e -4 ，E(UV)=e -4 ，E(U 2 )=e -2 ，E(V2)=e -4 ，则 D(U)=E(U 2 )一E(U) 2 =e -2 一 e -4 ，D(V)=E(V 2 )一E(V) 2 =e -4 一 e -8 ， Cov(U，V)=E(UV)一 E(U)E(V)=e -4 一 e -6 ， 于是 UV = )解析：25.设有 20 人在某 11 层楼的底层乘电梯上楼，电梯在途中只下不上，每个乘
23、客在哪一层下等可能，且乘客之间相互独立，求电梯停的次数的数学期望（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用随机变量分解法 )解析：26.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)E(X)= - + xf(x)dx=0， D(X)=E(X 2 )一E(X) 2 =l x 2 f(x)dx=l x 2 e -X dx= )解析：27.设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 XN(1，3 2 )，YN(0，4 2 )，且 X，Y 的相关系数为一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.设随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y
24、)0x2，0y1上服从均匀分布，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)P(XY)= ， (U，V)的可能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1) P(U=0，V=1)=P(XY，X2Y)=0； )解析：29.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X m+n (mn)独立同分布，其方差为 2 ，令 Y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 X 1 ，X 2 ，X m+n 相互独立，所以 D(Y)= D(X m+k )=n 2 (2)Cov(Y，Z)=Cov(X 1 +X m )+(X m+1 +X n )，X m+1 +X m+n =Cov(X 1 +X m
25、 ，X m+1 +X m+n )+Cov(X m+1 +X n ，X m+1 +X m+n ) =D(X m+1 +X n )+Cov(X m+1 +X n ，X n+1 +X m+n ) =(nm) 2 )解析：30.设 X 1 ，X 2 ，X n (n2)相互独立且都服从 N(0，1)，Y i =X i （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为 X 1 ，X 2 ，X n 独立且都服从正态分布，所以 Y 1 +Y n 服从正态分布，E(Y 1 +Y n )=0P(Y 1 +Y n 0)= )解析：31.设随机变量 X，Y 相互独立且都服从 N(， 2 )分布，令 Z=max(X，Y
26、)，求 E(Z)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X，Y 都服从 N(， 2 )分布，所以 U= N(0，1)， 且 U，V 相互独立，则 X=U+，Y=V+，故 Z=max(X，Y)=max(U，V)+， 由 U，V 相互独立得(U，V)的联合密度函数为 f(u，v)= (一u，v+) 于是 E(Z)=Emax(U，V)+ )解析：32.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立目在0，a上服从均匀分布，令 U=maxX 1 ，X 2 ，X n ，求 U 的数学期望与方差（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F U (u)=P(Uu)=Pmax(X 1 ，X 2 ，X
27、 n )u =PX 1 u，X 2 u，X n u )解析：33.电信公司将 n 个人的电话资费单寄给 n 个人，但信封上各收信人的地址随机填写，用随机变量 X 表示收到自己电话资费单的人的个数，求 E(X)及 D(X)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A i =第 i 个人收到自己的电话资费单)，i=1，2，n，X i = ，i=1，2，n，则 X=X 1 u，X 2 u，X n )解析：34.设 X，Y 为随机变量，且 E(X)=1，E(Y)=2，D(X)=4，D(Y)=9， XY =一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 U=X+Y，则 E(U)=E(X)+E(Y)
28、=3， D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=4+9+2(一 )23=7， 于是X+Y 一 310=PUE(U)10 )解析：35.一电路使用某种电阻一只，另外 35 只备用，若一只损坏，立即使用另一只更换，直到用完所有备用电阻为止设电阻使用寿命服从参数为 =001 的指数分布，用 X 表示 36 只电阻的使用总寿命，用中心极限定理估计 P(X4200)(1)=08413，(2)=09772)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设第 i 只电阻使用寿命为 X i ， 则 X i E(001)，E(X i )=100，D(X i )=100 2 (i=1，2，36) )解析：
