1、考研数学一（概率与数理统计）-试卷 9 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设随机事件 A 与 B 相互独立，且 P(B)=05，P(A-B)=03，则 P(B-A)=( )（分数：2.00）A.0.1B.0.2C.0.3D.0.43.设三事件 A，B，C 相互独立且 0P(C)1，则下述事件中不独立的是：( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设随机变量 XN(0，1)，yN(1，4)，且相关系数 XY =1，则( )（分数：2.00）A.PY
2、=-2X-1=1B.PY=2X-1=1C.PY=-2X+1=1D.PY=2X+1=15.设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=03(x)+07 （分数：2.00）A.0B.03C.07D.1二、填空题(总题数：4，分数：8.00)6.一批产品有 10 个正品和 2 个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_7.设随机变量 X 服从均值为 2、方差为 2 的正态分布，且 P2X4=03，则 PX0= 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设随机变量服从参数为 1 的泊松分布，则 PX=EX 2 = 1（分数：2.00）填空
3、项 1:_9.对随机变量 X，Y，Z，已知 EX=EY=1，EZ=-1，DX=DY=1，DZ=4， (X，Y) =0， (X，Z) =13， (Y，Z) =-12，( 为相关系数)则 E(X+Y+Z)= 1，D(X+Y+Z)= 2，cov(2X+Y，3Z+X)= 3。（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：32.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_11.设随机变量 X 的概率密度函数为 ，求随机变量 （分数：2.00）_12.设随机变量 X 与 Y 相互独立，下表列出了二维随机变量(X，Y)联合分布律及关于 X 和关于
4、 Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处 （分数：2.00）_设随机变量 X 的概率密度为 （分数：4.00）(1).Y 的概率密度 f Y (y)；（分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_设随机变量 X 的概率密度为 令随机变量 （分数：4.00）(1).求 y 的分布函数；（分数：2.00）_(2).求概率 PXY（分数：2.00）_设一设备在任何长为 T 的时间内发生故障的次数 N(t)服从参数为 t 的泊松分布，求：（分数：4.00）(1).相继两次故障之间的时间间隔 T 的概率分布；（分数：2.00）_(2).在设备已无故障工作 8 小时的情况下，再无故
5、障运行 8 小时的概率（分数：2.00）_13.设 XN(0，1)，给定 X=x 条件下时 YN(x，1- 2 )(01)，求(X，Y)的密度以及给定 Y=y 条件下 X 的分布（分数：2.00）_14.设做一次实验的费用为 1000 元，如果实验失败，则要另外再花 300 元对设备调整才能进行下一次的实验，设各次实验相互独立，成功的概率均为 02，并假定实验一定要进行到出现成功为止，求整个实验程序的平均费用（分数：2.00）_15.现有奖券 100 万张，其中一等奖 1 张，奖金 5 万元；二等奖 4 张，每张奖金 2500 元；三等奖 40 张，每张奖金 250 元；四等奖 400 张，每
6、张奖金 25 元，而每张奖券 2 元，试计算买一张奖券的平均收益（分数：2.00）_16.设 X 1 ，X 2 ，X n 是同分布的随机变量，且 EX 1 =0，DX 1 =1，不失一般性地设 X 1 为连续型随机变量，证明：对任意的常数 0，有 （分数：2.00）_设 X 1 ，X 2 ，X m (n2)为来自总体 N(0，1)的简单随机样本， 为样本均值，记 Y i =X i - （分数：4.00）(1).Y i 的方差 DY i ，i=1，2，n；（分数：2.00）_(2).Y 1 与 Y n 的协方差 Cov(Y 1 ，Y 2 )（分数：2.00）_设总体 X 的概率密度为 （分数：4
7、.00）(1).求 的矩估计量；（分数：2.00）_(2).求 的最大似然估计量（分数：2.00）_考研数学一（概率与数理统计）-试卷 9 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设随机事件 A 与 B 相互独立，且 P(B)=05，P(A-B)=03，则 P(B-A)=( )（分数：2.00）A.0.1B.0.2 C.0.3D.0.4解析：解析：A 与 B 独立，P(AB)=P(A)P(B) 故 03=P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A)-P
8、(A)P(B) =P(A)1-P(B)=P(A)(1-05)=05(P(A) 得 P(A)=3.设三事件 A，B，C 相互独立且 0P(C)1，则下述事件中不独立的是：( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：AB 与4.设随机变量 XN(0，1)，yN(1，4)，且相关系数 XY =1，则( )（分数：2.00）A.PY=-2X-1=1B.PY=2X-1=1C.PY=-2X+1=1D.PY=2X+1=1 解析：解析：如果(A)或(C)成立，则应 XY =1，矛盾；如果(B)成立，那么 EY=2EX-1=-1，与本题中EY=1 矛盾，只有(D)成立时， XY =1，EY=2EX+
9、1=1，DY=4DX=4，符合题意，故选(D)5.设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=03(x)+07 （分数：2.00）A.0B.03C.07 D.1解析：解析：X 的概率密度为 EX=030+二、填空题(总题数：4，分数：8.00)6.一批产品有 10 个正品和 2 个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：记 A i =(第 i 次取得次品)，i=1，2 7.设随机变量 X 服从均值为 2、方差为 2 的正态分布，且 P2X4=03，则 PX0= 1（分数：2.00）填空项
10、 1:_ （正确答案：正确答案：02）解析：解析：XN(2， 2 )， N(0，1) 8.设随机变量服从参数为 1 的泊松分布，则 PX=EX 2 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 EX 2 =DX+(EX) 2 =1+1 2 =2，故 PX=EX 2 =PX=2= 9.对随机变量 X，Y，Z，已知 EX=EY=1，EZ=-1，DX=DY=1，DZ=4， (X，Y) =0， (X，Z) =13， (Y，Z) =-12，( 为相关系数)则 E(X+Y+Z)= 1，D(X+Y+Z)= 2，cov(2X+Y，3Z+X)= 3。（分数：2.00）填空项
11、1:_ （正确答案：正确答案：1）填空项 1:_ （正确答案：16/3）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：解析：E(X+Y+Z)=EX+EY+EZ=1，D(X+Y+Z)=DX+DY+DZ+2coy(X，Y)+2cov(X，Z)+2cov(Y，Z)=1+1+4+0+2 (X，Z) ，cov(2X+Y，3Z+X)=6cov(X，Z)+2DX+3cov(Y，Z)+cov(Y，X)=6 (X，Z) 三、解答题(总题数：12，分数：32.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：11.设随机变量 X 的概率密度函数为 ，求随机变量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Y
12、 的分布函数为 )解析：12.设随机变量 X 与 Y 相互独立，下表列出了二维随机变量(X，Y)联合分布律及关于 X 和关于 Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：P(Y=y 1 )=P(X=x 1 ，Y=y 1 )+P(X=x 2 ，Y=y 1 ) 即得 P(X=x 1 ，Y=y 1 )=P(Y=y 1 )-P(X=x 2 ，Y=y 1 )= 又P(X=x 2 )P(Y=y 1 )=P(X=x 2 ，Y=y 1 )(X 与 Y 独立) 又 P(X=x 1 )P(Y=y 2 )=P(X=x 1 ，Y=y 2 ) P
13、(Y=y 3 )=1-P(Y=y 1 )-P(Y=y 2 )= P(X=x 2 ，Y=y 2 )=P(Y=y 2 )-P(X=x 1 ，Y=y 2 )= P(X=x 2 ，Y=y 3 )=P(X=x 2 )P(Y=y 3 )= P(X=x 1 ，Y=y 3 )=P(X=x 1 )P(Y=y 3 )= 设随机变量 X 的概率密度为 （分数：4.00）(1).Y 的概率密度 f Y (y)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Y 的分布函数为： F Y (y)=P(Yy)=P(X 2 y) y0，F y (y)=0，f Y (y)=F“ Y (y)=0 )解析：(2). （分数：2.00）_
14、正确答案：(正确答案： )解析：设随机变量 X 的概率密度为 令随机变量 （分数：4.00）(1).求 y 的分布函数；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Y 的分布函数为 F Y (y)=P(Yy) y1 时，F Y (y)=0； y2 时，F Y (y)=1； 1y2 时， F Y (y)=P(Yy|X1)P(X1)+P(Yy|1X2)P(1X2)+P(Yy|X2)P(X2) 而P(Yy|X1)=P(2y|X1)=0，P(Yy|X2)=P(1y|X2)=1， P(Yy|1X2)=P(Xy|1X2)= 代入得 F Y (y)=P(1Xy)+P(X2) )解析：(2).求概率 PXY（分
15、数：2.00）_正确答案：(正确答案：P(XY)=P(XY|X1)P(X1)+P(Xy|1X2)P(1X2)+P(XY|X2)P(X2) 而 P(XY|X1)=P(X2|X1)= =1。 P(XY|1X2)=P(XX|1X2)= =1。 P(XY|X2)=P(X1|X2)= =0。 代入得 P(XY)=P(X1)+P(1X2)=P(X2)= )解析：设一设备在任何长为 T 的时间内发生故障的次数 N(t)服从参数为 t 的泊松分布，求：（分数：4.00）(1).相继两次故障之间的时间间隔 T 的概率分布；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：t0 时，P(Tt)=1；t0 时，p(Tt)=
16、PN(t)=0)= =e -t ，故 T 的分布函数为 F(t)=P(Tt)=1-P(Tt)= )解析：(2).在设备已无故障工作 8 小时的情况下，再无故障运行 8 小时的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取 T 的单位为小时，所求概率为 PT16|T8= )解析：13.设 XN(0，1)，给定 X=x 条件下时 YN(x，1- 2 )(01)，求(X，Y)的密度以及给定 Y=y 条件下 X 的分布（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意，X 的概率密度为 ，而已知 X=x 条件下，Y 的条件概率密度为，f Y|X (y|x)= ，故(X，Y)的概率密度为 f(x，y)=
17、(x)f Y|X (y|x)= ，可见(X，Y)服从二维正态分布，EX=EY=0，DX=DY=1，(X，Y)的相关系数为 ，故 YN(0，1)，Y 的概率密度为 (y)，故 Y=y 的条件下的条件概率密度为 f X|Y (x|y)= )解析：14.设做一次实验的费用为 1000 元，如果实验失败，则要另外再花 300 元对设备调整才能进行下一次的实验，设各次实验相互独立，成功的概率均为 02，并假定实验一定要进行到出现成功为止，求整个实验程序的平均费用（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设需进行 X 次试验，则所需费用为 Y=1000+300(X-1)，而 P(X=k)=08 k-1 0
18、2，k=1，2，记 g(x)= ，|x|1，则 0 x g(x)dx= ，于是 EX= )解析：15.现有奖券 100 万张，其中一等奖 1 张，奖金 5 万元；二等奖 4 张，每张奖金 2500 元；三等奖 40 张，每张奖金 250 元；四等奖 400 张，每张奖金 25 元，而每张奖券 2 元，试计算买一张奖券的平均收益（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 X 和 分别为买 1 张奖券的所得的奖金和净收益(单位为元)，则 =X-2，而X 的概率分布为： )解析：16.设 X 1 ，X 2 ，X n 是同分布的随机变量，且 EX 1 =0，DX 1 =1，不失一般性地设 X 1 为
19、连续型随机变量，证明：对任意的常数 0，有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知可知：E(X i 2 )=DX i +(EX i ) 2 =1，i=1，n，设(X 1 ，X n )的概率密度为 f(x 1 ，x 2 ，x n )，则 f(x 1 ，x n )dx 1 dx n x i f(x 1 ，x n )dx 1 dx n = )解析：设 X 1 ，X 2 ，X m (n2)为来自总体 N(0，1)的简单随机样本， 为样本均值，记 Y i =X i - （分数：4.00）(1).Y i 的方差 DY i ，i=1，2，n；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).Y 1 与 Y n 的协方差 Cov(Y 1 ，Y 2 )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设总体 X 的概率密度为 （分数：4.00）(1).求 的矩估计量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).求 的最大似然估计量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：最大似然估计：似然函数为 )解析：
