1、考研数学一（概率与数理统计）-试卷 4 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.对于任意两个事件 A 和 B，有 P(A 一 B)=( )（分数：2.00）A.P(A)一 P(B)B.P(A)一 P(B)+P(AB)C.P(A)一 P(AB)D.3.设 A，B 是任意两个随机事件，又知 B （分数：2.00）A.P(AB)=P(A)+P(B)B.P(AB)=P(A)一 P(B)C.P(AB)=P(A)P(B|A)D.P(A|B)P(A)4.将一枚匀称的硬
2、币独立地掷三次，记事件 A=“正、反面都出现”；B=“正面最多出现一次”；C=“反面最多出现一次”，则下列结论中不正确的是( )（分数：2.00）A.A 与 B 独立B.B 与 C 独立C.A 与 C 独立D.BC 与 A 独立5.设 A、B、C 三个事件两两独立，则 A、B、C 相互独立的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.4 与 BC 独立B.AB 与 AC 独立C.AB 与 AC 独立D.AB 与 AC 独立6.假设 F(x)是随机变量 X 的分布函数，则下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.如果 F(a)=0，则对任意 xa 有 F(x)=0B.如果 F(a)=1，则对任
3、意 xa 有 F(x)=1C.D.7.设随机变量 X 服从正态分布 N(0，1)，对给定的 (0，1)，数 u 满足 PXu =，若P|X|x=，则 x 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n (n1)，独立同分布，且方差 2 0，记 （分数：2.00）A.一 1B.0C.D.19.设相互独立的两随机变量 X 和 Y 分别服从 E()(0)和 E(+2)分布，则 Pmin(X，Y)1的值为( )（分数：2.00）A.e 一(+1) B.1 一 e 一(+1) C.e 一 2(+1) D.1 一 e 一 2(+1) 10.将一枚硬币重复掷 n 次
4、，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X 和 Y 的相关系数等于( )（分数：2.00）A.一 1B.0C.D.111.已知随机变量 X 与 Y 有相同的不为零的方差，则 X 与 Y 的相关系数等于 1 的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.Cov(X+Y，X)=0B.Coy(X+Y，Y)=0C.Cov(X+Y，XY)=0D.Cov(XY，X)=012.设总体 X 与 Y 都服从正态分布 N(0， 2 )，已知 X 1 ，X 2 ，X m 与 Y 1 ，Y 2 ，Y n 是分别来自总体 X 与 Y 的两个相互独立的简单随机样本，统计量 服从 t(n)分布，则 等于( )
5、 （分数：2.00）A.B.C.D.13.设 n 个随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 独立同分布，D(X i )= 2 ， （分数：2.00）A.S 是 的无偏估计量B.S 是 的最大似然估计量C.S 是 的相合估计量(即一致估计量)D.S 与二、填空题(总题数：12，分数：24.00)14.三个箱子，第一个箱子中有 4 个黑球与 1 个白球，第二个箱中有 3 个黑球和 3 个白球，第三个箱子中有 3 个黑球与 5 个白球现随机地选取一个箱子，从中任取 1 个球，则这个球为白球的概率是 1；若已发现取出的这个球是白球，则它不是取自第二个箱子的概率是 2（分数：2.00）填空项 1:_15.
6、如果用 X，Y 分别表示将一枚硬币连掷 8 次正反面出现的次数，则 t 的一元二次方程 t 2 +Xt+Y=0 有重根的概率是 1（分数：2.00）填空项 1:_16.已知随机变量 Y 服从0，5上的均匀分布，则关于 x 的一元二次方程 4x 2 +4Yx+Y+2=0 有实根的概率p= 1（分数：2.00）填空项 1:_17.设随机变量 X 的概率密度为 Y 表示对 X 三次独立重复观察中事件 （分数：2.00）填空项 1:_18.一批元件其寿命(单位：小时)服从参数为 的指数分布系统初始先由一个元件工作，当其损坏时立即更换一个新元件接替工作，那么到 48 小时为止，系统仅更换一个元件的概率为
7、 1（分数：2.00）填空项 1:_19.已知随机变量 X 与 Y 独立同分布，且 X 的分布函数为 F(x)，记 Z=max(X，Y)，则(X，Z)的联合分布函数 F(x，z)= 1（分数：2.00）填空项 1:_20.设随机变量 X 的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_21.设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_22.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n ，Y 1 ，Y 2 ，Y n 相互独立，且 服从参数为 的泊松分布，Y i 服从参数为 的指数分布，i=1，2，n，则当 n 充分大时， （分数：2.00）填空项 1:_23.设总体 X 服
8、从正态分布 N(0， 2 )，而 X 1 ，X 2 ，X 15 是取自总体 X 的简单随机样本，则 （分数：2.00）填空项 1:_24.假设 X 1 ，X 2 ，X 16 是来自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本，X 为样本均值，S 2 为样本方差，如果 PX+aS=095，则 a= 1(t 005 (15)=17531)（分数：2.00）填空项 1:_25.Z 检验、t 检验都是关于 1 的假设检验当 2 已知时，用 Z 检验；当 3 未知时，用 t 检验（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：7，分数：14.00)26.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数
9、：2.00）_27.已知一本书中每页印刷错误的个数 X 服从泊松分布 p(02)，写出 X 的概率分布，并求一页上印刷错误不多于 1 个的概率（分数：2.00）_28.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_29.设二维连续型随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)|0yx3 一 y，y1上服从均匀分布，求边缘密度 f X (x)及在 X=x 条件下，关于 Y 的条件概率密度（分数：2.00）_30.已知随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参数为 的 0 一 1 分布，即 Px=0=PX=1= （分数：2.00）_31.设总体 X 服从几何分布：p(x；p)=p(1 一 p
10、) x 一 1 (x=1，2，3，)，如果取得样本观测值为 x 1 ，x 2 ，x n ，求参数 p 的矩估计值与最大似然估计值（分数：2.00）_32.设 x 1 ，x 2 ，x n 为来自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本，其中 0 已知， 2 0 未知，x 和 S 2 分别表示样本均值和样本方差 ()求参数 2 的最大似然估计 ； ()计算 （分数：2.00）_考研数学一（概率与数理统计）-试卷 4 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.
11、对于任意两个事件 A 和 B，有 P(A 一 B)=( )（分数：2.00）A.P(A)一 P(B)B.P(A)一 P(B)+P(AB)C.P(A)一 P(AB) D.解析：解析：如图 11 所示，可知 A=(AB)+AB，(AB)(AB)= 所以 P(A)=P(A 一 B)+P(AB)，进而 P(AB)=P(A)=P(AB)故 C 选项正确3.设 A，B 是任意两个随机事件，又知 B （分数：2.00）A.P(AB)=P(A)+P(B)B.P(AB)=P(A)一 P(B)C.P(AB)=P(A)P(B|A)D.P(A|B)P(A) 解析：解析：由于 B A，则 AB=B，AB=A当 P(A)
12、0，选项 A 不成立；当 P(A)=0 时，条件概率P(B|A)不存在，选项 C 不成立；由于任何事件概率的非负性，而题设 P(A)P(B)，故选项 B 不成立对于选项 D，根据题设条件 0P(A)P(B)1，可知条件概率 P(A|B)存在，并且4.将一枚匀称的硬币独立地掷三次，记事件 A=“正、反面都出现”；B=“正面最多出现一次”；C=“反面最多出现一次”，则下列结论中不正确的是( )（分数：2.00）A.A 与 B 独立B.B 与 C 独立 C.A 与 C 独立D.BC 与 A 独立解析：解析：试验的样本空间有 8 个样本点，即 =(正，正，正)，(正，反，反)，(反，反，反)显然 B
13、与 C 为对立事件，且依古典型概率公式有5.设 A、B、C 三个事件两两独立，则 A、B、C 相互独立的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.4 与 BC 独立 B.AB 与 AC 独立C.AB 与 AC 独立D.AB 与 AC 独立解析：解析：经观察，即可知由选项 A 能够推得所需条件事实上，若 A 与 BC 独立，则有 P(ABC)=P(A)P(BC)， 而由题设知 P(BC)=P(B)P(C) 从而 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 故选 A6.假设 F(x)是随机变量 X 的分布函数，则下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.如果 F(a)=0，则对任意 xa 有 F(
14、x)=0B.如果 F(a)=1，则对任意 xa 有 F(x)=1C.D. 解析：解析：由于 F(x)是单调不减且 0F(x)1，F(x)=Pxx，因此 A、B、C 都成立，而选项 D 未必成立，因此选 D7.设随机变量 X 服从正态分布 N(0，1)，对给定的 (0，1)，数 u 满足 PXu =，若P|X|x=，则 x 等于( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：根据标准正态分布上 分位数的定义及条件 PXu = 与 P|X|X=，并考虑到标准正态分布概率密度曲线的对称性，可作出如图 23 所示图形 由图(b)，根据标准正态分布的上 Q 分位数的定义，可知 8.设随机变量 X
15、 1 ，X 2 ，X n (n1)，独立同分布，且方差 2 0，记 （分数：2.00）A.一 1B.0 C.D.1解析：解析：9.设相互独立的两随机变量 X 和 Y 分别服从 E()(0)和 E(+2)分布，则 Pmin(X，Y)1的值为( )（分数：2.00）A.e 一(+1) B.1 一 e 一(+1) C.e 一 2(+1) D.1 一 e 一 2(+1) 解析：解析：Pmin(X，Y)1=Px1，Y1=PX1PY1 =e 一 e 一(+2) =e 一 2(+1) 故选项C 正确10.将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X 和 Y 的相关系数等
16、于( )（分数：2.00）A.一 1 B.0C.D.1解析：解析：根据题意，Y=n 一 X，故 XY =一 1应选 A一般来说，两个随机变量 X 与 Y 的相关系数 XY 满足| XY |1若 Y=aX+b(a，b 为常数)，则当 a0 时， XY =1，当 a0 时， XY =一 111.已知随机变量 X 与 Y 有相同的不为零的方差，则 X 与 Y 的相关系数等于 1 的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.Cov(X+Y，X)=0B.Coy(X+Y，Y)=0C.Cov(X+Y，XY)=0D.Cov(XY，X)=0 解析：解析：直接根据定义通过计算确定正确选项，已知 D(X)=D(Y)
17、，故 选择 D其余选项均不正确，这是因为当 D(X)=D(Y)时必有 Coy(X+Y，XY)=Coy(X，X)一 Coy(X，Y)+Cov(Y，X)一 Cov(Y，Y)=D(X)一D(Y)=0， 选项 C 成立，不能推出 =1选项 A、B 可推出 Cov(X，Y)=一 Coy(X，X)=一 D(X)或 Cov(X，Y)=一 Coy(Y，Y)=一 D(Y)，12.设总体 X 与 Y 都服从正态分布 N(0， 2 )，已知 X 1 ，X 2 ，X m 与 Y 1 ，Y 2 ，Y n 是分别来自总体 X 与 Y 的两个相互独立的简单随机样本，统计量 服从 t(n)分布，则 等于( ) （分数：2.0
18、0）A.B.C.D. 解析：解析：根据 t 分布典型模式来确定正确选项由于 N(0，1)且相互独立，所以13.设 n 个随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 独立同分布，D(X i )= 2 ， （分数：2.00）A.S 是 的无偏估计量B.S 是 的最大似然估计量C.S 是 的相合估计量(即一致估计量) D.S 与解析：解析：本题主要考查统计量的评价标准因为 S 2 是 2 的无偏估计，即 E(S 2 )= 2 ，但未必有 E(S)=，故排除选项 A若 X 1 ，X 2 ，X n 来自正态总体，则 是 的最大似然估计，又排除选项 B同样，当 X 1 ，X 2 ，X n 来自正态总体时，S 与
19、 才相互独立，选项 D 也不正确因而应选 C下面证明选项 C 正确设 X 表示总体，根据切比雪夫大数定律 二、填空题(总题数：12，分数：24.00)14.三个箱子，第一个箱子中有 4 个黑球与 1 个白球，第二个箱中有 3 个黑球和 3 个白球，第三个箱子中有 3 个黑球与 5 个白球现随机地选取一个箱子，从中任取 1 个球，则这个球为白球的概率是 1；若已发现取出的这个球是白球，则它不是取自第二个箱子的概率是 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：设事件 A i =“取到第 i 箱”，i=1，2，3，B=“取到白球”，则第一个空应为 P(B)，第二个空应
20、为 显然 A 1 ，A 2 ，A 3 是一完备事件组，由题意可得 根据全概率公式和贝叶斯公式，可得 15.如果用 X，Y 分别表示将一枚硬币连掷 8 次正反面出现的次数，则 t 的一元二次方程 t 2 +Xt+Y=0 有重根的概率是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：16.已知随机变量 Y 服从0，5上的均匀分布，则关于 x 的一元二次方程 4x 2 +4Yx+Y+2=0 有实根的概率p= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 所以所求的概率为 P=P方程有实根=PA0=P16Y 2 16(Y+2)0 =P16(Y
21、一 2)(Y+1)0 =P(Y2)(Y一 1) =PY2+PY一 1 17.设随机变量 X 的概率密度为 Y 表示对 X 三次独立重复观察中事件 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题设可知18.一批元件其寿命(单位：小时)服从参数为 的指数分布系统初始先由一个元件工作，当其损坏时立即更换一个新元件接替工作，那么到 48 小时为止，系统仅更换一个元件的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：48e 一 48 ）解析：解析：记事件 A=“到 48 小时为止，系统仅更换一个元件”，用元件的寿命来表示 A如果用 X i 表示第 i 个元
22、件的寿命，根据题意 X i 相互独立且有相同的密度函数 即事件 A=“第一个元件在 48小时之前已经损坏，第一个、第二个元件寿命之和要超过 48 小时”=“0X，48，X 1 +X 2 48”，所以题意要求 P(A)，如图 31 所示，P(A)=P0X 1 48，X 1 +X 2 48 19.已知随机变量 X 与 Y 独立同分布，且 X 的分布函数为 F(x)，记 Z=max(X，Y)，则(X，Z)的联合分布函数 F(x，z)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：已知 X 与 Y 独立且有相同分布 F(x)，所以(X，Z)的联合分布函数 F(x，z)=P
23、Xx，max(X，Y)z=PXx，Xz，Yz20.设随机变量 X 的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：依题设，即求 E(X 2 )首先对所给概率密度作变换：对于 x(一x+)，有 21.设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：根据题意 X 与 Y 的边缘分布分别为 22.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n ，Y 1 ，Y 2 ，Y n 相互独立，且 服从参数为 的泊松分布，Y i 服从参数为 的指数分布，i=1，2，n，则当 n 充分大时， （分数：2.00）填空项
24、1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：X 1 +Y 1 ，X 2 +Y 2 ，X n +Y n 相互独立同分布因 E(X i )=D(X i )=，E(Y i )=，D(Y I )= 2 ，故 E(X i +Y i )=2，D(X i +Y i )=+ 2 ，则当 n 充分大时， 近似服从正态分布，其分布参数 23.设总体 X 服从正态分布 N(0， 2 )，而 X 1 ，X 2 ，X 15 是取自总体 X 的简单随机样本，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：F；(10，5)）解析：解析：根据简单随机样本的性质，X 1 ，X 2 ，X 15 相互独立，且均服从正
25、态分布 N(0， 2 )，所以 X 1 2 +X 2 2 +X 10 2 与 X 11 2 +X 12 2 +X 15 2 ，相互独立，由于 所以 24.假设 X 1 ，X 2 ，X 16 是来自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本，X 为样本均值，S 2 为样本方差，如果 PX+aS=095，则 a= 1(t 005 (15)=17531)（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 04383）解析：解析： 因此由 25.Z 检验、t 检验都是关于 1 的假设检验当 2 已知时，用 Z 检验；当 3 未知时，用 t 检验（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案
26、：均值；方差 2 ；方差 2 ）解析：解析：根据 Z 检验、t 检验的概念可知，Z 检验、t 检验都是关于均值的假设检验，当方差 2 为已知时，用 Z 检验；当方差 2 为未知时，用 t 检验三、解答题(总题数：7，分数：14.00)26.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：27.已知一本书中每页印刷错误的个数 X 服从泊松分布 p(02)，写出 X 的概率分布，并求一页上印刷错误不多于 1 个的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意可知，Xp(02)，X 的概率函数为 p(x；02)= ，x=0，1，2，3，将 x=0，1，2，3代入函数，可
27、得 p(0)08187，p(1)01637， p(2)00164，p(3)00011， p(4)00001，p(5)0 X 的概率分布表如下： )解析：28.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()已知 X，Y 的概率密度，所以 ()先求 Z 的分布函数： (1)当Z0 时，F Z (0)=0； (4)当 z2 时，F Z (z)=1 故 Z=X+Y 的概率密度为 )解析：29.设二维连续型随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)|0yx3 一 y，y1上服从均匀分布，求边缘密度 f X (x)及在 X=x 条件下，关于 Y 的条件概率密度（分数：2
28、.00）_正确答案：(正确答案：如图 34 所示，区域 D 是一个底边平行于 x 轴的等腰梯形， )解析：30.已知随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参数为 的 0 一 1 分布，即 Px=0=PX=1= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于(X，Y)是二维离散随机变量，故由边缘分布及相互独立可求得联合分布；应用解题一般模式，即可求得 Z 及(X，Z)的分布，进而判断 X、Z 是否独立由题设知 )解析：31.设总体 X 服从几何分布：p(x；p)=p(1 一 p) x 一 1 (x=1，2，3，)，如果取得样本观测值为 x 1 ，x 2 ，x n ，求参数 p 的矩估计值与最大似然估计值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：已知总体 X 的概率函数的未知参数为 p，且总体 X 的一阶原点矩为 )解析：32.设 x 1 ，x 2 ，x n 为来自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本，其中 0 已知， 2 0 未知，x 和 S 2 分别表示样本均值和样本方差 ()求参数 2 的最大似然估计 ； ()计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()似然函数 )解析：
