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    【考研类试卷】考研数学一(概率与数理统计)-试卷4及答案解析.doc

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    【考研类试卷】考研数学一(概率与数理统计)-试卷4及答案解析.doc

    1、考研数学一(概率与数理统计)-试卷 4 及答案解析(总分:64.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:13,分数:26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.对于任意两个事件 A 和 B,有 P(A 一 B)=( )(分数:2.00)A.P(A)一 P(B)B.P(A)一 P(B)+P(AB)C.P(A)一 P(AB)D.3.设 A,B 是任意两个随机事件,又知 B (分数:2.00)A.P(AB)=P(A)+P(B)B.P(AB)=P(A)一 P(B)C.P(AB)=P(A)P(B|A)D.P(A|B)P(A)4.将一枚匀称的硬

    2、币独立地掷三次,记事件 A=“正、反面都出现”;B=“正面最多出现一次”;C=“反面最多出现一次”,则下列结论中不正确的是( )(分数:2.00)A.A 与 B 独立B.B 与 C 独立C.A 与 C 独立D.BC 与 A 独立5.设 A、B、C 三个事件两两独立,则 A、B、C 相互独立的充分必要条件是( )(分数:2.00)A.4 与 BC 独立B.AB 与 AC 独立C.AB 与 AC 独立D.AB 与 AC 独立6.假设 F(x)是随机变量 X 的分布函数,则下列结论不正确的是( )(分数:2.00)A.如果 F(a)=0,则对任意 xa 有 F(x)=0B.如果 F(a)=1,则对任

    3、意 xa 有 F(x)=1C.D.7.设随机变量 X 服从正态分布 N(0,1),对给定的 (0,1),数 u 满足 PXu =,若P|X|x=,则 x 等于( ) (分数:2.00)A.B.C.D.8.设随机变量 X 1 ,X 2 ,X n (n1),独立同分布,且方差 2 0,记 (分数:2.00)A.一 1B.0C.D.19.设相互独立的两随机变量 X 和 Y 分别服从 E()(0)和 E(+2)分布,则 Pmin(X,Y)1的值为( )(分数:2.00)A.e 一(+1) B.1 一 e 一(+1) C.e 一 2(+1) D.1 一 e 一 2(+1) 10.将一枚硬币重复掷 n 次

    4、,以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则 X 和 Y 的相关系数等于( )(分数:2.00)A.一 1B.0C.D.111.已知随机变量 X 与 Y 有相同的不为零的方差,则 X 与 Y 的相关系数等于 1 的充分必要条件是( )(分数:2.00)A.Cov(X+Y,X)=0B.Coy(X+Y,Y)=0C.Cov(X+Y,XY)=0D.Cov(XY,X)=012.设总体 X 与 Y 都服从正态分布 N(0, 2 ),已知 X 1 ,X 2 ,X m 与 Y 1 ,Y 2 ,Y n 是分别来自总体 X 与 Y 的两个相互独立的简单随机样本,统计量 服从 t(n)分布,则 等于( )

    5、 (分数:2.00)A.B.C.D.13.设 n 个随机变量 X 1 ,X 2 ,X n 独立同分布,D(X i )= 2 , (分数:2.00)A.S 是 的无偏估计量B.S 是 的最大似然估计量C.S 是 的相合估计量(即一致估计量)D.S 与二、填空题(总题数:12,分数:24.00)14.三个箱子,第一个箱子中有 4 个黑球与 1 个白球,第二个箱中有 3 个黑球和 3 个白球,第三个箱子中有 3 个黑球与 5 个白球现随机地选取一个箱子,从中任取 1 个球,则这个球为白球的概率是 1;若已发现取出的这个球是白球,则它不是取自第二个箱子的概率是 2(分数:2.00)填空项 1:_15.

    6、如果用 X,Y 分别表示将一枚硬币连掷 8 次正反面出现的次数,则 t 的一元二次方程 t 2 +Xt+Y=0 有重根的概率是 1(分数:2.00)填空项 1:_16.已知随机变量 Y 服从0,5上的均匀分布,则关于 x 的一元二次方程 4x 2 +4Yx+Y+2=0 有实根的概率p= 1(分数:2.00)填空项 1:_17.设随机变量 X 的概率密度为 Y 表示对 X 三次独立重复观察中事件 (分数:2.00)填空项 1:_18.一批元件其寿命(单位:小时)服从参数为 的指数分布系统初始先由一个元件工作,当其损坏时立即更换一个新元件接替工作,那么到 48 小时为止,系统仅更换一个元件的概率为

    7、 1(分数:2.00)填空项 1:_19.已知随机变量 X 与 Y 独立同分布,且 X 的分布函数为 F(x),记 Z=max(X,Y),则(X,Z)的联合分布函数 F(x,z)= 1(分数:2.00)填空项 1:_20.设随机变量 X 的概率密度为 (分数:2.00)填空项 1:_21.设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为 (分数:2.00)填空项 1:_22.设随机变量 X 1 ,X 2 ,X n ,Y 1 ,Y 2 ,Y n 相互独立,且 服从参数为 的泊松分布,Y i 服从参数为 的指数分布,i=1,2,n,则当 n 充分大时, (分数:2.00)填空项 1:_23.设总体 X 服

    8、从正态分布 N(0, 2 ),而 X 1 ,X 2 ,X 15 是取自总体 X 的简单随机样本,则 (分数:2.00)填空项 1:_24.假设 X 1 ,X 2 ,X 16 是来自正态总体 N(, 2 )的简单随机样本,X 为样本均值,S 2 为样本方差,如果 PX+aS=095,则 a= 1(t 005 (15)=17531)(分数:2.00)填空项 1:_25.Z 检验、t 检验都是关于 1 的假设检验当 2 已知时,用 Z 检验;当 3 未知时,用 t 检验(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:7,分数:14.00)26.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数

    9、:2.00)_27.已知一本书中每页印刷错误的个数 X 服从泊松分布 p(02),写出 X 的概率分布,并求一页上印刷错误不多于 1 个的概率(分数:2.00)_28.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 (分数:2.00)_29.设二维连续型随机变量(X,Y)在区域 D=(x,y)|0yx3 一 y,y1上服从均匀分布,求边缘密度 f X (x)及在 X=x 条件下,关于 Y 的条件概率密度(分数:2.00)_30.已知随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参数为 的 0 一 1 分布,即 Px=0=PX=1= (分数:2.00)_31.设总体 X 服从几何分布:p(x;p)=p(1 一 p

    10、) x 一 1 (x=1,2,3,),如果取得样本观测值为 x 1 ,x 2 ,x n ,求参数 p 的矩估计值与最大似然估计值(分数:2.00)_32.设 x 1 ,x 2 ,x n 为来自正态总体 N(, 2 )的简单随机样本,其中 0 已知, 2 0 未知,x 和 S 2 分别表示样本均值和样本方差 ()求参数 2 的最大似然估计 ; ()计算 (分数:2.00)_考研数学一(概率与数理统计)-试卷 4 答案解析(总分:64.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:13,分数:26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.

    11、对于任意两个事件 A 和 B,有 P(A 一 B)=( )(分数:2.00)A.P(A)一 P(B)B.P(A)一 P(B)+P(AB)C.P(A)一 P(AB) D.解析:解析:如图 11 所示,可知 A=(AB)+AB,(AB)(AB)= 所以 P(A)=P(A 一 B)+P(AB),进而 P(AB)=P(A)=P(AB)故 C 选项正确3.设 A,B 是任意两个随机事件,又知 B (分数:2.00)A.P(AB)=P(A)+P(B)B.P(AB)=P(A)一 P(B)C.P(AB)=P(A)P(B|A)D.P(A|B)P(A) 解析:解析:由于 B A,则 AB=B,AB=A当 P(A)

    12、0,选项 A 不成立;当 P(A)=0 时,条件概率P(B|A)不存在,选项 C 不成立;由于任何事件概率的非负性,而题设 P(A)P(B),故选项 B 不成立对于选项 D,根据题设条件 0P(A)P(B)1,可知条件概率 P(A|B)存在,并且4.将一枚匀称的硬币独立地掷三次,记事件 A=“正、反面都出现”;B=“正面最多出现一次”;C=“反面最多出现一次”,则下列结论中不正确的是( )(分数:2.00)A.A 与 B 独立B.B 与 C 独立 C.A 与 C 独立D.BC 与 A 独立解析:解析:试验的样本空间有 8 个样本点,即 =(正,正,正),(正,反,反),(反,反,反)显然 B

    13、与 C 为对立事件,且依古典型概率公式有5.设 A、B、C 三个事件两两独立,则 A、B、C 相互独立的充分必要条件是( )(分数:2.00)A.4 与 BC 独立 B.AB 与 AC 独立C.AB 与 AC 独立D.AB 与 AC 独立解析:解析:经观察,即可知由选项 A 能够推得所需条件事实上,若 A 与 BC 独立,则有 P(ABC)=P(A)P(BC), 而由题设知 P(BC)=P(B)P(C) 从而 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 故选 A6.假设 F(x)是随机变量 X 的分布函数,则下列结论不正确的是( )(分数:2.00)A.如果 F(a)=0,则对任意 xa 有 F(

    14、x)=0B.如果 F(a)=1,则对任意 xa 有 F(x)=1C.D. 解析:解析:由于 F(x)是单调不减且 0F(x)1,F(x)=Pxx,因此 A、B、C 都成立,而选项 D 未必成立,因此选 D7.设随机变量 X 服从正态分布 N(0,1),对给定的 (0,1),数 u 满足 PXu =,若P|X|x=,则 x 等于( ) (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析:根据标准正态分布上 分位数的定义及条件 PXu = 与 P|X|X=,并考虑到标准正态分布概率密度曲线的对称性,可作出如图 23 所示图形 由图(b),根据标准正态分布的上 Q 分位数的定义,可知 8.设随机变量 X

    15、 1 ,X 2 ,X n (n1),独立同分布,且方差 2 0,记 (分数:2.00)A.一 1B.0 C.D.1解析:解析:9.设相互独立的两随机变量 X 和 Y 分别服从 E()(0)和 E(+2)分布,则 Pmin(X,Y)1的值为( )(分数:2.00)A.e 一(+1) B.1 一 e 一(+1) C.e 一 2(+1) D.1 一 e 一 2(+1) 解析:解析:Pmin(X,Y)1=Px1,Y1=PX1PY1 =e 一 e 一(+2) =e 一 2(+1) 故选项C 正确10.将一枚硬币重复掷 n 次,以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则 X 和 Y 的相关系数等

    16、于( )(分数:2.00)A.一 1 B.0C.D.1解析:解析:根据题意,Y=n 一 X,故 XY =一 1应选 A一般来说,两个随机变量 X 与 Y 的相关系数 XY 满足| XY |1若 Y=aX+b(a,b 为常数),则当 a0 时, XY =1,当 a0 时, XY =一 111.已知随机变量 X 与 Y 有相同的不为零的方差,则 X 与 Y 的相关系数等于 1 的充分必要条件是( )(分数:2.00)A.Cov(X+Y,X)=0B.Coy(X+Y,Y)=0C.Cov(X+Y,XY)=0D.Cov(XY,X)=0 解析:解析:直接根据定义通过计算确定正确选项,已知 D(X)=D(Y)

    17、,故 选择 D其余选项均不正确,这是因为当 D(X)=D(Y)时必有 Coy(X+Y,XY)=Coy(X,X)一 Coy(X,Y)+Cov(Y,X)一 Cov(Y,Y)=D(X)一D(Y)=0, 选项 C 成立,不能推出 =1选项 A、B 可推出 Cov(X,Y)=一 Coy(X,X)=一 D(X)或 Cov(X,Y)=一 Coy(Y,Y)=一 D(Y),12.设总体 X 与 Y 都服从正态分布 N(0, 2 ),已知 X 1 ,X 2 ,X m 与 Y 1 ,Y 2 ,Y n 是分别来自总体 X 与 Y 的两个相互独立的简单随机样本,统计量 服从 t(n)分布,则 等于( ) (分数:2.0

    18、0)A.B.C.D. 解析:解析:根据 t 分布典型模式来确定正确选项由于 N(0,1)且相互独立,所以13.设 n 个随机变量 X 1 ,X 2 ,X n 独立同分布,D(X i )= 2 , (分数:2.00)A.S 是 的无偏估计量B.S 是 的最大似然估计量C.S 是 的相合估计量(即一致估计量) D.S 与解析:解析:本题主要考查统计量的评价标准因为 S 2 是 2 的无偏估计,即 E(S 2 )= 2 ,但未必有 E(S)=,故排除选项 A若 X 1 ,X 2 ,X n 来自正态总体,则 是 的最大似然估计,又排除选项 B同样,当 X 1 ,X 2 ,X n 来自正态总体时,S 与

    19、 才相互独立,选项 D 也不正确因而应选 C下面证明选项 C 正确设 X 表示总体,根据切比雪夫大数定律 二、填空题(总题数:12,分数:24.00)14.三个箱子,第一个箱子中有 4 个黑球与 1 个白球,第二个箱中有 3 个黑球和 3 个白球,第三个箱子中有 3 个黑球与 5 个白球现随机地选取一个箱子,从中任取 1 个球,则这个球为白球的概率是 1;若已发现取出的这个球是白球,则它不是取自第二个箱子的概率是 2(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:设事件 A i =“取到第 i 箱”,i=1,2,3,B=“取到白球”,则第一个空应为 P(B),第二个空应

    20、为 显然 A 1 ,A 2 ,A 3 是一完备事件组,由题意可得 根据全概率公式和贝叶斯公式,可得 15.如果用 X,Y 分别表示将一枚硬币连掷 8 次正反面出现的次数,则 t 的一元二次方程 t 2 +Xt+Y=0 有重根的概率是 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:16.已知随机变量 Y 服从0,5上的均匀分布,则关于 x 的一元二次方程 4x 2 +4Yx+Y+2=0 有实根的概率p= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析: 所以所求的概率为 P=P方程有实根=PA0=P16Y 2 16(Y+2)0 =P16(Y

    21、一 2)(Y+1)0 =P(Y2)(Y一 1) =PY2+PY一 1 17.设随机变量 X 的概率密度为 Y 表示对 X 三次独立重复观察中事件 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:由题设可知18.一批元件其寿命(单位:小时)服从参数为 的指数分布系统初始先由一个元件工作,当其损坏时立即更换一个新元件接替工作,那么到 48 小时为止,系统仅更换一个元件的概率为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:48e 一 48 )解析:解析:记事件 A=“到 48 小时为止,系统仅更换一个元件”,用元件的寿命来表示 A如果用 X i 表示第 i 个元

    22、件的寿命,根据题意 X i 相互独立且有相同的密度函数 即事件 A=“第一个元件在 48小时之前已经损坏,第一个、第二个元件寿命之和要超过 48 小时”=“0X,48,X 1 +X 2 48”,所以题意要求 P(A),如图 31 所示,P(A)=P0X 1 48,X 1 +X 2 48 19.已知随机变量 X 与 Y 独立同分布,且 X 的分布函数为 F(x),记 Z=max(X,Y),则(X,Z)的联合分布函数 F(x,z)= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:已知 X 与 Y 独立且有相同分布 F(x),所以(X,Z)的联合分布函数 F(x,z)=P

    23、Xx,max(X,Y)z=PXx,Xz,Yz20.设随机变量 X 的概率密度为 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:依题设,即求 E(X 2 )首先对所给概率密度作变换:对于 x(一x+),有 21.设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0)解析:解析:根据题意 X 与 Y 的边缘分布分别为 22.设随机变量 X 1 ,X 2 ,X n ,Y 1 ,Y 2 ,Y n 相互独立,且 服从参数为 的泊松分布,Y i 服从参数为 的指数分布,i=1,2,n,则当 n 充分大时, (分数:2.00)填空项

    24、1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:X 1 +Y 1 ,X 2 +Y 2 ,X n +Y n 相互独立同分布因 E(X i )=D(X i )=,E(Y i )=,D(Y I )= 2 ,故 E(X i +Y i )=2,D(X i +Y i )=+ 2 ,则当 n 充分大时, 近似服从正态分布,其分布参数 23.设总体 X 服从正态分布 N(0, 2 ),而 X 1 ,X 2 ,X 15 是取自总体 X 的简单随机样本,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:F;(10,5))解析:解析:根据简单随机样本的性质,X 1 ,X 2 ,X 15 相互独立,且均服从正

    25、态分布 N(0, 2 ),所以 X 1 2 +X 2 2 +X 10 2 与 X 11 2 +X 12 2 +X 15 2 ,相互独立,由于 所以 24.假设 X 1 ,X 2 ,X 16 是来自正态总体 N(, 2 )的简单随机样本,X 为样本均值,S 2 为样本方差,如果 PX+aS=095,则 a= 1(t 005 (15)=17531)(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:一 04383)解析:解析: 因此由 25.Z 检验、t 检验都是关于 1 的假设检验当 2 已知时,用 Z 检验;当 3 未知时,用 t 检验(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案

    26、:均值;方差 2 ;方差 2 )解析:解析:根据 Z 检验、t 检验的概念可知,Z 检验、t 检验都是关于均值的假设检验,当方差 2 为已知时,用 Z 检验;当方差 2 为未知时,用 t 检验三、解答题(总题数:7,分数:14.00)26.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:27.已知一本书中每页印刷错误的个数 X 服从泊松分布 p(02),写出 X 的概率分布,并求一页上印刷错误不多于 1 个的概率(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由题意可知,Xp(02),X 的概率函数为 p(x;02)= ,x=0,1,2,3,将 x=0,1,2,3代入函数,可

    27、得 p(0)08187,p(1)01637, p(2)00164,p(3)00011, p(4)00001,p(5)0 X 的概率分布表如下: )解析:28.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()已知 X,Y 的概率密度,所以 ()先求 Z 的分布函数: (1)当Z0 时,F Z (0)=0; (4)当 z2 时,F Z (z)=1 故 Z=X+Y 的概率密度为 )解析:29.设二维连续型随机变量(X,Y)在区域 D=(x,y)|0yx3 一 y,y1上服从均匀分布,求边缘密度 f X (x)及在 X=x 条件下,关于 Y 的条件概率密度(分数:2

    28、.00)_正确答案:(正确答案:如图 34 所示,区域 D 是一个底边平行于 x 轴的等腰梯形, )解析:30.已知随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参数为 的 0 一 1 分布,即 Px=0=PX=1= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由于(X,Y)是二维离散随机变量,故由边缘分布及相互独立可求得联合分布;应用解题一般模式,即可求得 Z 及(X,Z)的分布,进而判断 X、Z 是否独立由题设知 )解析:31.设总体 X 服从几何分布:p(x;p)=p(1 一 p) x 一 1 (x=1,2,3,),如果取得样本观测值为 x 1 ,x 2 ,x n ,求参数 p 的矩估计值与最大似然估计值(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:已知总体 X 的概率函数的未知参数为 p,且总体 X 的一阶原点矩为 )解析:32.设 x 1 ,x 2 ,x n 为来自正态总体 N(, 2 )的简单随机样本,其中 0 已知, 2 0 未知,x 和 S 2 分别表示样本均值和样本方差 ()求参数 2 的最大似然估计 ; ()计算 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()似然函数 )解析:


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