1、考研数学一（概率与数理统计）-试卷 28及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设随机事件 A，B，C 两两独立，且 P(A)，P(B)，P(C)(0，1)，则必有( )（分数：2.00）A.C与 AB独立B.C与 AB不独立C.AUC与 BD.AUC与 B3.随机事件 A与 B互不相容，0P(A)1，则下列结论中一定成立的是( )（分数：2.00）A.AB=B.C.A=BD.4.已知 0P(B)1，且 P(A 1 +A 2 )|B=P(A 1 |B)+
2、P(A 2 |B)，则下列选项成立的是( )（分数：2.00）A.B.P(A 1 B+A 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B)C.P(A 1 +A 2 )=P(A 1 |B)+P(A 2 |B)D.P(B)=P(A 1 )P(B|A 1 )+P(A 2 )P(B|A 2 )5.设随机变量 X在0，1上服从均匀分布，记事件 （分数：2.00）A.A与 B互不相容B.B包含 AC.A与 B对立D.A与 B相互独立6.设随机变量 X的密度函数为 f X (x)，Y=一 2X+3，则 Y的密度函数为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X与 Y相互独立，其分布函数分别为 F
3、 X (x)与 F Y (y)，则 Z=maxX，Y的分布函数 F Z (z)是( )（分数：2.00）A.maxF X (z)，F Y (z)B.F X (z)+F Y (z)一 F X (z)F Y (z)C.F X (z)F Y (z)D.8.设相互独立的随机变量 X和 Y均服从 P(1)分布，则 PX=1|X+Y=2的值为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.已知随机变量 X与 Y的相关系数为 且 0，Z=aX+b，则 Y与 Z的相关系数仍为 的充要条件是( )（分数：2.00）A.a=1，b 为任意实数B.a0，b 为任意实数C.a0，b 为任意实数D.a0，b 为任意实数1
4、0.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，S n =X 1 +X 2 +X n 则根据列维一林德伯格中心极限定理，当 n充分大时，S n 近似服从正态分布，只要 X 1 ，X 2 ，X n ( )（分数：2.00）A.有相同的数学期望B.有相同的方差C.服从同一指数分布D.服从同一离散型分布11.假设总体 X服从参数为 的泊松分布，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，其均值为 ，方差为 S 2 已知为 （分数：2.00）A.一 1B.0C.D.112.设 是从总体 X中取出的简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n 的样本均值，则 （分数：2.00）A.XN(
5、， 2 )B.X服从参数为 的指数分布C.PX=m=(1 一 ) m一 1 ，m=1，2，D.X服从0，上均匀分布二、填空题(总题数：10，分数：20.00)13.设 A，B，C 是两两相互独立的随机事件，且这三个事件不能同时发生，它们的概率相等，则P(ABC)的最大值为 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 10件产品有 4件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_15.已知随机变量 X服从参数为 的指数分布， 则 PX+Y=0= 1；PY （分数：2.00）填空项 1:_16.设随机变量 X服从参数
6、为 1的泊松分布，则 Px=E(X 2 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_17.已知(X，Y)的概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_18.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_19.设随机变量 X和 Y的联合分布为 （分数：2.00）填空项 1:_20.设随机变量 X的密度函数为 （分数：2.00）填空项 1:_21.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 是来自正态总体 N(0，2 2 )的简单随机样本，Y=a(X 1 一 2X 2 ) 2 +b(3X 3 一 4X 4 ) 2 ，则当 a= 1，b= 2 时，统计量服从 2 分布，自由度为 3
7、（分数：2.00）填空项 1:_22.设总体 X服从(a，b)上的均匀分布，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，则未知参数a，b 的矩估计量为 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_24.随机变量 X在 （分数：2.00）_25.设 ， 是两个相互独立且服从同一分布的随机变量，已知 的分布率为 P(=i)= i=1，2，3又设 X=max(，)，y=min(，)()写出二维随机变量的分布率： （分数：2.00）_26.将三封信随机地投入编号为 1，2，3，4 的四
8、个邮筒记 X为 1号邮筒内信的数目，Y 为有信的邮筒数目求：()(X，Y)的联合概率分布；()Y 的边缘分布；()在 X=0条件下，关于 Y的条件分布（分数：2.00）_27.设随机变量 X与 Y相互独立，且都在0，1上服从均匀分布，试求： ()U=XY 的概率密度 f U ()；()V=|XY|的概率密度 f V ()（分数：2.00）_28.设 X 1 ，X 2 ，X n (n2)为来自总体 N(0，1)的简单随机样本， 为样本均值，记 Y i =X i （分数：2.00）_29.设随机变量 X的概率密度为 令 Y=X 2 ，F(x，y)为二维随机变量(X，Y)的分布函数 ()求 Y的概率
9、密度 f Y (y)； ()求 （分数：2.00）_30.设总体 X的分布函数为 （分数：2.00）_31.设总体 X在区间0，上服从均匀分布，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本， ()求 的矩估计量和最大似然估计量； ()求常数 a，b，使 的数学期望均为 ，并求 （分数：2.00）_32.检查产品质量时，在生产过程中每次抽取 10个产品来检查，抽查 100次，得到每 10个产品中次品数的统计分布如下： （分数：2.00）_考研数学一（概率与数理统计）-试卷 28答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列
10、每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设随机事件 A，B，C 两两独立，且 P(A)，P(B)，P(C)(0，1)，则必有( )（分数：2.00）A.C与 AB独立B.C与 AB不独立C.AUC与 BD.AUC与 B 解析：解析：对于选项 A、B： P(C(A 一 B)= =P(AC)一 P(ABC)=P(A)P(C)一 P(ABC)， P(C)P(AB)=P(C)P(A)一 P(AB)=P(A)P(C)一 P(A)P(B)P(C) 尽管 A，B，C 两两独立，但未知 A，B，C 是否相互独立，从而不能判定 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)是否成立
11、，故选项 A、B 均不正确3.随机事件 A与 B互不相容，0P(A)1，则下列结论中一定成立的是( )（分数：2.00）A.AB=B. C.A=BD.解析：解析：4.已知 0P(B)1，且 P(A 1 +A 2 )|B=P(A 1 |B)+P(A 2 |B)，则下列选项成立的是( )（分数：2.00）A.B.P(A 1 B+A 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B) C.P(A 1 +A 2 )=P(A 1 |B)+P(A 2 |B)D.P(B)=P(A 1 )P(B|A 1 )+P(A 2 )P(B|A 2 )解析：解析：将题设条件两边乘以 P(B)，得 P(A 1 +A 2 )B=P
12、(A 1 B)+P(A 2 B)，P(A 1 B+A 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B)， 由乘法公式可知，上式即为选项 B，故选项 B正确5.设随机变量 X在0，1上服从均匀分布，记事件 （分数：2.00）A.A与 B互不相容B.B包含 AC.A与 B对立D.A与 B相互独立 解析：解析：如图 21可立即得到正确选项为 D，事实上，由题设可知6.设随机变量 X的密度函数为 f X (x)，Y=一 2X+3，则 Y的密度函数为( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：y=一 2x+3是 x的单调可导函数，其反函数 根据随机变量函数的公式：7.设随机变量 X与 Y相互独立
13、，其分布函数分别为 F X (x)与 F Y (y)，则 Z=maxX，Y的分布函数 F Z (z)是( )（分数：2.00）A.maxF X (z)，F Y (z)B.F X (z)+F Y (z)一 F X (z)F Y (z)C.F X (z)F Y (z) D.解析：解析：F Z (z)=Pmax(X，Y)z=PXX，Yz =PXzPYz=F X (z)F Y (z)， 故选项C正确8.设相互独立的随机变量 X和 Y均服从 P(1)分布，则 PX=1|X+Y=2的值为( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：9.已知随机变量 X与 Y的相关系数为 且 0，Z=aX+b，则
14、 Y与 Z的相关系数仍为 的充要条件是( )（分数：2.00）A.a=1，b 为任意实数B.a0，b 为任意实数 C.a0，b 为任意实数D.a0，b 为任意实数解析：解析：直接计算 Y与 Z的相关系数来确定正确选项由于 Coy(Y，Z)=Coy(Y，aX+b)=aCov(X，Y)，D(Z)=D(aX+b)=a 2 (X)，所以 10.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，S n =X 1 +X 2 +X n 则根据列维一林德伯格中心极限定理，当 n充分大时，S n 近似服从正态分布，只要 X 1 ，X 2 ，X n ( )（分数：2.00）A.有相同的数学期望B.有相同的方差C.
15、服从同一指数分布 D.服从同一离散型分布解析：解析：本题考查中心极限定理的应用条件，列维一林德伯格中心极限定理成立的条件是随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 独立同分布，且具有有限的数学期望和非零方差而选项 A、B 不能保证随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 同分布，故均不人选；选项 D不能保证其期望、方差存在及方差非零，故也不人选，因此选 C11.假设总体 X服从参数为 的泊松分布，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，其均值为 ，方差为 S 2 已知为 （分数：2.00）A.一 1B.0C. D.1解析：解析：根据题意有 =，由此计算出 a值，从而确定正确选项12.
16、设 是从总体 X中取出的简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n 的样本均值，则 （分数：2.00）A.XN(， 2 ) B.X服从参数为 的指数分布C.PX=m=(1 一 ) m一 1 ，m=1，2，D.X服从0，上均匀分布解析：解析：若 XN(， 2 )，则 E(X)=， 的矩估计为 ，应选 A若 X服从参数为 的指数分布，则 对于选项 C，X 服从参数为 的几何分布，E(X) 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)13.设 A，B，C 是两两相互独立的随机事件，且这三个事件不能同时发生，它们的概率相等，则P(ABC)的最大值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答
17、案：*）解析：解析：14.设 10件产品有 4件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设事件 A：所取的两件产品中至少有一件是不合格品 事件 B：所取的两件都是不合格品15.已知随机变量 X服从参数为 的指数分布， 则 PX+Y=0= 1；PY （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：16.设随机变量 X服从参数为 1的泊松分布，则 Px=E(X 2 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为
18、X服从参数为 1的泊松分布，所以 E(X)=D(X)=1从而由 D(X)=E(X 2 )一E(X) 2 得E(X 2 )=2故 PX=E(X 2 )=PX=2= 17.已知(X，Y)的概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：03）解析：解析：由于 01+02+01+02=06+=1，即 +=04， 又 05=PX 2 +Y 2 =1=PX 2 =0，Y 2 =1+PX 2 =1，Y 2 =0 =PX=0，Y=1+PX=0，Y=一 1+PX=1，Y=0 =+01+01 故 =03，=01 那么 PX 2 Y 2 =1=PX 2 =1，Y 2 =1=PX=1，Y=1+P
19、X=1，Y=一 1 =02+=0318.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：已知二维随机变量(X，Y)的概率密度 f(x，y)，求满足一定条件的概率 Pg(X，Y)z 0 ，一般可转化为二重积分 进行计算根据题设可得，如图 32所示， 19.设随机变量 X和 Y的联合分布为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 01）解析：解析：根据题意可知20.设随机变量 X的密度函数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：21.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 是来自
20、正态总体 N(0，2 2 )的简单随机样本，Y=a(X 1 一 2X 2 ) 2 +b(3X 3 一 4X 4 ) 2 ，则当 a= 1，b= 2 时，统计量服从 2 分布，自由度为 3（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：根据题意置一 N(0，2 2 )且相互独立，所以 X 1 一 2X 2 N(0，20)，3X 3 一 4X 4 N(0，100)，故 22.设总体 X服从(a，b)上的均匀分布，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，则未知参数a，b 的矩估计量为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：三
21、、解答题(总题数：10，分数：20.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：24.随机变量 X在 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据分布函数法先求 Y的分布函数 F Y (y)由于 X在 上服从均匀分布，因此 X的概率密度 f Y (x)与分布函数 F X (x)分别为 当 y一 1时，F Y (y)=0；当)，l 时，F Y (x)=1因此 Y的概率密度为 f Y (x)为 )解析：25.设 ， 是两个相互独立且服从同一分布的随机变量，已知 的分布率为 P(=i)= i=1，2，3又设 X=max(，)，y=min(，)()写出二维随机
22、变量的分布率： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()根据 X=max(，)，Y=min(，)的定义可知，PXY=0，即 PX=1，Y=2=PX=1，Y=3=PX=2，Y=3=0， 同时有， 所以所求的分布律为 )解析：26.将三封信随机地投入编号为 1，2，3，4 的四个邮筒记 X为 1号邮筒内信的数目，Y 为有信的邮筒数目求：()(X，Y)的联合概率分布；()Y 的边缘分布；()在 X=0条件下，关于 Y的条件分布（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()根据题意，(X，Y)的全部可能取值为(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，2)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，再分
23、别计算相应的概率 事件x=0，Y=1表示“三封信均投入后 3个邮筒中的某一个邮筒内”根据古典概型公式，样本空间所含样本点数为 4 3 =64，有利于事件X=0，y=1的样本点数为 C 3 和 1 =3，于是 类似地可以计算出各有关概率值，列表如下： ()从表中看出，只取 1，2，3 三个可能值，相应概率分别是对表中 p ij 的各列求和，所以 Y的边缘分布为表中最下行值 在 X=0条件下，关于 Y的条件分布，可以应用上述公式计算出来，列表如下： )解析：27.设随机变量 X与 Y相互独立，且都在0，1上服从均匀分布，试求： ()U=XY 的概率密度 f U ()；()V=|XY|的概率密度 f
24、 V ()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据 X与 Y相互独立且密度函数已知，因此可以用两种方法：分布函数法和公式法求出 U、V 的概率密度 ()分布函数法根据题设知(X，Y)联合概率密度 所以 U=XY的分布函数为(如图 37所示) (1)当 u0 时，F U (u)=0；当 u1 时，F U (u)=1； (2)当 0u1 时， ()公式法记 Z=XY=X+(一 Y)其中 X与(一 Y)独立，概率密度分别为 根据积公式得 Z的概率密度 )解析：28.设 X 1 ，X 2 ，X n (n2)为来自总体 N(0，1)的简单随机样本， 为样本均值，记 Y i =X i （分数：2.0
25、0）_正确答案：(正确答案：根据题设，知 X 1 ，X 2 ，X n (n2)相互独立，且 E(X i )=0，D(X i )=1(i=1，2，n)， ()因为已知 X 1 ，X 2 ，X n (n2)相互独立， )解析：29.设随机变量 X的概率密度为 令 Y=X 2 ，F(x，y)为二维随机变量(X，Y)的分布函数 ()求 Y的概率密度 f Y (y)； ()求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()设 Y的分布函数为 F Y (y)，即 F Y (y)=P(Yy)=p(X 2 y)，则 当 y0时，F Y (y)=0 )解析：30.设总体 X的分布函数为 （分数：2.00）_正确
26、答案：(正确答案：X 的概率密度为 )解析：31.设总体 X在区间0，上服从均匀分布，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本， ()求 的矩估计量和最大似然估计量； ()求常数 a，b，使 的数学期望均为 ，并求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：直接根据定义求解 ()根据题意总体 X的密度函数、分布函数分别为 为求得 b，必须求 X (n) 的分布函数 F (n) (x)及密度函数 f (n) (x)，X (n) =max(X 1 ，X n )得 )解析：32.检查产品质量时，在生产过程中每次抽取 10个产品来检查，抽查 100次，得到每 10个产品中次品数的统计分布如下： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如果总体服从二项分布，则其概率函数为 p(x；10，p)=C 10 x p x (1一 p) 10一 x ，x=0，1，2，10 利用最大似然估计求得参数 p的估计值为 原假设为总体 X服从二项分布 XB(10，01)备择假设为不服从二项分布 XB(10，01)，如果原假设成立，概率函数为 p(x；10，01)=C 10 x (01) x (09) 10一 x ，x=0，1，2，3，10 列表计算统计量 2 的观测值如下： )解析：
