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    【考研类试卷】考研数学一(概率与数理统计)-试卷24及答案解析.doc

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    【考研类试卷】考研数学一(概率与数理统计)-试卷24及答案解析.doc

    1、考研数学一(概率与数理统计)-试卷 24及答案解析(总分:64.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:13,分数:26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.若事件 A和 B同时出现的概率 P(AB)=0,则( )(分数:2.00)A.A和 B不相容(互斥)B.AB是不可能事件C.AB未必是不可能事件D.P(A)=0或 P(B)=03.已知事件 A发生必导致 B发生,且 0P(B)1,则 P(A| (分数:2.00)A.0B.C.D.14.在全概率公式 (分数:2.00)A.A 1 ,A 2 ,A n 两两独立,但不相互独立B.A

    2、 1 ,A 2 ,A n 相互独立C.A 1 ,A 2 ,A n 两两互不相容D.A 1 ,A 2 ,A n 两两互不相容,其和包含事件 B,即 5.设 A、B、C 是三个相互独立的随机事件,且 0P(C)1,则在下列给定的四对事件中不相互独立的是( )(分数:2.00)A.B.C.D.6.连续型随机变量 X的分布函数 则其中的常数 a和 b为( ) (分数:2.00)A.B.C.D.7.设随机变量 X的密度函数为 (x),且 (一 x)=(x),F(x)为 X的分布函数,则对任意实数 a,有( )(分数:2.00)A.F(一 a)=1一 0 a (x)dxB.C.F(一 a)=F(a)D.F

    3、(一 a)=2F(a)一 18.已知随机变量(X,Y)在区域 D=(x,y)|一 1x1,一 1y1上服从均匀分布,则( ) (分数:2.00)A.B.C.D.9.设随机变量 X和 Y都服从正态分布,且它们不相关,则( )(分数:2.00)A.X与 Y一定独立B.(X,Y)服从二维正态分布C.X与 Y未必独立D.X+Y服从一维正态分布10.已知随机变量 X与 Y均服从 0一 1分布,且 E(XY)= ,则 PX+Y1=( ) (分数:2.00)A.B.C.D.11.假设二维随机变量(X 1 ,X 2 )的协方差矩阵为 (分数:2.00)A.=0B.C.D.|=112.设总体 X服从正态分布 N

    4、(0, 2 ),X 1 ,X 2 ,X n 是取自总体 X的简单随机样本,其均值、方差分别为 ,S 2 则( ) (分数:2.00)A.B.C.D.13.设 X 1 ,X 2 ,X n 是来自 XP()的简单随机样本,则可以构造参数 2 的无偏估计量( ) (分数:2.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:11,分数:22.00)14.从数 1,2,3,4 中任取一个数,记为 X,再从 1,X 中任取一个数,记为 Y,则 PY=2= 1(分数:2.00)填空项 1:_15.口袋中有 n个球,从中取出一个再放人一个白球,如此交换进行 n次,已知袋中自球数的期望值为a,那么第 n+1次从袋中取

    5、出一个白球的概率为 1(分数:2.00)填空项 1:_16.设随机变量 X服从正态分布 N(, 2 ),已知 PX2=0062,PX9=0025,则概率 P|X|4= 1(154)=0938,(196)=0975)(分数:2.00)填空项 1:_17.设随机变量 X服从正态分布 N(,1),已知 PX3=0975,则 PX一 092= 1(分数:2.00)填空项 1:_18.已知随机变量 X 1 ,X 2 ,X 3 相互独立,且都服从正态分布 N(0, 2 ),如果随机变量 Y=X 1 X 2 X 3 的方差 (分数:2.00)填空项 1:_19.设随机变量 X与 Y相互独立同分布,且都服从

    6、(分数:2.00)填空项 1:_20.设盒子中装有 m个颜色各异的球,有放回地抽取 n次,每次 1个球设 X表示 n次中抽到的球的颜色种数,则 E(X)= 1(分数:2.00)填空项 1:_21.设随机变量 X 1 ,X 2 ,X 3 相互独立,其中 X 1 服从区间0,6上的均匀分布,X 2 服从正态分布N(0,2 2 ),X 3 服从参数为 3的泊松分布,则 D(X 1 一 2 2 +3X 3 )= 1(分数:2.00)填空项 1:_22.设随机变量 X与 Y相互独立,且 XB(5,08),YN(1,1),则 P0X+Y10 1(分数:2.00)填空项 1:_23.设 X 1 ,X 2 ,

    7、X 9 是来自总体 XN(,4)的简单随机样本,而 X是样本均值,则满足 P|X一|=095 的常数 = 1(196)=0975)(分数:2.00)填空项 1:_24.设总体 XN(, 2 ),u 未知,x 1 ,x 2 ,x n 是来自该总体的样本,样本方差为S 2 ,对 H 0 : 2 16HH 1 : 2 16,其检验统计量为 1,拒绝域为 2(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:8,分数:16.00)25.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_26.已知随机变量 X的概率密度 (分数:2.00)_27.设随机变量 X与 Y独立,X 在区间0,2

    8、上服从均匀分布,Y 服从指数分布 e(2),求:()二维随机变量(X,Y)的联合概率密度;()概率 P(XY)(分数:2.00)_28.在时刻 t=0时开始计时,设事件 A 1 ,A 2 分别在时刻 X,Y 发生,X 和 Y是相互独立的随机变量,其概率密度分别为 (分数:2.00)_29.设随机变量 (分数:2.00)_30.已知总体 X的数学期望 E(X)=,方差 D(X)= 2 ,X 1 ,X 2 ,X 2n 是来自总体 X容量为 2n的简单随机样本,样本均值为 (分数:2.00)_31.设总体 X的概率分布为 其中 (分数:2.00)_32.设总体 X的概率密度为 (分数:2.00)_考

    9、研数学一(概率与数理统计)-试卷 24答案解析(总分:64.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:13,分数:26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.若事件 A和 B同时出现的概率 P(AB)=0,则( )(分数:2.00)A.A和 B不相容(互斥)B.AB是不可能事件C.AB未必是不可能事件 D.P(A)=0或 P(B)=0解析:解析:本题考查的知识点是不可能事件与概率为 0的随机事件之间的区别和联系这两者之间的关系为:不可能事件 的概率 ,但概率为零的随机事件 A未必是不可能事件,也就是说,由 P(A)=0不能推出

    10、A=3.已知事件 A发生必导致 B发生,且 0P(B)1,则 P(A| (分数:2.00)A.0 B.C.D.1解析:解析:4.在全概率公式 (分数:2.00)A.A 1 ,A 2 ,A n 两两独立,但不相互独立B.A 1 ,A 2 ,A n 相互独立C.A 1 ,A 2 ,A n 两两互不相容D.A 1 ,A 2 ,A n 两两互不相容,其和包含事件 B,即 解析:解析:如果 A 1 ,A 2 ,A n 两两互不相容,则 A 1 B,A 2 B,A n B亦两两互不相容,且因 应用加法与乘法两个公式可得出全概率公式,即 5.设 A、B、C 是三个相互独立的随机事件,且 0P(C)1,则在下

    11、列给定的四对事件中不相互独立的是( )(分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析:本题考查多个随机事件间的独立性的关系由 A,B、C 相互独立可知,事件 A、B 的和、差、积(或其逆)与事件 C或6.连续型随机变量 X的分布函数 则其中的常数 a和 b为( ) (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析: 为连续型 X的分布,故 F(x)必连续,那么 F(x)在 x=0连续7.设随机变量 X的密度函数为 (x),且 (一 x)=(x),F(x)为 X的分布函数,则对任意实数 a,有( )(分数:2.00)A.F(一 a)=1一 0 a (x)dxB. C.F(一 a)=F(a)D.F(

    12、一 a)=2F(a)一 1解析:解析:8.已知随机变量(X,Y)在区域 D=(x,y)|一 1x1,一 1y1上服从均匀分布,则( ) (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析:根据题设知(X,Y)的概率密度函数为9.设随机变量 X和 Y都服从正态分布,且它们不相关,则( )(分数:2.00)A.X与 Y一定独立B.(X,Y)服从二维正态分布C.X与 Y未必独立 D.X+Y服从一维正态分布解析:解析:因为只有当(X,Y)服从二维正态分布时,X 与 Y不相关10.已知随机变量 X与 Y均服从 0一 1分布,且 E(XY)= ,则 PX+Y1=( ) (分数:2.00)A.B.C. D.解析

    13、:解析:因为 X与 Y均服从 0一 1分布,所以可以列出(X,Y)的联合分布如下:11.假设二维随机变量(X 1 ,X 2 )的协方差矩阵为 (分数:2.00)A.=0B.C.D.|=1 解析:解析:12.设总体 X服从正态分布 N(0, 2 ),X 1 ,X 2 ,X n 是取自总体 X的简单随机样本,其均值、方差分别为 ,S 2 则( ) (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析:13.设 X 1 ,X 2 ,X n 是来自 XP()的简单随机样本,则可以构造参数 2 的无偏估计量( ) (分数:2.00)A. B.C.D.解析:解析:二、填空题(总题数:11,分数:22.00)14

    14、.从数 1,2,3,4 中任取一个数,记为 X,再从 1,X 中任取一个数,记为 Y,则 PY=2= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:由于事件X=1,X=2,X=3,X=4是一个完备事件组,且 PX=i= ,i=1,2,3,4所以条件概率 PY=2|X=1=0,PY=2|X=i= ,i=2,3,4根据全概率公式15.口袋中有 n个球,从中取出一个再放人一个白球,如此交换进行 n次,已知袋中自球数的期望值为a,那么第 n+1次从袋中取出一个白球的概率为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:本题主要考查事件的设定、全概

    15、概率,题中有一个完备事件组:n 次交换后袋中存有白球数X(X=1,2,n),因此是全概概型设 B为第 n+1次从袋中取白球,A k (k=1,2,n)表示 n次交换后袋中的白球数,则 n次交换后袋中的白球数的期望值为 16.设随机变量 X服从正态分布 N(, 2 ),已知 PX2=0062,PX9=0025,则概率 P|X|4= 1(154)=0938,(196)=0975)(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:02946)解析:解析:要计算正态分布随机变量在某范围内取值的概率,首先必须求出分布参数 与 根据题意有17.设随机变量 X服从正态分布 N(,1),已知 PX3=0

    16、975,则 PX一 092= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0025)解析:解析:由18.已知随机变量 X 1 ,X 2 ,X 3 相互独立,且都服从正态分布 N(0, 2 ),如果随机变量 Y=X 1 X 2 X 3 的方差 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:已知随机变量 X 1 、X 2 、X 3 相互独立,则 X 1 2 、X 2 2 、X 3 2 相互独立又因 E(X i )=0,E(X 1 2 )=D(X i )= 2 故 D(y)=D(X 1 X 2 X 3 )=E(X 1 X 2 X 3 ) 2 一 E 2 (X

    17、1 X 2 X 3 )=E(X 1 2 X 2 2 X 3 2 )一E(X 1 )E(X 2 )E(X 3 ) 2 =E(X 1 2 )E(X 2 2 )E(X 3 2 )=( 2 ) 3 = 19.设随机变量 X与 Y相互独立同分布,且都服从 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:根据题意显然 Z也是离散型随机变量,只取 0,1 两个值,且20.设盒子中装有 m个颜色各异的球,有放回地抽取 n次,每次 1个球设 X表示 n次中抽到的球的颜色种数,则 E(X)= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析: 则 X=X 1 +X

    18、2 +X m 事件“X i =0”表示 n次中没有抽到第 i种颜色的球,由于是有放回抽取,n 次中各次抽取结果互不影响,所以有 21.设随机变量 X 1 ,X 2 ,X 3 相互独立,其中 X 1 服从区间0,6上的均匀分布,X 2 服从正态分布N(0,2 2 ),X 3 服从参数为 3的泊松分布,则 D(X 1 一 2 2 +3X 3 )= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:46)解析:解析:根据题设可知,D(X 1 )= 22.设随机变量 X与 Y相互独立,且 XB(5,08),YN(1,1),则 P0X+Y10 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确

    19、答案:0928)解析:解析:因为 E(X)=4,D(X)=08,E(Y)=1,D(Y)=1,所以 E(X+Y)=E(X)+E(Y)=5, D(X+Y)=D(X)+D(Y)=18 根据切比雪夫不等式,可得 P0x+Y10=P|X+Y 一 5|523.设 X 1 ,X 2 ,X 9 是来自总体 XN(,4)的简单随机样本,而 X是样本均值,则满足 P|X一|=095 的常数 = 1(196)=0975)(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:13067)解析:解析:根据题意可知24.设总体 XN(, 2 ),u 未知,x 1 ,x 2 ,x n 是来自该总体的样本,样本方差为S 2

    20、 ,对 H 0 : 2 16HH 1 : 2 16,其检验统计量为 1,拒绝域为 2(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: 2 统计量; 2 1一 2 (n1))解析:解析:u 未知,对 2 的检验使用 2 检验,又根据题设知,假设为单边检验,所以统计量为 2 = 三、解答题(总题数:8,分数:16.00)25.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:26.已知随机变量 X的概率密度 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:直接根据 F(x)=PXx,F Y (y)=P|F(X)y求解 )解析:27.设随机变量 X与 Y独立,X 在区间0,2

    21、上服从均匀分布,Y 服从指数分布 e(2),求:()二维随机变量(X,Y)的联合概率密度;()概率 P(XY)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()已知 X在区间0,2上服从均匀分布,y 服从指数分布 e(2),因此可得()当 x0 或者 x2 时,f(x,y)=0,因此区域 xy 为 y轴和 x=2之间,且在直线 y=x上方的无界区域,所以其对概率密度在积分区域上进行二重积分,所以可表示为 )解析:28.在时刻 t=0时开始计时,设事件 A 1 ,A 2 分别在时刻 X,Y 发生,X 和 Y是相互独立的随机变量,其概率密度分别为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:根据 X和

    22、Y的独立性,可知 X和 Y的联合概率密度为 按题意需求概率PXY,如图 33所示 )解析:29.设随机变量 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()由 P|X|Y|=1 知,P|X|=|Y|=0由此可得 X与 Y的联合分布律为)解析:30.已知总体 X的数学期望 E(X)=,方差 D(X)= 2 ,X 1 ,X 2 ,X 2n 是来自总体 X容量为 2n的简单随机样本,样本均值为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为总体分布未知,所以需将 Y化简,并且根据数字特征性质计算 E(Y)因为)解析:31.设总体 X的概率分布为 其中 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:E(X)=0 2 +12(1)+2 2 +3(12)=34, )解析:32.设总体 X的概率密度为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:


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