1、考研数学一（概率与数理统计）-试卷 24及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.若事件 A和 B同时出现的概率 P(AB)=0，则( )（分数：2.00）A.A和 B不相容(互斥)B.AB是不可能事件C.AB未必是不可能事件D.P(A)=0或 P(B)=03.已知事件 A发生必导致 B发生，且 0P(B)1，则 P(A| （分数：2.00）A.0B.C.D.14.在全概率公式 （分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A n 两两独立，但不相互独立B.A
2、 1 ，A 2 ，A n 相互独立C.A 1 ，A 2 ，A n 两两互不相容D.A 1 ，A 2 ，A n 两两互不相容，其和包含事件 B，即 5.设 A、B、C 是三个相互独立的随机事件，且 0P(C)1，则在下列给定的四对事件中不相互独立的是( )（分数：2.00）A.B.C.D.6.连续型随机变量 X的分布函数 则其中的常数 a和 b为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X的密度函数为 (x)，且 (一 x)=(x)，F(x)为 X的分布函数，则对任意实数 a，有( )（分数：2.00）A.F(一 a)=1一 0 a (x)dxB.C.F(一 a)=F(a)D.F
3、(一 a)=2F(a)一 18.已知随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)|一 1x1，一 1y1上服从均匀分布，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.设随机变量 X和 Y都服从正态分布，且它们不相关，则( )（分数：2.00）A.X与 Y一定独立B.(X，Y)服从二维正态分布C.X与 Y未必独立D.X+Y服从一维正态分布10.已知随机变量 X与 Y均服从 0一 1分布，且 E(XY)= ，则 PX+Y1=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.11.假设二维随机变量(X 1 ，X 2 )的协方差矩阵为 （分数：2.00）A.=0B.C.D.|=112.设总体 X服从正态分布 N
4、(0， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，其均值、方差分别为 ，S 2 则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.13.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自 XP()的简单随机样本，则可以构造参数 2 的无偏估计量( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：11，分数：22.00)14.从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为 X，再从 1，X 中任取一个数，记为 Y，则 PY=2= 1（分数：2.00）填空项 1:_15.口袋中有 n个球，从中取出一个再放人一个白球，如此交换进行 n次，已知袋中自球数的期望值为a，那么第 n+1次从袋中取
5、出一个白球的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设随机变量 X服从正态分布 N(， 2 )，已知 PX2=0062，PX9=0025，则概率 P|X|4= 1(154)=0938，(196)=0975)（分数：2.00）填空项 1:_17.设随机变量 X服从正态分布 N(，1)，已知 PX3=0975，则 PX一 092= 1（分数：2.00）填空项 1:_18.已知随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，且都服从正态分布 N(0， 2 )，如果随机变量 Y=X 1 X 2 X 3 的方差 （分数：2.00）填空项 1:_19.设随机变量 X与 Y相互独立同分布，且都服从
6、（分数：2.00）填空项 1:_20.设盒子中装有 m个颜色各异的球，有放回地抽取 n次，每次 1个球设 X表示 n次中抽到的球的颜色种数，则 E(X)= 1（分数：2.00）填空项 1:_21.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，其中 X 1 服从区间0，6上的均匀分布，X 2 服从正态分布N(0，2 2 )，X 3 服从参数为 3的泊松分布，则 D(X 1 一 2 2 +3X 3 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_22.设随机变量 X与 Y相互独立，且 XB(5，08)，YN(1，1)，则 P0X+Y10 1（分数：2.00）填空项 1:_23.设 X 1 ，X 2 ，
7、X 9 是来自总体 XN(，4)的简单随机样本，而 X是样本均值，则满足 P|X一|=095 的常数 = 1(196)=0975)（分数：2.00）填空项 1:_24.设总体 XN(， 2 )，u 未知，x 1 ，x 2 ，x n 是来自该总体的样本，样本方差为S 2 ，对 H 0 ： 2 16HH 1 ： 2 16，其检验统计量为 1，拒绝域为 2（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：16.00)25.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_26.已知随机变量 X的概率密度 （分数：2.00）_27.设随机变量 X与 Y独立，X 在区间0，2
8、上服从均匀分布，Y 服从指数分布 e(2)，求：()二维随机变量(X，Y)的联合概率密度；()概率 P(XY)（分数：2.00）_28.在时刻 t=0时开始计时，设事件 A 1 ，A 2 分别在时刻 X，Y 发生，X 和 Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 （分数：2.00）_29.设随机变量 （分数：2.00）_30.已知总体 X的数学期望 E(X)=，方差 D(X)= 2 ，X 1 ，X 2 ，X 2n 是来自总体 X容量为 2n的简单随机样本，样本均值为 （分数：2.00）_31.设总体 X的概率分布为 其中 （分数：2.00）_32.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_考
9、研数学一（概率与数理统计）-试卷 24答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.若事件 A和 B同时出现的概率 P(AB)=0，则( )（分数：2.00）A.A和 B不相容(互斥)B.AB是不可能事件C.AB未必是不可能事件 D.P(A)=0或 P(B)=0解析：解析：本题考查的知识点是不可能事件与概率为 0的随机事件之间的区别和联系这两者之间的关系为：不可能事件 的概率 ，但概率为零的随机事件 A未必是不可能事件，也就是说，由 P(A)=0不能推出
10、A=3.已知事件 A发生必导致 B发生，且 0P(B)1，则 P(A| （分数：2.00）A.0 B.C.D.1解析：解析：4.在全概率公式 （分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A n 两两独立，但不相互独立B.A 1 ，A 2 ，A n 相互独立C.A 1 ，A 2 ，A n 两两互不相容D.A 1 ，A 2 ，A n 两两互不相容，其和包含事件 B，即 解析：解析：如果 A 1 ，A 2 ，A n 两两互不相容，则 A 1 B，A 2 B，A n B亦两两互不相容，且因 应用加法与乘法两个公式可得出全概率公式，即 5.设 A、B、C 是三个相互独立的随机事件，且 0P(C)1，则在下
11、列给定的四对事件中不相互独立的是( )（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：本题考查多个随机事件间的独立性的关系由 A,B、C 相互独立可知，事件 A、B 的和、差、积(或其逆)与事件 C或6.连续型随机变量 X的分布函数 则其中的常数 a和 b为( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析： 为连续型 X的分布，故 F(x)必连续，那么 F(x)在 x=0连续7.设随机变量 X的密度函数为 (x)，且 (一 x)=(x)，F(x)为 X的分布函数，则对任意实数 a，有( )（分数：2.00）A.F(一 a)=1一 0 a (x)dxB. C.F(一 a)=F(a)D.F(
12、一 a)=2F(a)一 1解析：解析：8.已知随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)|一 1x1，一 1y1上服从均匀分布，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：根据题设知(X，Y)的概率密度函数为9.设随机变量 X和 Y都服从正态分布，且它们不相关，则( )（分数：2.00）A.X与 Y一定独立B.(X，Y)服从二维正态分布C.X与 Y未必独立 D.X+Y服从一维正态分布解析：解析：因为只有当(X，Y)服从二维正态分布时，X 与 Y不相关10.已知随机变量 X与 Y均服从 0一 1分布，且 E(XY)= ，则 PX+Y1=( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析
13、：解析：因为 X与 Y均服从 0一 1分布，所以可以列出(X，Y)的联合分布如下：11.假设二维随机变量(X 1 ，X 2 )的协方差矩阵为 （分数：2.00）A.=0B.C.D.|=1 解析：解析：12.设总体 X服从正态分布 N(0， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，其均值、方差分别为 ，S 2 则( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：13.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自 XP()的简单随机样本，则可以构造参数 2 的无偏估计量( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：二、填空题(总题数：11，分数：22.00)14
14、.从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为 X，再从 1，X 中任取一个数，记为 Y，则 PY=2= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于事件X=1，X=2，X=3，X=4是一个完备事件组，且 PX=i= ，i=1，2，3，4所以条件概率 PY=2|X=1=0，PY=2|X=i= ，i=2，3，4根据全概率公式15.口袋中有 n个球，从中取出一个再放人一个白球，如此交换进行 n次，已知袋中自球数的期望值为a，那么第 n+1次从袋中取出一个白球的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：本题主要考查事件的设定、全概
15、概率，题中有一个完备事件组：n 次交换后袋中存有白球数X(X=1，2，n)，因此是全概概型设 B为第 n+1次从袋中取白球，A k (k=1，2，n)表示 n次交换后袋中的白球数，则 n次交换后袋中的白球数的期望值为 16.设随机变量 X服从正态分布 N(， 2 )，已知 PX2=0062，PX9=0025，则概率 P|X|4= 1(154)=0938，(196)=0975)（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：02946）解析：解析：要计算正态分布随机变量在某范围内取值的概率，首先必须求出分布参数 与 根据题意有17.设随机变量 X服从正态分布 N(，1)，已知 PX3=0
16、975，则 PX一 092= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0025）解析：解析：由18.已知随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，且都服从正态分布 N(0， 2 )，如果随机变量 Y=X 1 X 2 X 3 的方差 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：已知随机变量 X 1 、X 2 、X 3 相互独立，则 X 1 2 、X 2 2 、X 3 2 相互独立又因 E(X i )=0，E(X 1 2 )=D(X i )= 2 故 D(y)=D(X 1 X 2 X 3 )=E(X 1 X 2 X 3 ) 2 一 E 2 (X
17、1 X 2 X 3 )=E(X 1 2 X 2 2 X 3 2 )一E(X 1 )E(X 2 )E(X 3 ) 2 =E(X 1 2 )E(X 2 2 )E(X 3 2 )=( 2 ) 3 = 19.设随机变量 X与 Y相互独立同分布，且都服从 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据题意显然 Z也是离散型随机变量，只取 0，1 两个值，且20.设盒子中装有 m个颜色各异的球，有放回地抽取 n次，每次 1个球设 X表示 n次中抽到的球的颜色种数，则 E(X)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 则 X=X 1 +X
18、2 +X m 事件“X i =0”表示 n次中没有抽到第 i种颜色的球，由于是有放回抽取，n 次中各次抽取结果互不影响，所以有 21.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，其中 X 1 服从区间0，6上的均匀分布，X 2 服从正态分布N(0，2 2 )，X 3 服从参数为 3的泊松分布，则 D(X 1 一 2 2 +3X 3 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：46）解析：解析：根据题设可知，D(X 1 )= 22.设随机变量 X与 Y相互独立，且 XB(5，08)，YN(1，1)，则 P0X+Y10 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确
19、答案：0928）解析：解析：因为 E(X)=4，D(X)=08，E(Y)=1，D(Y)=1，所以 E(X+Y)=E(X)+E(Y)=5， D(X+Y)=D(X)+D(Y)=18 根据切比雪夫不等式，可得 P0x+Y10=P|X+Y 一 5|523.设 X 1 ，X 2 ，X 9 是来自总体 XN(，4)的简单随机样本，而 X是样本均值，则满足 P|X一|=095 的常数 = 1(196)=0975)（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：13067）解析：解析：根据题意可知24.设总体 XN(， 2 )，u 未知，x 1 ，x 2 ，x n 是来自该总体的样本，样本方差为S 2
20、 ，对 H 0 ： 2 16HH 1 ： 2 16，其检验统计量为 1，拒绝域为 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 2 统计量； 2 1一 2 (n1)）解析：解析：u 未知，对 2 的检验使用 2 检验，又根据题设知，假设为单边检验，所以统计量为 2 = 三、解答题(总题数：8，分数：16.00)25.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：26.已知随机变量 X的概率密度 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：直接根据 F(x)=PXx，F Y (y)=P|F(X)y求解 )解析：27.设随机变量 X与 Y独立，X 在区间0，2
21、上服从均匀分布，Y 服从指数分布 e(2)，求：()二维随机变量(X，Y)的联合概率密度；()概率 P(XY)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()已知 X在区间0，2上服从均匀分布，y 服从指数分布 e(2)，因此可得()当 x0 或者 x2 时，f(x，y)=0，因此区域 xy 为 y轴和 x=2之间，且在直线 y=x上方的无界区域，所以其对概率密度在积分区域上进行二重积分，所以可表示为 )解析：28.在时刻 t=0时开始计时，设事件 A 1 ，A 2 分别在时刻 X，Y 发生，X 和 Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据 X和
22、Y的独立性，可知 X和 Y的联合概率密度为 按题意需求概率PXY，如图 33所示 )解析：29.设随机变量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由 P|X|Y|=1 知，P|X|=|Y|=0由此可得 X与 Y的联合分布律为)解析：30.已知总体 X的数学期望 E(X)=，方差 D(X)= 2 ，X 1 ，X 2 ，X 2n 是来自总体 X容量为 2n的简单随机样本，样本均值为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为总体分布未知，所以需将 Y化简，并且根据数字特征性质计算 E(Y)因为)解析：31.设总体 X的概率分布为 其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E(X)=0 2 +12(1)+2 2 +3(12)=34， )解析：32.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
