1、考研数学一（概率与数理统计）-试卷 23及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B 为随机事件，0P(A)1，0P(B)1，则 AB相互独立的充要条件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 A，B 是任意两个随机事件，又知 A （分数：2.00）A.P(B|A)P(A)B.P(B|A)P(A)C.P(B|A)P(B)D.P(B|A)P(B)4.同时抛掷三枚匀称的硬币，正面和反面都出现的概率为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5
2、.在电炉上安装了 4个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 t n ，电炉就断电，以 E表示事件“电炉断电”，而 T 1 T 2 T 3 T 4 为四个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件 E=( )（分数：2.00）A.T 1 t 0 B.T 2 t 0 C.T 3 t 0 D.T 4 t 0 6.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）A.e 2 B.一 e 一 2 C.e 一 1 D.1一 e 一 1 7.设随机变量 X i 的分布函数分别为 F i (x)，i=1，2假设：如果 X i 为离散型，则 X i B(1，p i
3、 )，其中 0p i 1，i=1，2如果 X i 为连续型，则其概率密度函数为 f i (x)，i=1，2已知成立 F i (x)F 2 (x)，则( )（分数：2.00）A.p 1 p 2 B.p 1 p 2 C.f 1 (x)f 2 (x)D.A(x)f 2 (x)8.设相互独立的两随机变量 X与 Y，其中 XB(1， )，而 Y具有概率密度 f(y)= 的值为( )（分数：2.00）A.B.C.D.9.设相互独立的两随机变量 X，Y 均服从0，3上的均匀分布，则 P1max(X，Y)2的值为( )（分数：2.00）A.B.C.D.10.设二维随机变量(X，Y)满足 E(XY)=E(X)E
4、(Y)，则 X与 Y( )（分数：2.00）A.相关B.不相关C.独立D.不独立11.设二维正态随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量 =X+Y 与 =XY 不相关的充分必要条件为( )（分数：2.00）A.E(X)=E(Y)B.E(X 2 )一E(X) 2 =E(Y 2 )一E(Y) 2 C.E(X 2 )=E(Y 2 )D.E(X 2 )+E(X) 2 =E(Y 2 )+E(Y) 2 12.设总体 X服从正态分布 N(0， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 10 是来自总体 X的简单随机样本，统计量 （分数：2.00）A.5B.4C.3D.2二、填空题(总题数：12，分数：24.00
5、)13.设 A、B 是两个随机事件，且 （分数：2.00）填空项 1:_14.已知随机变量 X服从参数为 的指数分布，则概率 （分数：2.00）填空项 1:_15.随机变量 X在 （分数：2.00）填空项 1:_16.设 F(x)是连续型随机变量 X的分布函数，常数 a0，则 一 + F(x+a)一 F(x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_17.设随机变量 X和 Y均服从 （分数：2.00）填空项 1:_18.设随机变量 X和 Y的联合分布函数为 （分数：2.00）填空项 1:_19.设随机变量 X与 Y的相关系数为 05，E(X)=E(Y)=0，E(X 2 )=E(Y 2 )=2，
6、则 E(X+Y 2 ) 2 = 1（分数：2.00）填空项 1:_20.设随机变量 X与 Y相互独立，方差分别为 4和 2，则随机变量 3X一 2Y的方差是 1（分数：2.00）填空项 1:_21.设 X为随机变量D(X)=2，则根据切比雪夫不等式有估计 P|XE(X)|2 1（分数：2.00）填空项 1:_22.假设总体 X服从标准正态分布，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，则统计量 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_23.设总体 X的概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_24.设总体 XN(， 2 )未知，x 1 ，x 2 ，x n
7、是来自该总体的样本，记 ，则对假设检验H 0 ：u=HH 1 ：uu 0 使用的 t统计量 t= 1(用 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：16.00)25.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_26.()设随机变量 X服从指数分布 e()，证明：对任意非负实数 s及 t，有 P(Xs+t|xs)=P(Xt)这个性质叫做指数分布的无记忆性()设电视机的使用年数 X服从指数分布 e(01)，某人买了一台旧电视机，求还能使用 5年以上的概率（分数：2.00）_27.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_28.设二维随机变量
8、(X 1 ，Y 1 )与(X 2 ，Y 2 )的联合概率密度分别为 （分数：2.00）_29.已知随机变量 X，Y 的概率分布分别为 （分数：2.00）_30.已知 X 1 ，X n 是来自总体 X容量为 n的简单随机样本，其均值和方差分别为 与 S 2 ()如果 E(X)=，D(X)= 2 ，试证明： 的相关系数 = （分数：2.00）_31.设总体 X的概率密度为 其中 0 是未知参数从总体 X中抽取简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n ，记 =min(X 1 ，X 2 ，X n ) ()求总体 X的分布函数 F(x)； ()求统计量 的分布函数 ()如果用 （分数：2.00）_32.
9、设总体 X的概率分布为 其中 (0，1)未知，以 N i 来表示来自总体 X的简单随机样本(样本容量为 n)中等于 i的个数(i=1，2，3)，试求常数 a 1 ，a 2 ，a 3 使 （分数：2.00）_考研数学一（概率与数理统计）-试卷 23答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B 为随机事件，0P(A)1，0P(B)1，则 AB相互独立的充要条件是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由于 0P(A)1，0P(B)1
10、，所以 A与 B相互独立3.设 A，B 是任意两个随机事件，又知 A （分数：2.00）A.P(B|A)P(A)B.P(B|A)P(A)C.P(B|A)P(B) D.P(B|A)P(B)解析：解析：4.同时抛掷三枚匀称的硬币，正面和反面都出现的概率为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：设 B k 表示三枚硬币中出现正面硬币的个数，k=0，1，2，3，P(A)为所求概率，根据题意 5.在电炉上安装了 4个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 t n ，电炉就断电，以 E表示事件“电炉断电”，而 T 1 T 2 T 3 T 4
11、 为四个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件 E=( )（分数：2.00）A.T 1 t 0 B.T 2 t 0 C.T 3 t 0 D.T 4 t 0 解析：解析：由于 T 1 T 2 T 3 T 4 ， 所以T 1 t 0 T 2 t 0 T 3 t 0 6.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）A.e 2 B.一 e 一 2 C.e 一 1 D.1一 e 一 1 解析：解析：PX2|X1=1 一 PX2|X1=1 一 PX2|X1 =PX1=1 一 e 一 1 ， 故选项 D正确7.设随机变量 X i 的分布函数分别为 F i (x)，i=1，2假设：如果 X i 为离散型
12、，则 X i B(1，p i )，其中 0p i 1，i=1，2如果 X i 为连续型，则其概率密度函数为 f i (x)，i=1，2已知成立 F i (x)F 2 (x)，则( )（分数：2.00）A.p 1 p 2 B.p 1 p 2 C.f 1 (x)f 2 (x)D.A(x)f 2 (x)解析：解析：根据选项，只能在 A与 B或 C与 D中选一正确答案由微积分知识可知，C、D 未必正确，因此只考虑 A、B根据题设得：8.设相互独立的两随机变量 X与 Y，其中 XB(1， )，而 Y具有概率密度 f(y)= 的值为( )（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析： X取值只能是 X=
13、0或 X=1，将 X=0和 X=1看成完备事件组，用全概率公式有9.设相互独立的两随机变量 X，Y 均服从0，3上的均匀分布，则 P1max(X，Y)2的值为( )（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：P1max(X，Y)2=Pmax(X，Y)2一 Pmax(X，Y)1 =PX2，Y2一PX1，Y1 =PX2PY2一 PXlPY110.设二维随机变量(X，Y)满足 E(XY)=E(X)E(Y)，则 X与 Y( )（分数：2.00）A.相关B.不相关 C.独立D.不独立解析：解析：因 E(XY)=E(x)E(Y)，故 Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)=0，11.设二维正
14、态随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量 =X+Y 与 =XY 不相关的充分必要条件为( )（分数：2.00）A.E(X)=E(Y)B.E(X 2 )一E(X) 2 =E(Y 2 )一E(Y) 2 C.E(X 2 )=E(Y 2 )D.E(X 2 )+E(X) 2 =E(Y 2 )+E(Y) 2 解析：解析：根据随机变量 与 不相关的充分必要条件为 Cov(，)=0，有 Cov(，)=Cov(X+Y，XY) =Cov(X，X)一 Coy(Y，Y)， 注意到 D(X)=Coy(X，X)，D(Y)=Cov(Y，Y)， 可得 D(X)=D(Y)， 即 E(X 2 )_E(X) 2 =E(Y
15、2 )一E(Y) 2 ， 故选 B12.设总体 X服从正态分布 N(0， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 10 是来自总体 X的简单随机样本，统计量 （分数：2.00）A.5B.4C.3D.2 解析：解析：根据题意，统计量 YF(m，n)，所以二、填空题(总题数：12，分数：24.00)13.设 A、B 是两个随机事件，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据乘法公式14.已知随机变量 X服从参数为 的指数分布，则概率 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：根据题设知 PX0=1，PX0=0，应用全概率公式得15.随机变
16、量 X在 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：首先求出 Y的分布函数 F Y (y)由于 X在 上服从均匀分布，因此 X的概率密度函数F X (x)与分布函数 F X (x)分别为 当 Y1 时，F Y (y)=1 因此 y的概率密度函数 F Y (y)为 16.设 F(x)是连续型随机变量 X的分布函数，常数 a0，则 一 + F(x+a)一 F(x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：）解析：解析： 一 + F(x+a)一 F(x)dx= 一 + x x+a f(y)dydx 17.设随机变量 X和 Y均服从 （分数：2.0
17、0）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：根据题意可知18.设随机变量 X和 Y的联合分布函数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据题意，分布函数 F(x)是 F(x，y)的边缘分布函数，所以 F(x)=F(x，+)=F(x，1)，因此19.设随机变量 X与 Y的相关系数为 05，E(X)=E(Y)=0，E(X 2 )=E(Y 2 )=2，则 E(X+Y 2 ) 2 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6）解析：解析：由已知条件得，D(X)=E(X 2 )一 E 2 (X)=2，同理，D(Y)=2则有 20.设
18、随机变量 X与 Y相互独立，方差分别为 4和 2，则随机变量 3X一 2Y的方差是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：44）解析：解析：因 X与 Y独立，故 3X与一 2Y也独立，所以 D(3X一 2Y)=D(3X)+D(一 2Y)=9D(X)+4D(Y)=36+8=4421.设 X为随机变量D(X)=2，则根据切比雪夫不等式有估计 P|XE(X)|2 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据切比雪夫不等式，有22.假设总体 X服从标准正态分布，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，则统计量 （分数：2.00）填
19、空项 1:_ （正确答案：正确答案：t）填空项 1:_ （正确答案：2）填空项 1:_ （正确答案：n 一 1）解析：解析：根据简单随机样本的性质，X 1 ，X 2 ，X n 是相互独立且同服从分布 N(0，1)，所以 X 1 一 X 2 与 X 3 2 +X 4 2 相互独立，X 1 与 也相互独立，且有 X 1 一 X 2 N(0，2)， ， X 3 2 +X 4 2 2 (2)， 23.设总体 X的概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：根据矩估计，最(极)大似然估计及经验分布函数定义，即可求得结果事实上，设 E(X)=24.设总体 XN(，
20、2 )未知，x 1 ，x 2 ，x n 是来自该总体的样本，记 ，则对假设检验H 0 ：u=HH 1 ：uu 0 使用的 t统计量 t= 1(用 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析： 2 未知，对 u的检验使用 t检验，检验统计量为 对双边检验 H 0 ：u=u 0 H 1 ：uu 0 ，所以其拒绝域为 三、解答题(总题数：8，分数：16.00)25.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：26.()设随机变量 X服从指数分布 e()，证明：对任意非负实数 s及 t，有 P(Xs+t|xs)=P(Xt)这个性质叫做指数分布的无
21、记忆性()设电视机的使用年数 X服从指数分布 e(01)，某人买了一台旧电视机，求还能使用 5年以上的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()已知随机变量 X服从指数分布，对于任意的非负实数，根据指数分布的分布函数 F(x) 因为 X是连续的随机变量，根据分布函数的定义，对任意实数 x，有 P(Xx)=P(Xx)=F(x) P(Xt)=1P(Xt)=1 一 P(Xt) =1 一 F(t)=1一(1 一 e 一 t )=e 一 t ， 因此可得P(Xs+t|Xs)=P(Xt)成立 ()已知电子仪器的使用年数服从指数分布 Xe(01)，则其概率分布函数为 )解析：27.设二维随机变量(X
22、，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()已知(X，Y)的概率密度，所以关于 X的边缘概率密度 f X (x)= 0 + f(x，y)dy 所以，关于 Y的边缘概率密度 ()设 F Z (z)=PZz=P2XYz， (1)当z0 时，F Z (z)=P2XYz=0； (2)当 0z2 时，F Z (z)=P2XYz (3)当 z2 时，F Z (z)=P2XYz=1 所以 F Z (Z)的分布函数为： 故所求的概率密度为： )解析：28.设二维随机变量(X 1 ，Y 1 )与(X 2 ，Y 2 )的联合概率密度分别为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 解得 k
23、 2 =2所以(X 1 ，Y 1 )与(X 2 ，Y 2 )的概率密度分别为 )解析：29.已知随机变量 X，Y 的概率分布分别为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()根据题设 PX+Y=1=1，即 PX=一 1，Y=2+PX=0，Y=1+PX=1，Y=0=1，故其余分布值均为零，即 PX=一 1，Y=0=PX=一 1，Y=1=PX=0，Y=0=PX=0，Y=2=PX=1，Y=1=PX=1，Y=2=0，由此可求得联合分布为 )解析：30.已知 X 1 ，X n 是来自总体 X容量为 n的简单随机样本，其均值和方差分别为 与 S 2 ()如果 E(X)=，D(X)= 2 ，试证明： 的
24、相关系数 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因为总体分布未知，因此只能应用定义与性质证明，因为 X 1 ，X n 相互独立且与总体 X同分布，所以 )解析：31.设总体 X的概率密度为 其中 0 是未知参数从总体 X中抽取简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n ，记 =min(X 1 ，X 2 ，X n ) ()求总体 X的分布函数 F(x)； ()求统计量 的分布函数 ()如果用 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32.设总体 X的概率分布为 其中 (0，1)未知，以 N i 来表示来自总体 X的简单随机样本(样本容量为 n)中等于 i的个数(i=1，2，3)，试求常数 a 1 ，a 2 ，a 3 使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题知 N 1 ，N 2 ，N 3 分别服从二项分布 B(n，1 一 )，B(n， 一 2 )，B(n， 2 )，则有 E(N 1 )=n(10)，E(N 2 )=n( 2 )，E(N 3 )=n 2 ， =a 1 n(1)+a 2 n( 一 2 )+a 3 n 2 =， )解析：
