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    【考研类试卷】考研数学一(概率与数理统计)-试卷1及答案解析.doc

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    【考研类试卷】考研数学一(概率与数理统计)-试卷1及答案解析.doc

    1、考研数学一(概率与数理统计)-试卷 1及答案解析(总分:46.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:4,分数:8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设随机变量 X服从正态分布 N(0,1),对给定的 (0,1),数 u 满足 PXu =,若P|X|x=,则 x等于( ) (分数:2.00)A.B.C.D.3.设 f 1 (x)为标准正态分布的概率密度,f 2 (x)为-1,3上均匀分布的概率密度,若 (分数:2.00)A.2a+3b=4B.3a+2b=4C.a+b=1D.a+b=24.设随机变量 X,Y 不相关,且 EX=2,

    2、EY=1,DX=3,则 EX(X+Y-2)=( )(分数:2.00)A.-3B.3C.-5D.5二、填空题(总题数:6,分数:12.00)5.在区间(0,1)中随机地取两个数,则事件“两数之和小于 (分数:2.00)填空项 1:_6.设两两相互独立的三事件 A,B 和 C满足条件:ABC=,P(A)=P(B):P(C) ,且已知 P(ABC)= (分数:2.00)填空项 1:_7.设随机变量 X服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量 Y=X 2 在(0,4)内的概率分布密度 f Y (y)= 1(分数:2.00)填空项 1:_8.设二维随机变量(X,Y)服从正态分布 N(1,0;1,1;0),

    3、则 PXY-Y0)= 1(分数:2.00)填空项 1:_9.设(X,Y)在 D:|x|+|y|a(a0)上服从均匀分布,则 E(X)= 1,E(Y)= 2,E(XY)= 3(分数:2.00)填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_10.设总体 XN(, 2 ),从 X中抽得容量为 16的简单样本,S 2 为样本方差,则 D(S 2 )= 1(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:11,分数:26.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设考生的报名表来自三个地区,各有 10份、15 份、25 份报名表,其中女生表分别为 3份、7 份、5 份。现随机抽一个地区的

    4、报名表,从中先后任取 2份(分数:4.00)(1).求先取的一份是女生表的概率;(分数:2.00)_(2).已知后取的一份是男生表,求先取的一份是女生表的概率(分数:2.00)_12.袋中有 a白 b黑共 a+b只球,现从中随机、不放回地一只一只地取球,直至袋中所剩之球同色为止,求袋中所剩之球全为白球的概率(分数:2.00)_13.设随机变量 X的概率密度为 (分数:2.00)_14.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 (分数:2.00)_15.设 X服从参数为 2的指数分布,求 Y=1-e -2x 的概率密度 f Y (y)。(分数:2.00)_设 和 是相互独立且服从同一分布的两个随机变

    5、量,已知 的分布律为 P(=i)=13,i=1,2,3又设 X=max(,),Y=min(,)(分数:4.00)(1).写出二维随机变量(X,Y)的分布律;(分数:2.00)_(2).求 EX(分数:2.00)_16.当掷一枚均匀硬币时,问至少应掷多少次才能保证正面出现的频率在 04 至 06 之间的概率不小于09?试用切比雪夫不等式和中心极限定理来分别求解(分数:2.00)_设总体 X的分布函数为: (分数:4.00)(1). 的矩估计量;(分数:2.00)_(2). 的最大似然估计量(分数:2.00)_17.设总体的密度为: (分数:2.00)_18.一个罐子里装有黑球和白球,黑、白球数之

    6、比为 R:1,现有放回地一个接一个地抽球,直到抽到黑球为止,记 X为所抽的白球数,这样做了 n次以后,我们获得一组样本:X 1 ,X 2 ,X n 。基于此,求 R的最大似然估计(分数:2.00)_考研数学一(概率与数理统计)-试卷 1答案解析(总分:46.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:4,分数:8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设随机变量 X服从正态分布 N(0,1),对给定的 (0,1),数 u 满足 PXu =,若P|X|x=,则 x等于( ) (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析: 设 (x

    7、)=P(Xx)为服从标准正态分布的 X的分布函数,有结果: (x)+(-x)= x(-,+)(1) 又由 =P(|X|x)=P(-xXx)=(x)-(-x)(显然 x0)(2) 由(1)、(2)式得 2(-x)=1-,得 =(-x)=1-(x)=1-P(Xx)=P(Xx) 与题目中 =P(X )比较,注意(x)为严格单调增函数 3.设 f 1 (x)为标准正态分布的概率密度,f 2 (x)为-1,3上均匀分布的概率密度,若 (分数:2.00)A.2a+3b=4 B.3a+2b=4C.a+b=1D.a+b=2解析:解析:由题意知: 故:1= - + f(x)dx= - 0 f 1 (x)dx+b

    8、 0 + f 2 (x)dx 4.设随机变量 X,Y 不相关,且 EX=2,EY=1,DX=3,则 EX(X+Y-2)=( )(分数:2.00)A.-3B.3C.-5D.5 解析:解析:E(X 2 )=DX+(EX) 2 =3+2 2 =7,E(XY)=EXEY=21=2 EX(X+Y-2)=E(X 2 +XY-2X)=E(X 2 )+E(XY)-2E(X)=7+2-22=5二、填空题(总题数:6,分数:12.00)5.在区间(0,1)中随机地取两个数,则事件“两数之和小于 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:设这两个数为 x和 y,则(x,y)的取值范围为

    9、图 41 中正方形 G, 那么“两数之和 使(x,y)的取值范围为图 41 中阴影部分 D,本题为等概型几何概率题,所求概率为 ,而 G的面积为 1,D 的面积为 1- 08 2 =068,故 6.设两两相互独立的三事件 A,B 和 C满足条件:ABC=,P(A)=P(B):P(C) ,且已知 P(ABC)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:由已知知:P(ABC)=0 P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C) 若记 P(A)=x,可得 =P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P

    10、(BC)+P(ABC)=3x-3x 2 解得 x= (由题意,舍去)和 7.设随机变量 X服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量 Y=X 2 在(0,4)内的概率分布密度 f Y (y)= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:Y 的分布函数 F Y (y)=P(Yy)=P(X 2 y) 当 y0 时,F Y (y)=0 是 X的概率密度 8.设二维随机变量(X,Y)服从正态分布 N(1,0;1,1;0),则 PXY-Y0)= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:12)解析:解析:由题意可知 XN(1,1),YN(0,1),且 X与 Y

    11、独立,可得 X-1N(0,1),于是 P(Y0)=P(y0)=12,P(X-10)=P(X-10)=12,可得 P(XY-Y0)=Py(X-1)0=PY0,X-10)+PY0,X-109.设(X,Y)在 D:|x|+|y|a(a0)上服从均匀分布,则 E(X)= 1,E(Y)= 2,E(XY)= 3(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0)填空项 1:_ (正确答案:0)填空项 1:_ (正确答案:0)解析:解析:D 的面积为 2a 2 ,故(X,Y)的概率密度为: 10.设总体 XN(, 2 ),从 X中抽得容量为 16的简单样本,S 2 为样本方差,则 D(S 2 )=

    12、1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:三、解答题(总题数:11,分数:26.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析:设考生的报名表来自三个地区,各有 10份、15 份、25 份报名表,其中女生表分别为 3份、7 份、5 份。现随机抽一个地区的报名表,从中先后任取 2份(分数:4.00)(1).求先取的一份是女生表的概率;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:记 A i =(取的是第 i区的报名表,i=1,2,3,B i =从报名表中第 i次取的是女生表),i=1,2,则 )解析:(2).已知后取的一份是男生表,求先取的一份是女生

    13、表的概率(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:12.袋中有 a白 b黑共 a+b只球,现从中随机、不放回地一只一只地取球,直至袋中所剩之球同色为止,求袋中所剩之球全为白球的概率(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:我们将球一只一只地全部取完(这不影响所求之概率),则 P袋中全剩白球)=P(最后一只取白球)= )解析:13.设随机变量 X的概率密度为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1) (2) Y的分布函数为 F Y (y)=PYy)=Pe -|X| y) 显然,y0时,F Y (y)=0,y1 时,F Y (y)=1,这时 f Y (y)=F“ Y (y)=0,

    14、当 0y1 时,F Y (y)=p-|X|lny=P|X|-lny=1-PlnyX-lny=1- lny -lny f(x)dx,则 f Y (y)=F“ Y (y)=- f(-lny)+f(lny),注意到 f(x)是一偶函数,故 )解析:14.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:关于 X的边缘密度为 f X (x)= - + f(x,y)dy若|x|1,则 f X (x)=0;若|x|1,则 f X (x)= 关于 Y的边缘密度为 f Y (y)= - x f(x,y)dx 即 X与 y不独立 而(|X|,|Y|)的分布函数为 F(x,y)=P(

    15、|X|x,|y|y 当 x0 或 y0 时,f(x,y)=0; 当x0,y0 时,F(x,y)=p-xXx,-yYy= -x x du -y y f(u,v)dv 当 x1,y1 时,F(x,y)= -1 1 du -1 1 =1; 当 0x1,y1 时,F(x,y)= -x x du -1 1 dv=x; 当 x1,0y1 时,F(x,y)= -1 1 du -y y dv=y; 当 0x1,0y1 时,F(x,y)= -x x du -y y dv=xy。 于是,关于|X|的(边缘)分布函数为: 而关于|Y|的(边缘)分布函数为: 可见 F |X| (x)F |Y| (x,y)=F(x,y

    16、) )解析:15.设 X服从参数为 2的指数分布,求 Y=1-e -2x 的概率密度 f Y (y)。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:X 的概率密度为:f X (x)= Y的分布函数 F Y (y)=P(Yy)=P(1-e -2x xy)=P(e -2x x1-y),1-y0 即 y1 时,F Y (y)=1,f Y (y)=0;1-y0 即 y1 时,F Y (y)=P-2Xln(1-y)=PX ln(1-y)= f X (x)dxf Y (y)=F“ Y (y)= ,故 f Y (y)= )解析:设 和 是相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知 的分布律为 P(=i)=13,

    17、i=1,2,3又设 X=max(,),Y=min(,)(分数:4.00)(1).写出二维随机变量(X,Y)的分布律;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(X,Y)的分布律见下表 )解析:(2).求 EX(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由(X,Y)的分布律可得关于 X的边缘分布律为: 故 EX= )解析:16.当掷一枚均匀硬币时,问至少应掷多少次才能保证正面出现的频率在 04 至 06 之间的概率不小于09?试用切比雪夫不等式和中心极限定理来分别求解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设抛掷 n次硬币,正面出现 X次,则 XB(n,05),现要求P(04 06)09,即 P

    18、(04nX06n)09,(1)用切比雪夫不等式:P(04nX06n)=P(|X-05n|01n) 09,得 n250,(2)用中心极限定理:P(04nX06n)= 09,得 )解析:设总体 X的分布函数为: (分数:4.00)(1). 的矩估计量;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:总体 X的概率密度为: )解析:(2). 的最大似然估计量(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:似然函数为 当 x 1 ,x n 1 时, lnL=nln-(+1)ln(x 1 x n ) )解析:17.设总体的密度为: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:矩估计:EX= ;最大似然估计:似然函数为 )解析:18.一个罐子里装有黑球和白球,黑、白球数之比为 R:1,现有放回地一个接一个地抽球,直到抽到黑球为止,记 X为所抽的白球数,这样做了 n次以后,我们获得一组样本:X 1 ,X 2 ,X n 。基于此,求 R的最大似然估计(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由题意,总体 X的分布律为:PX=k= ,k=0,1,2,似然函数为 L= )解析:


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