1、考研数学一（概率与数理统计）-试卷 14及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p(0p1)，则此人第 4次射击恰好第 2次命中目标的概率为( )（分数：2.00）A.3p(1-p) 2B.6p(1-p) 2C.3p 2 (1-p) 2D.6p 2 (1-p) 23.设随机变量 X与 Y相互独立，且分别服从参数为 1与参数为 4的指数分布，则 P(XY)( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设
2、XN(， 2 )，则随着 的增大，P|X-|：( )（分数：2.00）A.单调增大B.单调减小C.保持不变D.增减不定5.将一枚硬币重复掷 n次，以 X和 Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X和 Y的相关系数等于( )（分数：2.00）A.-1B.0C.12D.1二、填空题(总题数：4，分数：8.00)6.设随机事件 A，B 及其和事件 AB 的概率分别是 04，03 和 06若 表示 B的对立事件，那么积事件 的概率 （分数：2.00）填空项 1:_7.随机变量 X的密度为： （分数：2.00）填空项 1:_8.对随机变量 X，Y，已知 3X+5Y=11，则 X和 Y的相关系数为 1（
3、分数：2.00）填空项 1:_9.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自二项分布总体 B(n，p)的简单随机样本， 和 S 2 分别为样本均值和样本方差，若 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：32.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_11.某厂生产的各台仪器，可直接出厂的占 07需调试的占 03，调试后可出厂的占 08，不能出厂的(不合格品)占 02现生产了 n(，n2)台仪器(设每台仪器的生产过程相互独立)，求：(1)全部能出厂的概率；(2)恰有 2台不能出厂的概率；(3)至少有 2台不能出厂的概率（分数：2.00）_12.3架飞机(一长
4、二僚)去执行轰炸任务，途中要过一敌方的高炮阵地，各机通过的概率均为 08，通过后轰炸成功的概率均为 03，各机间相互独立，但只有长机通过高炮阵地才有可能轰炸成功，求最终轰炸成功的概率（分数：2.00）_13.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）_设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：4.00）(1).(X，Y)的边缘概率密度 f X (x)，f Y (y)；（分数：2.00）_(2).Z=2X-Y的概率密度 f Z (z)，（分数：2.00）_14.设 XU(0，1)且 X与 Y独立同分布，求 = （分数：2.00）_15.设随机变量 X与 Y独立，且 XN(1，2)，YN(
5、0，1)，试求随机变量 Z=2X-Y+3的概率密度函数（分数：2.00）_16.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）_17.随机变量 X可能取的值为-1，0，1且知 EX=01，EX 2 =09，求 X的分布列（分数：2.00）_18.在ABC 中任取一点 P，而ABC 与ABP 的面积分别记为 S与 S 1 ，若已知 S=12，求 ES 1 （分数：2.00）_19.设总体 XN(， 2 )(0)，从该总体中抽取简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X 2n (n2)，其样本均值 （分数：2.00）_20.设 k个总体 N(， 2 )(i=1，k)相互独立，从第 i个总体中抽得简单样本
6、：X i1 ，X i2 ， （分数：2.00）_设总体 X的概率密度 （分数：4.00）(1).求参数 的矩估计量；（分数：2.00）_(2).求参数 的最大似然估计量（分数：2.00）_21.设总体 X在区间0，上服从均匀分布，其中 0 为未知参数，而 X 1 ，X n 为从 X中抽得的简单样本，试求 的矩估计和最大似然估计，并阀它们是否是 的无偏估计?（分数：2.00）_22.一批矿砂的 4个样品中镍含量测定为()：325，326，324，325设测定值总体服从正态分布，问在 =001 下能否接受假设：这批矿砂镍含量的均值为 326(t 0995 (3)=58409，下侧分位数)（分数：2
7、.00）_考研数学一（概率与数理统计）-试卷 14答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p(0p1)，则此人第 4次射击恰好第 2次命中目标的概率为( )（分数：2.00）A.3p(1-p) 2B.6p(1-p) 2C.3p 2 (1-p) 2 D.6p 2 (1-p) 2解析：解析：P第 4次射击恰好第 2次命中目标)=P前 3次射击恰中 1枪，第 4次射击命中目标)=P前 3次射击恰中 1枪)
8、，P第 4次射击命中目标=C 3 1 p(1-p) 2 p=3p 2 (1-p) 23.设随机变量 X与 Y相互独立，且分别服从参数为 1与参数为 4的指数分布，则 P(XY)( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由题意，X，Y 的概率密度分别为 则(X，Y)的(联合)概率密度为 = 0 + 4e -4y dy 0 y e -x dx = 0 - (1-e -y )4e -4y dy = 0 + 4e -4y dy一 4 0 + e -5y dy 4.设 XN(， 2 )，则随着 的增大，P|X-|：( )（分数：2.00）A.单调增大B.单调减小C.保持不变 D.增减不定解
9、析：解析：P(|X-|)=P(-X-)=P(-15.将一枚硬币重复掷 n次，以 X和 Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X和 Y的相关系数等于( )（分数：2.00）A.-1 B.0C.12D.1解析：解析：X+Y=n，Y=n-X 故 DY=D(n-X)=DX，cov(X，Y)=cov(X，n-X)=-cov(X，X)=-DX X 和 Y的相关系数 XY = 二、填空题(总题数：4，分数：8.00)6.设随机事件 A，B 及其和事件 AB 的概率分别是 04，03 和 06若 表示 B的对立事件，那么积事件 的概率 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0.3）解析：解
10、析：由已知得： 06=P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=04+03-P(AB) 得 P(AB)=01 故7.随机变量 X的密度为： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：这是指数分布，可知 =A=-B，而 6=EX=8.对随机变量 X，Y，已知 3X+5Y=11，则 X和 Y的相关系数为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-1 或*）解析：解析： ，(X，y)的相关系数为-1(若 Y=aX+b)，则(X，Y)的相关系数为9.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自二项分布总体 B(n，p)的简单随机样本， 和 S 2 分别为样本
11、均值和样本方差，若 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-1）解析：解析：设总体为 X，财知 XB(n，p)，EX=np，DX=np(1-p) E =np，ES 2 =np(1-p) 由题意得 np 2 =E( +kS 2 )=E 三、解答题(总题数：15，分数：32.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：11.某厂生产的各台仪器，可直接出厂的占 07需调试的占 03，调试后可出厂的占 08，不能出厂的(不合格品)占 02现生产了 n(，n2)台仪器(设每台仪器的生产过程相互独立)，求：(1)全部能出厂的概率；(2)恰有 2台不能出厂的概率；(3
12、)至少有 2台不能出厂的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对一台仪器而言，记 A=可直接出厂，B=最终能出厂，则 ，P(A)=07，P(B| )=08，P(B)=P(A)+ )解析：12.3架飞机(一长二僚)去执行轰炸任务，途中要过一敌方的高炮阵地，各机通过的概率均为 08，通过后轰炸成功的概率均为 03，各机间相互独立，但只有长机通过高炮阵地才有可能轰炸成功，求最终轰炸成功的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设长机为 A，另 2架僚机分别为 B、C，记 A 1 =A通过高炮阵地，B 1 =B通过高炮阵地，C 1 =C通过高炮阵地)，A 2 =A轰炸成功，D=最终轰炸成
13、功)，则 )解析：13.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Y 的分布函数 F Y (y)=P(Yy)=P(e X y) 当 y0 时，F Y (y)=0，f Y (y)=F“ Y (y)=0 当 y0 时，F Y (y)=P(Xlny)= - lny fx(x)dx )解析：设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：4.00）(1).(X，Y)的边缘概率密度 f X (x)，f Y (y)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f X (x)= - + f(x，y)dy 当 x0 或 x1 时，f X (x)=0； 当 0x1 时，f X (x)=
14、0 2x 1dy=2x，故 f Y (y)= - + f(x，y)dx 当 y0 或 y2 时，f Y (y)=0； (积分的讨论和定限可参考图(a) )解析：(2).Z=2X-Y的概率密度 f Z (z)，（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Z 的分布函数为： 当 即 x2 时，F Z (z)=1，F Z (z)=F“ Z (z)=0(参见图(b)； 当 即 z0 时，F Z (z)=0，F Z (z)=F“ Z (z)=0(参见图(c)； 当 即 0z2 时， )解析：14.设 XU(0，1)且 X与 Y独立同分布，求 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意，(X，Y)
15、的概率密度为 u0 时，F(u)=0； u1 时，F(u)=1；其中 G见图 1中阴影部分； 其中 D见图 2中阴影部分， )解析：15.设随机变量 X与 Y独立，且 XN(1，2)，YN(0，1)，试求随机变量 Z=2X-Y+3的概率密度函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：EX=1，DX=2，EY=0，DY=1 EZ=E(2X-Y+3)=2EX-EY+3=21-0+3=5 DZ=D(2X-Y+3)=4DX+DY=42+1=9 由正态分布的性质知：ZN(5，9) )解析：16.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.随机变量 X可能取的值
16、为-1，0，1且知 EX=01，EX 2 =09，求 X的分布列（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意，X 的分布列可设为： )解析：18.在ABC 中任取一点 P，而ABC 与ABP 的面积分别记为 S与 S 1 ，若已知 S=12，求 ES 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图建立坐标系， 设 AB长为 r，ABC 高为 h，c 点坐标为(u，h)，设ABC所围区域为 G，则 G的面积 又设 P点坐标为(X，Y)，则随机变量(X，Y)在 G上服从均匀分布，其概率密度为 )解析：19.设总体 XN(， 2 )(0)，从该总体中抽取简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X
17、2n (n2)，其样本均值 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若记 Y i =X i +X n+i ，i=1，2，n 则知 Y 1 ，Y n 独立同分布，有 EY i =EX i +EX n+i =2DY i =DX i +DX n+i = 2 + 2 =2 2 ，Y i N(2，2 2 )i=1，2，n 由正态总体(这里看成 YN(2，2 2 )为总体，Y 1 ，Y n 为样本)的结论可知 )解析：20.设 k个总体 N(， 2 )(i=1，k)相互独立，从第 i个总体中抽得简单样本：X i1 ，X i2 ， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设总体 X的概率密度
18、（分数：4.00）(1).求参数 的矩估计量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 EX= - + xf(x)dx= 0 + 2 x 2 e -x dx= )解析：(2).求参数 的最大似然估计量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：似然函数为 当 x 1 ，x 2 ，x n 0 时， lnL=2nln+ln(x 1 x n )- 故 )解析：21.设总体 X在区间0，上服从均匀分布，其中 0 为未知参数，而 X 1 ，X n 为从 X中抽得的简单样本，试求 的矩估计和最大似然估计，并阀它们是否是 的无偏估计?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.一批矿砂的 4个样品中镍含量测定为()：325，326，324，325设测定值总体服从正态分布，问在 =001 下能否接受假设：这批矿砂镍含量的均值为 326(t 0995 (3)=58409，下侧分位数)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设这批矿砂的镍含量为总体 X，则 XN(， 2 )，检验 H 0 ：= 0 ，这儿 0 =326，n=4，拒绝域为： =002920，可见| - 0 | )解析：
